Envelope (matemática) - Envelope (mathematics)

Construção do envelope de uma família de curvas.

Na geometria , um envelope de um planar família de curvas é uma curva que é tangente a cada membro da família, em algum ponto, e estes pontos de tangência em conjunto formam todo o envelope. Classicamente, um ponto no envelope pode ser pensado como a interseção de duas curvas " infinitesimalmente adjacentes", significando o limite de interseções de curvas próximas. Essa ideia pode ser generalizada para um envelope de superfícies no espaço e assim por diante para dimensões superiores.

Para ter um envelope, é necessário que os membros individuais da família de curvas sejam curvas diferenciáveis, já que o conceito de tangência não se aplica de outra forma, e deve haver uma transição suave ocorrendo entre os membros. Mas essas condições não são suficientes - uma determinada família pode não ter um envelope. Um exemplo simples disso é dado por uma família de círculos concêntricos de raio em expansão.

Envelope de uma família de curvas

Deixe cada curva C t na família ser dada como a solução de uma equação f t ( xy ) = 0 (ver curva implícita ), onde t é um parâmetro. Escreva F ( txy ) = f t ( xy ) e assuma que F é diferenciável.

O envelope da família C t é então definido como o conjunto de pontos ( x , y ) para os quais, simultaneamente,

para algum valor de t , onde é a derivada parcial de F em relação a t .

Se t e u , tu são dois valores do parâmetro, então a interseção das curvas C t e C u é dada por

ou equivalente,

Deixando ut dá a definição acima.

Um caso especial importante é quando F ( txy ) é um polinômio em t . Isso inclui, ao limpar os denominadores , o caso em que F ( txy ) é uma função racional em t . Neste caso, a definição equivale a t sendo uma raiz dupla de F ( txy ), então a equação do envelope pode ser encontrada definindo o discriminante de F para 0 (porque a definição exige F = 0 em algum t e a primeira derivada = 0, isto é, seu valor 0 e é mín / máx nesse t).

Por exemplo, vamos C t ser a linha cuja x e y intercepta são t e 11- t , este é mostrado na animação acima. A equação de C t é

ou, compensação de frações,

A equação do envelope é então

Freqüentemente, quando F não é uma função racional do parâmetro, ela pode ser reduzida a esse caso por uma substituição apropriada. Por exemplo, se a família é dada por C θ com uma equação da forma u ( xy ) cos θ + v ( xy ) sin θ = w ( xy ), então, colocando t = e i θ , cos θ = ( t + 1 / t ) / 2, sen θ = ( t -1 / t ) / 2 i muda a equação da curva para

ou

A equação do envelope é então dada definindo o discriminante em 0:

ou

Definições alternativas

  1. O envelope E 1 é o limite das interseções das curvas próximas C t .
  2. O envelope E 2 é uma curva tangente a todo o C t .
  3. O envelope E 3 é o limite da região preenchida pelas curvas C t .

Então , e , onde está o conjunto de pontos definidos no início da seção pai desta subseção.

Exemplos

Exemplo 1

Essas definições E 1 , E 2 e E 3 do envelope podem ser conjuntos diferentes. Considere, por exemplo, a curva y = x 3 parametrizada por γ: RR 2 onde γ ( t ) = ( t , t 3 ) . A família de curvas de um parâmetro será dada pelas retas tangentes a γ.

Primeiro calculamos o discriminante . A função geradora é

Calculando a derivada parcial F t = 6 t ( x - t ) . Segue-se que x = t ou t = 0 . Primeiro assuma que x = t e t ≠ 0 . Substituindo em F: e assim, assumindo que t ≠ 0, segue-se que F = F t = 0 se e somente se ( x , y ) = ( t , t 3 ) . Em seguida, assumindo que t = 0 e substituindo em F resulta em F (0, ( x , y )) = - y . Portanto, assumindo t = 0 , segue-se que F = F t = 0 se e somente se y = 0 . Assim, o discriminante é a curva original e sua linha tangente em γ (0):

Em seguida, calculamos E 1 . Uma curva é dada por F ( t , ( x , y )) = 0 e uma curva próxima é dada por F ( t + ε, ( x , y )) onde ε é um número muito pequeno. O ponto de interseção vem de olhar para o limite de F ( t , ( x , y )) =  F ( t + ε, ( x , y )) como ε tende a zero. Observe que F ( t , ( x , y )) =  F ( t + ε, ( x , y )) se e somente se

