Engrenagem epicíclica - Epicyclic gearing

Este trem de engrenagens planetárias consiste em uma engrenagem solar (amarela), engrenagens planetárias (azul) suportadas pelo suporte (verde) e uma coroa (rosa). As marcas vermelhas mostram o deslocamento relativo da engrenagem solar e do portador, quando o portador é girado 45 ° no sentido horário e a coroa é mantida fixa.

Um trem de engrenagens epicicloidais (também conhecido como conjunto de engrenagens planetárias ) consiste em duas engrenagens montadas de forma que o centro de uma gire em torno do centro da outra. Um suporte conecta os centros das duas engrenagens e gira para carregar uma engrenagem, chamada de engrenagem planetária ou pinhão planetário , em torno da outra, chamada de engrenagem solar ou roda solar . As engrenagens do planeta e do sol se articulam de modo que seus círculos de inclinação rolem sem deslizar. Um ponto no círculo de inclinação da engrenagem planetária traça uma curva epicicloidal . Neste caso simplificado, a engrenagem solar é fixa e a (s) engrenagem (s) planetária (s) giram em torno da engrenagem solar.

Um trem de engrenagem epicíclica pode ser montado de forma que a engrenagem planetária role no interior do círculo de passo de uma coroa de engrenagem externa fixa ou coroa, às vezes chamada de engrenagem anular . Nesse caso, a curva traçada por um ponto no círculo vertical do planeta é um hipociclóide .

A combinação de trens de engrenagens epicicloidais com um planeta que engata uma engrenagem solar e uma coroa é chamada de trem de engrenagem planetária . Nesse caso, a engrenagem coroa geralmente é fixa e a engrenagem solar é acionada.

Visão geral

Engrenagem epicíclica ou engrenagem planetária é um sistema de engrenagens que consiste em uma ou mais engrenagens ou pinhões externos, ou planetários , girando em torno de uma engrenagem solar central ou roda solar . Normalmente, as engrenagens planetárias são montadas em um braço móvel ou portador , que pode girar em relação à engrenagem solar. Os sistemas de engrenagens epicíclicas também incorporam o uso de uma coroa dentada externa ou anel , que se engrena com as engrenagens planetárias. As engrenagens planetárias (ou engrenagens epicicloidais) são normalmente classificadas como engrenagens planetárias simples ou compostas. Engrenagens planetárias simples têm um sol, um anel, um portador e um conjunto de planetas. Engrenagens planetárias compostas envolvem um ou mais dos três tipos de estruturas a seguir: planeta em malha (há pelo menos mais dois planetas em malha um com o outro em cada trem de planetas), planeta escalonado (existe uma conexão de eixo entre dois planetas em cada trem de planeta) e estruturas de vários estágios (o sistema contém dois ou mais conjuntos de planetas). Em comparação com as engrenagens planetárias simples, as engrenagens planetárias compostas têm as vantagens de uma maior relação de redução, maior relação torque-peso e configurações mais flexíveis.

Os eixos de todas as engrenagens são geralmente paralelos, mas para casos especiais como apontadores de lápis e diferenciais , eles podem ser colocados em um ângulo, introduzindo elementos de engrenagem cônica (veja abaixo). Além disso, o sol, o portador do planeta e os eixos do anel são geralmente coaxiais .

Bookwheel , da máquina Le diversos et artifiose de Agostino Ramelli , 1588

Engrenagens epicíclicas também estão disponíveis, as quais consistem em um sol, um portador e dois planetas que se engrenam. Um planeta se engrena com a engrenagem solar, enquanto o segundo planeta se engrena com a coroa. Para este caso, quando o portador é fixo, a coroa dentada gira na mesma direção que a engrenagem solar, proporcionando uma reversão de direção em comparação com a engrenagem epicíclica padrão.

