Geometria elíptica - Elliptic geometry

A geometria elíptica é um exemplo de geometria em que o postulado paralelo de Euclides não se sustenta. Em vez disso, como na geometria esférica , não há linhas paralelas, pois quaisquer duas linhas devem se cruzar. No entanto, ao contrário da geometria esférica, geralmente assume-se que duas linhas se cruzam em um único ponto (em vez de dois). Por causa disso, a geometria elíptica descrita neste artigo às vezes é chamada de geometria elíptica única, enquanto a geometria esférica é às vezes chamada de geometria elíptica dupla .

O aparecimento desta geometria no século XIX estimulou o desenvolvimento da geometria não euclidiana em geral, incluindo a geometria hiperbólica .

A geometria elíptica tem uma variedade de propriedades que diferem das da geometria plana euclidiana clássica. Por exemplo, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre maior que 180 °.

Definições

Na geometria elíptica, duas linhas perpendiculares a uma determinada linha devem se cruzar. Na verdade, todas as perpendiculares de um lado se cruzam em um único ponto denominado pólo absoluto dessa linha. As perpendiculares do outro lado também se cruzam em um ponto. No entanto, ao contrário da geometria esférica, os pólos de cada lado são iguais. Isso ocorre porque não há pontos antípodas na geometria elíptica. Por exemplo, isso é obtido no modelo hiperesférico (descrito abaixo), tornando os "pontos" em nossa geometria, na verdade, pares de pontos opostos em uma esfera. A razão para fazer isso é que ela permite que a geometria elíptica satisfaça o axioma de que existe uma linha única passando por quaisquer dois pontos.

Cada ponto corresponde a uma linha polar absoluta da qual é o pólo absoluto. Qualquer ponto nesta linha polar forma um par conjugado absoluto com o pólo. Esse par de pontos é ortogonal e a distância entre eles é um quadrante .

A distância entre um par de pontos é proporcional ao ângulo entre seus polares absolutos.

Conforme explicado por HSM Coxeter :

O nome "elíptico" é possivelmente enganoso. Não implica nenhuma conexão direta com a curva chamada elipse, mas apenas uma analogia um tanto rebuscada. Uma cônica central é chamada de elipse ou hipérbole, pois não tem assíntotas ou duas assíntotas . Analogamente, um plano não euclidiano é dito elíptico ou hiperbólico, pois cada uma de suas linhas não contém nenhum ponto no infinito ou dois pontos no infinito.

Duas dimensões

Plano elíptico

O plano elíptico é o plano projetivo real fornecido com uma métrica : Kepler e Desargues usaram a projeção gnomônica para relacionar um plano σ a pontos em um hemisfério tangente a ele. Com O no centro do hemisfério, um ponto P em σ determina uma linha OP cruzando o hemisfério, e qualquer linha L ⊂ σ determina um plano OL que cruza o hemisfério na metade de um grande círculo . O hemisfério é delimitado por um plano através de O e paralelo a σ. Nenhuma linha comum de σ corresponde a este plano; em vez disso, uma linha no infinito é anexada a σ. Como qualquer linha nesta extensão de σ corresponde a um plano através de O, e uma vez que qualquer par de tais planos se cruza em uma linha através de O, pode-se concluir que qualquer par de linhas na extensão se cruza: o ponto de intersecção está onde o plano a intersecção encontra σ ou a linha no infinito. Assim, o axioma da geometria projetiva, exigindo que todos os pares de linhas em um plano se cruzem, é confirmado.

Dados P e Q em σ, a distância elíptica entre eles é a medida do ângulo POQ , geralmente em radianos. Arthur Cayley iniciou o estudo da geometria elíptica quando escreveu "Sobre a definição de distância". Esta aventura na abstração em geometria foi seguida por Felix Klein e Bernhard Riemann, levando à geometria não euclidiana e à geometria Riemanniana .

