Notação científica - Scientific notation

A notação científica é uma forma de expressar números muito grandes ou muito pequenos (normalmente resultaria em uma longa sequência de dígitos) para serem convenientemente escritos na forma decimal . Pode ser referido como forma científica ou forma de índice padrão ou forma padrão no Reino Unido. Essa notação de base dez é comumente usada por cientistas, matemáticos e engenheiros, em parte porque pode simplificar certas operações aritméticas . Em calculadoras científicas, é geralmente conhecido como modo de exibição "SCI".

Notação decimal Notação científica
2 2 × 10 0
300 3 × 10 2
4 321 .768 4,321 768 × 10 3
−53 000 −5,3 × 10 4
6 720 000 000 6,72 × 10 9
0,2 2 × 10 −1
987 9,87 × 10 2
0,000 000 007 51 7,51 × 10 −9

Em notação científica, os números diferentes de zero são escritos na forma

m × 10 n

ou m vezes dez elevado à potência de n , onde n é um número inteiro , e o coeficiente m é um número real diferente de zero (geralmente entre 1 e 10 em valor absoluto e quase sempre escrito como um decimal final ). O inteiro n é chamado de expoente e o número real m é chamado de significando ou mantissa . O termo "mantissa" pode ser ambíguo quando logaritmos estão envolvidos, porque também é o nome tradicional da parte fracionária do logaritmo comum . Se o número for negativo, um sinal de menos precede m , como na notação decimal comum. Na notação normalizada , o expoente é escolhido de modo que o valor absoluto (módulo) do significando m seja pelo menos 1, mas menor que 10.

O ponto flutuante decimal é um sistema aritmético de computador intimamente relacionado à notação científica.

Notação normalizada

Qualquer número real pode ser escrito na forma m × 10 n^ de várias maneiras: por exemplo, 350 pode ser escrito como3,5 × 10 2 ou35 × 10 1 ou350 × 10 0 .

Na notação científica normalizada (chamada de "forma padrão" no Reino Unido), o expoente n é escolhido de forma que o valor absoluto de m permaneça pelo menos um, mas menos que dez ( 1 ≤ | m | <10 ). Assim, 350 é escrito como3,5 × 10 2 . Esta forma permite fácil comparação de números: números com expoentes maiores são (devido à normalização) maiores do que aqueles com expoentes menores, e a subtração de expoentes dá uma estimativa do número de ordens de magnitude que separam os números. É também a forma exigida ao usar tabelas de logaritmos comuns . Na notação normalizada, o expoente n é negativo para um número com valor absoluto entre 0 e 1 (por exemplo, 0,5 é escrito como5 × 10 −1 ). O 10 e o expoente geralmente são omitidos quando o expoente é 0.

A forma científica normalizada é a forma típica de expressão de grandes números em muitos campos, a menos que uma forma não normalizada ou normalizada de forma diferente, como notação de engenharia , seja desejada. A notação científica normalizada é frequentemente chamada de notação exponencial - embora o último termo seja mais geral e também se aplique quando m não está restrito ao intervalo de 1 a 10 (como na notação de engenharia, por exemplo) e a bases diferentes de 10 (por exemplo, 3,15 × 2 20^ ).

Notação de engenharia

A notação de engenharia (frequentemente chamada de "ENG" em calculadoras científicas) difere da notação científica normalizada porque o expoente n é restrito a múltiplos de 3. Consequentemente, o valor absoluto de m está no intervalo 1 ≤ | m | <1000, em vez de 1 ≤ | m | <10. Embora semelhante em conceito, a notação de engenharia raramente é chamada de notação científica. A notação de engenharia permite que os números correspondam explicitamente aos prefixos SI correspondentes , o que facilita a leitura e a comunicação oral. Por exemplo,12,5 × 10 −9  m pode ser lido como "doze vírgula cinco nanômetros" e escrito como12,5 nm , enquanto sua notação científica equivalente1,25 × 10 -8  m provavelmente seria lido como "um ponto-dois-cinco vezes dez para o negativo-oito metros".

Figuras significativas

Um algarismo significativo é um dígito em um número que aumenta sua precisão. Isso inclui todos os números diferentes de zero, zeros entre dígitos significativos e zeros indicados como significativos . Zeros à esquerda e à direita não são dígitos significativos, porque existem apenas para mostrar a escala do número. Infelizmente, isso leva à ambigüidade. O número1 230 400 é geralmente lido como tendo cinco algarismos significativos: 1, 2, 3, 0 e 4, os dois zeros finais servindo apenas como marcadores de posição e sem adição de precisão. O mesmo número, entretanto, seria usado se os dois últimos dígitos também fossem medidos com precisão e fossem iguais a 0 - sete algarismos significativos.

