Espaço duplo - Dual space

Em matemática , qualquer espaço vectorial tem um correspondente espaço vector dual (ou apenas espaço dual para curto) que consiste de todas as formas lineares de , em conjunto com a estrutura de espaço vectorial de pontual adição e multiplicação escalar por constantes.

O espaço dual conforme definido acima é definido para todos os espaços vetoriais e, para evitar ambigüidade, também pode ser chamado de espaço dual algébrico . Quando definido para um espaço vetorial topológico , existe um subespaço do espaço dual, correspondendo a funcionais lineares contínuos, chamado de espaço dual contínuo .

Os espaços vetoriais duplos encontram aplicação em muitos ramos da matemática que usam espaços vetoriais, como na análise de tensores com espaços vetoriais de dimensão finita . Quando aplicados a espaços vetoriais de funções (que normalmente têm dimensões infinitas), os espaços duais são usados ​​para descrever medidas , distribuições e espaços de Hilbert . Consequentemente, o espaço dual é um conceito importante na análise funcional .

Os primeiros termos para dual incluem polarer Raum [Hahn 1927], espace conjugué , espaço adjunto [Alaoglu 1940] e transponierter Raum [Schauder 1930] e [Banach 1932]. O termo dual é devido a Bourbaki 1938.

Espaço dual algébrico

Dado qualquer espaço vetorial sobre um campo , o espaço dual (algébrico) (alternativamente denotado por ou ) é definido como o conjunto de todos os mapas lineares ( funcionais lineares ). Visto que os mapas lineares são homomorfismos do espaço vetorial , o espaço dual pode ser denotado . O próprio espaço dual torna-se um espaço vetorial quando equipado com uma adição e multiplicação escalar que satisfaça:

para todos , e .

Os elementos do espaço dual algébrico às vezes são chamados de covetores ou formas únicas .

O emparelhamento de um funcional no espaço dual e um elemento de às vezes é denotado por um colchete: ou . Este emparelhamento define um mapeamento bilinear não degenerado denominado emparelhamento natural .

Caso de dimensão finita

Se V é de dimensão finita, então V * tem a mesma dimensão que V . Dada uma base { e 1 , ..., e n } em V , é possível construir uma base específica em V , chamada de base dual . Esta base dual é um conjunto { e 1 , ..., e n } de funcionais lineares em V , definidos pela relação

para qualquer escolha de coeficientes c iF . Em particular, deixando, por sua vez, cada um desses coeficientes ser igual a um e os outros coeficientes zero, dá o sistema de equações

onde está o símbolo delta de Kronecker . Essa propriedade é conhecida como propriedade bi-ortogonalidade .

Por exemplo, se V é R 2 , deixe sua base ser escolhida como { e 1 = (1/2, 1/2), e 2 = (0, 1)} . Os vetores de base não são ortogonais entre si. Então, e 1 e e 2 são formas únicas (funções que mapeiam um vetor para um escalar) de modo que e 1 ( e 1 ) = 1 , e 1 ( e 2 ) = 0 , e 2 ( e 1 ) = 0 , e e 2 ( e 2 ) = 1 . (Nota: O sobrescrito aqui é o índice, não um expoente.) Este sistema de equações pode ser expresso usando a notação de matriz como

Resolver esta equação mostra que a base dual é { e 1 = (2, 0), e 2 = (−1, 1)} . Como e 1 e e 2 são funcionais, eles podem ser reescritos como e 1 ( x , y ) = 2 x e e 2 ( x , y ) = - x + y . Em geral, quando V é R n , se E = ( e 1 , ..., e n ) é uma matriz cujas colunas são os vetores de base e Ê = ( e 1 , ..., e n ) é uma matriz cuja colunas são os vetores de base dupla, então

onde I n é uma matriz identidade de ordem n . A propriedade de biortogonalidade desses dois conjuntos de base permite que qualquer ponto xV seja representado como

mesmo quando os vetores de base não são ortogonais entre si. A rigor, a afirmação acima só faz sentido quando o produto interno e o emparelhamento de dualidade correspondente são introduzidos, conforme descrito abaixo em § Produtos bilineares e espaços duais .