História

Por volta de 500 aC, os gregos inventaram a ideia de epiciclos, de círculos que viajam em órbitas circulares. Com esta teoria, Claudius Ptolomeu em Almagesto em 148 DC foi capaz de prever caminhos orbitais planetários. O mecanismo de Antikythera , por volta de 80 aC, tinha engrenagens que eram capazes de aproximar o caminho elíptico da lua através do céu e até mesmo corrigir a precessão de nove anos desse caminho. (Os gregos teriam visto isso não como um movimento elíptico, mas sim como um movimento epicíclico.)

No tratado de Almagesto do século 2 DC , Ptolomeu usou deferentes rotativos e epiciclos que formam trens de engrenagens epicicloidais para prever os movimentos dos planetas. As previsões precisas do movimento do Sol, da Lua e dos cinco planetas, Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno, através do céu presumiram que cada um seguiu uma trajetória traçada por um ponto na engrenagem planetária de um trem de engrenagens epicíclicas. Esta curva é chamada de epitrocoide .

Engrenagens epicíclicas foram usadas no mecanismo de Antikythera , por volta de 80 aC, para ajustar a posição exibida da lua para a elipticidade de sua órbita e até mesmo para a precessão absidal de sua órbita. Duas engrenagens opostas giravam em torno de centros ligeiramente diferentes, e uma movia a outra não com dentes em malha, mas com um pino inserido em uma fenda na segunda. Conforme a ranhura conduzia a segunda marcha, o raio de direção mudava, invocando assim uma aceleração e desaceleração da marcha acionada em cada revolução.

No século 11 DC, a engrenagem epicicloidal foi reinventada por Ibn Khalaf al-Muradi em Al-Andalus . Seu relógio de água com engrenagens empregava um complexo mecanismo de trem de engrenagens que incluía engrenagens segmentais e epicicloidais.

Richard de Wallingford , um abade inglês do mosteiro de St Albans, mais tarde descreveu a engrenagem epicicloidal para um relógio astronômico no século XIV. Em 1588, o engenheiro militar italiano Agostino Ramelli inventou a roda de livros , uma estante de livros giratória vertical que contém engrenagens epicíclicas com dois níveis de engrenagens planetárias para manter a orientação adequada dos livros.

Relação de engrenagem da engrenagem epicicloidal padrão

Neste exemplo, o suporte (verde) é mantido estacionário enquanto a engrenagem solar (amarela) é usada como entrada. A análise assume um módulo de projeto de engrenagem comum. As engrenagens planetárias (azul) giram em uma proporção determinada pelo número de dentes em cada engrenagem. Aqui, a proporção é −24/16 ou −3/2; cada engrenagem planetária gira a 3/2 da taxa da engrenagem solar, na direção oposta.

A relação de engrenagem de um sistema de engrenagem epicicloidal é um tanto não intuitiva, particularmente porque existem várias maneiras pelas quais uma rotação de entrada pode ser convertida em uma rotação de saída. Os três componentes básicos da engrenagem epicicloidal são:

  • Sol : a engrenagem central
  • Portador : Contém um ou mais periféricos planeta engrenagens, todos do mesmo tamanho, engrenada com a engrenagem solar
  • Anel ou anel : um anel externo com dentes voltados para dentro que se engrenam com a engrenagem planetária ou engrenagens

A relação de engrenagem geral de um conjunto de engrenagens planetárias simples pode ser calculada usando as duas equações a seguir, representando as interações sol-planeta e planeta-anel, respectivamente:

Onde

é a velocidade angular do anel , engrenagem solar , engrenagens do planeta e portador do planeta , respectivamente, e
é o número de dentes do anel , a engrenagem do Sol e cada engrenagem do planeta, respectivamente.

do qual podemos derivar o seguinte:

e

Considerando .

Alternativamente, se o número de dentes em cada engrenagem atender à relação , esta equação pode ser reescrita da seguinte forma:

Onde

Essas relações podem ser usadas para analisar qualquer sistema epicíclico, incluindo aqueles, como transmissões de veículos híbridos, onde dois dos componentes são usados ​​como entradas com o terceiro fornecendo saída em relação às duas entradas.

