Notação de Einstein - Einstein notation
Em matemática , especialmente em aplicações de álgebra linear à física , a notação de Einstein (também conhecida como convenção de soma de Einstein ou notação de soma de Einstein [esn] ) é uma convenção de notação que implica a soma de um conjunto de termos indexados em uma fórmula, alcançando a brevidade . Como parte da matemática, é um subconjunto notacional do cálculo de Ricci ; no entanto, é frequentemente usado em aplicações físicas que não distinguem entre espaços tangentes e cotangentes . Foi introduzido na física por Albert Einstein em 1916.
Introdução
Declaração de convenção
De acordo com essa convenção, quando uma variável de índice aparece duas vezes em um único termo e não é definida de outra forma (ver variáveis livres e limitadas ), isso implica a soma desse termo sobre todos os valores do índice. Então, onde os índices podem variar ao longo do conjunto {1, 2, 3} ,
é simplificado pela convenção para:
Os índices superiores não são expoentes, mas são índices de coordenadas, coeficientes ou vetores de base . Ou seja, neste contexto x 2 deve ser entendido como o segundo componente de x em vez do quadrado de x (isso pode ocasionalmente levar à ambigüidade). A posição superior do índice em x i ocorre porque, normalmente, um índice ocorre uma vez em uma posição superior (sobrescrito) e uma vez em uma posição inferior (subscrito) em um termo (consulte § Aplicação abaixo). Normalmente, ( x 1 x 2 x 3 ) seria equivalente ao tradicional ( x y z ) .
Na relatividade geral , uma convenção comum é que
- o alfabeto grego é usado para componentes de espaço e tempo, onde os índices assumem os valores 0, 1, 2 ou 3 (as letras frequentemente usadas são μ , ν , ... ),
- o alfabeto latino é usado apenas para componentes espaciais, onde os índices assumem os valores 1, 2 ou 3 (as letras frequentemente usadas são i , j , ... ),
Em geral, os índices podem variar em qualquer conjunto de indexação , incluindo um conjunto infinito . Isso não deve ser confundido com uma convenção tipograficamente semelhante usada para distinguir entre a notação de índice de tensor e a notação de índice abstrato independente de base intimamente relacionada, mas distinta .
Um índice que é somado é um índice de soma , neste caso " i ". É também chamado de índice fictício, pois qualquer símbolo pode substituir " i " sem alterar o significado da expressão, desde que não colida com os símbolos de índice no mesmo termo.
Um índice que não é somado é um índice livre e deve aparecer apenas uma vez por termo. Se esse índice aparecer, geralmente também aparecerá em termos pertencentes à mesma soma, com exceção de valores especiais como zero.
Um exemplo de índice vinculado é "i" na expressão que é equivalente a . Observe que mesmo quando "i" aparece duas vezes na parte direita da equação, nenhuma soma implícita se aplica.
Aplicativo
A notação de Einstein pode ser aplicada de maneiras ligeiramente diferentes. Normalmente, cada índice ocorre uma vez em uma posição superior (sobrescrito) e uma vez em uma posição inferior (subscrito) em um termo; no entanto, a convenção pode ser aplicada de forma mais geral a quaisquer índices repetidos dentro de um termo. Ao lidar com vetores covariantes e contravariantes , onde a posição de um índice também indica o tipo de vetor, o primeiro caso geralmente se aplica; um vetor covariante só pode ser contraído com um vetor contravariante, correspondendo à soma dos produtos dos coeficientes. Por outro lado, quando existe uma base de coordenadas fixas (ou quando não se consideram vetores de coordenadas), pode-se optar por usar apenas subscritos; veja § Sobrescritos e subscritos versus apenas subscritos abaixo.
Representações vetoriais
Sobrescritos e subscritos versus apenas subscritos
Em termos de covariância e contravariância de vetores ,
- índices superiores representam componentes de vetores contravariantes ( vetores ),
- índices mais baixos representam componentes de vetores covariantes ( covetores ).
Eles se transformam de forma contravariante ou covariante, respectivamente, com relação à mudança de base.
Em reconhecimento a esse fato, a seguinte notação usa o mesmo símbolo para um vetor ou covetor e seus componentes , como em:
onde v é o vetor ev i são seus componentes (não o i ésimo covetor v ), w é o covetor ew i são seus componentes. Os elementos do vetor de base são os vetores de cada coluna e os elementos de base do covetor são os covetores de cada linha. (Veja também a descrição abstrata; dualidade , abaixo e os exemplos )
Na presença de uma forma não degenerada (um isomorfismo V → V ∗ , por exemplo uma métrica Riemanniana ou métrica Minkowski ), pode-se aumentar e diminuir os índices .
