Triângulo Equilátero - Equilateral triangle

Triângulo Equilátero
Modelo	Polígono regular
Arestas e vértices	3
Símbolo Schläfli	{3}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetria	D 3
Área	${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}$
Ângulo interno ( graus )	60 °

Em geometria , um triângulo equilátero é um triângulo em que todos os três lados têm o mesmo comprimento. Na conhecida geometria euclidiana , um triângulo equilátero também é equiangular ; ou seja, todos os três ângulos internos também são congruentes entre si e são cada um 60 °. Também é um polígono regular , por isso também é conhecido como triângulo regular .

Propriedades principais

Denotando o comprimento comum dos lados do triângulo equilátero , podemos determinar usando o teorema de Pitágoras que: ${\ displaystyle a}$

• A área é ,${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}$
• O perímetro é ${\ displaystyle p = 3a \, \!}$
• O raio do círculo circunscrito é${\ displaystyle R = {\ frac {a} {\ sqrt {3}}}}$
• O raio do círculo inscrito é ou${\ displaystyle r = {\ frac {\ sqrt {3}} {6}} a}$${\ displaystyle r = {\ frac {R} {2}}}$
• O centro geométrico do triângulo é o centro dos círculos circunscritos e inscritos
• A altitude (altura) de qualquer lado é${\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a}$

Denotando o raio do círculo circunscrito como R , podemos determinar usando trigonometria que:

• A área do triângulo é ${\ displaystyle \ mathrm {A} = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} R ^ {2}}$

Muitas dessas quantidades têm relações simples com a altitude ("h") de cada vértice do lado oposto:

• A área é ${\ displaystyle A = {\ frac {h ^ {2}} {\ sqrt {3}}}}$
• A altura do centro de cada lado, ou apótema , é${\ displaystyle {\ frac {h} {3}}}$
• O raio do círculo que circunscreve os três vértices é ${\ displaystyle R = {\ frac {2h} {3}}}$
• O raio do círculo inscrito é ${\ displaystyle r = {\ frac {h} {3}}}$

Em um triângulo equilátero, as altitudes, os bissetores dos ângulos, os bissetores perpendiculares e as medianas de cada lado coincidem.

Caracterizações

Um triângulo ABC que tem os lados a , b , c , semiperímetro s , área T , exradii r _a , r _b , r _c (tangente a a , b , c respectivamente), e onde R e r são os raios do circuncírculo e incircle respectivamente, é equilátero se e somente se qualquer uma das afirmações nas seguintes nove categorias for verdadeira. Portanto, essas são propriedades exclusivas dos triângulos equiláteros, e saber que qualquer uma delas é verdadeira implica diretamente que temos um triângulo equilátero.

Lados

• ${\ displaystyle \ displaystyle a = b = c}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}} = {\ frac {\ sqrt {25Rr-2r ^ { 2}}} {4Rr}}}$

Semiperímetro

• ${\ displaystyle \ displaystyle s = 2R + (3 {\ sqrt {3}} - 4) r \ quad {\ text {(Blundon)}}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle s ^ {2} = 3r ^ {2} + 12Rr}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle s ^ {2} = 3 {\ sqrt {3}} T}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle s = 3 {\ sqrt {3}} r}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle s = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} R}$

Ângulos

• ${\ displaystyle \ displaystyle A = B = C = 60 ^ {\ circ}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle \ cos {A} + \ cos {B} + \ cos {C} = {\ frac {3} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle \ sin {\ frac {A} {2}} \ sin {\ frac {B} {2}} \ sin {\ frac {C} {2}} = {\ frac {1} {8 }}}$

Área

• ${\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {4 {\ sqrt {3}}}} \ quad}$( Weitzenböck )
• ${\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {^ {\ frac {2} {3}}}}$

Circumradius, inradius e exradii

• ${\ displaystyle \ displaystyle R = 2r \ quad {\ text {(Chapple-Euler)}}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle 9R ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle r = {\ frac {r_ {a} + r_ {b} + r_ {c}} {9}}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle r_ {a} = r_ {b} = r_ {c}}$

Cevians iguais

Três tipos de cevians coincidem e são iguais para (e apenas para) triângulos equiláteros:

• As três altitudes têm comprimentos iguais.
• As três medianas têm comprimentos iguais.
• As três bissetoras dos ângulos têm comprimentos iguais.

