Mobilidade eletrônica -Electron mobility

A saturação de velocidade não é o único comportamento de alto campo possível. Outro é o efeito Gunn , onde um campo elétrico suficientemente alto pode causar transferência intervalada de elétrons, o que reduz a velocidade de deriva. Isso é incomum; aumentar o campo elétrico quase sempre aumenta a velocidade de deriva, ou então a deixa inalterada. O resultado é uma resistência diferencial negativa .

No regime de saturação de velocidade (ou outros efeitos de alto campo), a mobilidade é uma forte função do campo elétrico. Isso significa que a mobilidade é um conceito um pouco menos útil, comparado a simplesmente discutir a velocidade de deriva diretamente.

Relação entre dispersão e mobilidade

Lembre-se que, por definição, a mobilidade depende da velocidade de deriva. O principal fator que determina a velocidade de deriva (além da massa efetiva ) é o tempo de espalhamento , ou seja, quanto tempo o transportador é acelerado balisticamente pelo campo elétrico até que se espalhe (colide) com algo que mude sua direção e/ou energia. As fontes mais importantes de espalhamento em materiais semicondutores típicos, discutidas abaixo, são espalhamento de impurezas ionizadas e espalhamento de fônons acústicos (também chamado de espalhamento de rede). Em alguns casos, outras fontes de espalhamento podem ser importantes, como espalhamento de impurezas neutras, espalhamento de fônons ópticos, espalhamento de superfície e espalhamento de defeitos .

A dispersão elástica significa que a energia é (quase) conservada durante o evento de dispersão. Alguns processos de espalhamento elástico são espalhamento de fônons acústicos, espalhamento de impureza , espalhamento piezoelétrico , etc. Esse fenômeno geralmente é modelado assumindo que as vibrações da rede causam pequenos deslocamentos nas bandas de energia. O potencial adicional que causa o processo de espalhamento é gerado pelos desvios de bandas devido a essas pequenas transições de posições congeladas da rede.

Dispersão de impurezas ionizadas

Os semicondutores são dopados com doadores e/ou aceitadores, que são tipicamente ionizados e, portanto, carregados. As forças Coulombianas irão desviar um elétron ou buraco que se aproxima da impureza ionizada. Isso é conhecido como espalhamento de impurezas ionizadas . A quantidade de deflexão depende da velocidade do transportador e sua proximidade com o íon. Quanto mais fortemente dopado um material, maior a probabilidade de um portador colidir com um íon em um determinado tempo, e menor o tempo livre médio entre colisões e menor a mobilidade. Ao determinar a força dessas interações devido à natureza de longo alcance do potencial de Coulomb, outras impurezas e carreadores livres fazem com que a faixa de interação com os carreadores reduza significativamente em comparação com a interação de Coulomb nua.

Se esses espalhadores estiverem próximos à interface, a complexidade do problema aumenta devido à existência de defeitos e distúrbios nos cristais. Centros de captura de carga que espalham transportadores livres se formam em muitos casos devido a defeitos associados a ligações pendentes. O espalhamento acontece porque, após prender uma carga, o defeito fica carregado e, portanto, começa a interagir com portadores livres. Se os transportadores dispersos estiverem na camada de inversão na interface, a dimensionalidade reduzida dos transportadores faz com que o caso seja diferente do caso de espalhamento de impureza a granel, pois os transportadores se movem apenas em duas dimensões. A rugosidade interfacial também causa espalhamento de curto alcance limitando a mobilidade de elétrons quase bidimensionais na interface.

Espalhamento de rede (fonon)

Em qualquer temperatura acima do zero absoluto , os átomos vibrantes criam ondas de pressão (acústicas) no cristal, que são chamadas de fônons . Assim como os elétrons, os fônons podem ser considerados partículas. Um fônon pode interagir (colidir) com um elétron (ou buraco) e espalhá-lo. Em temperaturas mais altas, há mais fônons e, portanto, maior espalhamento de elétrons, o que tende a reduzir a mobilidade.

Espalhamento piezoelétrico

O efeito piezoelétrico pode ocorrer apenas em semicondutores compostos devido à sua natureza polar. É pequeno na maioria dos semicondutores, mas pode levar a campos elétricos locais que causam espalhamento de portadores ao defletá-los, este efeito é importante principalmente em baixas temperaturas onde outros mecanismos de espalhamento são fracos. Esses campos elétricos surgem da distorção da célula unitária básica à medida que a tensão é aplicada em certas direções na rede.

