Modelo Drude - Drude model

Os elétrons do modelo Drude (mostrados aqui em azul) saltam constantemente entre íons de cristal mais pesados ​​e estacionários (mostrados em vermelho).

O modelo Drude de condução elétrica foi proposto em 1900 por Paul Drude para explicar as propriedades de transporte de elétrons em materiais (especialmente metais). Basicamente, a lei de Ohm estava bem estabelecida e afirmava que a corrente J e a tensão V que impulsionam a corrente estão relacionadas à resistência R do material. O inverso da resistência é conhecido como condutância. Quando consideramos um metal de comprimento unitário e área de seção transversal unitária, a condutância é conhecida como condutividade, que é o inverso da resistividade. O modelo de Drude tenta explicar a resistividade de um condutor em termos do espalhamento de elétrons (os portadores de eletricidade) pelos íons relativamente imóveis no metal que agem como obstruções ao fluxo de elétrons.

O modelo, que é uma aplicação da teoria cinética , assume que o comportamento microscópico dos elétrons em um sólido pode ser tratado classicamente e se comporta muito como uma máquina de fliperama , com um mar de elétrons em constante agitação, saltando e voltando a saltar mais pesados, relativamente imóveis íons positivos.

Os dois resultados mais significativos do modelo Drude são uma equação eletrônica de movimento,

e uma relação linear entre a densidade de corrente J e o campo elétrico E ,

Aqui T é o tempo, ⟨ p ⟩ é o momento médio por electrões e q, n, m , e τ são, respectivamente, a carga do electrão, número de densidade, massa, e tempo livre médio entre colisões iónicos. A última expressão é particularmente importante porque explica em termos semiquantitativos por que a lei de Ohm , uma das relações mais onipresentes em todo o eletromagnetismo, deve ser válida.

O modelo foi estendido em 1905 por Hendrik Antoon Lorentz (e portanto também é conhecido como o modelo Drude-Lorentz ) para fornecer a relação entre a condutividade térmica e a condutividade elétrica dos metais (ver número de Lorenz ), e é um modelo clássico . Mais tarde, foi complementado com os resultados da teoria quântica em 1933 por Arnold Sommerfeld e Hans Bethe , levando ao modelo Drude-Sommerfeld .

História

O físico alemão Paul Drude propôs seu modelo em 1900, quando não estava claro se os átomos existiam, e não estava claro o que eram os átomos em uma escala microscópica. A primeira prova direta de átomos por meio do cálculo do número de Avogadro a partir de um modelo microscópico deve-se a Albert Einstein , o primeiro modelo moderno de estrutura atômica data de 1904 e o modelo de Rutherford de 1909. Drude começa com a descoberta de elétrons em 1897 por JJ Thomson e assume como um modelo simplista de sólidos que a maior parte do sólido é composta de centros de espalhamento carregados positivamente, e um mar de elétrons submerge esses centros de espalhamento para tornar o sólido total neutro de uma perspectiva de carga.

Em termos modernos, isso se reflete no modelo de elétrons de valência , onde o mar de elétrons é composto apenas de elétrons de valência, e não do conjunto completo de elétrons disponíveis no sólido, e os centros de espalhamento são as camadas internas de elétrons fortemente ligados ao núcleo. Os centros de espalhamento tinham uma carga positiva equivalente ao número de valência dos átomos. Essa similaridade, somada a alguns erros de computação no artigo de Drude, acabou fornecendo uma teoria qualitativa razoável de sólidos capaz de fazer boas previsões em certos casos e dar resultados completamente errados em outros. Sempre que as pessoas tentavam dar mais substância e detalhes à natureza dos centros de dispersão, à mecânica da dispersão e ao significado da extensão da dispersão, todas essas tentativas fracassaram.

Os comprimentos de espalhamento calculados no modelo de Drude são da ordem de 10 a 100 distâncias interatômicas e também não podem ser dadas explicações microscópicas adequadas. Em termos modernos, existem experiências em que os elétrons podem viajar por metros em um sólido da mesma maneira que viajariam no espaço livre, e isso mostra como um modelo puramente clássico não pode funcionar.

O espalhamento drude não é o espalhamento elétron-elétron que é apenas um fenômeno secundário na teoria moderna, nem o espalhamento nuclear dado elétrons pode ser no máximo absorvido pelos núcleos. O modelo permanece um pouco mudo nos mecanismos microscópicos, em termos modernos isso é o que agora é chamado de "mecanismo de espalhamento primário", onde o fenômeno subjacente pode ser diferente caso a caso.