Em particular, R n pode ser interpretado como o espaço de colunas de n números reais , seu espaço dual é tipicamente escrito como o espaço de linhas de n números reais. Tal linha atua em R n como um funcional linear por multiplicação de matriz comum . Isso ocorre porque um funcional mapeia cada n- vetor x em um número real y . Então, vendo este funcional como uma matriz M , e x , y como uma matriz n  × 1 e uma matriz 1 × 1 (trivialmente, um número real), respectivamente, se Mx = y então, por razões de dimensão, M deve ser um 1 Matriz ×  n ; ou seja, M deve ser um vetor linha.

Se V consiste no espaço de vetores geométricos no plano, então as curvas de nível de um elemento de V formam uma família de retas paralelas em V , porque o intervalo é unidimensional, de modo que cada ponto no intervalo é um múltiplo de qualquer elemento diferente de zero. Portanto, um elemento de V pode ser intuitivamente pensado como uma família particular de linhas paralelas cobrindo o plano. Para calcular o valor de um funcional em um determinado vetor, é suficiente determinar em qual das linhas o vetor se encontra. Informalmente, isso "conta" quantas linhas o vetor cruza. Mais geralmente, se V é um espaço vetorial de qualquer dimensão, então os conjuntos de níveis de um funcional linear em V são hiperplanos paralelos em V , e a ação de um funcional linear em um vetor pode ser visualizada em termos desses hiperplanos.

Caso de dimensão infinita

Se V não é finito-dimensional, mas tem uma base e α indexada por um conjunto infinito A , então a mesma construção do caso finito-dimensional produz elementos linearmente independentes e α ( αA ) do espaço dual, mas eles irão não formar uma base.

Por exemplo, o espaço R , cujos elementos são aquelas sequências de números reais que contêm apenas finitamente muitas entradas diferentes de zero, que tem uma base indexada pelos números naturais N : para iN , e i é a sequência que consiste em todos zeros, exceto na i -ésima posição, que é 1 . O espaço dual de R é (isomorfo a) R N , o espaço de todas as sequências de números reais: cada sequência real ( a n ) define uma função onde o elemento ( x n ) de R é enviado ao número

que é uma soma finita porque existem apenas finitamente muitos diferentes de zero x n . A dimensão de R é contavelmente infinita, enquanto R N não tem uma base contável.

Esta observação generaliza para qualquer espaço vetorial de dimensão infinita V sobre qualquer campo F : uma escolha da base { e α  : αA } identifica V com o espaço ( F A ) 0 das funções f  : A → F tal que f α = f ( α ) é diferente de zero para apenas um número finito de αA , onde tal função f é identificada com o vetor

em V (a soma é finita pela suposição de f , e qualquer vV pode ser escrito dessa forma pela definição da base).

O espaço dual de V pode então ser identificado com o espaço F A de todas as funções de A a F : um funcional linear T em V é determinado exclusivamente pelos valores θ α = T ( e α ) que assume com base em V , e qualquer função θ  : AF (com θ ( α ) = θ α ) define um funcional linear T em V por

Novamente, a soma é finita porque f α é diferente de zero para apenas um número finito de α .

O conjunto ( F A ) 0 pode ser identificado (essencialmente por definição) com a soma direta de infinitas cópias de F (visto como um espaço vetorial unidimensional sobre si mesmo) indexado por A , ou seja, há isomorfismos lineares

Por outro lado, F A é (novamente por definição), o produto direto de infinitas cópias de F indexadas por A , e assim a identificação

é um caso especial de resultado geral que relaciona somas diretas (de módulos) a produtos diretos.