Espalhamento da rugosidade da superfície

O espalhamento de rugosidade da superfície causado por desordem interfacial é um espalhamento de curto alcance que limita a mobilidade de elétrons quase bidimensionais na interface. A partir de micrografias eletrônicas de transmissão de alta resolução, foi determinado que a interface não é abrupta no nível atômico, mas a posição real do plano interfacial varia uma ou duas camadas atômicas ao longo da superfície. Essas variações são aleatórias e causam flutuações nos níveis de energia na interface, o que causa espalhamento.

Dispersão de liga

Em semicondutores compostos (ligas), que são muitos materiais termoelétricos, o espalhamento causado pela perturbação do potencial do cristal devido ao posicionamento aleatório de espécies de átomos substitutos em uma sub-rede relevante é conhecido como espalhamento de liga. Isso só pode acontecer em ligas ternárias ou superiores, pois sua estrutura cristalina se forma substituindo aleatoriamente alguns átomos em uma das sub-redes (sub-redes) da estrutura cristalina. Geralmente, este fenômeno é bastante fraco, mas em certos materiais ou circunstâncias, pode se tornar um efeito dominante limitando a condutividade. Em materiais a granel, a dispersão de interface é geralmente ignorada.

Espalhamento inelástico

Durante os processos de espalhamento inelástico, ocorre uma troca significativa de energia. Assim como no espalhamento elástico de fônons, também no caso inelástico, o potencial surge de deformações na banda de energia causadas por vibrações atômicas. Os fônons ópticos que causam espalhamento inelástico geralmente têm energia na faixa de 30 a 50 meV, para comparação as energias dos fônons acústicos são tipicamente inferiores a 1 meV, mas alguns podem ter energia na ordem de 10 meV. Há uma mudança significativa na energia do portador durante o processo de espalhamento. Fônons ópticos ou acústicos de alta energia também podem causar espalhamento intervalado ou interbanda, o que significa que o espalhamento não é limitado a um único vale.

Espalhamento elétron-elétron

Devido ao princípio de exclusão de Pauli, os elétrons podem ser considerados como não interativos se sua densidade não exceder o valor 10 ¹⁶ ~10 ¹⁷ cm ⁻³ ou o valor do campo elétrico 10 ³ V/cm. No entanto, significativamente acima desses limites, o espalhamento elétron-elétron começa a dominar. Longo alcance e não linearidade do potencial de Coulomb que governa as interações entre os elétrons tornam essas interações difíceis de lidar.

Relação entre mobilidade e tempo de dispersão

Um modelo simples fornece a relação aproximada entre o tempo de espalhamento (tempo médio entre eventos de espalhamento) e a mobilidade. Assume-se que após cada evento de espalhamento, o movimento do transportador é aleatório, então ele tem velocidade média zero. Depois disso, ele acelera uniformemente no campo elétrico, até se espalhar novamente. A mobilidade de deriva média resultante é:

$${\displaystyle \mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}}$$

Se a massa efetiva for anisotrópica (dependente da direção), m* é a massa efetiva na direção do campo elétrico.

Regra de Matthiessen

Normalmente, mais de uma fonte de espalhamento está presente, por exemplo, impurezas e fônons de rede. Normalmente é uma boa aproximação combinar suas influências usando a "Regra de Matthiessen" (desenvolvida a partir do trabalho de Augustus Matthiessen em 1864):

$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurezas}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {rede }}}}.}$$

${\displaystyle \mu _{\rm {impurezas}}}$

${\displaystyle \mu _{\rm {rede}}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurezas}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {rede }}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {defeitos}}}}+\cdots .}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {impurezas}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {lattice }}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {defeitos}}}}+\cdots .}$$

A regra de Matthiessen é uma aproximação e não é universalmente válida. Esta regra não é válida se os fatores que afetam a mobilidade dependem uns dos outros, porque as probabilidades de espalhamento individuais não podem ser somadas a menos que sejam independentes umas das outras. O tempo médio de voo livre de uma transportadora e, portanto, o tempo de relaxamento é inversamente proporcional à probabilidade de espalhamento. Por exemplo, o espalhamento de rede altera a velocidade média do elétron (na direção do campo elétrico), que por sua vez altera a tendência de espalhar impurezas. Existem fórmulas mais complicadas que tentam levar em conta esses efeitos.

