Órbita elíptica - Elliptic orbit

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v t e

Em astrodinâmica ou mecânica celeste , uma órbita elíptica ou órbita elíptica é uma órbita Kepler com uma excentricidade inferior a 1; isso inclui o caso especial de uma órbita circular , com excentricidade igual a 0. Em um sentido mais estrito, é uma órbita Kepler com a excentricidade maior que 0 e menor que 1 (excluindo assim a órbita circular). Em um sentido mais amplo, é a órbita de Kepler com energia negativa . Isso inclui a órbita elíptica radial, com excentricidade igual a 1.

Em um problema gravitacional de dois corpos com energia negativa , ambos os corpos seguem órbitas elípticas semelhantes com o mesmo período orbital em torno de seu baricentro comum . Além disso, a posição relativa de um corpo em relação ao outro segue uma órbita elíptica.

Exemplos de órbitas elípticas incluem: órbita de transferência de Hohmann , órbita de Molniya e órbita de tundra .

Velocidade

Sob suposições padrão, a velocidade orbital ( ) de um corpo viajando ao longo de uma órbita elíptica pode ser calculada a partir da equação de vis-viva como: ${\ displaystyle v \,}$

${\ displaystyle v = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}} - {1 \ over {a}} \ right)}}}$

Onde:

• ${\ displaystyle \ mu \,}$é o parâmetro gravitacional padrão ,
• ${\ displaystyle r \,}$ é a distância entre os corpos em órbita.
• ${\ displaystyle a \, \!}$é o comprimento do semieixo maior .

A equação da velocidade para uma trajetória hiperbólica tem + , ou é a mesma com a convenção de que, nesse caso, a é negativo. ${\ displaystyle {1 \ over {a}}}$

Período orbital

Sob premissas padrão, o período orbital ( ) de um corpo viajando ao longo de uma órbita elíptica pode ser calculado como: ${\ displaystyle T \, \!}$

${\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {a ^ {3} \ over {\ mu}}}}$

Onde:

• ${\ displaystyle \ mu \,}$é o parâmetro gravitacional padrão ,
• ${\ displaystyle a \, \!}$é o comprimento do semieixo maior .

Conclusões:

• O período orbital é igual ao de uma órbita circular com o raio orbital igual ao semieixo maior ( ),${\ displaystyle a \, \!}$
• Para um dado semi-eixo maior, o período orbital não depende da excentricidade (ver também: terceira lei de Kepler ).

Energia

Sob suposições padrão, a energia orbital específica ( ) de uma órbita elíptica é negativa e a equação de conservação de energia orbital (a equação de Vis-viva ) para esta órbita pode assumir a forma: ${\ displaystyle \ epsilon \,}$

${\ displaystyle {v ^ {2} \ over {2}} - {\ mu \ over {r}} = - {\ mu \ over {2a}} = \ epsilon <0}$

Onde:

• ${\ displaystyle v \,}$é a velocidade orbital do corpo orbital,
• ${\ displaystyle r \,}$é a distância do corpo orbital do corpo central ,
• ${\ displaystyle a \,}$é o comprimento do semieixo maior ,
• ${\ displaystyle \ mu \,}$é o parâmetro gravitacional padrão .

Conclusões:

• Para um dado semi-eixo maior, a energia orbital específica é independente da excentricidade.

Usando o teorema virial , encontramos:

• a média de tempo da energia potencial específica é igual a −2ε
  • a média de tempo de r ⁻¹ é a ⁻¹
• a média de tempo da energia cinética específica é igual a ε

Energia em termos de semi-eixo maior

Pode ser útil saber a energia em termos do semieixo maior (e as massas envolvidas). A energia total da órbita é dada por

${\ displaystyle E = -G {\ frac {Mm} {2a}}}$,

onde a é o semieixo maior.

Derivação

Uma vez que a gravidade é uma força central, o momento angular é constante:

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {L}}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {r} \ times F (r) \ mathbf {\ hat {r}} = 0 }$

Nas abordagens mais próximas e mais distantes, o momento angular é perpendicular à distância da massa orbitada, portanto:

${\ displaystyle L = rp = rmv}$.

