Matemática egípcia antiga - Ancient Egyptian mathematics

A matemática do Antigo Egito é a matemática que foi desenvolvida e usada no Antigo Egito c. 3000 a c. 300  AEC , do Antigo Reino do Egito até aproximadamente o início do Egito helenístico . Os antigos egípcios utilizavam um sistema numérico para contar e resolver problemas matemáticos escritos, muitas vezes envolvendo multiplicação e frações . A evidência da matemática egípcia é limitada a uma quantidade escassa de fontes sobreviventes escritas em papiro . A partir desses textos sabe-se que os antigos egípcios entendiam conceitos de geometria , como determinar a área e o volume de formas tridimensionais úteis para a engenharia arquitetônica , e álgebra , como o método da posição falsa e equações quadráticas .

Visão geral

A evidência escrita do uso da matemática remonta a pelo menos 3.200 aC com os rótulos de marfim encontrados na Tumba Uj em Abydos . Essas etiquetas parecem ter sido usadas como etiquetas para mercadorias mortíferas e algumas são inscritas com números. Outras evidências do uso do sistema numérico de base 10 podem ser encontradas no Narmer Macehead, que mostra ofertas de 400.000 bois, 1.422.000 cabras e 120.000 prisioneiros.

A evidência do uso da matemática no Reino Antigo (c. 2690–2180 aC) é escassa, mas pode ser deduzida de inscrições em uma parede perto de uma mastaba em Meidum que fornece orientações para a inclinação da mastaba. As linhas no diagrama são espaçadas a uma distância de um côvado e mostram o uso dessa unidade de medida .

Os primeiros documentos matemáticos verdadeiros datam da 12ª Dinastia (c. 1990–1800 aC). O Papiro Matemático de Moscou , o Rolinho de Couro Matemático Egípcio , os Papiros Matemáticos Lahun, que fazem parte de uma coleção muito maior de Papiros Kahun e do Papiro de Berlim 6619, datam desse período. O papiro matemático de Rhind que data do Segundo Período Intermediário (c. 1650 aC) é dito ser baseado em um texto matemático mais velho da dinastia 12º.

O Papiro Matemático de Moscou e o Papiro Matemático Rhind são os chamados textos de problemas matemáticos. Eles consistem em um conjunto de problemas com soluções. Esses textos podem ter sido escritos por um professor ou aluno empenhado na solução de problemas típicos de matemática.

Uma característica interessante da matemática egípcia antiga é o uso de frações unitárias. Os egípcios usavam alguma notação especial para frações como1/2, 1/3 e 2/3 e em alguns textos para 3/4, mas outras frações foram todas escritas como frações unitárias do formulário1/nou somas de tais frações unitárias. Os escribas usavam tabelas para ajudá-los a trabalhar com essas frações. O rolo de couro matemático egípcio, por exemplo, é uma tabela de frações unitárias que são expressas como somas de outras frações unitárias. O papiro matemático Rhind e alguns dos outros textos contêm2/ntabelas. Essas tabelas permitiam aos escribas reescrever qualquer fração do formulário1/n como uma soma de frações unitárias.

Durante o Novo Império (c. 1550–1070 aC), problemas matemáticos são mencionados no papiro literário Anastasi I , e o papiro Wilbour da época de Ramsés III registra as medições da terra. Na aldeia operária de Deir el-Medina, vários óstracos foram encontrados, com volumes recordes de sujeira removidos durante a escavação das tumbas.

Fontes

A compreensão atual da matemática egípcia antiga é dificultada pela escassez de fontes disponíveis. As fontes existentes incluem os seguintes textos (geralmente datados do Império do Meio e do Segundo Período Intermediário):

• O Papiro Matemático de Moscou
• O rolo de couro matemático egípcio
• O papiro matemático Lahun
• O Papiro de Berlim 6619 , escrito por volta de 1800 a.C.
• The Akhmim Wooden Tablet
• O papiro Reisner , datado do início da décima segunda dinastia do Egito e encontrado em Nag el-Deir, a antiga cidade de Thinis
• O Papiro Matemático Rhind (RMP), datado do Segundo Período Intermediário (c. 1650 aC), mas seu autor, Ahmes , o identifica como uma cópia de um papiro do Reino Médio agora perdido . O RMP é o maior texto matemático.

Do Novo Império, há um punhado de textos matemáticos e inscrições relacionadas a cálculos:

• O Papiro Anastasi I , um texto literário escrito como uma carta (fictícia) escrita por um escriba chamado Hori e endereçada a um escriba chamado Amenemope. Um segmento da carta descreve vários problemas matemáticos.
• Ostracon Senmut 153, um texto escrito em hierático
• Ostracon Turin 57170, um texto escrito em hierático
• Ostraca de Deir el-Medina contém cálculos. Ostracon IFAO 1206, por exemplo, mostra o cálculo de volumes, presumivelmente relacionado à extração de uma tumba.