Considerando os números cardinais , denotados aqui como valores absolutos , tem-se, portanto, para um F -espaço vetorial V que tem uma base infinita A

Segue-se que, se um espaço vetorial não é finito-dimensional, então o axioma de escolha implica que o espaço dual algébrico é sempre de dimensão maior (como um número cardinal) do que o espaço vetorial original (uma vez que, se duas bases têm o mesmo cardinalidade, os espaços vetoriais estendidos têm a mesma cardinalidade). Isso está em contraste com o caso do espaço dual contínuo, discutido abaixo, que pode ser isomórfico ao espaço vetorial original, mesmo se este último tiver dimensão infinita.

Produtos bilineares e espaços duplos

Se V é finito-dimensional, então V é isomórfico a V . Mas, em geral, não há isomorfismo natural entre esses dois espaços. Qualquer forma bilinear ⟨·, ·⟩ em V dá um mapeamento de V em seu espaço dual via

em que o lado direito é definido como o funcional em V tendo cada wV para v , w . Em outras palavras, a forma bilinear determina um mapeamento linear

definido por

Se a forma bilinear não é degenerada , então isso é um isomorfismo em um subespaço de V . Se V é finito-dimensional, então isso é um isomorfismo para todo V . Por outro lado, qualquer isomorfismo de V a um subespaço de V (resp., Todos de V se V for de dimensão finita) define uma única forma bilinear não degenerada em V por

Assim, existe uma correspondência de um-para-um entre isomorfismos de V para um subespaço de (resp., Todos) V * e formas bilineares não degenerada em V .

Se o espaço vetorial V está sobre o campo complexo , então às vezes é mais natural considerar formas sesquilineares em vez de formas bilineares. Nesse caso, uma dada forma sesquilinear ⟨·, ·⟩ determina um isomorfismo de V com o conjugado complexo do espaço dual

O espaço conjugado V pode ser identificado com o conjunto de todos os funcionais aditivos de valor complexo f  : VC de modo que

Injeção no duplo-dual

Há um naturais homomorphism partir para a dupla dupla , definida por para todos . Em outras palavras, se é o mapa de avaliação definido por , então é definido como o mapa . Este mapa é sempre injetivo ; é um isomorfismo se e somente se for de dimensão finita. Na verdade, o isomorfismo de um espaço vetorial de dimensão finita com seu dual duplo é um exemplo arquetípico de um isomorfismo natural . Os espaços de Hilbert de dimensão infinita não são um contra-exemplo disso, pois são isomórficos aos seus duais duplos contínuos, não aos seus duais algébricos.

Transposição de um mapa linear

Se f  : VW é um mapa linear , então a transposta (ou dual ) f  : W V é definida por

para cada . O funcional resultante em é chamado de pullback de along .

A seguinte identidade é válida para todos e :

onde o colchete [·, ·] à esquerda é o emparelhamento natural de V com seu espaço dual, e o da direita é o emparelhamento natural de W com seu dual. Essa identidade caracteriza o transposto e é formalmente semelhante à definição do adjunto .

A atribuição ff produz um mapa linear injetivo entre o espaço de operadores lineares de V a W e o espaço de operadores lineares de W a V ; este homomorfismo é um isomorfismo se e somente se W for finito-dimensional. Se V = W então o espaço dos mapas lineares é na verdade uma álgebra sob composição de mapas , e a atribuição é então um anti - homomorfismo de álgebras, significando que ( fg ) = g f . Na linguagem da teoria das categorias , tomar o dual dos espaços vetoriais e a transposição dos mapas lineares é, portanto, um functor contravariante da categoria dos espaços vetoriais sobre F para si mesma. É possível identificar ( f ) com f usando a injeção natural no dual duplo.

Se o mapa linear f é representado pela matriz A em relação às duas bases de V e W , então f é representado pela matriz transposta A T em relação às bases duais de W e V , daí o nome. Alternativamente, como f é representado por A atuando à esquerda nos vetores coluna, f é representado pela mesma matriz atuando à direita nos vetores linha. Esses pontos de vista estão relacionados pelo produto interno canônico em R n , que identifica o espaço dos vetores coluna com o espaço dual dos vetores linha.

