Teoria do Dínamo - Dynamo theory

Ilustração do mecanismo dínamo que cria o campo magnético da Terra: correntes de convecção de metal fluido no núcleo externo da Terra, impulsionadas pelo fluxo de calor do núcleo interno, organizadas em rolos pela força de Coriolis , criam correntes elétricas circulantes, que geram o campo magnético .

Na física , a teoria do dínamo propõe um mecanismo pelo qual um corpo celeste como a Terra ou uma estrela gera um campo magnético . A teoria do dínamo descreve o processo pelo qual um fluido em rotação, convecção e condução elétrica pode manter um campo magnético em escalas de tempo astronômicas . Acredita-se que um dínamo seja a fonte do campo magnético da Terra e dos campos magnéticos de Mercúrio e dos planetas Júpiter .

História da teoria

Quando William Gilbert publicou de Magnete em 1600, concluiu que a Terra é magnética e propôs a primeira hipótese para a origem desse magnetismo: magnetismo permanente como o encontrado no ímã . Em 1919, Joseph Larmor propôs que um dínamo poderia estar gerando o campo. No entanto, mesmo depois de apresentar sua hipótese, alguns cientistas proeminentes apresentaram explicações alternativas. Einstein acreditava que poderia haver uma assimetria entre as cargas do elétron e do próton, de modo que o campo magnético da Terra seria produzido por toda a Terra. O Prêmio Nobel vencedor Patrick Blackett fez uma série de experiências que procuram uma relação fundamental entre o momento angular e momento magnético , mas não encontrou nenhuma.

Walter M. Elsasser , considerado um "pai" da teoria do dínamo atualmente aceita como uma explicação do magnetismo da Terra, propôs que este campo magnético resultava de correntes elétricas induzidas no núcleo externo fluido da Terra. Ele revelou a história do campo magnético da Terra por meio do pioneirismo no estudo da orientação magnética dos minerais nas rochas.

A fim de manter o campo magnético contra o decaimento ôhmico (que ocorreria para o campo dipolo em 20.000 anos), o núcleo externo deve estar em convecção. A convecção é provavelmente uma combinação de convecção térmica e composicional. O manto controla a taxa na qual o calor é extraído do núcleo. As fontes de calor incluem energia gravitacional liberada pela compressão do núcleo, energia gravitacional liberada pela rejeição de elementos leves (provavelmente enxofre , oxigênio ou silício ) no limite do núcleo interno à medida que cresce, calor latente de cristalização no limite do núcleo interno, e radioatividade de potássio , urânio e tório .

No início do século 21, a modelagem numérica do campo magnético da Terra não foi demonstrada com sucesso. Os modelos iniciais são focados na geração de campo por convecção no núcleo externo fluido do planeta. Foi possível mostrar a geração de um campo forte, semelhante ao da Terra, quando o modelo assumiu uma temperatura uniforme da superfície do núcleo e viscosidades excepcionalmente altas para o fluido do núcleo. Computações que incorporaram valores de parâmetros mais realistas produziram campos magnéticos que eram menos semelhantes à Terra, mas indicaram que os refinamentos do modelo podem levar a um modelo analítico preciso. Pequenas variações na temperatura da superfície central, na faixa de alguns milikelvins, resultam em aumentos significativos no fluxo convectivo e produzem campos magnéticos mais realistas.

Definição formal

A teoria do dínamo descreve o processo pelo qual um fluido em rotação, convecção e eletricamente conduzindo atua para manter um campo magnético. Esta teoria é usada para explicar a presença de campos magnéticos de vida anormalmente longa em corpos astrofísicos. O fluido condutor no geodinamo é o ferro líquido no núcleo externo, e no dínamo solar é o gás ionizado no taquoclino . A teoria do Dínamo dos corpos astrofísicos usa equações magneto-hidrodinâmicas para investigar como o fluido pode regenerar continuamente o campo magnético.