Em muitos sistemas de engrenagens epicicloidais, um desses três componentes básicos é mantido estacionário; um dos dois componentes restantes é uma entrada , fornecendo energia ao sistema, enquanto o último componente é uma saída , recebendo energia do sistema. A relação entre a rotação de entrada e a rotação de saída depende do número de dentes em cada engrenagem e de qual componente é mantido estacionário.

Em um arranjo, o portador planetário (verde) é mantido estacionário e a engrenagem solar (amarela) é usada como entrada. Nesse caso, as engrenagens planetárias simplesmente giram em torno de seus próprios eixos (ou seja, giram) a uma taxa determinada pelo número de dentes em cada engrenagem. Se a engrenagem solar tem Ns dentes, e cada engrenagem planetária tem Np dentes, então a relação é igual a - N s / N p . Por exemplo, se a engrenagem solar tem 24 dentes e cada planeta tem 16 dentes, então a relação é −24/16, ou −3/2; isso significa que uma volta no sentido horário da engrenagem solar produz 1,5 voltas no sentido anti-horário de cada uma das engrenagens planetárias em torno de seu eixo.

Esta rotação das engrenagens planetárias pode, por sua vez, acionar a coroa (não representada no diagrama), em uma relação correspondente. Se a engrenagem anelar tiver N r dentes, o anel girará N p / N r voltas para cada volta das engrenagens planetárias. Por exemplo, se a engrenagem anelar tem 64 dentes e os planetas 16, uma volta no sentido horário de uma engrenagem planetária resulta em 16/64, ou 1/4 voltas no sentido horário da engrenagem anelar. Estendendo este caso do anterior:

  • Uma volta da engrenagem solar resulta em voltas dos planetas
  • Uma volta de uma engrenagem planetária resulta em voltas da coroa

Portanto, com o portador planetário travado, uma volta da engrenagem solar resulta em voltas da coroa.

A coroa também pode ser mantida fixa, com entrada fornecida ao porta-engrenagem planetária; a rotação de saída é então produzida a partir da engrenagem solar. Esta configuração produzirá um aumento na relação de engrenagem igual a 1+ N r / N s .

Se a coroa for mantida estacionária e a engrenagem solar for usada como entrada, o suporte planetário será a saída. A relação de engrenagem, neste caso, será 1 / (1 +  N r / N s ), que também pode ser escrita como 1: (1 +  N r / N s ). Esta é a relação de transmissão mais baixa possível com um trem de engrenagem epicicloidal. Esse tipo de engrenagem às vezes é usado em tratores e equipamentos de construção para fornecer alto torque às rodas motrizes.

Nas engrenagens do cubo da bicicleta , o sol é geralmente estacionário, sendo chaveado ao eixo ou mesmo usinado diretamente nele. O suporte da engrenagem planetária é usado como entrada. Neste caso, a relação de transmissão é simplesmente dada por ( N s + N r ) / N r . O número de dentes na engrenagem planetária é irrelevante.

Planetas compostos de um cubo de bicicleta Sturmey-Archer AM (coroa removida)

Acelerações da engrenagem epicicloidal padrão

A partir das fórmulas acima, também podemos derivar as acelerações do sol, anel e portador, que são:

Razões de torque da engrenagem epicíclica padrão

Em engrenagens epicíclicas, duas velocidades devem ser conhecidas, a fim de determinar a terceira velocidade. No entanto, em uma condição de regime permanente, apenas um torque deve ser conhecido, a fim de determinar os outros dois torques. As equações que determinam o torque são:


onde: - Torque do anel (anel), - Torque do sol, - Torque do portador. Para todos os três, esses são os torques aplicados ao mecanismo (torques de entrada). Os torques de saída têm o sinal inverso dos torques de entrada.

