Equação de Emden-Chandrasekhar - Emden–Chandrasekhar equation

Na astrofísica , a equação de Emden – Chandrasekhar é uma forma adimensional da equação de Poisson para a distribuição de densidade de uma esfera de gás isotérmica esfericamente simétrica sujeita à sua própria força gravitacional, nomeada em homenagem a Robert Emden e Subrahmanyan Chandrasekhar . A equação foi introduzida pela primeira vez por Robert Emden em 1907. A equação diz

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left (\ xi ^ {2} {\ frac {d \ psi} {d \ xi}} \ right) = e ^ {- \ psi}}$

onde é o raio adimensional e está relacionado com a densidade da esfera de gás como , onde é a densidade do gás no centro. A equação não tem solução explícita conhecida. Se um fluido politrópico é usado em vez de um fluido isotérmico, obtém -se a equação de Lane-Emden . A suposição isotérmica é geralmente modelada para descrever o núcleo de uma estrela. A equação é resolvida com as condições iniciais, ${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ rho = \ rho _ {c} e ^ {- \ psi}}$${\ displaystyle \ rho _ {c}}$

${\ displaystyle \ psi = 0, \ quad {\ frac {d \ psi} {d \ xi}} = 0 \ quad {\ text {at}} \ quad \ xi = 0.}$

A equação aparece em outros ramos da física também, por exemplo, a mesma equação aparece na teoria da explosão de Frank-Kamenetskii para um vaso esférico. A versão relativística deste modelo isotérmico esfericamente simétrico foi estudada por Subrahmanyan Chandrasekhar em 1972.

Derivação

Para uma estrela gasosa isotérmica , a pressão é devida à pressão cinética e à pressão de radiação${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p = \ rho {\ frac {k_ {B}} {WH}} T + {\ frac {4 \ sigma} {3c}} T ^ {4}}$

Onde

• ${\ displaystyle \ rho}$ é a densidade
• ${\ displaystyle k_ {B}}$é a constante de Boltzmann
• ${\ displaystyle W}$é o peso molecular médio
• ${\ displaystyle H}$ é a massa do próton
• ${\ displaystyle T}$ é a temperatura da estrela
• ${\ displaystyle \ sigma}$é a constante de Stefan-Boltzmann
• ${\ displaystyle c}$ é a velocidade da luz

A equação de equilíbrio da estrela requer um equilíbrio entre a força de pressão e a força gravitacional

${\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left ({\ frac {r ^ {2}} {\ rho}} {\ frac {dp } {dr}} \ right) = - 4 \ pi G \ rho}$

onde é o raio medido a partir do centro e é a constante gravitacional . A equação é reescrita como ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ frac {k_ {B} T} {WH}} {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} { \ frac {d \ ln \ rho} {dr}} \ right) = - 4 \ pi G \ rho}$

Apresentando a transformação

${\ displaystyle \ psi = \ ln {\ frac {\ rho _ {c}} {\ rho}}, \ quad \ xi = r \ left ({\ frac {4 \ pi G \ rho _ {c} WH} {k_ {B} T}} \ right) ^ {1/2}}$

onde está a densidade central da estrela, leva a ${\ displaystyle \ rho _ {c}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ xi}} \ left (\ xi ^ {2} {\ frac {d \ psi} {d \ xi}} \ right) = e ^ {- \ psi}}$

As condições de limite são

${\ displaystyle \ psi = 0, \ quad {\ frac {d \ psi} {d \ xi}} = 0 \ quad {\ text {at}} \ quad \ xi = 0}$

Pois , a solução é como ${\ displaystyle \ xi \ ll 1}$

${\ displaystyle \ psi = {\ frac {\ xi ^ {2}} {6}} - {\ frac {\ xi ^ {4}} {120}} + {\ frac {\ xi ^ {6}} { 1890}} + \ cdots}$

Limitações do modelo

Assumindo que a esfera isotérmica tem algumas desvantagens. Embora a densidade obtida como solução desta esfera de gás isotérmica diminua a partir do centro, ela diminui muito lentamente para dar uma superfície bem definida e massa finita para a esfera. Pode-se mostrar que, como , ${\ displaystyle \ xi \ gg 1}$

${\ displaystyle {\ frac {\ rho} {\ rho _ {c}}} = e ^ {- \ psi} = {\ frac {2} {\ xi ^ {2}}} \ left [1 + {\ frac {A} {\ xi ^ {1/2}}} \ cos \ left ({\ frac {\ sqrt {7}} {2}} \ ln \ xi + \ delta \ right) + O (\ xi ^ {-1}) \ direita]}$

onde e são constantes que serão obtidas com a solução numérica. Este comportamento da densidade dá origem ao aumento da massa com o aumento do raio. Assim, o modelo costuma ser válido para descrever o núcleo da estrela, onde a temperatura é aproximadamente constante. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ delta}$

Solução singular

A introdução da transformação transforma a equação em ${\ displaystyle x = 1 / \ xi}$

${\ displaystyle x ^ {4} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} = e ^ {- \ psi}}$

A equação tem uma solução singular dada por

${\ displaystyle e ^ {- \ psi _ {s}} = 2x ^ {2}, \ quad {\ text {ou}} \ quad - \ psi _ {s} = 2 \ ln x + \ ln 2}$

Portanto, uma nova variável pode ser introduzida como , onde a equação para pode ser derivada, ${\ displaystyle - \ psi = 2 \ ln x + z}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} - {\ frac {dz} {dt}} + e ^ {z} -2 = 0, \ quad {\ text { onde}} \ quad t = \ ln x}$

Esta equação pode ser reduzida à primeira ordem, introduzindo

${\ displaystyle y = {\ frac {dz} {dt}} = \ xi {\ frac {d \ psi} {d \ xi}} - 2}$

então nós temos

${\ displaystyle y {\ frac {dy} {dz}} - y + e ^ {z} -2 = 0}$

Redução

Há outra redução devido a Edward Arthur Milne . Vamos definir

${\ displaystyle u = {\ frac {\ xi e ^ {- \ psi}} {d \ psi / d \ xi}}, \ quad v = \ xi {\ frac {d \ psi} {d \ xi}} }$

então

${\ displaystyle {\ frac {u} {v}} {\ frac {dv} {du}} = - {\ frac {u-1} {u + v-3}}}$

Propriedades

• Se é uma solução para a equação de Emden – Chandrasekhar, então também é uma solução da equação, onde é uma constante arbitrária.${\ displaystyle \ psi (\ xi)}$${\ displaystyle \ psi (A \ xi) -2 \ ln A}$${\ displaystyle A}$
• As soluções da equação de Emden-Chandrasekhar que são finitas na origem têm necessariamente em${\ displaystyle d \ psi / d \ xi = 0}$${\ displaystyle \ xi = 0}$

Veja também

• Equação de Lane-Emden
• Teoria de Frank-Kamenetskii
• Equação da anã branca de Chandrasekhar

Referências