Espaços quocientes e aniquiladores

Deixe- S ser um subconjunto de V . O aniquilador de S em V * , denotado aqui S 0 , é o conjunto de funcionais lineares fV * tal que [ f , s ] = 0 para todos sS . Ou seja, S 0 consiste em todos os funcionais lineares f  : VF tais que a restrição a S desaparece: f | S = 0 . Dentro de espaços vetoriais de dimensão finita, o aniquilador é dual (isomorfo para) o complemento ortogonal .

O aniquilador de um subconjunto é ele próprio um espaço vetorial. O aniquilador do vetor zero é todo o espaço dual: e o aniquilador de todo o espaço é apenas o covector zero: . Além disso, a atribuição de um aniquilador a um subconjunto de V reverte as inclusões, de modo que se STV , então

Se A e B são dois subconjuntos de V, então

e a igualdade é mantida, desde que V seja de dimensão finita. Se A i é qualquer família de subconjuntos de V indexados por i pertencentes a algum conjunto de índices I , então

Em particular, se A e B são subespaços de V, então

Se V for finito-dimensional e W for um subespaço vetorial , então

após identificar W com sua imagem no segundo espaço dual sob o isomorfismo de dualidade VV ∗∗ . Em particular, a formação do aniquilador é uma conexão de Galois na rede de subconjuntos de um espaço vetorial de dimensão finita.

Se W é um subespaço de V, então o espaço quociente V / W é um espaço vetorial por si só e, portanto, tem um dual. Pelo primeiro teorema do isomorfismo , um funcional f  : VF fatora através de V / W se e somente se W está no núcleo de f . Existe, portanto, um isomorfismo

Como consequência particular, se V é uma soma direta de dois subespaços A e B , então V é uma soma direta de A 0 e B 0 .

Espaço dual contínuo

Ao lidar com espaços vetoriais topológicos , os funcionais lineares contínuos do espaço para o campo base (ou ) são particularmente importantes. Isso dá origem à noção de "espaço dual contínuo" ou "dual topológico", que é um subespaço linear do espaço dual algébrico , denotado por . Para qualquer espaço vetorial normando de dimensão finita ou espaço vetorial topológico, como o espaço n euclidiano , o dual contínuo e o dual algébrico coincidem. No entanto, isso é falso para qualquer espaço normando de dimensão infinita, como mostrado pelo exemplo de mapas lineares descontínuos . No entanto, na teoria dos espaços vetoriais topológicos, os termos "espaço dual contínuo" e "espaço dual topológico" são freqüentemente substituídos por "espaço dual".

Para um espaço vetorial topológico, seu espaço dual contínuo , ou espaço dual topológico , ou apenas espaço dual (no sentido da teoria dos espaços vetoriais topológicos) é definido como o espaço de todos os funcionais lineares contínuos .

Propriedades

Se X é um Hausdorff espaço vectorial topológico (TVS), então o espaço dual contínua de X é idêntica para o espaço dual contínua da conclusão de X .

Topologias no dual

Existe uma construção padrão para a introdução de uma topologia no dual contínuo de um espaço vetorial topológico . Corrija uma coleção de subconjuntos limitados de . Isso dá a topologia de convergência uniforme em conjuntos de ou o que é a mesma coisa, a topologia gerada por seminormas da forma

onde está um funcional linear contínuo ativado e percorre a classe

Isso significa que uma rede de funcionais tende a ser funcional em se e somente se

Normalmente (mas não necessariamente) a classe deve satisfazer as seguintes condições:

  • Cada ponto de pertence a algum conjunto :
  • Cada dois conjuntos e estão contidos em algum conjunto :
  • é fechado sob a operação de multiplicação por escalares:

Se esses requisitos forem atendidos, a topologia correspondente em é Hausdorff e os conjuntos

formar sua base local.