Centros de triângulo coincidente

Cada centro de triângulo de um triângulo equilátero coincide com seu centróide , o que implica que o triângulo equilátero é o único triângulo sem linha de Euler conectando alguns dos centros. Para alguns pares de centros de triângulos, o fato de eles coincidirem é suficiente para garantir que o triângulo seja equilátero. Em particular:

• Um triângulo é equilátero se quaisquer dois do circuncentro , incentivo , centróide ou ortocentro coincidirem.
• Também é equilátero se seu circuncentro coincidir com o ponto de Nagel , ou se seu incentivo coincidir com seu centro de nove pontos .

Seis triângulos formados por partição pelas medianas

Para qualquer triângulo, as três medianas dividem o triângulo em seis triângulos menores.

• Um triângulo é equilátero se e somente se qualquer um dos três triângulos menores tiver o mesmo perímetro ou o mesmo raio.
• Um triângulo é equilátero se e somente se os circuncentros de quaisquer três dos triângulos menores têm a mesma distância do centróide.

Pontos no avião

• Um triângulo é equilátero se e somente se, para cada ponto P no plano, com distâncias p , q e r para os lados do triângulo e distâncias x , y e z para seus vértices,

${\ displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + r ^ {2}) \ geq x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}.}$

Teoremas notáveis

O teorema do trissetor de Morley afirma que, em qualquer triângulo, os três pontos de intersecção dos trissetores dos ângulos adjacentes formam um triângulo equilátero.

O teorema de Napoleão afirma que, se triângulos equiláteros são construídos nos lados de qualquer triângulo, seja todos para fora, ou todos para dentro, os centros desses triângulos equiláteros formam um triângulo equilátero.

Uma versão da desigualdade isoperimétrica para triângulos afirma que o triângulo de maior área entre todos aqueles com um determinado perímetro é equilátero.

O teorema de Viviani afirma que, para qualquer ponto interior P em um triângulo equilátero com distâncias d , e e f dos lados e altitude h ,

${\ displaystyle d + e + f = h,}$

independente da localização de P .

O teorema de Pompeiu afirma que, se P é um ponto arbitrário no plano de um triângulo equilátero ABC, mas não em seu circunferência , então existe um triângulo com lados de comprimentos PA , PB e PC . Ou seja, PA , PB e PC satisfazem a desigualdade do triângulo de que a soma de quaisquer dois deles é maior do que a terceira. Se P está no círculo circunflexo, então a soma dos dois menores é igual ao mais longo e o triângulo degenerou em uma reta, este caso é conhecido como teorema de Van Schooten .

Outras propriedades

Pela desigualdade de Euler , o triângulo equilátero tem a menor razão R / r do circumradius para o infradius de qualquer triângulo: especificamente, R / r = 2.

O triângulo de maior área de todos aqueles inscritos em um determinado círculo é equilátero; e o triângulo de menor área de todas as circunscritas em torno de um determinado círculo é equilátero.