Comparação com geometria euclidiana

Comparação das geometrias elíptica, euclidiana e hiperbólica em duas dimensões

Na geometria euclidiana, uma figura pode ser aumentada ou diminuída indefinidamente, e as figuras resultantes são semelhantes, ou seja, têm os mesmos ângulos e as mesmas proporções internas. Na geometria elíptica, esse não é o caso. Por exemplo, no modelo esférico, podemos ver que a distância entre quaisquer dois pontos deve ser estritamente menor que a metade da circunferência da esfera (porque os pontos antípodais são identificados). Um segmento de linha, portanto, não pode ser escalado indefinidamente. Um geômetro que mede as propriedades geométricas do espaço que habita pode detectar, por meio de medições, que existe uma certa escala de distância que é propriedade do espaço. Em escalas muito menores do que esta, o espaço é aproximadamente plano, a geometria é aproximadamente euclidiana e as figuras podem ser aumentadas ou diminuídas enquanto permanecem aproximadamente semelhantes.

Grande parte da geometria euclidiana é transportada diretamente para a geometria elíptica. Por exemplo, o primeiro e o quarto postulados de Euclides, de que existe uma linha única entre dois pontos quaisquer e que todos os ângulos retos são iguais, são válidos na geometria elíptica. O postulado 3, de que se pode construir um círculo com qualquer centro e raio dados, falha se "qualquer raio" significa "qualquer número real", mas é válido se for considerado "o comprimento de qualquer segmento de linha dado". Portanto, qualquer resultado na geometria euclidiana que segue a partir desses três postulados será válido na geometria elíptica, como a proposição 1 do livro I dos Elementos , que afirma que dado qualquer segmento de linha, um triângulo equilátero pode ser construído com o segmento como sua base.

A geometria elíptica também é como a geometria euclidiana em que o espaço é contínuo, homogêneo, isotrópico e sem fronteiras. A isotropia é garantida pelo quarto postulado, que todos os ângulos retos são iguais. Para um exemplo de homogeneidade, observe que a proposição de Euclides I.1 implica que o mesmo triângulo equilátero pode ser construído em qualquer local, não apenas em locais que são especiais de alguma forma. A falta de limites decorre do segundo postulado, extensibilidade de um segmento de linha.

Uma maneira pela qual a geometria elíptica difere da geometria euclidiana é que a soma dos ângulos internos de um triângulo é maior que 180 graus. No modelo esférico, por exemplo, um triângulo pode ser construído com vértices nos locais onde os três eixos de coordenadas cartesianas positivas interceptam a esfera, e todos os três de seus ângulos internos são 90 graus, somando 270 graus. Para triângulos suficientemente pequenos, o excesso de 180 graus pode ser arbitrariamente pequeno.

O teorema de Pitágoras falha na geometria elíptica. No triângulo de 90 ° –90 ° –90 ° descrito acima, todos os três lados têm o mesmo comprimento e, conseqüentemente, não são satisfatórios . O resultado pitagórico é recuperado no limite de pequenos triângulos. ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

A proporção entre a circunferência de um círculo e sua área é menor do que na geometria euclidiana. Em geral, a área e o volume não escalam como a segunda e a terceira potências de dimensões lineares.

Espaço elíptico (o caso 3D)

Nota: Esta seção usa o termo "espaço elíptico" para se referir especificamente à geometria elíptica tridimensional. Isso está em contraste com a seção anterior, que era sobre geometria elíptica bidimensional. Os quaternions são usados para elucidar este espaço.

O espaço elíptico pode ser construído de maneira semelhante à construção do espaço vetorial tridimensional: com classes de equivalência . Usa-se arcos dirigidos em grandes círculos da esfera. Como os segmentos de linha direcionados são equipolentes quando são paralelos, do mesmo comprimento e orientados de forma semelhante, os arcos direcionados encontrados em grandes círculos são equipolentes quando têm o mesmo comprimento, orientação e grande círculo. Essas relações de equipolência produzem espaço vetorial 3D e espaço elíptico, respectivamente.