Aqui estão os três casos especiais mais importantes.

  • A topologia forte em é a topologia de convergência uniforme em subconjuntos limitados em (então aqui pode ser escolhida como a classe de todos os subconjuntos limitados em ).

Se for um espaço vetorial normado (por exemplo, um espaço de Banach ou um espaço de Hilbert ), então a topologia forte em é normada (na verdade, um espaço de Banach se o campo de escalares estiver completo), com a norma

  • A topologia estereótipo on é a topologia de convergência uniforme em conjuntos totalmente delimitadas em (por isso aqui pode ser escolhida como a classe de todos os subconjuntos totalmente delimitadas em ).
  • A topologia fraca em é a topologia de convergência uniforme em subconjuntos finitos em (então aqui pode ser escolhida como a classe de todos os subconjuntos finitos em ).

Cada uma dessas três opções de topologia leva a uma variante da propriedade de reflexividade para espaços vetoriais topológicos:

  • Se for dotado de topologia forte , então a noção correspondente de reflexividade é a padrão: os espaços reflexivos neste sentido são chamados apenas de reflexivos .
  • Se for dotado da topologia dual estereotipada, então a reflexividade correspondente é apresentada na teoria dos espaços estereotipados : os espaços reflexivos neste sentido são chamados de estereótipo .
  • Se for dotado da topologia fraca , então a reflexividade correspondente é apresentada na teoria dos pares duais : os espaços reflexivos neste sentido são espaços localmente convexos arbitrários (Hausdorff) com a topologia fraca.

Exemplos

Seja 1 < p <∞ um número real e considere o espaço de Banach  p de todas as sequências a = ( a n ) para as quais

Defina o número q por 1 / p + 1 / q = 1 . Então o dual contínuo de p é naturalmente identificado com q : dado um elemento , o elemento correspondente de q é a sequência onde denota a sequência cujo n -ésimo termo é 1 e todos os outros são zero. Por outro lado, dado um elemento a = ( a n ) ∈ q , o funcional linear contínuo correspondente em p é definido por

para todo b = ( b n ) ∈ p (ver desigualdade de Hölder ).

De maneira semelhante, o dual contínuo de  1 é naturalmente identificado com  ∞ (o espaço das sequências limitadas). Além disso, os duais contínuos dos espaços de Banach c (consistindo em todas as sequências convergentes , com a norma supremo ) e c 0 (as sequências convergindo para zero) são ambos naturalmente identificados com  1 .

Pelo teorema da representação de Riesz , o dual contínuo de um espaço de Hilbert é novamente um espaço de Hilbert que é anti-isomorfo ao espaço original. Isso dá origem à notação bra-ket usada pelos físicos na formulação matemática da mecânica quântica .

Pelo teorema da representação de Riesz-Markov-Kakutani , o dual contínuo de certos espaços de funções contínuas pode ser descrito usando medidas.

Transposição de um mapa linear contínuo

Se T  : V → W é um mapa linear contínuo entre dois espaços vetoriais topológicos, então a transposta (contínua) T ′  : W ′ → V ′ é definida pela mesma fórmula de antes:

O T funcional resultante ( φ ) está em V ′ . A atribuição T → T ′ produz um mapa linear entre o espaço de mapas lineares contínuos de V a W e o espaço de mapas lineares de W ′ a V ′ . Quando T e U são mapas lineares contínuos composíveis, então

Quando V e W são espaços normados, a norma da transposta em L ( W ′ , V ′ ) é igual à de T em L ( V , W ) . Várias propriedades de transposição dependem do teorema de Hahn-Banach . Por exemplo, o mapa linear limitado T tem faixa densa se e somente se a transposta T ′ é injetiva.

Quando T é um mapa linear compacto entre dois espaços de Banach V e W , então a transposta T ′ é compacta. Isso pode ser provado usando o teorema de Arzelà-Ascoli .