Quando um número é convertido em notação científica normalizada, ele é reduzido para um número entre 1 e 10. Todos os dígitos significativos permanecem, mas os zeros não são mais necessários. Assim1 230 400 se tornaria1,2304 × 10 6 se tivesse cinco dígitos significativos. Se o número fosse conhecido por seis ou sete algarismos significativos, seria mostrado como1.230 40 × 10 6 ou1.230 400 × 10 6 . Assim, uma vantagem adicional da notação científica é que o número de algarismos significativos não é ambíguo.

Dígitos finais estimados

É costume na medição científica registrar todos os dígitos definitivamente conhecidos da medição e estimar pelo menos um dígito adicional se houver qualquer informação disponível sobre seu valor. O número resultante contém mais informações do que sem o dígito extra, que pode ser considerado um dígito significativo porque transmite algumas informações que levam a uma maior precisão nas medições e na agregação de medições (somando-as ou multiplicando-as).

Informações adicionais sobre precisão podem ser transmitidas por meio de notação adicional. Muitas vezes é útil saber quão exato é o dígito final. Por exemplo, o valor aceito da massa do próton pode ser expresso adequadamente como1,672 621 923 69 (51) × 10 −27  kg , que é a abreviação de(1,672 621 923 69 ± 0,000 000 000 51 ) × 10 −27  kg .

Notação E

Um visor de calculadora Texas Instruments TI-84 Plus mostrando a constante de Avogadro em notação E.

A maioria das calculadoras e muitos programas de computador apresentar muito grandes e muito pequenos resultado em notação científica, normalmente invocados por uma chave rotulada EXP(para expoente ), EEX(para digitar o expoente ), EE, EX, E, ou , dependendo do fornecedor e modelo. Porque expoentes sobrescritos como 10 7 nem sempre podem ser convenientemente exibidos, a letra E (ou e ) é freqüentemente usada para representar "vezes dez elevado à potência de" (que seria escrito como "× 10 n " ) e é seguida pelo valor do expoente; em outras palavras, para quaisquer dois números reais m e n , o uso de " m E n " indicaria um valor de m × 10 n . Nesse uso, o caractere e não está relacionado à constante matemática e ou à função exponencial e x (uma confusão que é improvável se a notação científica for representada por um E maiúsculo ). Embora E signifique expoente , a notação é geralmente referida como notação E (científica) em vez de notação exponencial (científica) . O uso da notação E facilita a entrada de dados e a legibilidade na comunicação textual, pois minimiza o pressionamento de teclas, evita tamanhos de fonte reduzidos e fornece uma exibição mais simples e concisa, mas não é recomendado em algumas publicações. ×10x