Nos casos em que as engrenagens estão acelerando, ou para levar em conta o atrito, essas equações devem ser modificadas.

Proporção fixa do trem de transporte

Uma abordagem conveniente para determinar as várias relações de velocidade disponíveis em um trem de engrenagens planetárias começa considerando a relação de velocidade do trem de engrenagens quando o suporte é mantido fixo. Isso é conhecido como proporção fixa do trem de portadores.

No caso de um trem de engrenagens planetárias simples formado por um transportador suportando uma engrenagem planetária engatada com um sol e engrenagem anelar, a relação do trem de transportadores fixa é calculada como a razão de velocidade do trem de engrenagens formado pelo sol, planeta e engrenagens de anel em a operadora fixa. Isso é dado por

Nesse cálculo, a engrenagem planetária é uma engrenagem intermediária.

A fórmula fundamental do trem de engrenagens planetárias com uma portadora giratória é obtida reconhecendo que esta fórmula permanece verdadeira se as velocidades angulares do sol, do planeta e das engrenagens anulares forem calculadas em relação à velocidade angular da portadora. Isso se torna,

Esta fórmula fornece uma maneira simples de determinar as relações de velocidade para o trem de engrenagem planetária simples sob diferentes condições:

1. O portador é mantido fixo, ω c = 0,

2. A coroa é mantida fixa, ω r = 0,

3. A engrenagem solar é mantida fixa, ω s = 0,

Cada uma das relações de velocidade disponíveis para um trem de engrenagem planetária simples pode ser obtida usando freios de banda para segurar e liberar o portador, o sol ou as engrenagens de anel conforme necessário. Isso fornece a estrutura básica para uma transmissão automática .

Diferencial de engrenagem reta

Um diferencial de engrenagem reta construído ao engatar as engrenagens planetárias de dois trens de engrenagem epicicloidal coaxial. A caixa é o suporte para este trem de engrenagens planetárias.

Um diferencial de engrenagem reta é construído a partir de dois trens de engrenagem epicíclica coaxial idêntica montados com um único suporte de modo que suas engrenagens planetárias sejam engatadas. Isso forma um trem de engrenagens planetárias com uma relação de trem de suporte fixa R  = -1.

Neste caso, a fórmula fundamental para o trem de engrenagens planetárias cede,

ou

Assim, a velocidade angular do portador de um diferencial de engrenagem reta é a média das velocidades angulares do sol e das engrenagens de anel.

Ao discutir o diferencial da engrenagem reta, o uso do termo engrenagem de anel é uma maneira conveniente de distinguir as engrenagens solares dos dois trens de engrenagem epicicloidal. As engrenagens anelares são normalmente fixas na maioria das aplicações, pois esse arranjo terá uma boa capacidade de redução. A segunda engrenagem solar tem o mesmo propósito que a engrenagem anelar de um trem de engrenagem planetária simples, mas claramente não possui o acoplamento de engrenagem interno típico de uma engrenagem anelar.

Relação de engrenagem de engrenagem epicicloidal reversa

Animações CSS de engrenagem epicicloidal com engrenagem de anel de 56 dentes travada (1), engrenagem solar de 24 dentes travada (2), suporte com engrenagens planetárias de 16 dentes travadas (3) e acionamento direto (4) - os números indicam a velocidade angular relativa

Alguns trens de engrenagens epicicloidais empregam duas engrenagens planetárias que se engrenam. Um desses planetas engrena com a engrenagem solar, o outro planeta engrena com a engrenagem anelar. Isso resulta em diferentes proporções sendo geradas pelo planetário. A equação fundamental torna-se:

Onde

o que resulta em:

quando a operadora está bloqueada,
quando o sol está bloqueado,
quando a coroa está bloqueada.