Dependência da temperatura da mobilidade

Com o aumento da temperatura, a concentração de fônons aumenta e causa o aumento da dispersão. Assim, o espalhamento de rede diminui a mobilidade do portador cada vez mais em temperaturas mais altas. Cálculos teóricos revelam que a mobilidade em semicondutores não polares , como silício e germânio, é dominada pela interação de fônons acústicos . Espera-se que a mobilidade resultante seja proporcional a T  ^−3/2 , enquanto espera-se que a mobilidade devida apenas ao espalhamento óptico de fônons seja proporcional a T  ^−1/2 . Experimentalmente, os valores da dependência da temperatura da mobilidade em Si, Ge e GaAs estão listados na tabela.

Como , onde é a seção de choque de espalhamento para elétrons e buracos em um centro de espalhamento e é uma média térmica (estatística de Boltzmann) sobre todas as velocidades de elétrons ou buracos na banda de condução inferior ou banda de valência superior, a dependência da mobilidade com a temperatura pode ser determinada. Aqui, a seguinte definição para a seção transversal de espalhamento é usada: número de partículas espalhadas no ângulo sólido dΩ por unidade de tempo dividido pelo número de partículas por área por tempo (intensidade incidente), que vem da mecânica clássica. Como as estatísticas de Boltzmann são válidas para semicondutores . ${\textstyle {\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma }$${\estilo de exibição \Sigma }$${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$${\displaystyle \left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}}$

Para espalhamento de fônons acústicos, para temperaturas bem acima da temperatura de Debye, a seção transversal estimada Σ _ph é determinada a partir do quadrado da amplitude vibracional média de um fônon para ser proporcional a T. O espalhamento de defeitos carregados (doadores ou aceitadores ionizados) leva para a seção transversal . Esta fórmula é a seção transversal de espalhamento para "espalhamento de Rutherford", onde uma carga pontual (transportadora) passa por outra carga pontual (defeito) experimentando interação de Coulomb. ${\displaystyle {\Sigma }_{\text{def}}\propto {\left\langle v\right\rangle }^{-4}}$

As dependências de temperatura desses dois mecanismos de espalhamento em semicondutores podem ser determinadas combinando fórmulas para τ, Σ e , para espalhamento de fônons acústicos e de defeitos carregados . ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$${\displaystyle {\mu }_{ph}\sim T^{-3/2}}$${\displaystyle {\mu }_{\text{def}}\sim T^{3/2}}$

O efeito do espalhamento de impurezas ionizadas, no entanto, diminui com o aumento da temperatura porque as velocidades térmicas médias dos transportadores são aumentadas. Assim, os transportadores passam menos tempo perto de uma impureza ionizada à medida que passam e o efeito de dispersão dos íons é reduzido.

Esses dois efeitos operam simultaneamente nos portadores através da regra de Matthiessen. Em temperaturas mais baixas, o espalhamento de impurezas ionizadas domina, enquanto em temperaturas mais altas, o espalhamento de fônons domina, e a mobilidade real atinge um máximo em uma temperatura intermediária.

Semicondutores desordenados

Densidade de estados de um sólido possuindo uma borda de mobilidade, .${\estilo de exibição E_{C}}$

Enquanto em materiais cristalinos os elétrons podem ser descritos por funções de onda estendidas sobre todo o sólido, este não é o caso em sistemas com desordem estrutural apreciável, como semicondutores policristalinos ou amorfos . Anderson sugeriu que além de um valor crítico de desordem estrutural, os estados dos elétrons seriam localizados . Os estados localizados são descritos como confinados a uma região finita do espaço real, normalizáveis ​​e não contribuindo para o transporte. Os estados estendidos estão espalhados pela extensão do material, não normalizáveis, e contribuem para o transporte. Ao contrário dos semicondutores cristalinos, a mobilidade geralmente aumenta com a temperatura em semicondutores desordenados.

Múltiplas Armadilhas e Liberações

Mott mais tarde desenvolveu o conceito de uma vantagem de mobilidade. Esta é uma energia , acima da qual os elétrons sofrem uma transição de estados localizados para estados deslocalizados. Nesta descrição, denominada

${\estilo de exibição E_{C}}$

Diagrama de banda de energia representando o transporte de elétrons sob múltiplas capturas e liberação.