Quando V é um espaço de Hilbert, existe um isomorfismo antilinear i V de V em seu dual contínuo V ′ . Para cada mapa linear limitado T em V , os operadores transpostos e adjuntos estão ligados por

Quando T é um mapa linear contínuo entre dois espaços vetoriais topológicos V e W , então a transposta T ′ é contínua quando W ′ e V ′ estão equipados com topologias "compatíveis": por exemplo, quando para X = V e X = W , duais tanto X ' tem o forte topologia β ( X' , X ) de convergência uniforme em conjuntos limitados de X , ou ambos têm a debi- * topologia σ ( X ' , X ) de convergência pontual em  X . A transposta T ′ é contínua de β ( W ′ , W ) para β ( V ′ , V ) , ou de σ ( W ′ , W ) para σ ( V ′ , V ) .

Aniquiladores

Suponha que W é um subespaço linear fechado de um espaço normado  V , e considere o aniquilador de W em V ′ ,

Então, o dual do quociente V  /  W pode ser identificado com W , e o dual de W pode ser identificado com o quociente V ′  /  W . De fato, deixe P denotar a sobreposição canônica de V sobre o quociente V  /  W ; então, a transposta P ′ é um isomorfismo isométrico de ( V  /  W  ) ′ para V ′ , com intervalo igual a W . Se j denota o mapa de injeção de W em V , então o núcleo da transposta j ′ é o aniquilador de W :

e segue do teorema de Hahn-Banach que j ′ induz um isomorfismo isométrico V ′  /  W W ′ .

Outras propriedades

Se o dual de um espaço V normalizado é separável , então o próprio espaço V também o é. O inverso não é verdadeiro: por exemplo, o espaço  1 é separável, mas seu dual  ∞ não.

Duplo duplo

Esta é uma transformação natural da adição de vetor de um espaço vetorial para seu dual duplo. X 1 , x 2 denota o par ordenado de dois vectores. A adição + envia x 1 e x 2 para x 1 + x 2 . A adição + ′ induzida pela transformação pode ser definida como para qualquer no espaço dual.

Em analogia com o caso do duplo dual algébrico, há sempre um operador linear contínuo naturalmente definido Ψ: VV ′ ′ de um espaço normado V em seu duplo dual contínuo V ′ ′ , definido por

Como uma consequência do teorema Hahn-Banach , este mapa é, na realidade um isometría , significando ‖ Ψ ( x ) = ‖ ‖ x para todos os xV . Espaços normados para os quais o mapa Ψ é uma bijeção são chamados de reflexivos .

Quando V é um espaço vetorial topológico então Ψ ( x ) ainda pode ser definido pela mesma fórmula, para todo xV , porém várias dificuldades surgem. Primeiro, quando V não é localmente convexo , o dual contínuo pode ser igual a {0} e o mapa Ψ trivial. Porém, se V é Hausdorff e localmente convexo, a aplicação Ψ é injetiva de V para o dual algébrico V ′ do dual contínuo, novamente como conseqüência do teorema de Hahn – Banach.

Em segundo lugar, mesmo no cenário localmente convexo, várias topologias de espaço vetorial natural podem ser definidas no dual contínuo V ′ , de modo que o dual duplo contínuo V ′ ′ não seja exclusivamente definido como um conjunto. Dizer que Ψ mapeia de V a V ′ ′ , ou em outras palavras, que Ψ ( x ) é contínuo em V ′ para todo xV , é um requisito mínimo razoável na topologia de V ′ , ou seja, que os mapeamentos de avaliação

ser contínuo para a topologia escolhida em V ′ . Além disso, ainda há uma escolha de uma topologia em V ′ ′ , e a continuidade de Ψ depende dessa escolha. Como consequência, definir reflexividade nesta estrutura é mais envolvente do que no caso normal.

Veja também

Notas

Referências

Bibliografia

links externos