Na teoria de espalhamento , uma parte da física matemática , a série Dyson , formulada por Freeman Dyson , é uma expansão perturbativa do operador de evolução no tempo na imagem de interação . Cada termo pode ser representado por uma soma de diagramas de Feynman .
Esta série diverge assintoticamente , mas na eletrodinâmica quântica (QED) na segunda ordem, a diferença dos dados experimentais é da ordem de 10-10 . Essa estreita concordância se mantém porque a constante de acoplamento (também conhecida como constante de estrutura fina ) de QED é muito menor que 1.
Observe que neste artigo as unidades de Planck são usadas, de modo que ħ = 1 (onde ħ é a constante de Planck reduzida ).
O operador Dyson
Suponhamos que temos um hamiltoniano H , que dividida em uma livre parte H 0 e uma parte que interage V , ou seja, H = H 0 + V .
Trabalharemos na imagem de interação aqui e assumiremos unidades tais que a constante de Planck reduzida ħ seja 1.
Na imagem de interação, o operador de evolução U definido pela equação
Ψ
(
t
)
=
você
(
t
,
t
0
)
Ψ
(
t
0
)
{\ displaystyle \ Psi (t) = U (t, t_ {0}) \ Psi (t_ {0})}
é chamado de operador Dyson .
Nós temos
você
(
t
,
t
)
=
eu
,
{\ displaystyle U (t, t) = I,}
você
(
t
,
t
0
)
=
você
(
t
,
t
1
)
você
(
t
1
,
t
0
)
,
{\ displaystyle U (t, t_ {0}) = U (t, t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0}),}
você
-
1
(
t
,
t
0
)
=
você
(
t
0
,
t
)
,
{\ displaystyle U ^ {- 1} (t, t_ {0}) = U (t_ {0}, t),}
e, portanto, a equação de Tomonaga-Schwinger ,
eu
d
d
t
você
(
t
,
t
0
)
Ψ
(
t
0
)
=
V
(
t
)
você
(
t
,
t
0
)
Ψ
(
t
0
)
.
{\ displaystyle i {\ frac {d} {dt}} U (t, t_ {0}) \ Psi (t_ {0}) = V (t) U (t, t_ {0}) \ Psi (t_ { 0}).}
Consequentemente,
você
(
t
,
t
0
)
=
1
-
eu
∫
t
0
t
d
t
1
V
(
t
1
)
você
(
t
1
,
t
0
)
.
{\ displaystyle U (t, t_ {0}) = 1-i \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {dt_ {1} \ V (t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0})}.}
Derivação da série Dyson
Isso leva à seguinte série de Neumann :
você
(
t
,
t
0
)
=
1
-
eu
∫
t
0
t
d
t
1
V
(
t
1
)
+
(
-
eu
)
2
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
1
d
t
2
V
(
t
1
)
V
(
t
2
)
+
⋯
+
(
-
eu
)
n
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
1
d
t
2
⋯
∫
t
0
t
n
-
1
d
t
n
V
(
t
1
)
V
(
t
2
)
⋯
V
(
t
n
)
+
⋯
.
{\ displaystyle {\ begin {alinhados} U (t, t_ {0}) = {} & 1-i \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} V (t_ {1}) + ( -i) ^ {2} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \, dt_ {2} V (t_ { 1}) V (t_ {2}) + \ cdots \\ & {} + (- i) ^ {n} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ { 0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ cdots \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {n-1}} dt_ {n} V (t_ {1}) V (t_ {2 }) \ cdots V (t_ {n}) + \ cdots. \ end {alinhado}}}
Aqui temos , por isso podemos dizer que os campos são ordenados em tempo , e é útil para introduzir um operador chamado time-encomendar operador , definindo
t
1
>
t
2
>
⋯
>
t
n
{\ displaystyle t_ {1}> t_ {2}> \ cdots> t_ {n}}
T
{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}
você
n
(
t
,
t
0
)
=
(
-
eu
)
n
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
1
d
t
2
⋯
∫
t
0
t
n
-
1
d
t
n
T
V
(
t
1
)
V
(
t
2
)
⋯
V
(
t
n
)
.
{\ displaystyle U_ {n} (t, t_ {0}) = (- i) ^ {n} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ cdots \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {n-1}} dt_ {n} \, {\ mathcal {T}} V (t_ {1} ) V (t_ {2}) \ cdots V (t_ {n}).}
Agora podemos tentar tornar essa integração mais simples. Na verdade, pelo seguinte exemplo:
S
n
=
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
1
d
t
2
⋯
∫
t
0
t
n
-
1
d
t
n
K
(
t
1
,
t
2
,
…
,
t
n
)
.