O modelo fornece melhores previsões para metais, especialmente no que diz respeito à condutividade, e às vezes é chamado de teoria de Drude dos metais. Isso ocorre porque os metais têm essencialmente uma melhor aproximação do modelo de elétron livre , ou seja, os metais não têm estruturas de banda complexas , os elétrons se comportam essencialmente como partículas livres e onde, no caso dos metais, o número efetivo de elétrons deslocados é essencialmente o mesmo que o número de valência.

A mesma teoria de Drude, apesar das inconsistências que confundiam a maioria dos físicos do período, foi a principal aceita para explicar os sólidos até a introdução em 1927 do modelo Drude-Sommerfeld .

Mais algumas dicas dos ingredientes corretos de uma teoria moderna de sólidos foram dadas a seguir:

  • O modelo sólido de Einstein e o modelo de Debye , sugerindo que o comportamento quântico de troca de energia em unidades integrais ou quanta era um componente essencial na teoria completa, especialmente no que diz respeito a calores específicos , onde a teoria de Drude falhou.
  • Em alguns casos, nomeadamente no efeito Hall, a teoria estava a fazer previsões corretas se, em vez de usar uma carga negativa para os electrões, fosse usada uma carga positiva. Isso agora é interpretado como buracos (ou seja, quase-partículas que se comportam como portadores de carga positiva), mas na época de Drude era bastante obscuro por que esse era o caso.

Drude usou estatísticas de Maxwell-Boltzmann para o gás dos elétrons e para derivar o modelo, que era o único disponível na época. Ao substituir as estatísticas pelas estatísticas corretas de Fermi Dirac , Sommerfeld melhorou significativamente as previsões do modelo, embora ainda possuindo uma teoria semiclássica que não podia prever todos os resultados da moderna teoria quântica dos sólidos.

Hoje em dia, os modelos de Drude e Sommerfeld ainda são significativos para a compreensão do comportamento qualitativo dos sólidos e para obter uma primeira compreensão qualitativa de uma configuração experimental específica. Este é um método genérico em física do estado sólido , onde é típico aumentar incrementalmente a complexidade dos modelos para fornecer previsões cada vez mais precisas. É menos comum usar uma teoria quântica de campo desenvolvida desde os primeiros princípios, dadas as complexidades devido ao grande número de partículas e interações e o pouco valor agregado da matemática extra envolvida (considerando o ganho incremental na precisão numérica das previsões )

Suposições

Drude usou a teoria cinética de gases aplicada ao gás de elétrons movendo-se em um fundo fixo de " íons "; isso está em contraste com a maneira usual de aplicar a teoria dos gases como um gás diluído neutro sem fundo. A densidade numérica do gás de elétron foi assumida como sendo

onde Z é o número efetivo de elétrons deslocados por íon, para o qual Drude usou o número de valência, A é o número de massa atômica , é a quantidade de concentração de substância dos "íons" e N A é a constante de Avogadro . Considerando o volume médio disponível por elétron como uma esfera:

A quantidade é um parâmetro que descreve a densidade do elétron e muitas vezes é da ordem de 2 ou 3 vezes o raio de Bohr , para metais alcalinos varia de 3 a 6 e alguns compostos metálicos pode ir até 10. As densidades são de ordem de 100 vezes de um gás clássico típico.

As principais premissas feitas no modelo Drude são as seguintes:

  • Drude aplicou a teoria cinética de um gás diluído, apesar das altas densidades, portanto, ignorando as interações elétron-elétron e elétron-íon além das colisões.
  • O modelo de Drude considera que o metal é formado por uma coleção de íons carregados positivamente, dos quais vários "elétrons livres" foram separados. Pode-se pensar que esses são os elétrons de valência dos átomos que foram deslocalizados devido ao campo elétrico dos outros átomos.
  • O modelo de Drude negligencia a interação de longo alcance entre o elétron e os íons ou entre os elétrons; isso é chamado de aproximação de elétrons independentes.
  • Os elétrons se movem em linha reta entre uma colisão e outra; isso é chamado de aproximação de elétrons livres.
  • A única interação de um elétron livre com seu ambiente foi tratada como sendo colisões com o núcleo de íons impenetráveis.
  • O tempo médio entre as colisões subsequentes de tal elétron é τ , com uma distribuição de Poisson sem memória . A natureza do parceiro de colisão do elétron não importa para os cálculos e conclusões do modelo de Drude.
  • Após um evento de colisão, a distribuição da velocidade e direção de um elétron é determinada apenas pela temperatura local e é independente da velocidade do elétron antes do evento de colisão. O elétron é considerado imediatamente em equilíbrio com a temperatura local após uma colisão.