A relação entre a área do círculo incircular e a área de um triângulo equilátero,, é maior do que a de qualquer triângulo não equilátero. ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$

A razão entre a área e o quadrado do perímetro de um triângulo equilátero é maior do que para qualquer outro triângulo. ${\ displaystyle {\ frac {1} {12 {\ sqrt {3}}}},}$

Se um segmento divide um triângulo equilátero em duas regiões com perímetros iguais e com áreas A ₁ e A ₂ , então

${\ displaystyle {\ frac {7} {9}} \ leq {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} \ leq {\ frac {9} {7}}.}$

Se um triângulo é colocado no plano complexo com vértices complexos z ₁ , z ₂ e z ₃ , então para qualquer raiz cúbica não real de 1 o triângulo é equilátero se e somente se ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle z_ {1} + \ omega z_ {2} + \ omega ^ {2} z_ {3} = 0.}$

Dado um ponto P no interior de um triângulo equilátero, a razão da soma de suas distâncias dos vértices à soma de suas distâncias dos lados é maior ou igual a 2, igualdade mantida quando P é o centróide. Em nenhum outro triângulo há um ponto para o qual essa razão é tão pequena quanto 2. Essa é a desigualdade Erdős-Mordell ; uma forte variante disto é a desigualdade do carrinho de mão , o qual substitui as distâncias perpendiculares aos lados com as distâncias a partir de P para os pontos onde os bissectriz de ∠ APB , ∠ BPC , e ∠ CPA atravessar os lados ( A , B , e C ser os vértices).

Para qualquer ponto P no plano, com distâncias p , q e t dos vértices A , B e C respectivamente,

${\ displaystyle \ displaystyle 3 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4} + a ^ {4}) = (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2}.}$

Para qualquer ponto P no plano, com distâncias p , q e t dos vértices,

${\ displaystyle \ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2} = 3 (R ^ {2} + L ^ {2})}$

e

${\ displaystyle \ displaystyle p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4} = 3 [(R ^ {2} + L ^ {2}) ^ {2} + 2R ^ {2} L ^ {2}],}$

onde R é o raio circunscrito e L é a distância entre o ponto P e o centroide do triângulo equilátero.

Para qualquer ponto P no círculo inscrito de um triângulo equilátero, com distâncias p , q e t dos vértices,

${\ displaystyle \ displaystyle 4 (p ^ {2} + q ^ {2} + t ^ {2}) = 5a ^ {2}}$

e

${\ displaystyle \ displaystyle 16 (p ^ {4} + q ^ {4} + t ^ {4}) = 11a ^ {4}.}$

Para qualquer ponto P no arco menor BC da circunferência, com distâncias p , q e t de A, B e C respectivamente,

${\ displaystyle \ displaystyle p = q + t}$

e

${\ displaystyle \ displaystyle q ^ {2} + qt + t ^ {2} = a ^ {2};}$

além disso, se o ponto D no lado BC divide PA em segmentos PD e DA com DA tendo comprimento z e PD tendo comprimento y , então

${\ displaystyle z = {\ frac {t ^ {2} + tq + q ^ {2}} {t + q}},}$

que também é igual se t ≠ q ; e ${\ displaystyle {\ tfrac {t ^ {3} -q ^ {3}} {t ^ {2} -q ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {t}} = {\ frac {1} {y}},}$

que é a equação óptica .

Existem numerosas desigualdades triangulares que se mantêm com igualdade se e somente se o triângulo for equilátero.

Um triângulo equilátero é o triângulo mais simétrico, tendo 3 linhas de reflexão e simetria rotacional de ordem 3 em torno de seu centro. Seu grupo de simetria é o grupo diedro de ordem 6 D ₃ .

Os triângulos equilaterais são os únicos triângulos cuja inelipse de Steiner é um círculo (especificamente, é o incircle).

O triângulo equilátero com lados inteiros é o único triângulo com lados inteiros e três ângulos racionais medidos em graus.

O triângulo equilátero é o único triângulo agudo semelhante ao seu triângulo ortico (com vértices nos pés das altitudes ) ( sendo o triângulo heptagonal o único obtuso).

Os triângulos equilaterais são encontrados em muitas outras construções geométricas. A intersecção de círculos cujos centros estão separados por um raio de largura é um par de arcos equiláteros, cada um dos quais pode ser inscrito com um triângulo equilátero. Eles formam faces de poliedros regulares e uniformes . Três dos cinco sólidos platônicos são compostos de triângulos equiláteros. Em particular, o tetraedro regular tem quatro triângulos equiláteros para faces e pode ser considerado o análogo tridimensional da forma. O plano pode ser ladrilhado usando triângulos equiláteros, dando o ladrilho triangular .