Numerais

Textos egípcios antigos podiam ser escritos em hieróglifos ou hieráticos . Em qualquer das representações, o sistema numérico era sempre dado na base 10. O número 1 era representado por um simples traço, o número 2 era representado por dois traços, etc. Os números 10, 100, 1000, 10.000 e 100.000 tinham seus próprios hieróglifos. O número 10 é um obstáculo para o gado, o número 100 é representado por uma corda enrolada, o número 1000 é representado por uma flor de lótus, o número 10.000 é representado por um dedo, o número 100.000 é representado por um sapo e um milhão foi representado por um deus com as mãos levantadas em adoração.

Hieróglifos para algarismos egípcios

1	10	100	1000	10.000	100.000	1.000.000

Laje de estela da princesa Neferetiabet do Império Antigo (datada de 2590–2565 aC) de sua tumba em Gizé, pintura em pedra calcária, agora no Louvre

Os numerais egípcios datam do período pré - dinástico . As etiquetas marfim de Abydos registram o uso desse sistema numérico. Também é comum ver os numerais em cenas de oferta para indicar o número de itens oferecidos. Neferetiabet, filha do rei, é mostrada com uma oferta de 1000 bois, pão, cerveja, etc.

O sistema numérico egípcio era aditivo. Números grandes foram representados por coleções de glifos e o valor foi obtido simplesmente adicionando os números individuais.

Esta cena mostra uma contagem de gado (copiado pelo egiptólogo Lepsius ). No registro do meio, vemos 835 bovinos com chifres à esquerda, logo atrás deles estão cerca de 220 animais (vacas?) E à direita 2235 cabras. No registro inferior, vemos 760 jumentos à esquerda e 974 cabras à direita.

Os egípcios usavam quase exclusivamente frações da forma 1/n. Uma exceção notável é a fração2/3, que é freqüentemente encontrado nos textos matemáticos. Muito raramente, um glifo especial foi usado para denotar3/4. A fração1/2foi representado por um glifo que pode ter representado um pedaço de linho dobrado em dois. A fração2/3foi representado pelo glifo para uma boca com 2 traços (tamanhos diferentes). O restante das frações sempre foi representado por uma boca sobreposta a um número.

Hieróglifos para algumas frações

1/2	1/3	2/3	1/4	1/5

Multiplicação e divisão

A multiplicação egípcia era feita duplicando repetidamente o número a ser multiplicado (o multiplicando) e escolhendo qual das duplicações somar (essencialmente uma forma de aritmética binária ), um método que se liga ao Reino Antigo. O multiplicando foi escrito ao lado da figura 1; o multiplicando foi então adicionado a si mesmo, e o resultado escrito ao lado do número 2. O processo continuou até que as duplicações resultassem em um número maior que a metade do multiplicador . Em seguida, os números duplicados (1, 2, etc.) seriam subtraídos repetidamente do multiplicador para selecionar quais dos resultados dos cálculos existentes deveriam ser somados para criar a resposta.

Como um atalho para números maiores, o multiplicando também pode ser imediatamente multiplicado por 10, 100, 1000, 10000, etc.

Por exemplo, o Problema 69 no Papiro Rhind (RMP) fornece a seguinte ilustração, como se símbolos hieróglifos fossem usados ​​(em vez do script hierático real do RMP).

Para multiplicar 80 × 14
Cálculo egípcio			Cálculo moderno
Resultado	Multiplicador		Resultado	Multiplicador
			80	1
			800	10
			160	2
			320	4
			1120	14

O denota os resultados intermediários que são somados para produzir a resposta final.

A tabela acima também pode ser usada para dividir 1120 por 80. Resolveríamos esse problema encontrando o quociente (80) como a soma dos multiplicadores de 80 que somam 1120. Neste exemplo, isso resultaria em um quociente de 10 + 4 = 14. Um exemplo mais complicado do algoritmo de divisão é fornecido pelo Problema 66. Um total de 3.200 ro de gordura deve ser distribuído uniformemente ao longo de 365 dias.

Dividindo 3.200 por 365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
2/3	243+1/3
1/10	36+1/2
1/2190	1/6

Primeiro, o escriba dobraria 365 repetidamente até que o maior múltiplo possível de 365 seja alcançado, que é menor que 3200. Neste caso, 8 vezes 365 é 2920 e a adição posterior de múltiplos de 365 daria claramente um valor maior que 3200. Em seguida, é observou que 2/3 + 1/10 + 1/2190vezes 365 nos dá o valor de 280 de que precisamos. Portanto, descobrimos que 3200 dividido por 365 deve ser igual a 8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190.