Se t ≠ 0 então L tem apenas um único fator de ε. Assumindo que t ≠ 0 então a interseção é dada por

Como t ≠ 0 segue-se que x = t . O valor de y é calculado sabendo-se que este ponto deve estar em uma linha tangente à curva original γ: que F ( t , ( x , y )) = 0 . Substituir e resolver resulta em y = t 3 . Quando t = 0 , L é divisível por ε 2 . Assumindo que t = 0, então a interseção é dada por

Segue-se que x = 0 , e sabendo que F ( t , ( x , y )) = 0y = 0 . Segue que

Em seguida, calculamos E 2 . A curva em si é a curva tangente a todas as suas próprias linhas tangentes. Segue que

Finalmente calculamos E 3 . Cada ponto no plano tem pelo menos uma linha tangente a γ passando por ele e, portanto, a região preenchida pelas linhas tangentes é o plano inteiro. O limite E 3 é, portanto, o conjunto vazio. Na verdade, considere um ponto no plano, digamos ( x 0 , y 0 ). Este ponto encontra-se em uma linha tangente se e somente se existir um t tal que

Este é um cúbico em te, como tal, tem pelo menos uma solução real. Segue-se que pelo menos uma linha tangente a γ deve passar por qualquer ponto dado no plano. Se y > x 3 e y > 0 , em seguida, cada ponto ( x , y ) tem exatamente uma linha tangente ao y que passa por ele. O mesmo é verdade se y < x 3 y <0 . Se y < x 3 e y > 0 , em seguida, cada ponto ( x , y ) tem exactamente três linhas tangentes distintas para y que passa através dele. O mesmo é verdadeiro se y > x 3 e y <0 . Se y = x 3 e y ≠ 0 , em seguida, cada ponto ( x , y ) tem exactamente duas linhas tangentes à y passa através dele (o que corresponde ao cúbico ter uma raiz comum e uma raiz repetido). O mesmo é verdadeiro se yx 3 e y = 0 . Se y = x 3 e x = 0 , ou seja, x = y = 0 , então este ponto tem uma única linha tangente a y passa através dele (o que corresponde ao cúbico ter uma raiz real da multiplicidade 3). Segue que

Exemplo 2

Este gráfico fornece o envelope da família de retas conectando os pontos ( t , 0), (0, k - t ), em que k assume o valor 1.

Na string art é comum conectar duas linhas de pinos igualmente espaçados. Qual curva é formada?

Para simplificar, definir os pinos do x - e y -axes; um layout não ortogonal é uma rotação e redimensionamento . Um thread geral de linha reta conecta os dois pontos (0, k - t ) e ( t , 0), onde k é uma constante de escala arbitrária, e a família de linhas é gerada pela variação do parâmetro t . Pela geometria simples, a equação dessa linha reta é y = - ( k  -  t ) x / t + k  -  t . Reorganizar e fundir na forma F ( x , y , t ) = 0 dá:

(1)

Agora diferencie F ( x , y , t ) em relação a t e defina o resultado igual a zero, para obter

(2)

Essas duas equações definem conjuntamente a equação do envelope. De (2), temos:

Substituindo este valor de t em (1) e simplificando dá uma equação para o envelope:

(3)

Ou reorganizando em uma forma mais elegante que mostre a simetria entre x e y:

(4)

Podemos assumir uma rotação dos eixos em que o b eixo é a linha y = x nordeste orientada e a um eixo representa a linha y = -x sudeste orientada. Estes novos eixos estão relacionados com os originais xy eixos de X = (b + a) / 2 e = y (ba) / 2 . Obtemos, após a substituição em (4) e expansão e simplificação,

, (5)

que é aparentemente a equação de uma parábola com eixo ao longo de a = 0 , ou y = x .

Exemplo 3

Seja IR um intervalo aberto e seja γ: IR 2 uma curva plana suave parametrizada pelo comprimento do arco . Considere a família de um parâmetro de linhas normais para γ ( I ). Uma reta é normal a γ em γ ( t ) se ela passa por γ ( t ) e é perpendicular ao vetor tangente a γ em γ ( t ). Seja T o vetor tangente unitário a γ e N o vetor normal unitário . Usando um ponto para denotar o produto escalar , a família geradora para a família de um parâmetro de linhas normais é dada por F  : I × R 2R onde

Claramente ( x - γ) · T = 0 se e somente se x - γ for perpendicular a T , ou equivalentemente, se e somente se x - γ for paralelo a N , ou equivalentemente, se e somente se x = γ + λ N por algum λ ∈ R . Segue que

é exatamente a linha normal para γ em γ ( t 0 ). Para encontrar o discriminante de F , precisamos calcular sua derivada parcial em relação a t :

onde κ é a curvatura da curva plana de γ. Foi visto que F = 0 se e somente se X - γ = λ N para alguns λ ∈ R . Assumindo que F = 0 dá

Assumindo que κ ≠ 0 segue-se que λ = 1 / κ e assim

Essa é exatamente a evolução da curva γ.