Já se acreditava que o dipolo , que compreende grande parte do campo magnético da Terra e está desalinhado ao longo do eixo de rotação em 11,3 graus, era causado pela magnetização permanente dos materiais na Terra. Isso significa que a teoria do dínamo foi originalmente usada para explicar o campo magnético do Sol em sua relação com o da Terra. No entanto, essa hipótese, que foi proposta inicialmente por Joseph Larmor em 1919, foi modificada devido a extensos estudos de variação secular magnética , paleomagnetismo (incluindo reversões de polaridade ), sismologia e abundância de elementos do sistema solar. Além disso, a aplicação das teorias de Carl Friedrich Gauss a observações magnéticas mostrou que o campo magnético da Terra tinha uma origem interna, em vez de externa.

Existem três requisitos para o funcionamento de um dínamo:

Um meio fluido eletricamente condutor
Energia cinética fornecida pela rotação planetária
Uma fonte de energia interna para impulsionar os movimentos convectivos dentro do fluido.

No caso da Terra, o campo magnético é induzido e mantido constantemente pela convecção do ferro líquido no núcleo externo. Um requisito para a indução de campo é um fluido em rotação. A rotação no núcleo externo é fornecida pelo efeito Coriolis causado pela rotação da Terra. A força de Coriolis tende a organizar movimentos fluidos e correntes elétricas em colunas (veja também colunas de Taylor ) alinhadas com o eixo de rotação. A indução ou criação de campo magnético é descrita pela equação de indução :

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ eta \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} + \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B})}

onde u é a velocidade, B é o campo magnético, t é o tempo e é a difusividade magnética com condutividade elétrica e permeabilidade . A proporção do segundo termo no lado direito para o primeiro termo dá o número de Reynolds magnético , uma proporção adimensional de advecção do campo magnético para difusão. ${\ displaystyle \ eta = 1 / (\ sigma \ mu)}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ mu}$

Aquecimento das marés suportando um dínamo

As forças de maré entre os corpos em órbita celestial causam atrito que aquece seu interior. Isso é conhecido como aquecimento das marés e ajuda a manter o interior em estado líquido. Um interior líquido que pode conduzir eletricidade é necessário para produzir um dínamo. Enceladus de Saturno e Io de Júpiter têm aquecimento de maré suficiente para liquidificar seus núcleos internos, mas eles podem não criar um dínamo porque não podem conduzir eletricidade. Mercúrio, apesar de seu pequeno tamanho, possui um campo magnético, pois possui um núcleo líquido condutor gerado por sua composição de ferro e atrito resultante de sua órbita altamente elíptica. É teorizado que a Lua já teve um campo magnético, com base em evidências de rochas lunares magnetizadas, devido à sua curta distância mais próxima da Terra, criando o aquecimento das marés. Uma órbita e rotação de um planeta ajuda a fornecer um núcleo líquido e suplementa a energia cinética que apóia a ação do dínamo.

Teoria cinemática do dínamo

Na teoria cinemática do dínamo, o campo de velocidade é prescrito , em vez de ser uma variável dinâmica: o modelo não prevê a distorção do fluxo em resposta ao campo magnético. Este método não pode fornecer o comportamento variável de tempo de um dínamo caótico totalmente não linear, mas pode ser usado para estudar como a força do campo magnético varia com a estrutura e velocidade do fluxo.

Usando as equações de Maxwell simultaneamente com a curva da lei de Ohm , pode-se derivar o que é basicamente uma equação de autovalor linear para campos magnéticos ( $B$ ), o que pode ser feito assumindo que o campo magnético é independente do campo de velocidade. Chega-se a um número Reynolds magnético crítico , acima do qual a intensidade do fluxo é suficiente para amplificar o campo magnético imposto, e abaixo do qual o campo magnético se dissipa.

Medida prática de possíveis dínamos

A característica mais funcional da teoria cinemática do dínamo é que ela pode ser usada para testar se um campo de velocidade é ou não capaz de ação do dínamo. Ao aplicar experimentalmente um determinado campo de velocidade a um pequeno campo magnético, pode-se observar se o campo magnético tende a crescer (ou não) em resposta ao fluxo aplicado. Se o campo magnético crescer, então o sistema é capaz de ação dínamo ou é um dínamo, mas se o campo magnético não crescer, então ele é simplesmente referido como “não é um dínamo”.