O acesso à estrutura elíptica do espaço é fornecido por meio da álgebra vetorial de William Rowan Hamilton : ele imaginou uma esfera como um domínio de raízes quadradas de menos um. Então a fórmula de Euler (onde r está na esfera) representa o grande círculo no plano contendo 1 e r . Os pontos opostos r e - r correspondem a círculos com direções opostas. Um arco entre θ e φ é equipolente com um entre 0 e φ - θ. No espaço elíptico, o comprimento do arco é menor que π, então os arcos podem ser parametrizados com θ em [0, π) ou (–π / 2, π / 2]. ${\ displaystyle \ exp (\ theta r) = \ cos \ theta + r \ sin \ theta}$

Pois é dito que o módulo ou norma de z é um (Hamilton o chamou de tensor de z). Mas como r varia sobre uma esfera no espaço 3, exp (θ r) varia sobre uma esfera no espaço 4, agora chamada de 3 esfera , pois sua superfície tem três dimensões. Hamilton chamou seus quatérnios de álgebra e rapidamente se tornou uma ferramenta útil e famosa da matemática. Seu espaço de quatro dimensões é desenvolvido em coordenadas polares com t nos números reais positivos . ${\ displaystyle z = \ exp (\ theta r), \ z ^ {*} = \ exp (- \ theta r) \ implica zz ^ {*} = 1.}$ ${\ displaystyle t \ exp (\ theta r),}$

Ao fazer trigonometria na Terra ou na esfera celeste , os lados dos triângulos são grandes arcos de círculo. O primeiro sucesso dos quatérnios foi uma tradução da trigonometria esférica para a álgebra. Hamilton chamou um quaternion de norma um de versor , e esses são os pontos do espaço elíptico.

Com $r$ fixo, os versores

{\ displaystyle e ^ {ar}, \ quad 0 \ leq a <\ pi}

formar uma linha elíptica . A distância de a 1 é $a$ . Para um versor arbitrário $u$ , a distância será aquele θ para o qual $cos θ = ($ $u$ $+$ $u$ $*$ $) / 2,$ pois esta é a fórmula para a parte escalar de qualquer quatérnio. ${\ displaystyle e ^ {ar}}$

Um movimento elíptico é descrito pelo mapeamento do quaternion

{\ displaystyle q \ mapsto uqv,}

onde

u

e

v

são versors fixo.

As distâncias entre os pontos são as mesmas que entre os pontos da imagem de um movimento elíptico. No caso em que $u$ e $v$ são conjugados quatérnio um do outro, o movimento é uma rotação espacial , e a sua parte vector é o eixo de rotação. No caso $u = 1,$ o movimento elíptico é denominado translação de Clifford à direita ou parataxia . O caso $v$ $= 1$ corresponde à tradução de Clifford à esquerda.

As linhas elípticas no verso $u$ podem ter a forma

{\ displaystyle \ lbrace ue ^ {ar}: 0 \ leq a <\ pi \ rbrace}

ou para um

r

fixo .

{\ displaystyle \ lbrace e ^ {ar} u: 0 \ leq a <\ pi \ rbrace}

Eles são as traduções de Clifford direita e esquerda de $u$ ao longo de uma linha elíptica através de 1. O espaço elíptico é formado a partir de $S 3$ pela identificação de pontos antípodas.

O espaço elíptico tem estruturas especiais chamadas paralelas de Clifford e superfícies de Clifford .

Os pontos do versor do espaço elíptico são mapeados pela transformada de Cayley para ℝ ³ para uma representação alternativa do espaço.

Espaços de dimensões superiores

Modelo hiperesférico

O modelo hiperesférico é a generalização do modelo esférico para dimensões superiores. Os pontos do espaço elíptico n- dimensional são os pares de vetores unitários $(x, - x)$ em R ^{n +1} , ou seja, pares de pontos opostos na superfície da bola unitária no espaço ( n + 1) -dimensional ( a hiperesfera n- dimensional). As linhas neste modelo são grandes círculos , isto é, interseções da hiperesfera com hipersuperfícies planas de dimensão n passando pela origem.

Geometria elíptica projetiva

No modelo projetivo de geometria elíptica, os pontos do espaço projetivo real n- dimensional são usados como pontos do modelo. Isso modela uma geometria elíptica abstrata que também é conhecida como geometria projetiva .

