Quantidade de pedido econômico - Economic order quantity

A Quantidade Econômica do Pedido (EOQ), também conhecida como Quantidade Econômica de Compra (EPQ), é a quantidade do pedido que minimiza os custos totais de manutenção e de pedido no gerenciamento de estoque . É um dos mais antigos modelos clássicos de programação de produção . O modelo foi desenvolvido por Ford W. Harris em 1913, mas RH Wilson, um consultor que o aplicou extensivamente, e K. Andler receberam crédito por sua análise aprofundada.

Visão geral

O EOQ se aplica apenas quando a demanda por um produto é constante ao longo do ano e cada novo pedido é entregue integralmente quando o estoque chega a zero. Há um custo fixo para cada pedido feito, independentemente do número de unidades solicitadas; presume-se que um pedido contenha apenas 1 unidade. Há também um custo para cada unidade mantida em armazenamento, comumente conhecido como custo de retenção , às vezes expresso como uma porcentagem do custo de compra do item. Embora a formulação do EOQ seja direta, há fatores como taxas de transporte e descontos por quantidade a serem considerados na aplicação real.

Queremos determinar o número ideal de unidades a serem solicitadas para minimizar o custo total associado à compra, entrega e armazenamento do produto.

Os parâmetros necessários para a solução são a demanda total para o ano, o custo de compra de cada item, o custo fixo para fazer o pedido de um único item e o custo de armazenamento de cada item por ano. Observe que o número de vezes que um pedido é feito também afetará o custo total, embora esse número possa ser determinado a partir de outros parâmetros.

Variáveis

${\ displaystyle T}$ = custo total anual de estoque
${\ displaystyle P}$ = preço unitário de compra, custo de produção unitário
${\ displaystyle Q}$ = quantidade do pedido
${\ displaystyle Q ^ {*}}$ = quantidade ideal do pedido
${\ displaystyle D}$ = quantidade de demanda anual
${\ displaystyle K}$ = custo fixo por pedido, custo de configuração ( não por unidade, normalmente custo de pedido e envio e manuseio. Este não é o custo das mercadorias)
${\ displaystyle h}$ = custo de manutenção anual por unidade, também conhecido como custo de carregamento ou custo de armazenamento (custo de capital, espaço de armazenamento, refrigeração, seguro, custo de oportunidade (preço x juros), etc. geralmente não relacionado ao custo de produção da unidade)

A função de custo total e derivação da fórmula EOQ

A fórmula EOQ de item único encontra o ponto mínimo da seguinte função de custo:

Custo total = custo de compra ou custo de produção + custo de pedido + custo de manutenção

Onde:

Custo de compra: este é o custo variável dos bens: preço unitário de compra × quantidade de demanda anual. Este é P × D
Custo de pedido: este é o custo de fazer pedidos: cada pedido tem um custo fixo K, e precisamos fazer o pedido D / Q vezes por ano. Este é K × D / Q
Custo de retenção: a quantidade média em estoque (entre totalmente reabastecido e vazio) é Q / 2, então este custo é h × Q / 2

${\ displaystyle T = PD + K {\ frac {D} {Q}} + h {\ frac {Q} {2}}}$ .

Para determinar o ponto mínimo da curva de custo total, calcule a derivada do custo total em relação a Q (suponha que todas as outras variáveis sejam constantes) e defina-o como 0:

${\ displaystyle {0} = - {\ frac {DK} {Q ^ {2}}} + {\ frac {h} {2}}}$

Resolvendo para Q dá Q * (a quantidade ideal do pedido):

${\ displaystyle Q ^ {* 2} = {\ frac {2DK} {h}}}$

Portanto:

Quantidade de pedido econômico

${\ displaystyle Q ^ {*} = {\ sqrt {\ frac {2DK} {h}}}}$

Q * é independente de P; é uma função de apenas K, D, h.