Um método análogo, denominado paradigma da membrana, é uma maneira de observar os buracos negros que permite que o material próximo às suas superfícies seja expresso na linguagem da teoria do dínamo.

Quebra espontânea de uma supersimetria topológica

O dínamo cinemático também pode ser visto como o fenômeno da quebra espontânea da supersimetria topológica da equação diferencial estocástica associada relacionada ao fluxo da matéria de fundo. Dentro da teoria supersimétrica estocástica , esta supersimetria é uma propriedade intrínseca de todas as equações diferenciais estocásticas , sua interpretação é que o espaço de fase do modelo preserva a continuidade via fluxos de tempo contínuos. Quando a continuidade desse fluxo é interrompida espontaneamente, o sistema está no estado estocástico de caos determinístico . Em outras palavras, o dínamo cinemático surge devido ao fluxo caótico na matéria de fundo subjacente.

Teoria do dínamo não linear

A aproximação cinemática torna-se inválida quando o campo magnético se torna forte o suficiente para afetar os movimentos do fluido. Nesse caso, o campo de velocidade é afetado pela força de Lorentz e, portanto, a equação de indução não é mais linear no campo magnético. Na maioria dos casos, isso leva à extinção da amplitude do dínamo. Esses dínamos às vezes também são chamados de dínamos hidromagnéticos . Praticamente todos os dínamos em astrofísica e geofísica são dínamos hidromagnéticos.

A ideia principal da teoria é que qualquer pequeno campo magnético existente no núcleo externo cria correntes no fluido em movimento devido à força de Lorenz. Essas correntes criam um campo magnético adicional devido à lei de Ampère . Com o movimento do fluido, as correntes são transportadas de forma que o campo magnético fique mais forte (desde que seja negativo). Assim, um campo magnético "semente" pode ficar cada vez mais forte até atingir algum valor relacionado às forças não magnéticas existentes. ${\ displaystyle \; \ mathbf {u} \ cdot (\ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}) \;}$

Modelos numéricos são usados para simular dínamos totalmente não lineares. As seguintes equações são usadas:

A equação de indução, apresentada acima.
Equações de Maxwell para campo elétrico insignificante:

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

A equação de continuidade para conservação de massa , para a qual a aproximação de Boussinesq é frequentemente usada:

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0,}

A equação de Navier-Stokes para a conservação do momento , novamente na mesma aproximação, com a força magnética e a força gravitacional como forças externas:

{\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} = - {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ nabla p + \ nu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u } + \ rho '\ mathbf {g} +2 \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {u} + \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {R} + {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B} ~,}

onde é a viscosidade cinemática , é a densidade média e é a perturbação da densidade relativa que fornece flutuabilidade (para convecção térmica onde é o coeficiente de expansão térmica ), é a taxa de rotação da Terra e é a densidade da corrente elétrica.

{\ displaystyle \, \ nu \,}

{\ displaystyle \, \ rho _ {0} \,}

{\ displaystyle \ rho '}

{\ displaystyle \; \ rho '= \ alpha \ Delta T \;}

{\ displaystyle \, \ alpha \,}

{\ displaystyle \, \ Omega \,}

{\ displaystyle \, \ mathbf {J} \,}

Uma equação de transporte, geralmente de calor (às vezes de concentração de elemento leve):

{\ displaystyle {\ frac {\, \ partial T \,} {\ partial t}} = \ kappa \ nabla ^ {2} T + \ epsilon}

onde

T

é a temperatura, é a difusividade térmica com

k

condutividade térmica, capacidade de calor e densidade e é uma fonte de calor opcional. Freqüentemente, a pressão é a pressão dinâmica, com a pressão hidrostática e o potencial centrípeto removidos.