Exemplos e outras notações

  • A notação E já era usada pelos desenvolvedores do SHARE Operating System (SOS) para o IBM 709 em 1958.
  • Na maioria das linguagens de programação populares, 6.022E23(ou 6.022e23) é equivalente a6.022 × 10 23 , e1.6 × 10 −35 seria escrito1.6E-35(por exemplo, Ada , Analytica , C / C ++ , FORTRAN (desde FORTRAN II em 1958), MATLAB , Scilab , Perl , Java , Python , Lua , JavaScript e outros).
  • Após a introdução das primeiras calculadoras de bolso com suporte à notação científica em 1972 ( HP-35 , SR-10 ), o termo decapower foi algumas vezes usado nas comunidades de usuários emergentes para o multiplicador de potência de dez, a fim de melhor distingui-lo do "normal "expoentes. Da mesma forma, a letra "D" foi usada em números datilografados. Esta notação foi proposta por Jim Davidson e publicada na edição de janeiro de 1976 do boletim informativo Hewlett-Packard 65 de Richard J. Nelson para usuários de HP-65 , e foi adotada e transportada para a comunidade da Texas Instruments por Richard C. Vanderburgh, o editor do boletim informativo 52-Notes para usuários do SR-52 em novembro de 1976.
  • Os visores das calculadoras de bolso com LED não exibiam "e" ou "E". Em vez disso, um ou mais dígitos foram deixados em branco entre a mantissa e o expoente (por exemplo 6.022 23, como no Hewlett-Packard HP-25 ), ou um par de dígitos menores e ligeiramente elevados reservados para o expoente foi usado (por exemplo , como em o Commodore PR100 ).6.022 23
  • FORTRAN (pelo menos desde FORTRAN IV em 1961) também usa "D" para significar números de precisão dupla em notação científica.
  • Semelhante, um "D" foi usado por computadores de bolso Sharp PC-1280 , PC-1470U , PC-1475 , PC-1480U , PC-1490U , PC-1490UII , PC-E500 , PC-E500S , PC-E550 , PC- E650 e PC-U6000 para indicar números de precisão dupla de 20 dígitos em notação científica em BASIC entre 1987 e 1995.
  • O ALGOL 60 (1960) linguagem de programação usa um dez índice " 10 " caráter em vez da letra E, por exemplo: .6.0221023
  • O uso do " 10 " nos vários padrões de Algol representou um desafio em alguns sistemas de computador que não forneciam esse caractere " 10 ". Como consequência , o Algol-W da Stanford University exigia o uso de aspas simples, por exemplo 6.022'+23, e algumas variantes do Algol soviético permitiam o uso do caractere cirílico " ю ", por exemplo, 6.022ю + 23.
  • Posteriormente, o ALGOL 68 linguagem de programação desde que a escolha de 4 personagens: E, e, \, ou 10. Por exemplos: 6.022E23, 6.022e23, 6.022\23ou .6.0221023
  • O símbolo do expoente decimal faz parte do padrão Unicode , por exemplo 6.022⏨23. Ele está incluído como U + 23E8 SÍMBOLO DE EXPONENTE DECIMAL para acomodar o uso nas linguagens de programação Algol 60 e Algol 68.
  • As séries TI-83 e TI-84 Plus de calculadoras usam um caractere E estilizado para exibir o expoente decimal e o caractere 10 para denotar um operador × 10 ^ equivalente .
  • A linguagem de programação Simula requer o uso de &(ou &&por muito tempo ), por exemplo: 6.022&23(ou 6.022&&23).
  • A linguagem Wolfram (utilizada no Mathematica ) permite uma notação abreviada de 6.022*^23. (Em vez disso, Edenota a constante matemática e ).

Uso de espaços

Em notação científica normalizada, em notação E e em notação de engenharia, o espaço (que na composição pode ser representado por um espaço de largura normal ou um espaço fino ) que é permitido apenas antes e depois de "×" ou na frente de "E" às vezes é omitido, embora seja menos comum fazê-lo antes do caractere alfabético.

Outros exemplos de notação científica

  • A massa de um elétron é sobre0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 356  kg . Em notação científica, isso está escrito9,109 383 56 × 10 −31  kg (em unidades SI).
  • O Terra da massa é de cerca de5 972 400 000 000 000 000 000 000  kg . Em notação científica, isso está escrito5,9724 × 10 24  kg .
  • A circunferência da Terra é de aproximadamente40 000 000  m . Em notação científica, isso é4 × 10 7  m . Em notação de engenharia, isso é escrito40 × 10 6  m . No estilo de escrita SI , isso pode ser escrito40 mm (40 megametros ).
  • Uma polegada é definida exatamente como 25,4 mm . Citando um valor de25,400 mm mostra que o valor está correto para o micrômetro mais próximo. Um valor aproximado com apenas dois dígitos significativos seria2,5 × 10 1  mm em vez disso. Como não há limite para o número de dígitos significativos, o comprimento de uma polegada pode, se necessário, ser escrito como (digamos)2,540 000 000 00 × 10 1  mm em vez disso.
  • A hiperinflação é um problema causado quando muito dinheiro é impresso em relação à falta de commodities, fazendo com que a taxa de inflação suba 50% ou mais em um único mês; moedas tendem a perder seu valor intrínseco com o tempo. Alguns países tiveram uma taxa de inflação de 1 milhão por cento ou mais em um único mês, o que geralmente resulta no abandono da moeda do país logo depois. Em novembro de 2008, a taxa de inflação mensal do dólar zimbabuense atingiu 79,6 bilhões por cento; o valor aproximado com três algarismos significativos seria7,96 × 10 10 por cento.

Conversão de números

Converter um número nesses casos significa converter o número na forma de notação científica, convertê-lo de volta na forma decimal ou alterar a parte expoente da equação. Nada disso altera o número real, apenas como ele é expresso.

Decimal para científico

Primeiro, mova o ponto separador decimal para casas suficientes, n , para colocar o valor do número dentro de um intervalo desejado, entre 1 e 10 para notação normalizada. Se o decimal foi movido para a esquerda, acrescente ; à direita ,. Para representar o número× 10n× 10−n1.230.400 em notação científica normalizada, o separador decimal seria movido 6 dígitos para a esquerda e anexado, resultando em× 1061,2304 × 10 6 . O número−0,004 0321 teria seu separador decimal deslocado 3 dígitos para a direita em vez de para a esquerda e produziria−4,0321 × 10 −3 como resultado.