O valor ideal Q * também pode ser encontrado reconhecendo que

${\ displaystyle T = {\ frac {DK} {Q}} + {\ frac {hQ} {2}} + PD = {\ frac {h} {2Q}} (Q - {\ sqrt {2DK / h} }) ^ {2} + {\ sqrt {2hDK}} + PD,}$ onde o termo quadrático não negativo desaparece para o qual fornece o custo mínimo ${\ textstyle Q = {\ sqrt {2DK / h}},}$ ${\ displaystyle T_ {min} = {\ sqrt {2hDK}} + PD.}$

Exemplo

quantidade de necessidade anual (D) = 10.000 unidades
Custo por pedido (K) = 40
Custo por unidade (P) = 50
Custo anual de manutenção por unidade = 4
Juros de mercado = 2%

Quantidade de pedido econômico = = 400 unidades ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2D \ cdot K} {h}}}}$ ${\ displaystyle = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot 10000 \ cdot 40} {4 + 50 \ cdot 2 \%}}} = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot 10000 \ cdot 40} {5} }}}$

Número de pedidos por ano (com base no EOQ) ${\ displaystyle = {\ frac {10000} {400}} = 25}$

Custo total ${\ displaystyle = P \ cdot D + K (D / EOQ) + h (EOQ / 2)}$

Custo total ${\ displaystyle = 50 \ cdot 10000 + 40 \ cdot (10000/400) +5 \ cdot (400/2) = 502000}$

Se verificarmos o custo total para qualquer quantidade de pedido diferente de 400 (= EOQ), veremos que o custo é mais alto. Por exemplo, supondo 500 unidades por pedido, então

Custo total ${\ displaystyle = 50 \ cdot 10000 + 40 \ cdot (10000/500) +5 \ cdot (500/2) = 502050}$

Da mesma forma, se escolhermos 300 para a quantidade do pedido, então

Custo total ${\ displaystyle = 50 \ cdot 10000 + 40 \ cdot (10000/300) +5 \ cdot (300/2) = 502083,33}$

Isso ilustra que a quantidade de pedido econômico sempre atende aos melhores interesses da empresa.

Extensões do modelo EOQ

Descontos de quantidade

Uma extensão importante do modelo EOQ é acomodar descontos por quantidade. Existem dois tipos principais de descontos por quantidade: (1) todas as unidades e (2) incrementais. Aqui está um exemplo numérico:

Desconto de unidade incremental: as unidades de 1 a 100 custam $ 30 cada; As unidades 101–199 custam $ 28 cada; As unidades 200 e superiores custam US $ 26 cada. Portanto, quando 150 unidades são encomendadas, o custo total é de $ 30 * 100 + $ 28 * 50.
Desconto em todas as unidades: uma ordem de 1–1000 unidades custa $ 50 cada; um pedido de 1.001 a 5.000 unidades custa $ 45 cada; um pedido de mais de 5.000 unidades custa $ 40 cada. Portanto, quando 1.500 unidades são encomendadas, o custo total é de US $ 45 * 1.500.

Para encontrar a quantidade ótima do pedido em diferentes esquemas de desconto por quantidade, deve-se usar algoritmos; esses algoritmos são desenvolvidos partindo do pressuposto de que a política EOQ ainda é ótima com descontos por quantidade. Perera et al. (2017) estabelecem esta otimalidade e caracterizam completamente a (s, S) otimalidade dentro da configuração EOQ sob estruturas gerais de custo.

Projeto de programações de descontos por quantidade ideal

Na presença de um cliente estratégico, que responde de maneira ideal às programações de descontos, o projeto de um esquema de desconto por quantidade ideal pelo fornecedor é complexo e deve ser feito com cuidado. Isso é especialmente verdade quando a própria demanda do cliente é incerta. Um efeito interessante chamado "chicote reverso" ocorre quando um aumento na incerteza da demanda do consumidor realmente reduz a incerteza da quantidade do pedido no fornecedor.