A energia total da órbita é dada por

${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} -G {\ frac {Mm} {r}}}$.

Podemos substituir v e obter

${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} {\ frac {L ^ {2}} {mr ^ {2}}} - G {\ frac {Mm} {r}}}$.

Isso é verdade para r sendo a distância mais próxima / mais distante, então temos duas equações simultâneas que resolvemos para E:

${\ displaystyle E = -G {\ frac {Mm} {r_ {1} + r_ {2}}}}$

Uma vez que e , onde épsilon é a excentricidade da órbita, finalmente temos o resultado declarado. ${\ textstyle r_ {1} = a + a \ epsilon}$${\ displaystyle r_ {2} = aa \ epsilon}$

Ângulo da trajetória de vôo

O ângulo da trajetória de vôo é o ângulo entre o vetor de velocidade do corpo em órbita (= o vetor tangente à órbita instantânea) e a horizontal local. Sob as premissas padrão da conservação do momento angular, o ângulo da trajetória de vôo satisfaz a equação: ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle h \, = r \, v \, \ cos \ phi}$

Onde:

• ${\ displaystyle h \,}$é o momento angular relativo específico da órbita,
• ${\ displaystyle v \,}$é a velocidade orbital do corpo orbital,
• ${\ displaystyle r \,}$é a distância radial do corpo orbital do corpo central ,
• ${\ displaystyle \ phi \,}$ é o ângulo da trajetória de vôo

${\ displaystyle \ psi}$é o ângulo entre o vetor de velocidade orbital e o semieixo maior. é a verdadeira anomalia local. , Portanto, ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ phi = \ nu + {\ frac {\ pi} {2}} - \ psi}$

${\ displaystyle \ cos \ phi = \ sin (\ psi - \ nu) = \ sin \ psi \ cos \ nu - \ cos \ psi \ sin \ nu = {\ frac {1 + e \ cos \ nu} {\ sqrt {1 + e ^ {2} + 2e \ cos \ nu}}}}$

${\ displaystyle \ tan \ phi = {\ frac {e \ sin \ nu} {1 + e \ cos \ nu}}}$

onde está a excentricidade. ${\ displaystyle e}$

O momento angular está relacionado ao produto vetorial vetorial de posição e velocidade, que é proporcional ao seno do ângulo entre esses dois vetores. Aqui é definido como o ângulo que difere em 90 graus deste, então o cosseno aparece no lugar do seno.${\ displaystyle \ phi}$

Equação de movimento

Da posição inicial e velocidade

Uma equação de órbita define o caminho de um corpo orbital em torno do corpo central em relação a , sem especificar a posição em função do tempo. Se a excentricidade for menor que 1, a equação do movimento descreve uma órbita elíptica. Como a equação de Kepler não tem solução geral de forma fechada para a anomalia excêntrica (E) em termos da anomalia média (M), as equações de movimento em função do tempo também não têm solução de forma fechada (embora existam soluções numéricas para ambas) . ${\ displaystyle m_ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle m_ {1} \, \!}$${\ displaystyle m_ {1} \, \!}$ ${\ displaystyle M = Ee \ sin E}$

No entanto, as equações de caminho independente do tempo de forma fechada de uma órbita elíptica em relação a um corpo central podem ser determinadas a partir de apenas uma posição inicial ( ) e velocidade ( ). ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

Para este caso, é conveniente usar as seguintes suposições que diferem um pouco das suposições padrão acima:

1. A posição do corpo central está na origem e é o foco principal ( ) da elipse (alternativamente, o centro de massa pode ser usado se o corpo em órbita tiver uma massa significativa)${\ displaystyle \ mathbf {F1}}$
2. A massa do corpo central (m1) é conhecida
3. A posição inicial do corpo orbital ( ) e a velocidade ( ) são conhecidas${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$
4. A elipse está dentro do plano XY