Engrenagens planetárias compostas

Série planetária escalonada do cubo da bicicleta com engrenagem interna Rohloff Speedhub com a série planetária menor engrenando com a roda do sol e a série planetária maior engrenada com a coroa

"Engrenagem planetária composta" é um conceito geral e se refere a quaisquer engrenagens planetárias envolvendo um ou mais dos três tipos de estruturas a seguir: planeta em malha (há pelo menos dois ou mais planetas em malha entre si em cada trem de planetas) , planeta escalonado (existe uma conexão de eixo entre dois planetas em cada trem de planetas) e estruturas de vários estágios (o sistema contém dois ou mais conjuntos de planetas).

Alguns projetos usam "planetas escalonados", que têm duas engrenagens de tamanhos diferentes em cada extremidade de um eixo comum. A extremidade menor envolve o sol, enquanto a extremidade grande envolve a coroa. Isso pode ser necessário para obter mudanças menores na relação de engrenagens quando o tamanho geral do pacote é limitado. Os planetas compostos têm "marcas de tempo" (ou "fase relativa da malha de engrenagens" em termos técnicos). As condições de montagem das engrenagens planetárias compostas são mais restritivas do que engrenagens planetárias simples, e elas devem ser montadas na orientação inicial correta entre si, ou seus dentes não engatarão simultaneamente o sol e a coroa em extremidades opostas do planeta, levando a uma execução muito difícil e curta vida. Em 2015, uma variante baseada em tração do design de "planeta escalonado" foi desenvolvida na Universidade de Tecnologia de Delft, que depende da compressão dos elementos planetários escalonados para alcançar a transmissão de torque. O uso de elementos de tração elimina a necessidade de "marcas de sincronismo", bem como as condições restritivas de montagem normalmente encontradas. Engrenagens planetárias compostas podem facilmente alcançar uma relação de transmissão maior com volume igual ou menor. Por exemplo, planetas compostos com dentes em uma proporção de 2: 1 com uma coroa dentada 50T dariam o mesmo efeito que uma coroa dentada 100T, mas com metade do diâmetro real.

Mais unidades de engrenagem planetárias e solares podem ser colocadas em série no mesmo alojamento (onde o eixo de saída do primeiro estágio se torna o eixo de entrada do próximo estágio) fornecendo uma relação de engrenagem maior (ou menor). É assim que a maioria das transmissões automáticas funciona. Em alguns casos, vários estágios podem até mesmo compartilhar a mesma coroa, que pode ser estendida ao longo do comprimento da transmissão, ou mesmo ser uma parte estrutural da caixa de caixas de engrenagens menores.

Durante a Segunda Guerra Mundial , uma variação especial de engrenagem epicicloidal foi desenvolvida para equipamentos de radar portáteis , onde uma taxa de redução muito alta em um pacote pequeno era necessária. Este tinha duas engrenagens de anel externo, cada uma com metade da espessura das outras engrenagens. Uma dessas duas engrenagens de anel foi mantida fixa e tinha um dente a menos do que o outro. Portanto, várias voltas da engrenagem "sol" fizeram as engrenagens "planetárias" completarem uma única volta, o que por sua vez fez a coroa giratória girar por um único dente como um acionamento cicloidal .

Benefícios

O mecanismo de um apontador de lápis com engrenagem anelar estacionária e suporte planetário giratório como entrada. As engrenagens planetárias são estendidas em cortadores cilíndricos, girando em torno do lápis que é colocado no eixo do sol. Os eixos das engrenagens planetárias se unem no ângulo de afiação do lápis.

Os trens de engrenagens planetárias fornecem alta densidade de potência em comparação com os trens de engrenagens de eixo paralelo padrão. Eles fornecem uma redução no volume, múltiplas combinações cinemáticas, reações puramente torcionais e eixos coaxiais. As desvantagens incluem cargas elevadas nos rolamentos, requisitos de lubrificação constante, inacessibilidade e complexidade do projeto.