Álgebra

Problemas de álgebra egípcia aparecem no papiro matemático de Rhind e no papiro matemático de Moscou , bem como em várias outras fontes.

Aha
Era : Novo Reino (1550–1069 AC)
Hieróglifos egípcios

Os problemas de Aha envolvem encontrar quantidades desconhecidas (referidas como Aha) se a soma da quantidade e parte (s) dela for dada. O papiro matemático Rhind também contém quatro desses tipos de problemas. Os problemas 1, 19 e 25 do Papiro de Moscou são problemas Aha. Por exemplo, o problema 19 pede que se calcule uma quantidade tomada 1+1/2vezes e adicionado a 4 para perfazer 10. Em outras palavras, na notação matemática moderna, somos solicitados a resolver a equação linear :

${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} \ times x + 4 = 10. \}$

Resolver esses problemas Aha envolve uma técnica chamada método da posição falsa . A técnica também é chamada de método de suposição falsa. O escriba substituía uma suposição inicial da resposta no problema. A solução usando a suposição falsa seria proporcional à resposta real, e o escriba encontraria a resposta usando essa proporção.

Os escritos matemáticos mostram que os escribas usaram (pelo menos) múltiplos comuns para transformar problemas com frações em problemas usando inteiros. Nesta conexão, os números auxiliares vermelhos são escritos ao lado das frações.

O uso das frações do olho de Hórus mostra algum conhecimento (rudimentar) da progressão geométrica. O conhecimento das progressões aritméticas também é evidente nas fontes matemáticas.

Equações quadráticas

Os antigos egípcios foram a primeira civilização a desenvolver e resolver equações de segundo grau ( quadráticas ). Esta informação é encontrada no fragmento do Papiro de Berlim . Além disso, os egípcios resolvem equações algébricas de primeiro grau encontradas em Rhind Mathematical Papyrus .

Geometria

Imagem do Problema 14 do Papiro Matemático de Moscou . O problema inclui um diagrama que indica as dimensões da pirâmide truncada.

Há apenas um número limitado de problemas do antigo Egito que dizem respeito à geometria. Problemas geométricos aparecem no Papiro Matemático de Moscou (MMP) e no Papiro Matemático Rhind (RMP). Os exemplos demonstram que os antigos egípcios sabiam computar áreas de várias formas geométricas e os volumes de cilindros e pirâmides.

• Área:
  • Triângulos: Os escribas registram problemas ao calcular a área de um triângulo (RMP e MMP).
  • Retângulos: Problemas relacionados à área de um terreno retangular aparecem no RMP e no MMP. Um problema semelhante aparece no Lahun Mathematical Papyri em Londres.
  • Círculos: O problema 48 do RMP compara a área de um círculo (aproximada por um octógono) e seu quadrado circunscrito. O resultado desse problema é usado no problema 50, onde o escriba encontra a área de um campo redondo de diâmetro 9 khet.
  • Hemisfério: O problema 10 no MMP encontra a área de um hemisfério.
• Volumes:
  • Celeiros cilíndricos : Vários problemas calculam o volume de celeiros cilíndricos (RMP 41–43), enquanto o problema 60 RMP parece referir-se a um pilar ou cone em vez de uma pirâmide. É bastante pequeno e íngreme, com um seked (recíproco de declive) de quatro palmas (por côvado). Na secção IV.3 do Lahun Mathematical Papyri o volume de um celeiro com uma base circular é encontrado usando o mesmo procedimento que RMP 43.
  • Celeiros retangulares: Vários problemas no Papiro Matemático de Moscou (problema 14) e no Papiro Matemático Rhind (números 44, 45, 46) calculam o volume de um celeiro retangular.
  • Pirâmide truncada (tronco): O volume de uma pirâmide truncada é calculado em MMP 14.

The Seqed

O problema 56 do RMP indica uma compreensão da ideia de similaridade geométrica. Este problema discute a relação execução / aumento, também conhecida como seqed. Essa fórmula seria necessária para construir pirâmides. No próximo problema (Problema 57), a altura de uma pirâmide é calculada a partir do comprimento da base e do seked (egípcio para o recíproco da inclinação), enquanto o problema 58 dá o comprimento da base e a altura e usa essas medidas para calcule o seqed. No Problema 59, a parte 1 calcula o seqed, enquanto a segunda parte pode ser um cálculo para verificar a resposta: Se você construir uma pirâmide com o lado da base 12 [côvados] e com um seqed de 5 palmas 1 dedo; qual a sua altitude?

Veja também

• Número auxiliar vermelho
• História da matemática
  • História da geometria
• Hieróglifos egípcios e transliteração do antigo egípcio
• Unidades de medida e tecnologia do Egito Antigo
• Matemática e arquitetura

Referências

Leitura adicional

links externos

• Aritmética egípcia
• Introdução à Matemática Primitiva