Uma base fornece tal forma (por meio da base dual ), portanto, ao trabalhar em R n com uma métrica euclidiana e uma base ortonormal fixa, tem-se a opção de trabalhar apenas com subscritos.
No entanto, se alguém muda as coordenadas, a maneira como os coeficientes mudam depende da variância do objeto, e não se pode ignorar a distinção; veja covariância e contravariância de vetores .
Mnemônicos
No exemplo acima, os vetores são representados como matrizes n × 1 (vetores coluna), enquanto os covetores são representados como matrizes 1 × n (covetores linha).
Ao usar a convenção de vetor de coluna:
- " Até por índices de ir -se para baixo; l ower índices de ir l EFT para a direita."
- " Tensores co- variantes são vetores linha que têm índices que estão abaixo ( co-linha abaixo )."
- Os covetores são vetores de linha:
- Os vetores contravariantes são vetores de coluna:
Descrição abstrata
A virtude da notação de Einstein é que ela representa as quantidades invariantes com uma notação simples.
Em física, um escalar é invariante sob transformações de base . Em particular, um escalar de Lorentz é invariante sob uma transformação de Lorentz. Os termos individuais da soma não são. Quando a base é alterada, os componentes de um vetor mudam por uma transformação linear descrita por uma matriz. Isso levou Einstein a propor a convenção de que índices repetidos implicam que o somatório deve ser feito.
Já os covetores mudam pela matriz inversa. Isso é projetado para garantir que a função linear associada ao covetor, a soma acima, seja a mesma, não importa qual seja a base.
O valor da convenção de Einstein é que ela se aplica a outros espaços vetoriais construídos a partir de V usando o produto tensorial e a dualidade . Por exemplo, V ⊗ V , o produto tensorial de V consigo mesmo, tem uma base que consiste em tensores da forma e ij = e i ⊗ e j . Qualquer tensor T em V ⊗ V pode ser escrito como:
V * , o dual de V , tem uma base e 1 , e 2 , ..., e n que obedece à regra
onde δ é o delta de Kronecker . Como
as coordenadas de linha / coluna em uma matriz correspondem aos índices superior / inferior no produto tensorial.
Operações comuns nesta notação
Na notação de Einstein, a referência de elemento usual para a ésima linha e a coluna da matriz torna-se . Podemos então escrever as seguintes operações na notação de Einstein como segue.
Produto interno (portanto, também produto escalar vetorial )
Usando uma base ortogonal , o produto interno é a soma dos componentes correspondentes multiplicados juntos:
Isso também pode ser calculado multiplicando o covetor no vetor.
Produto vetorial cruzado
Novamente, usando uma base ortogonal (em 3 dimensões), o produto vetorial envolve intrinsecamente somas sobre permutações de componentes:
Onde
ε ijk é o símbolo de Levi-Civita e δ il é o delta de Kronecker generalizado. Com base nesta definição de ε , não há diferença entre ε i jk e ε ijk, mas sim a posição dos índices.
Multiplicação de matriz-vetor
O produto de uma matriz A ij com um vetor coluna v j é:
equivalente a
Este é um caso especial de multiplicação de matrizes.
Multiplicação da matriz
O produto da matriz de duas matrizes A ij e B jk é:
equivalente a
Vestígio
Para uma matriz quadrada A i j , o traço é a soma dos elementos diagonais, portanto, a soma sobre um índice comum A i i .
Produto externo
O produto externo do vetor coluna u i pelo vetor linha v j produz uma matriz A m × n :
Como i e j representam dois índices diferentes , não há soma e os índices não são eliminados pela multiplicação.
Índices de aumento e redução
Dado um tensor, pode-se aumentar ou diminuir um índice ao contrair o tensor com o tensor métrico , g μν . Por exemplo, tome o tensor T α β , pode-se aumentar um índice:
Ou pode-se diminuir um índice:
Veja também
- Tensor
- Notação de índice abstrato
- Notação de sutiã
- Notação gráfica Penrose
- Símbolo Levi-Civita
- Notação DeWitt
Notas
- Isso se aplica apenas a índices numéricos. A situação é oposta para índices abstratos . Então, os próprios vetores carregam índices abstratos superiores e covetores carregam índices abstratos inferiores, conforme o exemplo na introdução deste artigo. Os elementos de uma base de vetores podem ter um índice numérico inferior e um índice abstrato superior .
Referências
Bibliografia
- Kuptsov, LP (2001) [1994], "Einstein rule" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.
links externos
- Rawlings, Steve (01/02/2007). "Aula 10 - Convenção de Soma de Einstein e Identidades de Vetores" . Universidade de Oxford. Arquivado do original em 06/01/2017 . Página visitada em 2008-07-02 .
- "Compreendendo o einsum do NumPy" . Stack Overflow .