{\ displaystyle S_ {n} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ cdots \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {n-1}} dt_ {n} \, K (t_ {1}, t_ {2}, \ pontos, t_ {n}).}
Suponha que K seja simétrico em seus argumentos e defina (veja os limites de integração):
eu
n
=
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
d
t
2
⋯
∫
t
0
t
d
t
n
K
(
t
1
,
t
2
,
…
,
t
n
)
.
{\ displaystyle I_ {n} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {2} \ cdots \ int _ {t_ { 0}} ^ {t} dt_ {n} K (t_ {1}, t_ {2}, \ pontos, t_ {n}).}
A região de integração pode ser dividido em sub-regiões definidas por , etc. Devido à simetria de K , o integrante de cada uma destas sub-regiões, é a mesma e igual a , por definição. Então é verdade que
n
!
{\ displaystyle n!}
t
1
>
t
2
>
⋯
>
t
n
{\ displaystyle t_ {1}> t_ {2}> \ cdots> t_ {n}}
t
2
>
t
1
>
⋯
>
t
n
{\ displaystyle t_ {2}> t_ {1}> \ cdots> t_ {n}}
S
n
{\ displaystyle S_ {n}}
S
n
=
1
n
!
eu
n
.
{\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {1} {n!}} I_ {n}.}
Voltando ao nosso integral anterior, a seguinte identidade é válida
você
n
=
(
-
eu
)
n
n
!
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
d
t
2
⋯
∫
t
0
t
d
t
n
T
V
(
t
1
)
V
(
t
2
)
⋯
V
(
t
n
)
.
{\ displaystyle U_ {n} = {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0 }} ^ {t} dt_ {2} \ cdots \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {n} \, {\ mathcal {T}} V (t_ {1}) V (t_ {2 }) \ cdots V (t_ {n}).}
Resumindo todos os termos, obtemos o teorema de Dyson para a série de Dyson :
você
(
t
,
t
0
)
=
∑
n
=
0
∞
você
n
(
t
,
t
0
)
=
T
e
-
eu
∫
t
0
t
d
τ
V
(
τ
)
.
{\ displaystyle U (t, t_ {0}) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} U_ {n} (t, t_ {0}) = {\ mathcal {T}} e ^ {- i \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {d \ tau V (\ tau)}}.}
Funções de onda
Então, voltando para a função de onda para t > t 0 ,
|
Ψ
(
t
)
⟩
=
∑
n
=
0
∞
(
-
eu
)
n
n
!
(
∏
k
=
1
n
∫
t
0
t
d
t
k
)
T
{
∏
k
=
1
n
e
eu
H
0
t
k
V
e
-
eu
H
0
t
k
}
|
Ψ
(
t
0
)
⟩
.
{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {(- i) ^ {n} \ over n!} \ left (\ prod _ {k = 1} ^ {n} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {k} \ right) {\ mathcal {T}} \ left \ {\ prod _ {k = 1} ^ {n} e ^ { iH_ {0} t_ {k}} Ve ^ {- iH_ {0} t_ {k}} \ right \} | \ Psi (t_ {0}) \ rangle.}
Voltando à imagem de Schrödinger , para t f > t i ,
⟨
ψ
f
;
t
f
∣
ψ
eu
;
t
eu
⟩
=
∑
n
=
0
∞
(
-
eu
)
n
∫
d
t
1
⋯
d
t
n
⏟
t
f
≥
t
1
≥
⋯
≥
t
n
≥
t
eu
⟨
ψ
f
;
t
f
∣
e
-
eu
H
0
(
t
f
-
t
1
)
V
e
-
eu
H
0
(
t
1
-
t
2
)
⋯
V
e
-
eu
H
0
(
t
n
-
t
eu
)
∣
ψ
eu
;
t
eu
⟩
.
{\ displaystyle \ langle \ psi _ {\ rm {f}}; t _ {\ rm {f}} \ mid \ psi _ {\ rm {i}}; t _ {\ rm {i}} \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- i) ^ {n} \ underbrace {\ int dt_ {1} \ cdots dt_ {n}} _ {t _ {\ rm {f}} \, \ geq \ , t_ {1} \, \ geq \, \ cdots \, \ geq \, t_ {n} \, \ geq \, t _ {\ rm {i}}} \, \ langle \ psi _ {\ rm {f }}; t _ {\ rm {f}} \ mid e ^ {- iH_ {0} (t _ {\ rm {f}} - t_ {1})} Ve ^ {- iH_ {0} (t_ {1} -t_ {2})} \ cdots Ve ^ {- iH_ {0} (t_ {n} -t _ {\ rm {i}})} \ mid \ psi _ {\ rm {i}}; t _ {\ rm {i}} \ rangle.}
Veja também
Referências
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">