Remover ou melhorar cada uma dessas premissas fornece modelos mais refinados, que podem descrever com mais precisão os diferentes sólidos:

  • Melhorar a hipótese das estatísticas de Maxwell-Boltzmann com as estatísticas de Fermi-Dirac leva ao modelo Drude-Sommerfeld .
  • Melhorar a hipótese das estatísticas de Maxwell-Boltzmann com as estatísticas de Bose-Einstein leva a considerações sobre o calor específico de átomos de spin inteiros e para o condensado de Bose-Einstein .
  • Um elétron de banda de valência em um semicondutor ainda é essencialmente um elétron livre em uma faixa de energia delimitada (isto é, apenas uma colisão "rara" de alta energia que implica uma mudança de banda se comportaria de maneira diferente); a aproximação do elétron independente ainda é essencialmente válida (ou seja, sem espalhamento elétron-elétron), onde, em vez disso, a hipótese sobre a localização dos eventos de espalhamento é descartada (em termos leigos, o elétron é e se espalha por todo o lugar).

Tratamento matemático

Campo DC

A análise mais simples do modelo de Drude assume que o campo elétrico E é uniforme e constante, e que a velocidade térmica dos elétrons é suficientemente alta para que eles acumulem apenas uma quantidade infinitesimal de momento d p entre as colisões, que ocorrem em média a cada τ segundos .

Então, um elétron isolado no tempo t terá, em média, viajado durante o tempo τ desde sua última colisão e, conseqüentemente, terá momentum acumulado

Durante sua última colisão, este elétron provavelmente teria saltado para frente ou para trás, então todas as contribuições anteriores para o momento do elétron podem ser ignoradas, resultando na expressão

Substituindo as relações

resulta na formulação da lei de Ohm mencionada acima:

Análise de variação no tempo

Drude resposta de densidade de corrente a um campo elétrico AC.

A dinâmica também pode ser descrita pela introdução de uma força de arrasto eficaz. No momento t = t 0 + dt, o momento do elétron será:

onde pode ser interpretado como força genérica (por exemplo, Força de Lorentz ) no portador ou mais especificamente no elétron. é o momento da portadora com direção aleatória após a colisão (ou seja, com um momento ) e com energia cinética absoluta

.

Em média, uma fração de dos elétrons não terá experimentado outra colisão, a outra fração que teve a colisão em média sairá em uma direção aleatória e contribuirá para o momentum total de apenas um fator de segunda ordem.

Com um pouco de álgebra e eliminando os termos de ordem , isso resulta na equação diferencial genérica

O segundo termo é na verdade uma força de arrasto extra ou termo de amortecimento devido aos efeitos de Drude.

Campo elétrico constante

No tempo t = t 0 + dt o momento médio do elétron será

e então

onde p denota força média e q a carga dos elétrons. Esta, que é uma equação diferencial não homogênea, pode ser resolvida para obter a solução geral de

para p ( t ) . A solução de estado estacionário , dp/dt= 0 , é então

Como acima, o momento médio pode estar relacionado à velocidade média e isso, por sua vez, pode estar relacionado à densidade de corrente,

e o material pode ser mostrado para satisfazer a lei de Ohm com uma condutividade DC σ 0 :

Campo AC

Condutividade complexa para diferentes frequências assumindo que τ = 10 −5 e que σ 0 = 1 .

O modelo Drude também pode prever a corrente como uma resposta a um campo elétrico dependente do tempo com uma frequência angular ω . A condutividade complexa é

Aqui, presume-se que:

Em engenharia, i é geralmente substituído por −i (ou −j ) em todas as equações, o que reflete a diferença de fase em relação à origem, ao invés do atraso no ponto de observação viajando no tempo.

Prova usando a equação do movimento  -

Dado

E a equação do movimento acima

substituindo

Dado

definindo a condutividade complexa de:

Nós temos:

A parte imaginária indica que a corrente está atrasada em relação ao campo elétrico. Isso acontece porque os elétrons precisam de aproximadamente um tempo τ para acelerar em resposta a uma mudança no campo elétrico. Aqui, o modelo Drude é aplicado aos elétrons; pode ser aplicado tanto a elétrons quanto a lacunas; ou seja, portadores de carga positiva em semicondutores. As curvas para σ ( ω ) são mostradas no gráfico.