Científico para decimal

Convertendo um número de notação científica em notação decimal, primeiro remova o no final e, em seguida, mude o separador decimal n dígitos para a direita ( n positivo ) ou para a esquerda ( n negativo ). O número× 10n1,2304 × 10 6 teria seu separador decimal deslocado 6 dígitos para a direita e se tornaria1.230.400 , enquanto−4,0321 × 10 −3 teria seu separador decimal movido 3 dígitos para a esquerda e seria-0,004 0321 .

Exponencial

A conversão entre diferentes representações de notação científica do mesmo número com diferentes valores exponenciais é obtida executando operações opostas de multiplicação ou divisão por uma potência de dez no significando e uma subtração ou adição de um na parte exponente. O separador decimal no significando é deslocado x casas para a esquerda (ou direita) e x é adicionado (ou subtraído) ao expoente, conforme mostrado abaixo.

1,234 × 10 3 =12,34 × 10 2 =123,4 × 10 1 = 1234

Operações básicas

Dados dois números em notação científica,

e

Multiplicação e divisão são realizadas usando as regras de operação com exponenciação :

e

Alguns exemplos são:

e

A adição e a subtração exigem que os números sejam representados usando a mesma parte exponencial, de modo que o significando possa ser simplesmente adicionado ou subtraído:

e com

Em seguida, adicione ou subtraia os significandos:

Um exemplo:

Outras bases

Embora a base dez seja normalmente usada para notação científica, potências de outras bases também podem ser usadas, a base 2 sendo a próxima mais comumente usada.

Por exemplo, na notação científica de base 2, o número 1001 b em binário (= 9 d ) é escrito como 1.001 b × 2 d 11 b ou 1.001 b × 10 b 11 b usando números binários (ou menos 1.001 × 10 11 se contexto binário é óbvio). Na notação E, isso é escrito como 1.001 b E11 b (ou menor: 1.001E11) com a letra E agora representando "vezes dois (10 b ) à potência" aqui. Para melhor distinguir este expoente de base 2 de um expoente de base 10, um expoente de base 2 também é indicado usando a letra B em vez de E , uma notação abreviada originalmente proposta por Bruce Alan Martin do Laboratório Nacional de Brookhaven em 1968 , como em 1.001 b B11 b (ou mais curto: 1.001B11). Para comparação, o mesmo número na representação decimal : 1,125 × 2 3 (usando a representação decimal), ou 1,125B3 (ainda usando a representação decimal). Algumas calculadoras usam uma representação mista para números de ponto flutuante binário, onde o expoente é exibido como número decimal mesmo no modo binário, então o acima se torna 1.001 b × 10 b 3 d ou menos 1.001B3.

Isso está intimamente relacionado à representação de ponto flutuante de base 2 comumente usada em aritmética de computador e ao uso de prefixos binários IEC (por exemplo, 1B10 para 1 × 2 10 ( kibi ), 1B20 para 1 × 2 20 ( mebi ), 1B30 para 1 × 2 30 ( gibi ), 1B40 para 1 × 2 40 ( tebi )).

Semelhante a B (ou b ), as letras H (ou h ) e O (ou o , ou C ) às vezes também são usadas para indicar tempos 16 ou 8 à potência como em 1,25 = 1,40 h × 10 h 0 h = 1,40 H0 = 1,40h0, ou 98000 = 2,7732 o × 10 o 5 o = 2,7732o5 = 2,7732C5.

Outra convenção semelhante para denotar expoentes de base 2 é usar uma letra P (ou p , para "potência"). Nessa notação, o significando sempre deve ser hexadecimal, enquanto o expoente sempre deve ser decimal. Esta notação pode ser produzida por implementações da família de funções printf seguindo a especificação C99 e ( especificação Unix única ) IEEE Std 1003.1 padrão POSIX , ao usar os especificadores de conversão % a ou % A. A partir do C ++ 11 , as funções de E / S do C ++ também podem analisar e imprimir a notação P. Enquanto isso, a notação foi totalmente adotada pelo padrão de linguagem desde C ++ 17 . O Swift da Apple também o suporta. Também é exigido pelo padrão de ponto flutuante binário IEEE 754-2008 . Exemplo: 1.3DEp42 representa 1.3DE h × 2 42 .

A notação de engenharia pode ser vista como uma notação científica de base 1000.

Veja também

Referências

links externos