Custos de pedidos em atraso e vários itens

Várias extensões podem ser feitas no modelo EOQ, incluindo custos de pedidos em atraso e vários itens. No caso de pedidos em atraso são permitidos, os custos de manutenção de estoque por ciclo são:

${\ displaystyle IC \ int \ limits _ {0} ^ {T_ {1}} (Qs- \ lambda t) \, dt = {\ frac {IC} {2 \ lambda}} (Qs) ^ {2}}$

Onde s é o número de pedidos em espera quando a quantidade do pedido Q é entregue e é a taxa de demanda. O custo de pedidos em espera por ciclo é: ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ pi s + {\ hat {\ pi}} \ int \ limits _ {0} ^ {T_ {2}} \ lambda tdt = \ pi s + {\ frac {1} {2}} {\ hat { \ pi}} \ lambda T_ {2} ^ {2} = \ pi s + {\ frac {{\ hat {\ pi}} s ^ {2}} {2 \ lambda}}}$

Onde e estão os custos de pedidos em espera , sendo T a duração do ciclo e . O custo variável anual médio é a soma dos custos do pedido, mantendo os custos de estoque e custos de pedidos em espera: ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ pi}}}$ ${\ displaystyle T_ {2} = T-T_ {1}}$ ${\ displaystyle T_ {1} = (Qs) / \ lambda}$

${\ displaystyle {\ mathcal {K}} = {\ frac {\ lambda} {Q}} A + {\ frac {1} {2Q}} IC (Qs) ^ {2} + {\ frac {1} {Q }} [\ pi \ lambda s + {\ frac {1} {2}} {\ hat {\ pi}} s ^ {2}]}$

Para minimizar, impor as derivadas parciais iguais a zero: ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {K}}} {\ partial Q}} = - {\ frac {1} {Q ^ {2}}} \ left [{\ lambda} A + {\ frac {1} {2}} IC (Qs) ^ {2} + \ pi \ lambda s + {\ frac {1} {2}} {\ hat {\ pi}} s ^ {2} \ right] + {\ frac {IC} {Q}} (Qs) = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {K}}} {\ partial s}} = - {\ frac {IC} {Q}} (Qs) + {\ frac {1} {Q}} \ pi \ lambda + {\ frac {1} {Q}} {\ hat {\ pi}} s = 0}$

Substituir a segunda equação na primeira dá a seguinte equação quadrática :

${\ displaystyle [{\ hat {\ pi}} ^ {2} + {\ hat {\ pi}} IC] s ^ {2} +2 \ pi {\ hat {\ pi}} \ lambda s + (\ pi \ lambda) ^ {2} -2 \ lambda AIC = 0}$

Se etiher s = 0 ou é ótimo. No primeiro caso, o lote ótimo é dado pela fórmula EOQ clássica; no segundo caso, um pedido nunca é feito e o custo anual mínimo é dado por . Se ou for ótimo, então não deveria haver nenhum sistema de estoque. Se resolver a equação quadrática anterior resulta: ${\ displaystyle {\ hat {\ pi}} = 0}$ ${\ displaystyle s = \ infty}$ ${\ displaystyle \ pi \ lambda}$ ${\ displaystyle \ pi> {\ sqrt {\ frac {2AIC} {\ lambda}}} = \ delta}$ ${\ displaystyle \ pi \ lambda> K_ {w}}$ ${\ displaystyle s ^ {*} = 0}$ ${\ displaystyle \ pi <\ delta}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ pi}} \ neq 0}$

${\ displaystyle s ^ {*} = [{\ hat {\ pi}} + IC] ^ {- 1} \ left (- \ pi \ lambda + \ left [(2 \ lambda AIC) \ left (1+ { \ frac {IC} {\ hat {\ pi}}} \ right) - {\ frac {IC} {\ hat {\ pi}}} (\ pi \ lambda) ^ {2} \ right] ^ {1 / 2} \ right)}$

${\ displaystyle Q ^ {*} = \ left [{\ frac {{\ hat {\ pi}} + IC} {\ hat {\ pi}}} \ right] ^ {1/2} \ left [{\ frac {2 \ lambda A} {IC}} - {\ frac {(\ pi \ lambda) ^ {2}} {IC ({\ hat {\ pi}} + IC)}} \ direita] ^ {1 / 2}}$

Se houver backorders o ponto de reabastecimento é: ; sendo m o maior número inteiro e μ a demanda de lead time. ${\ displaystyle r_ {h} ^ {*} = \ mu -mQ ^ {*} - s ^ {*}}$ ${\ displaystyle m \ leq {\ frac {\ tau} {T}}}$

Além disso, o intervalo de ordem econômica pode ser determinado a partir do EOQ e o modelo de quantidade de produção econômica (que determina a quantidade de produção ideal) pode ser determinado de maneira semelhante.