{\ displaystyle \; \ kappa = k / \ rho c_ {p} \;}

{\ displaystyle \, c_ {p} \,}

{\ displaystyle \ rho}

{\ displaystyle \, \ epsilon \,}

Essas equações são então não dimensionais, introduzindo os parâmetros não dimensionais,

{\ displaystyle R _ {\ mathsf {a}} = {\ frac {\, g \ alpha TD ^ {3} \,} {\ nu \ kappa}} \;, \ quad E = {\ frac {\ nu} {\, ​​\ Omega D ^ {2} \,}} \;, \ quad P _ {\ mathsf {r}} = {\ frac {\, \ nu \,} {\ kappa}} \;, \ quad P_ {\ mathsf {m}} = {\ frac {\, \ nu \,} {\ eta}}}

onde $R$ _a é o número de Rayleigh , $E$ o número de Ekman , $P$ _r e $P$ _m o número de Prandtl e o número magnético de Prandtl . A escala do campo magnético é geralmente em unidades numéricas de Elsasser ${\ displaystyle B = (\ rho \ Omega / \ sigma) ^ {\ frac {1} {2}} \ ;.}$

Conversão de energia entre energia magnética e cinemática

O produto escalar da forma acima da equação de Navier-Stokes com dá a taxa de aumento da densidade de energia cinética,, no lado esquerdo. O último termo do lado direito é então , a contribuição local para a energia cinética devido à força de Lorentz . ${\ displaystyle \; \ rho _ {0} \ mathbf {u} \;}$ ${\ displaystyle \; {\ tfrac {1} {2}} \ rho _ {0} u ^ {2} c \;}$ ${\ displaystyle \; \ mathbf {u} \ cdot (\ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}) \;}$

O produto escalar da equação de indução com dá a taxa de aumento da densidade de energia magnética,, no lado esquerdo. O último termo do lado direito é então. Como a equação é integrada ao volume, este termo é equivalente até um termo de fronteira (e com o duplo uso da identidade escalar de produto triplo ) a (onde uma das equações de Maxwell foi usada ) Esta é a contribuição local para a energia magnética devido ao movimento do fluido. ${\ displaystyle (1 / \ mu _ {0}) \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle \; {\ tfrac {1} {2}} \ mu _ {0} B ^ {2} \;}$ ${\ displaystyle (1 / \ mu _ {0}) \ mathbf {B} \ cdot \ left (\ nabla \ times \ left (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} \ right) \ right) \; .}$ ${\ displaystyle \; - \ mathbf {u} \ cdot \ left ({\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (\ nabla \ times \ mathbf {B} \ right) \ times \ mathbf {B} \ right) = - \ mathbf {u} \ cdot \ left (\ mathbf {J} \ times \ mathbf {B} \ right) ~}$

Portanto, o termo é a taxa de transformação da energia cinética em energia magnética. Isso não pode ser negativo, pelo menos em parte do volume, para que o dínamo produza o campo magnético. ${\ displaystyle \; - \ mathbf {u} \ cdot (\ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}) \;}$

No diagrama acima, não está claro por que esse termo deve ser positivo. Um argumento simples pode ser baseado na consideração dos efeitos líquidos. Para criar o campo magnético, a corrente elétrica líquida deve envolver o eixo de rotação do planeta. Nesse caso, para que o termo seja positivo, o fluxo líquido de matéria condutora deve ser em direção ao eixo de rotação. O diagrama mostra apenas um fluxo líquido dos pólos para o equador. No entanto, a conservação de massa requer um fluxo adicional do equador em direção aos pólos. Se esse fluxo fosse ao longo do eixo de rotação, isso implica que a circulação seria completada por um fluxo daqueles mostrados em direção ao eixo de rotação, produzindo o efeito desejado.

Ordem de magnitude do campo magnético criado pelo dínamo da Terra

A fórmula acima para a taxa de conversão de energia cinética em energia magnética, é equivalente a uma taxa de trabalho feito por uma força de na matéria do núcleo externo, cuja velocidade é . Este trabalho é o resultado de forças não magnéticas atuando no fluido. ${\ displaystyle \; \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B} \;}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

Destas, a força gravitacional e a força centrífuga são conservadoras e, portanto, não têm nenhuma contribuição geral para o movimento do fluido em circuitos fechados. O número de Ekman (definido acima), que é a razão entre as duas forças restantes, ou seja, a viscosidade e a força de Coriolis, é muito baixo dentro do núcleo externo da Terra, porque sua viscosidade é baixa (1,2-1,5 × ^10-2 pascal-segundo ) devido à sua liquidez.