A quarta suposição pode ser feita sem perda de generalidade porque quaisquer três pontos (ou vetores) devem estar dentro de um plano comum. Sob estas premissas o segundo foco (às vezes chamado de foco “vazio”) também deve estar dentro do plano XY: . ${\ displaystyle \ mathbf {F2} = \ left (f_ {x}, f_ {y} \ right)}$

Usando Vetores

A equação geral de uma elipse sob essas suposições usando vetores é:

${\ displaystyle | \ mathbf {F2} - \ mathbf {p} | + | \ mathbf {p} | = 2a \ qquad \ mid z = 0}$

Onde:

• ${\ displaystyle a \, \!}$é o comprimento do semieixo maior .
• ${\ displaystyle \ mathbf {F2} = \ left (f_ {x}, f_ {y} \ right)}$ é o segundo foco (“vazio”).
• ${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ left (x, y \ right)}$ é qualquer valor (x, y) que satisfaça a equação.

O comprimento do semi-eixo maior (a) pode ser calculado como:

${\ displaystyle a = {\ frac {\ mu | \ mathbf {r} |} {2 \ mu - | \ mathbf {r} | \ mathbf {v} ^ {2}}}}$

onde é o parâmetro gravitacional padrão . ${\ displaystyle \ mu \ = Gm_ {1}}$

O foco vazio ( ) pode ser encontrado determinando primeiro o vetor de excentricidade : ${\ displaystyle \ mathbf {F2} = \ left (f_ {x}, f_ {y} \ right)}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} = {\ frac {\ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} |}} - {\ frac {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {h}} {\ mu }}}$

Onde está o momento angular específico do corpo orbital: ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$

${\ displaystyle \ mathbf {h} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}}$

Então

${\ displaystyle \ mathbf {F2} = 2a \ mathbf {e}}$

Usando Coordenadas XY

Isso pode ser feito em coordenadas cartesianas usando o seguinte procedimento:

A equação geral de uma elipse sob as premissas acima é:

${\ displaystyle {\ sqrt {\ left (f_ {x} -x \ right) ^ {2} + \ left (f_ {y} -y \ right) ^ {2}}} + {\ sqrt {x ^ { 2} + y ^ {2}}} = 2a \ qquad \ mid z = 0}$

Dado:

${\ displaystyle r_ {x}, r_ {y} \ quad}$ as coordenadas da posição inicial

${\ displaystyle v_ {x}, v_ {y} \ quad}$ as coordenadas de velocidade inicial

e

${\ displaystyle \ mu = Gm_ {1} \ quad}$ o parâmetro gravitacional

Então:

${\ displaystyle h = r_ {x} v_ {y} -r_ {y} v_ {x} \ quad}$ momento angular específico

${\ displaystyle r = {\ sqrt {r_ {x} ^ {2} + r_ {y} ^ {2}}} \ quad}$ distância inicial de F1 (na origem)

${\ displaystyle a = {\ frac {\ mu r} {2 \ mu -r \ left (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} \ right)}} \ quad}$ o comprimento do semi-eixo maior

${\ displaystyle e_ {x} = {\ frac {r_ {x}} {r}} - {\ frac {hv_ {y}} {\ mu}} \ quad}$as coordenadas do vetor de excentricidade

${\ displaystyle e_ {y} = {\ frac {r_ {y}} {r}} + {\ frac {hv_ {x}} {\ mu}} \ quad}$

Finalmente, as coordenadas do foco vazio

${\ displaystyle f_ {x} = 2ae_ {x} \ quad}$

${\ displaystyle f_ {y} = 2ae_ {y} \ quad}$

Agora, os valores de resultado fx, fy e a podem ser aplicados à equação de elipse geral acima.

Parâmetros orbitais

O estado de um corpo orbital em qualquer momento é definido pela posição e velocidade do corpo orbital em relação ao corpo central, que pode ser representado pelas coordenadas cartesianas tridimensionais (posição do corpo orbital representado por x, y, e z) e as componentes cartesianas semelhantes da velocidade do corpo orbital. Este conjunto de seis variáveis, junto com o tempo, são chamados de vetores de estado orbitais . Dadas as massas dos dois corpos, eles determinam a órbita completa. Os dois casos mais gerais com esses 6 graus de liberdade são a órbita elíptica e a hiperbólica. Casos especiais com menos graus de liberdade são a órbita circular e parabólica.