Uma versão do modelo, o modelo Baumol-Tobin , também foi usada para determinar a função de demanda por moeda , em que os saldos de dinheiro de uma pessoa podem ser vistos de uma forma paralela aos de estoque de uma empresa.

Malakooti (2013) introduziu os modelos EOQ multicritério, onde os critérios poderiam ser a minimização do custo total, quantidade do pedido (estoque) e escassez.

Uma versão levando em consideração o valor do dinheiro no tempo foi desenvolvida por Trippi e Lewin.

Qualidade imperfeita

Outra extensão importante do modelo EOQ é considerar itens com qualidade imperfeita. Salameh e Jaber (2000) são os primeiros a estudar os itens imperfeitos em um modelo EOQ de forma muito completa. Eles consideram um problema de estoque em que a demanda é determinística e há uma fração de itens imperfeitos no lote e são selecionados pelo comprador e vendidos por ele no final do círculo com desconto no preço.

Para melhorar a economia de combustível dos motores de combustão interna

Em 2016, uma similaridade interessante entre EOQ de colheita de melão e injeção de combustível em injeção direta de gasolina foi proposta.

Veja também

Ponto de novo pedido
Estoque de segurança
Taxa de preenchimento constante para a peça sendo produzida: quantidade de produção econômica
Pedidos feitos em intervalos regulares: modelo de período de tempo fixo
A demanda é aleatória: modelo clássico de Newsvendor
A demanda varia ao longo do tempo: modelo de tamanho de lote dinâmico
Vários produtos produzidos na mesma máquina: Problema de programação de lote econômico
Demanda de renovação e (s, S) otimização por Perera, Janakiraman e Niu [1]

Referências

Leitura adicional

Harris, Ford W. Operations Cost (Factory Management Series), Chicago: Shaw (1915)
Harris, Ford W. (1913). "Quantas peças fazer de uma vez". Fábrica, a Revista de Gestão . 10 : 135–136, 152.
Camp, WE "Determinando a quantidade da ordem de produção", Engenharia de Gestão, 1922
Wilson, RH (1934). "Uma rotina científica para controle de estoque". Harvard Business Review . 13 : 116–28.
Plossel, George. Planejamento de Requisitos de Material da Orlicky. Segunda edição. McGraw Hill. 1984. (primeira edição 1975)
Andriolo, Alessandro; Battini, Daria; Grubbström, Robert W .; Persona, Alessandro; Sgarbossa, Fabio (2014). "Um século de evolução do modelo básico de tamanho de lote de Harris: Levantamento e agenda de pesquisa" . International Journal of Production Economics . 155 : 16–38. doi : 10.1016 / j.ijpe.2014.01.013 .
Erlenkotter, Donald (2014). "Modelo de tamanho de lote econômico da Ford Whitman Harris" . International Journal of Production Economics . 155 : 12–15. doi : 10.1016 / j.ijpe.2013.12.008 .
Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2017). “Optimalidade de (s, S) políticas em modelos EOQ com estruturas gerais de custos”. International Journal of Production Economics . 187 : 216–228. doi : 10.1016 / j.ijpe.2016.09.017 .
Perera, Sandun; Janakiraman, Ganesh; Niu, Shun-Chen (2018). "Otimização de (s, S) Políticas de Estoque sob Demanda de Renovação e Estruturas de Custo Geral". Gestão de Produção e Operações . 27 (2): 368–383. doi : 10.1111 / poms.12795 . hdl : 2027,42 / 142450 .
Tsan-Ming Choi (Ed.) Handbook of EOQ Inventory Problems: Stochastic and Deterministic Models and Applications, Springer's International Series in Operations Research and Management Science, 2014. doi : 10.1007 / 978-1-4614-7639-9 .
Ventura, Robert; Samuel, Stephen (2016). "Otimização da injeção de combustível no motor GDI usando quantidade de pedido econômico e função Lambert W" . Engenharia Térmica Aplicada . 101 : 112–20. doi : 10.1016 / j.applthermaleng.2016.02.024 .

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