Exemplo 4

Um astroide como o envelope da família de retas conectando os pontos ( s , 0), (0, t ) com s 2  +  t 2  = 1

O exemplo a seguir mostra que em alguns casos o envelope de uma família de curvas pode ser visto como o limite topológico de uma união de conjuntos, cujos limites são as curvas do envelope. Para e considerar o triângulo retângulo (aberto) em um plano cartesiano com vértices , e

Fixe um expoente e considere a união de todos os triângulos sujeitos à restrição , ou seja, o conjunto aberto

Para escrever uma representação cartesiana para , comece com any , satisfying e any . A desigualdade de Hölder em relação aos expoentes conjugados e dá:

,

com igualdade se e somente se . Em termos de uma união de conjuntos, a última desigualdade diz: o ponto pertence ao conjunto , isto é, pertence a alguns com , se e somente se satisfaz

Além disso, o limite dentro do conjunto é o envelope da família correspondente de segmentos de linha

(isto é, as hipotenas dos triângulos), e tem equação cartesiana

Observe que, em particular, o valor fornece o arco de parábola do Exemplo 2 , e o valor (significando que todas as hipotenusas são segmentos de comprimento unitário) fornece a astroide .

Exemplo 5

O envelope das órbitas dos projéteis (com velocidade inicial constante) é uma parábola côncava. A velocidade inicial é de 10 m / s. Tomamos g = 10 m / s 2 .

Consideramos o seguinte exemplo de envelope em movimento. Suponha que na altura inicial 0, seja lançado um projétil no ar com velocidade inicial constante v, mas com diferentes ângulos de elevação θ. Seja x o eixo horizontal na superfície de movimento e y denote o eixo vertical. Então, o movimento dá o seguinte sistema dinâmico diferencial :

que satisfaz quatro condições iniciais :

Aqui t indica o tempo de movimento, θ é ângulo de elevação, g denota aceleração gravitacional , e v é a velocidade inicial constante (não velocidade ). A solução do sistema acima pode assumir uma forma implícita :

Para encontrar sua equação de envelope, pode-se calcular a derivada desejada:

Ao eliminar θ, pode-se chegar à seguinte equação de envelope:

Claramente, o envelope resultante também é uma parábola côncava .

Envelope de uma família de superfícies

Uma família de superfícies de um parâmetro no espaço euclidiano tridimensional é dada por um conjunto de equações

dependendo de um parâmetro real a . Por exemplo, os planos tangentes a uma superfície ao longo de uma curva na superfície formam essa família.

Duas superfícies correspondentes a diferentes valores a e a 'se cruzam em uma curva comum definida por

No limite, conforme a 'se aproxima de a , esta curva tende a uma curva contida na superfície em um

Essa curva é chamada de característica da família em a . À medida que a varia, o lugar geométrico dessas curvas características define uma superfície chamada de envelope da família de superfícies.

O envelope de uma família de superfícies é tangente a cada superfície da família ao longo da curva característica dessa superfície.

Generalizações

A ideia de um envelope de uma família de subvariedades suaves segue naturalmente. Em geral, se temos uma família de subvariedades com codimensão c, então precisamos ter pelo menos uma família de parâmetros c de tais subvariedades. Por exemplo: uma família de curvas de um parâmetro em três espaços ( c = 2) não tem, genericamente, um envelope.

Formulários

Equações diferenciais ordinárias

Os envelopes estão ligados ao estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e, em particular, soluções singulares de EDOs. Considere, por exemplo, a família de um parâmetro de retas tangentes à parábola y = x 2 . Estes são dados pela família geradora F ( t , ( x , y )) = t 2 - 2 tx + y . O conjunto de nível zero F ( t 0 , ( x , y )) = 0 dá a equação da reta tangente à parábola no ponto ( t 0 , t 0 2 ). A equação t 2 - 2 tx + y = 0 pode sempre ser resolvida para y como uma função de x e, portanto, considere

Substituindo

dá a ODE

Não é de surpreender que y  = 2 tx  -  t 2 sejam todas soluções para essa ODE. No entanto, o envelope dessa família de retas de um parâmetro, que é a parábola y  =  x 2 , também é uma solução para essa ODE. Outro exemplo famoso é a equação de Clairaut .