Como pelo menos seis variáveis ​​são absolutamente necessárias para representar completamente uma órbita elíptica com este conjunto de parâmetros, então seis variáveis ​​são necessárias para representar uma órbita com qualquer conjunto de parâmetros. Outro conjunto de seis parâmetros comumente usados ​​são os elementos orbitais .

Sistema solar

No Sistema Solar , planetas , asteróides , a maioria dos cometas e alguns pedaços de detritos espaciais têm órbitas aproximadamente elípticas ao redor do Sol. Estritamente falando, ambos os corpos giram em torno do mesmo foco da elipse, aquele mais próximo do corpo mais massivo, mas quando um corpo é significativamente mais massivo, como o sol em relação à terra, o foco pode estar contido no maior e, portanto, diz-se que o menor gira em torno dele. O gráfico a seguir do periélio e afélio dos planetas , planetas anões e cometa Halley demonstra a variação da excentricidade de suas órbitas elípticas. Para distâncias semelhantes do sol, barras mais largas denotam maior excentricidade. Observe a excentricidade quase zero da Terra e Vênus em comparação com a enorme excentricidade do Cometa e Eris de Halley.

Trajetória elíptica radial

Uma trajetória radial pode ser um segmento de linha dupla , que é uma elipse degenerada com semi-eixo menor = 0 e excentricidade = 1. Embora a excentricidade seja 1, esta não é uma órbita parabólica. A maioria das propriedades e fórmulas de órbitas elípticas se aplicam. No entanto, a órbita não pode ser fechada. É uma órbita aberta que corresponde à parte da elipse degenerada desde o momento em que os corpos se tocam e se afastam até se tocarem novamente. No caso de massas pontuais, uma órbita completa é possível, começando e terminando com uma singularidade. As velocidades no início e no final são infinitas em direções opostas e a energia potencial é igual a menos infinito.

A trajetória elíptica radial é a solução de um problema de dois corpos com velocidade zero em algum instante, como no caso da queda de um objeto (desprezando a resistência do ar).

História

Os babilônios foram os primeiros a perceber que o movimento do Sol ao longo da eclíptica não era uniforme, embora eles não soubessem por quê; sabe-se hoje que isso se deve ao movimento da Terra em uma órbita elíptica ao redor do Sol, com a Terra se movendo mais rápido quando está mais perto do Sol no periélio e mais devagar quando está mais longe no afélio .

No século 17, Johannes Kepler descobriu que as órbitas ao longo das quais os planetas viajam ao redor do Sol são elipses com o Sol em um foco, e descreveu isso em sua primeira lei do movimento planetário . Mais tarde, Isaac Newton explicou isso como um corolário de sua lei da gravitação universal .

Veja também

• Apsis
• Energia característica
• Elipse
• Lista de órbitas
• Excentricidade orbital
• Equação de órbita
• Trajetória parabólica

Referências

Fontes

• D'Eliseo, Maurizio M. (2007). "A equação orbital de primeira ordem". American Journal of Physics . 75 (4): 352–355. Bibcode : 2007AmJPh..75..352D . doi : 10.1119 / 1.2432126 .
• D'Eliseo, Maurizio M .; Mironov, Sergey V. (2009). "A elipse gravitacional". Journal of Mathematical Physics . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Bibcode : 2009JMP .... 50a2901M . doi : 10.1063 / 1.3078419 .
• Curtis, Howard D. (2019). Mecânica Orbital para Estudantes de Engenharia (4ª ed.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-08-102133-0.

links externos

• Applet Java que anima a órbita de um satélite em uma órbita Kepler elíptica ao redor da Terra com qualquer valor para semi-eixo maior e excentricidade.
• Apogee - comparação fotográfica Perigee Lunar
• Comparação fotográfica do Aphelion - Perihelion Solar
• http://www.castor2.ca