Assim, a principal contribuição média ao tempo para o trabalho é da força de Coriolis, cujo tamanho é embora esta quantidade e estão relacionados apenas indiretamente e não são em geral iguais localmente (assim, eles afetam uns aos outros, mas não no mesmo lugar e tempo). ${\ displaystyle \; - 2 \ rho \, \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {u} \ ;,}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}}$

A densidade de corrente $J$ é o resultado do campo magnético de acordo com a lei de Ohm . Novamente, devido ao movimento da matéria e ao fluxo da corrente, este não é necessariamente o campo no mesmo lugar e tempo. No entanto, essas relações ainda podem ser usadas para deduzir ordens de magnitude das quantidades em questão.

Em termos de ordem de magnitude, e , dando ou: ${\ displaystyle \; J \, B \ sim \ rho \, \ Omega \, u \;}$ ${\ displaystyle \; J \ sim \ sigma uB \;}$ ${\ displaystyle \; \ sigma \, u \, B ^ {2} \ sim \ rho \, \ Omega \, u \ ;,}$

{\ displaystyle B \ sim {\ sqrt {{\ frac {\, \ rho \, \ Omega \,} {\ sigma}} \;}}}

A proporção exata entre os dois lados é a raiz quadrada do número de Elsasser .

Observe que a direção do campo magnético não pode ser inferida a partir desta aproximação (pelo menos não seu sinal), pois parece quadrado e, de fato, às vezes é invertido , embora em geral esteja em um eixo semelhante ao de . ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega}}$

Para o núcleo externo da terra, $ρ$ é aproximadamente 10 ⁴ kg / m ³ , $Ω$ = 2 $π$ / dia = 7,3 × 10 ⁻⁵ / segundo e $σ$ é aproximadamente 10 ⁷ Ω ⁻¹ m ⁻¹ . Isso dá 2,7 × 10 ⁻⁴ Tesla .

O campo magnético de um dipolo magnético tem uma dependência cúbica inversa na distância, então sua ordem de magnitude na superfície da terra pode ser aproximada multiplicando o resultado acima com {{{1}}} dando 2,5 × 10 ⁻⁵ Tesla, não muito longe de ao valor medido de 3 × 10 ⁻⁵ Tesla no equador .

Modelos numéricos

Uma representação visual do modelo de Glatzmaier antes da reversão do dipolo

Em termos gerais, os modelos do geodinamo tentam produzir campos magnéticos consistentes com os dados observados, dadas certas condições e equações, conforme mencionado nas seções acima. Implementar as equações magneto - hidrodinâmicas com sucesso foi de particular importância porque levaram os modelos de dínamo à autoconsistência. Embora os modelos geodinâmico sejam especialmente prevalentes, os modelos dínamo não se restringem necessariamente ao geodinamo; modelos de dínamo solar e geral também são de interesse. O estudo de modelos de dínamo tem utilidade no campo da geofísica, pois isso pode identificar como vários mecanismos formam campos magnéticos como os produzidos por corpos astrofísicos como a Terra e como eles fazem com que os campos magnéticos exibam certas características, como inversões de pólos.

As equações usadas em modelos numéricos de dínamo são altamente complexas. Durante décadas, os teóricos ficaram confinados a modelos de dínamo cinemáticos bidimensionais descritos acima, nos quais o movimento do fluido é escolhido com antecedência e o efeito no campo magnético calculado. A progressão de modelos lineares para não lineares tridimensionais de dínamo foi em grande parte dificultada pela busca de soluções para equações magneto-hidrodinâmicas, que eliminam a necessidade de muitas das suposições feitas em modelos cinemáticos e permitem a autoconsistência.