Se um campo elétrico sinusoidalmente variável com frequência for aplicado ao sólido, os elétrons carregados negativamente se comportam como um plasma que tende a se mover uma distância x do fundo carregado positivamente. Como resultado, a amostra é polarizada e haverá um excesso de carga nas superfícies opostas da amostra.

A constante dielétrica da amostra é expressa como

onde está o deslocamento elétrico e é a densidade de polarização .

A densidade de polarização é escrita como

e a densidade de polarização com n densidade de elétrons é

Depois de um pouco de álgebra, a relação entre a densidade de polarização e o campo elétrico pode ser expressa como

A função dielétrica dependente da frequência do sólido é

Prova usando as equações de Maxwell  -

Dadas as aproximações para o incluído acima

  • não assumimos nenhum campo eletromagnético: este é sempre menor por um fator v / c dado o termo de Lorentz adicional na equação do movimento
  • assumimos um campo espacialmente uniforme: isso é verdade se o campo não oscilar consideravelmente em alguns caminhos livres médios de elétrons. Isso normalmente não é o caso: o caminho livre médio é da ordem de Angstroms correspondendo aos comprimentos de onda típicos dos raios-X.

Dadas as equações de Maxwell sem fontes (que são tratadas separadamente no âmbito das oscilações de plasma )

então

ou

que é uma equação de onda eletromagnética para um meio homogêneo contínuo com constante dielétrica na forma de helmoltz

onde o índice de refração é e a velocidade de fase é, portanto, a constante dielétrica complexa é

que no caso pode ser aproximado a:

Em uma frequência de ressonância , chamada frequência de plasma , a função dielétrica muda de sinal de negativo para positivo e a parte real da função dielétrica cai para zero.

A frequência do plasma representa uma ressonância de oscilação do plasma ou plasmon . A frequência do plasma pode ser empregada como uma medida direta da raiz quadrada da densidade dos elétrons de valência em um sólido. Os valores observados estão em concordância razoável com esta previsão teórica para um grande número de materiais. Abaixo da frequência do plasma, a função dielétrica é negativa e o campo não pode penetrar na amostra. A luz com frequência angular abaixo da frequência do plasma será totalmente refletida. Acima da frequência do plasma as ondas de luz podem penetrar na amostra, um exemplo típico são os metais alcalinos que se tornam transparentes na faixa da radiação ultravioleta .

Condutividade térmica de metais

Um grande sucesso do modelo Drude é a explicação da lei Wiedemann-Franz . Isso foi devido a um cancelamento fortuito de erros no cálculo original de Drude. Drude previu o valor do número de Lorenz:

Os valores experimentais estão normalmente na faixa de para metais em temperaturas entre 0 e 100 graus Celsius.

Derivação e erros de Drude  -

Os sólidos podem conduzir calor por meio do movimento de elétrons, átomos e íons. Os condutores têm uma grande densidade de elétrons livres, enquanto os isoladores não; os íons podem estar presentes em qualquer um deles. Dada a boa condutividade elétrica e térmica dos metais e a baixa condutividade elétrica e térmica dos isoladores, um ponto de partida natural para estimar a condutividade térmica é calcular a contribuição dos elétrons de condução.

A densidade de corrente térmica é o fluxo por unidade de tempo de energia térmica em uma unidade de área perpendicular ao fluxo. É proporcional ao gradiente de temperatura.

onde está a condutividade térmica. Em um fio unidimensional, a energia dos elétrons depende da temperatura local. Se imaginarmos um gradiente de temperatura no qual a temperatura diminui na direção x positiva, a velocidade média do elétron é zero (mas não a velocidade média). Os elétrons que chegam ao local x vindos do lado de alta energia chegarão com energias , enquanto os do lado de baixa energia chegarão com energias . Aqui, é a velocidade média dos elétrons e é o tempo médio desde a última colisão.

O fluxo líquido de energia térmica no local x é a diferença entre o que passa da esquerda para a direita e da direita para a esquerda:

O fator de 1/2explica o fato de que os elétrons têm a mesma probabilidade de se mover em qualquer direção. Apenas metade contribui para o fluxo em x .

Quando o caminho livre médio é pequeno, a quantidade pode ser aproximada por uma derivada em relação a x. Isto dá

Uma vez que os movimentos de electrões nas , e instruções, a velocidade média quadrática na direcção é . Temos também , onde está a capacidade térmica específica do material.

Juntando tudo isso, a densidade de corrente de energia térmica é

Isso determina a condutividade térmica:

(Esta derivação ignora a dependência da temperatura e, portanto, a dependência da posição da velocidade v. Isso não introduzirá um erro significativo, a menos que a temperatura mude rapidamente em uma distância comparável ao caminho livre médio.)