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-{\frac {E_{A}}{k_{B}T}}\right)}$$

onde é um pré-fator de mobilidade, é a energia de ativação, é a Constante de Boltzmann e é a temperatura. A energia de ativação é tipicamente avaliada medindo a mobilidade em função da temperatura. A

${\estilo de exibição \mu _{0}}$

${\estilo de exibição E_{A}}$

${\estilo de exibição k_{B}}$

${\estilo de exibição T}$

Salto de intervalo variável

Em baixas temperaturas, ou em sistemas com alto grau de desordem estrutural (como sistemas totalmente amorfos), os elétrons não podem acessar estados deslocalizados. Em tal sistema, os elétrons só podem viajar por tunelamento de um local para outro, em um processo chamado salto de alcance variável . Na teoria original do salto de alcance variável, desenvolvida por Mott e Davis, a probabilidade de um elétron saltar de um sítio para outro depende de sua separação no espaço e sua separação em energia . ${\estilo de exibição P_{ij}}$${\estilo de exibição i}$${\ estilo de exibição j}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle \Delta E_{ij}}$

$${\displaystyle P_{ij}=P_{0}\exp \left(-2\alpha r_{ij}-{\frac {\Delta E_{ij}}{k_{B}T}}\right)}$$

Aqui está um pré-fator associado à frequência do fônon no material e é o parâmetro de sobreposição da função de onda. A mobilidade em um sistema governado por salto de alcance variável pode ser mostrada como: ${\estilo de exibição P_{0}}$${\ estilo de exibição \ alfa }$

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-\left[{\frac {T_{0}}{T}}\right]^{-1/(d+1)}\right )}$$

onde é um pré-fator de mobilidade, é um parâmetro (com dimensões de temperatura) que quantifica a largura de estados localizados e é a dimensionalidade do sistema. ${\estilo de exibição \mu _{0}}$${\estilo de exibição T_{0}}$${\estilo de exibição d}$

Medição da mobilidade de semicondutores

Mobilidade do salão

Configuração de medição de efeito Hall para furos

Configuração de medição de efeito Hall para elétrons

A mobilidade do portador é mais comumente medida usando o efeito Hall . O resultado da medição é chamado de "mobilidade Hall" (que significa "mobilidade inferida de uma medição do efeito Hall").

Considere uma amostra de semicondutor com uma seção transversal retangular como mostrado nas figuras, uma corrente está fluindo na direção x e um campo magnético é aplicado na direção z . A força de Lorentz resultante acelerará os elétrons ( materiais do tipo n ) ou buracos ( materiais do tipo p ) na direção ( −y ), de acordo com a regra da mão direita e criará um campo elétrico ξ _y . Como resultado, há uma tensão na amostra, que pode ser medida com um voltímetro de alta impedância . Esta tensão, V _H , é chamada de tensão Hall . V _H é negativo para material tipo n e positivo para material tipo p .

Matematicamente, a força de Lorentz agindo sobre uma carga q é dada por

Para elétrons:

$${\displaystyle {\vec {F}}_{Hn}=-q({\vec {v}}_{n}\times {\vec {B}}_{z})}$$

Para furos:

$${\displaystyle {\vec {F}}_{Hp}=+q({\vec {v}}_{p}\times {\vec {B}}_{z})}$$

No estado estacionário, esta força é equilibrada pela força estabelecida pela tensão Hall, de modo que não há força resultante sobre os portadores na direção y . Para o elétron,

$${\displaystyle {\vec {F}}_{y}=(-q){\vec {\xi }}_{y}+(-q)[{\vec {v}}_{n}\times {\vec {B}}_{z}]=0}$$

$${\displaystyle \Rightarrow -q\xi _{y}+qv_{x}B_{z}=0}$$

$${\displaystyle \xi _{y}=v_{x}B_{z}}$$

Para elétrons, o campo aponta na direção −y , e para buracos, aponta na direção + y .

A corrente eletrônica I é dada por . Sub

${\estilo de exibição I=-qnv_{x}tW}$

$${\displaystyle \xi _{y}=-{\frac {IB}{nqtW}}=+{\frac {R_{Hn}IB}{tW}}}$$

onde R _Hn é o coeficiente Hall para o elétron, e é definido como

$${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}}$$

Desde${\displaystyle \xi _{y}={\frac {V_{H}}{W}}}$

$${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}={\frac {V_{Hn}t}{IB}}}$$

Da mesma forma, para furos

$${\displaystyle R_{Hp}={\frac {1}{pq}}={\frac {V_{Hp}t}{IB}}}$$

A partir do coeficiente Hall, podemos obter a mobilidade da portadora da seguinte forma:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\left(-nq\right)\mu _{n}\left(-{\frac {1}{nq}}\right)\\ &=-\sigma _{n}R_{Hn}\\&=-{\frac {\sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}\end{aligned}}}$$

Similarmente,

$${\displaystyle \mu _{p}={\frac {\sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}}$$

Aqui, o valor de V _Hp (tensão Hall), t (espessura da amostra), I (corrente) e B (campo magnético) pode ser medido diretamente, e as condutividades σ _n ou σ _p são conhecidas ou podem ser obtidas pela medição do resistividade.