Uma representação visual do modelo de Glatzmaier durante a reversão do dipolo

Os primeiros modelos de dínamo autoconsistentes , que determinam tanto os movimentos dos fluidos quanto o campo magnético, foram desenvolvidos por dois grupos em 1995, um no Japão e outro nos Estados Unidos. Este último foi feito como um modelo no que diz respeito ao geodinamo e recebeu atenção significativa porque reproduziu com sucesso algumas das características do campo terrestre. Após essa descoberta, houve um grande aumento no desenvolvimento de modelos de dínamo tridimensionais razoáveis.

Embora agora existam muitos modelos autoconsistentes, há diferenças significativas entre os modelos, tanto nos resultados que produzem quanto na maneira como foram desenvolvidos. Dada a complexidade de desenvolver um modelo geodinâmico, existem muitos lugares onde podem ocorrer discrepâncias, como ao fazer suposições envolvendo os mecanismos que fornecem energia para o dínamo, ao escolher valores para parâmetros usados em equações ou ao normalizar equações. Apesar das muitas diferenças que podem ocorrer, a maioria dos modelos compartilham características como dipolos axiais claros. Em muitos desses modelos, fenômenos como variação secular e reversões de polaridade geomagnética também foram recriados com sucesso.

Observações

Uma representação visual do modelo de Glatzmaier após a reversão do dipolo

Muitas observações podem ser feitas a partir de modelos de dínamo. Os modelos podem ser usados para estimar como os campos magnéticos variam com o tempo e podem ser comparados aos dados paleomagnéticos observados para encontrar semelhanças entre o modelo e a Terra. Devido à incerteza das observações paleomagnéticas, no entanto, as comparações podem não ser inteiramente válidas ou úteis. Modelos geodinâmicos simplificados mostraram relações entre o número do dínamo (determinado pela variação nas taxas de rotação no núcleo externo e convecção assimétrica de espelho (por exemplo, quando a convecção favorece uma direção no norte e a outra no sul)) e reversões do pólo magnético também como encontrou semelhanças entre o geodinamo e o dínamo do sol. Em muitos modelos, parece que os campos magnéticos têm magnitudes um tanto aleatórias que seguem uma tendência normal de média a zero. Além dessas observações, observações gerais sobre os mecanismos que alimentam o geodinamo podem ser feitas com base na precisão com que o modelo reflete os dados reais coletados da Terra.

Modelagem moderna

A complexidade da modelagem do dínamo é tão grande que os modelos do geodinamo são limitados pelo poder atual dos supercomputadores , particularmente porque calcular o número de Ekman e Rayleigh do núcleo externo é extremamente difícil e requer um grande número de cálculos.

Muitas melhorias foram propostas na modelagem de dínamo desde a descoberta autoconsistente em 1995. Uma sugestão para estudar as mudanças complexas do campo magnético é aplicar métodos espectrais para simplificar os cálculos. Em última análise, até que melhorias consideráveis no poder do computador sejam feitas, os métodos para computar modelos de dínamo realistas terão que ser mais eficientes, portanto, fazer melhorias nos métodos para computar o modelo é de grande importância para o avanço da modelagem numérica de dínamo.

Veja também

Referências

Demorest, Paul (21 de maio de 2001). "Teoria do Dínamo e o campo magnético da Terra (trabalho de conclusão de curso)" (PDF) . Arquivado do original (PDF) em 21 de fevereiro de 2007 . Página visitada em 14 de outubro de 2011 .
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Merrill, Ronald T .; McElhinny, Michael W .; McFadden, Phillip L. (1996). O campo magnético da Terra: Paleomagnetismo, o núcleo e o manto profundo . Academic Press . ISBN 978-0-12-491246-5.
Stern, David P. "Capítulo 12: O processo do dínamo" . O Grande Ímã, a Terra . Página visitada em 14 de outubro de 2011 .
Stern, David P. "Capítulo 13: Dínamo no Centro da Terra" . O Grande Ímã, a Terra . Página visitada em 14 de outubro de 2011 .

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