Dividir a condutividade térmica pela condutividade elétrica elimina o tempo de espalhamento e dá

Nesse ponto do cálculo, Drude fez duas suposições agora conhecidas como erros. Primeiro, ele usou o resultado clássico para a capacidade térmica específica dos elétrons de condução: . Isso superestima a contribuição eletrônica para a capacidade de calor específica por um fator de aproximadamente 100. Em segundo lugar, Drude usou a velocidade quadrada média clássica para elétrons ,. Isso subestima a energia dos elétrons por um fator de aproximadamente 100. O cancelamento desses dois erros resulta em uma boa aproximação da condutividade dos metais. Além dessas duas estimativas, Drude também cometeu um erro estatístico e superestimou o tempo médio entre as colisões por um fator de 2. Esta confluência de erros deu um valor para o número de Lorenz que estava notavelmente próximo aos valores experimentais.

O valor correto do número de Lorenz estimado a partir do modelo Drude é

.

Thermopower

Um gradiente genérico de temperatura quando ligado em uma barra fina irá desencadear uma corrente de elétrons em direção ao lado da temperatura mais baixa, uma vez que os experimentos são feitos em circuito aberto, essa corrente se acumulará naquele lado gerando um campo elétrico contrariando a corrente elétrica. Este campo é chamado de campo termoelétrico:

e Q é chamado de energia termelétrica. As estimativas de Drude são um fator de 100 baixo dada a dependência direta com o calor específico.

onde as termelétricas típicas em temperatura ambiente são 100 vezes menores da ordem dos micro-volts.

Prova junto com os erros Drude  -

Do modelo unidimensional simples

Expandindo para 3 graus de liberdade

A velocidade média devido ao campo elétrico (dada a equação do movimento acima no equilíbrio)

Para ter um nulo atual total , temos

E como de costume no caso Drude

onde as termelétricas típicas em temperatura ambiente são 100 vezes menores da ordem de micro-Volts.

Resposta drástica em materiais reais

O comportamento característico de um metal Drude no domínio do tempo ou da frequência, ou seja, relaxamento exponencial com constante de tempo τ ou a dependência da frequência para σ ( ω ) declarada acima, é chamado de resposta Drude. Em um metal convencional, simples e real (por exemplo, sódio, prata ou ouro à temperatura ambiente) tal comportamento não é encontrado experimentalmente, porque a frequência característica τ −1 está na faixa de frequência infravermelha, onde outras características que não são consideradas no O modelo Drude (como a estrutura da banda ) desempenha um papel importante. Mas para certos outros materiais com propriedades metálicas, a condutividade dependente da frequência foi encontrada que segue de perto a simples previsão de Drude para σ ( ω ) . Esses são materiais onde a taxa de relaxamento τ -1 está em frequências muito mais baixas. Este é o caso de certos cristais semicondutores dopados , gases de elétrons bidimensionais de alta mobilidade e metais de férmions pesados .

Precisão do modelo

Historicamente, a fórmula de Drude foi derivada pela primeira vez de uma maneira limitada, ou seja, assumindo que os portadores de carga formam um gás ideal clássico . Arnold Sommerfeld considerou a teoria quântica e estendeu a teoria para o modelo de elétrons livres , onde os portadores seguem a distribuição de Fermi-Dirac . A condutividade prevista é a mesma do modelo Drude, pois não depende da forma de distribuição eletrônica da velocidade.

O modelo Drude fornece uma boa explicação da condutividade DC e AC em metais, o efeito Hall e a magnetorresistência em metais próximos à temperatura ambiente. O modelo também explica parcialmente a lei Wiedemann – Franz de 1853. No entanto, ele superestima muito as capacidades eletrônicas de calor dos metais. Na realidade, metais e isoladores têm aproximadamente a mesma capacidade de calor em temperatura ambiente.

O modelo também pode ser aplicado a portadores de carga positiva (orifício).

Em seu artigo original, Drude cometeu um erro, estimando o número de Lorenz da lei de Wiedemann-Franz como duas vezes o que deveria ser classicamente, fazendo com que pareça estar de acordo com o valor experimental do calor específico. Este número é cerca de 100 vezes menor do que a previsão clássica, mas este fator se cancela com a velocidade eletrônica média que é cerca de 100 vezes maior do que o cálculo de Drude.

Veja também

Citações

Referências

Em geral

links externos