A perda de eficiência em um trem de engrenagens planetárias é normalmente de cerca de 3% por estágio. Este tipo de eficiência garante que uma alta proporção (cerca de 97%) da energia que está sendo fornecida seja transmitida através da caixa de engrenagens, ao invés de ser desperdiçada em perdas mecânicas dentro da caixa de engrenagens.

A carga em um trem de engrenagens planetárias é compartilhada entre vários planetas; portanto, a capacidade de torque é bastante aumentada. Quanto mais planetas no sistema, maior a capacidade de carga e maior a densidade de torque.

O trem de engrenagens planetárias também fornece estabilidade devido a uma distribuição uniforme de massa e maior rigidez rotacional. O torque aplicado radialmente nas engrenagens de um trem de engrenagens planetárias é transferido radialmente pela engrenagem, sem pressão lateral nos dentes da engrenagem.

Em uma aplicação típica, a força motriz se conecta à engrenagem solar. A engrenagem solar então aciona as engrenagens planetárias montadas com o anel de engrenagem externo para operar. Todo o conjunto do sistema de engrenagens planetárias gira sobre seu próprio eixo e ao longo do anel de engrenagem externo onde o eixo de saída conectado ao suporte planetário atinge o objetivo de redução de velocidade. Uma taxa de redução mais alta pode ser alcançada dobrando as engrenagens múltiplas em estágios e engrenagens planetárias que podem operar dentro da mesma coroa.

O método de movimento de uma estrutura de engrenagem planetária é diferente das engrenagens paralelas tradicionais. As engrenagens tradicionais contam com um pequeno número de pontos de contato entre duas engrenagens para transferir a força motriz. Neste caso, todo o carregamento está concentrado em algumas superfícies de contato, fazendo com que as engrenagens se desgastem rapidamente e às vezes trincem. Mas o redutor de velocidade planetário tem múltiplas superfícies de contato de engrenagem com uma área maior que pode distribuir a carga uniformemente em torno do eixo central. As superfícies de várias engrenagens compartilham a carga, incluindo qualquer carga de impacto instantâneo, de maneira uniforme, o que as torna mais resistentes a danos de torque mais alto. O alojamento e as peças do rolamento também têm menos probabilidade de serem danificados por cargas elevadas, pois apenas os rolamentos planetários experimentam uma força lateral significativa da transmissão de torque, as forças radiais se opõem e são equilibradas e as forças axiais surgem apenas quando se usa engrenagens helicoidais.

impressao 3D

Animação de um equipamento para impressão

As engrenagens planetárias se tornaram populares na impressão 3D por alguns motivos diferentes. As caixas de engrenagens planetárias podem fornecer uma relação de transmissão grande em um pacote pequeno e leve. Algumas pessoas instalam essas caixas de engrenagens para obter impressões 3D mais precisas, reduzindo o movimento de seus motores de passo.

Um motor com redução deve girar mais longe e mais rápido para produzir o mesmo movimento de saída na impressora 3D, o que é vantajoso se não for compensado pela velocidade de movimento mais lenta. Se o motor de passo tiver que girar mais longe, ele também terá que executar mais etapas para mover a impressora por uma determinada distância; portanto, o motor de passo com redução reduzida tem um tamanho de passo mínimo menor do que o mesmo motor de passo sem caixa de engrenagens. Embora haja muitos fatores envolvidos, as caixas de engrenagens planetárias podem ajudar a produzir impressões 3D de alta qualidade.

Um uso popular dos sistemas de engrenagens planetárias impressas em 3D é como brinquedos para crianças. Como as engrenagens em espinha de peixe são fáceis de imprimir em 3D, tornou-se muito popular imprimir em 3D um sistema de engrenagem planetária em espinha de peixe móvel para ensinar as crianças como as engrenagens funcionam. Uma vantagem das engrenagens em espinha é que elas não caem do anel e não precisam de uma placa de montagem, permitindo que as partes móveis sejam claramente vistas.

Galeria

Veja também

Referências

links externos