Os pontos do espaço projetivo n- dimensional podem ser identificados com retas através da origem no espaço ( n + 1) -dimensional, e podem ser representados de forma não única por vetores diferentes de zero em R ^{n +1} , com o entendimento de que $u$ e $λ u$ , para qualquer escalar diferente de zero $λ$ , representam o mesmo ponto. A distância é definida usando a métrica

{\ displaystyle d (u, v) = \ arccos \ left ({\ frac {| u \ cdot v |} {\ | u \ | \ \ | v \ |}} \ right);}

ou seja, a distância entre dois pontos é o ângulo entre suas linhas correspondentes em R ^{n +1} . A fórmula da distância é homogênea em cada variável, com $d (λ u, μ v) = d (u, v)$ se $λ$ e $μ$ forem escalares diferentes de zero, então ela define uma distância nos pontos do espaço projetivo.

Uma propriedade notável da geometria elíptica projetiva é que para dimensões pares, como o plano, a geometria não é orientável . Ele apaga a distinção entre a rotação no sentido horário e anti-horário, identificando-os.

Modelo estereográfico

Um modelo representando o mesmo espaço que o modelo hiperesférico pode ser obtido por meio de projeção estereográfica . Deixe E ⁿ representar R ⁿ ∪ {∞}, ou seja, um espaço real $n-$ dimensional estendido por um único ponto no infinito. Podemos definir uma métrica, a métrica cordal , em E ⁿ por

{\ displaystyle \ delta (u, v) = {\ frac {2 \ | uv \ |} {\ sqrt {(1+ \ | u \ | ^ {2}) (1+ \ | v \ | ^ {2 })}}}}

onde $u$ e $v$ são quaisquer dois vectores em R ⁿ e representa a norma euclidiana habitual. Nós também definimos ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

{\ displaystyle \ delta (u, \ infty) = \ delta (\ infty, u) = {\ frac {2} {\ sqrt {1+ \ | u \ | ^ {2}}}}.}

O resultado é um espaço métrico em E ⁿ , que representa a distância ao longo de um acorde dos pontos correspondentes no modelo hiperesférico, para o qual mapeia bijetivamente por projeção estereográfica. Obtemos um modelo de geometria esférica se usarmos a métrica

{\ displaystyle d (u, v) = 2 \ arcsin \ left ({\ frac {\ delta (u, v)} {2}} \ right).}

A geometria elíptica é obtida identificando os pontos $u$ e $- u$ , e tomando a distância de $v$ a este par como o mínimo das distâncias de $v$ a cada um desses dois pontos.

Auto-consistência

Como a geometria elíptica esférica pode ser modelada como, por exemplo, um subespaço esférico de um espaço euclidiano, segue-se que, se a geometria euclidiana é autoconsistente, o mesmo ocorre com a geometria elíptica esférica. Portanto, não é possível provar o postulado paralelo com base nos outros quatro postulados da geometria euclidiana.

Tarski provou que a geometria euclidiana elementar é completa : existe um algoritmo que, para cada proposição, pode mostrar que é verdadeira ou falsa. (Isso não viola o teorema de Gödel , porque a geometria euclidiana não pode descrever uma quantidade suficiente de aritmética para que o teorema se aplique.) Portanto, segue-se que a geometria elíptica elementar também é autoconsistente e completa.

Veja também

Notas

Referências

Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups , Springer-Verlag, 1983
HSM Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry , capítulos 5, 6 e 7: Elliptic geometry in 1, 2 e 3 dimensões, University of Toronto Press , reeditado em 1998 pela Mathematical Association of America , ISBN 0-88385-522-4 .
HSM Coxeter (1969) Introduction to Geometry , § 6.9 The Elliptic Plane, pp. 92–95. John Wiley & Sons .
"Elliptic geometry" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Felix Klein (1871) "Sobre a assim chamada geometria nouclidiana" Mathematische Annalen 4: 573–625, traduzido e apresentado em John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry , American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0 .
Boris Odehnal "On isotropic congruences of lines in eliptic three-space"
Estudo de Eduard (1913) DH Delphenich tradutor, "Fundamentos e objetivos da cinemática analítica" , página 20.
Alfred Tarski (1951) A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry . Univ. da California Press.
Franzén, Torkel (2005). Teorema de Gödel: um guia incompleto para seu uso e abuso . AK Peters. ISBN 1-56881-238-8.
Alfred North Whitehead (1898) Universal Algebra , Livro VI, Capítulo 2: Elliptic Geometry, pp 371-98.

links externos

Mídia relacionada à geometria elíptica no Wikimedia Commons

Languages

In other projects