Equações diferenciais parciais

Os envelopes podem ser usados ​​para construir soluções mais complicadas de equações diferenciais parciais (PDEs) de primeira ordem a partir de outras mais simples. Seja F ( x , u , D u ) = 0 um PDE de primeira ordem, onde x é uma variável com valores em um conjunto aberto Ω ⊂  R n , u é uma função desconhecida de valor real, D u é o gradiente de u , e F é uma função continuamente diferenciável que é regular em D u . Suponha que u ( x ; a ) seja uma família de m- parâmetros de soluções: isto é, para cada a  ∈  A  ⊂  R m fixo , u ( x ; a ) é uma solução da equação diferencial. Uma nova solução da equação diferencial pode ser construída resolvendo primeiro (se possível)

para a  = φ ( x ) em função de x . O envelope da família de funções { u (·, a )} aA é definido por

e também resolve a equação diferencial (desde que exista como uma função continuamente diferenciável).

Geometricamente, o gráfico de v ( x ) é tangente em todos os lugares ao gráfico de algum membro da família u ( x ; a ). Como a equação diferencial é de primeira ordem, ela apenas coloca uma condição no plano tangente ao gráfico, de modo que qualquer função em qualquer lugar tangente a uma solução também deve ser uma solução. A mesma ideia está na base da solução de uma equação de primeira ordem como uma integral do cone de Monge . O cone de Monge é um campo de cone em R n +1 das variáveis ( x , u ) recortadas pelo envelope dos espaços tangentes ao PDE de primeira ordem em cada ponto. Uma solução do PDE é então um envelope do campo do cone.

Na geometria Riemanniana , se uma família lisa de geodésicas através de um ponto P em uma variedade Riemanniana tem um envelope, então P tem um ponto conjugado onde qualquer geodésica da família intercepta o envelope. O mesmo se aplica mais geralmente no cálculo das variações : se uma família de extremais para um funcional através de um dado ponto P tem um envelope, em seguida, um ponto em que um de extremos intersecta o envelope é um ponto de conjugado de P .

Cáusticos

Cáustica reflexiva gerada de um círculo e raios paralelos

Em óptica geométrica , uma cáustica é o envelope de uma família de raios de luz . Nesta foto, há um arco de círculo. Os raios de luz (mostrados em azul) vêm de uma fonte no infinito e, portanto, chegam em paralelo. Quando atingem o arco circular, os raios de luz são espalhados em diferentes direções de acordo com a lei da reflexão . Quando um raio de luz atinge o arco em um ponto, a luz será refletida como se tivesse sido refletida pela linha tangente do arco naquele ponto. Os raios de luz refletidos fornecem uma família de linhas de um parâmetro no plano. O envelope dessas linhas é a cáustica reflexiva . Uma cáustica reflexiva consistirá genericamente em pontos lisos e pontos cúspides comuns .

Do ponto de vista do cálculo das variações, o princípio de Fermat (em sua forma moderna) implica que os raios de luz são os extremos para o funcional de comprimento

entre curvas suaves γ em [ a , b ] com pontos finais fixos γ ( a ) e γ ( b ). O cáustico determinada por um dado ponto P (na imagem do ponto está no infinito) é o conjunto de pontos conjugados a P .

Princípio de Huygens

A luz pode passar através de meios não homogêneos anisotrópicos em taxas diferentes, dependendo da direção e da posição inicial de um raio de luz. O limite do conjunto de pontos para os quais a luz pode viajar de um determinado ponto q após um tempo t é conhecido como a frente de onda após o tempo t , denotado aqui por Φ q ( t ). Ele consiste precisamente nos pontos que podem ser alcançados a partir de q no tempo t , viajando à velocidade da luz. O princípio de Huygens afirma que o conjunto de frente de onda Φ q 0 ( s + t ) é o envelope da família de frentes de onda Φ q ( s ) para q  ∈ Φ q 0 ( t ). Mais geralmente, o ponto q 0 pode ser substituído por qualquer curva, superfície ou conjunto fechado no espaço.

Veja também

Referências

links externos