Mobilidade de efeito de campo

A mobilidade também pode ser medida usando um transistor de efeito de campo (FET). O resultado da medição é chamado de "mobilidade de efeito de campo" (que significa "mobilidade inferida de uma medição de efeito de campo").

A medição pode funcionar de duas maneiras: A partir de medições de modo de saturação ou medições de região linear. (Veja MOSFET para uma descrição dos diferentes modos ou regiões de operação.)

Usando o modo de saturação

Nesta técnica, para cada tensão de porta fixa V _GS , a tensão dreno-fonte V _DS é aumentada até que a corrente I _D sature. Em seguida, a raiz quadrada dessa corrente saturada é plotada em relação à tensão da porta e a inclinação m _sat é medida. Então a mobilidade é:

$${\displaystyle \mu =m_{\text{sat}}^{2}{\frac {2L}{W}}{\frac {1}{C_{i}}}}$$

$${\displaystyle I_{D}={\frac {\mu C_{i}}{2}}{\frac {W}{L}}(V_{GS}-V_{th})^{2}.}$$

Usando a região linear

Nesta técnica, o transistor é operado na região linear (ou "modo ôhmico"), onde V _DS é pequeno e com inclinação

${\displaystyle I_{D}\propto V_{GS}}$

$${\displaystyle \mu =m_{\text{lin}}{\frac {L}{W}}{\frac {1}{V_{DS}}}{\frac {1}{C_{i}}} .}$$

$${\displaystyle I_{D}=\mu C_{i}{\frac {W}{L}}\left((V_{GS}-V_{th})V_{DS}-{\frac {V_{DS }^{2}}{2}}\right)}$$

Mobilidade óptica

A mobilidade eletrônica pode ser determinada a partir de medições da técnica de fotorrefletância a laser sem contato . Uma série de medições de fotorrefletância é feita à medida que a amostra passa pelo foco. O comprimento de difusão de elétrons e o tempo de recombinação são determinados por um ajuste regressivo aos dados. Em seguida, a relação de Einstein é usada para calcular a mobilidade.

Mobilidade Terahertz

A mobilidade eletrônica pode ser calculada a partir da medição da sonda terahertz resolvida no tempo . Os pulsos de laser de femtosegundo excitam o semicondutor e a fotocondutividade resultante é medida usando uma sonda de terahertz, que detecta mudanças no campo elétrico de terahertz.

Condutividade de microondas resolvida no tempo (TRMC)

Um proxy para a mobilidade do portador de carga pode ser avaliado usando a condutividade de microondas resolvida no tempo (TRMC). Um laser óptico pulsado é usado para criar elétrons e buracos em um semicondutor, que são então detectados como um aumento na fotocondutância. Com o conhecimento da absorbância da amostra, dimensões e fluência do laser incidente, pode-se avaliar o parâmetro, onde é o rendimento de geração de portadores (entre 0 e 1), é a mobilidade do elétron e é a mobilidade do buraco. tem as mesmas dimensões que a mobilidade, mas o tipo de portador (elétron ou buraco) é obscurecido. ${\displaystyle \phi \Sigma \mu =\phi (\mu _{e}+\mu _{h})}$${\ estilo de exibição \phi }$${\estilo de exibição \mu _{e}}$${\estilo de exibição \mu _{h}}$${\displaystyle \phi \Sigma \mu }$

Dependência de concentração de dopagem em silício fortemente dopado

Os portadores de carga em semicondutores são elétrons e buracos. Seus números são controlados pelas concentrações de elementos de impureza, ou seja, concentração de dopagem. Assim, a concentração de doping tem grande influência na mobilidade do portador.

Embora haja uma dispersão considerável nos dados experimentais , para material não compensado (sem contra-dopagem) para substratos fortemente dopados (ou seja , para cima), a mobilidade no silício é frequentemente caracterizada pela