Construção geométrica

Um triângulo equilátero é facilmente construído usando régua e compasso , porque 3 é um primo de Fermat . Desenhe uma linha reta e coloque o ponto do compasso em uma extremidade da linha e balance um arco desse ponto ao outro ponto do segmento de linha. Repita com o outro lado da linha. Finalmente, conecte o ponto onde os dois arcos se cruzam com cada extremidade do segmento de linha

Um método alternativo é desenhar um círculo com raio r , colocar a ponta do compasso no círculo e desenhar outro círculo com o mesmo raio. Os dois círculos se cruzarão em dois pontos. Um triângulo equilátero pode ser construído tomando os dois centros dos círculos e qualquer um dos pontos de intersecção.

Em ambos os métodos, um subproduto é a formação de vesica piscis .

A prova de que o valor resultante é um triângulo equilátero é a primeira proposição no Livro I da de Euclides Elements .

Derivação da fórmula da área

A fórmula da área em termos de comprimento do lado a pode ser derivada diretamente usando o teorema de Pitágoras ou usando trigonometria. ${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}$

Usando o teorema de Pitágoras

A área de um triângulo é metade de um lado a vezes a altura h daquele lado:

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ah.}$

As pernas de qualquer um dos triângulos retos formados por uma altitude do triângulo equilátero são a metade da base a , e a hipotenusa é o lado a do triângulo equilátero. A altura de um triângulo equilátero pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) ^ {2} + h ^ {2} = a ^ {2}}$

de modo a

${\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a.}$

Substituindo h na fórmula da área (1/2) ah dá a fórmula da área para o triângulo equilátero:

${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}.}$

Usando trigonometria

Utilizando trigonometria , a área de um triângulo com quaisquer dois lados um e b , e um ângulo C entre eles é

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ sin C.}$

Cada ângulo de um triângulo equilátero é de 60 °, então

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ sin 60 ^ {\ circ}.}$

O seno de 60 ° é . Assim ${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}}}$

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ times {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} ab = { \ frac {\ sqrt {3}} {4}} a ^ {2}}$

uma vez que todos os lados de um triângulo equilátero são iguais.

Na cultura e na sociedade

Os triângulos equilibrados têm aparecido frequentemente em construções feitas pelo homem:

• A forma ocorre na arquitetura moderna, como a seção transversal do Arco do Portal .
• Suas aplicações em bandeiras e heráldica incluem a bandeira da Nicarágua e a bandeira das Filipinas .
• É a forma de uma variedade de sinais de trânsito , incluindo o sinal de subida .

Veja também

• Triângulo heroniano quase equilátero
• Triângulo isósceles
• Enredo ternário
• Coordenadas trilineares

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Equilateral Triangle" . MathWorld .

v t e Polítopos convexos básicos regulares e uniformes nas dimensões 2-10
Família	A n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polígono regular	Triângulo	Quadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Demicube		Dodecaedro • Icosaedro
Polychoron uniforme	Pentachoron	16 células • Tesseract	Demitesseract	24 células	120 células • 600 células
Uniform 5-polytope	5-simplex	5-ortoplexo • 5-cubo	5-demicube
Uniform 6-polytope	6-simplex	6-orthoplex • 6-cubo	6-demicube	1 22 • 2 21
7-politopo uniforme	7-simplex	7-orthoplex • 7-cubo	7-demicube	1 32 • 2 31 • 3 21
8 politopo uniforme	8-simplex	8-ortoplexo • 8-cubo	8-demicube	1 42 • 2 41 • 4 21
Uniform 9-polytope	9-simplex	9-ortoplexo • 9-cubo	9-demicube
Uniforme 10-politopo	10-simplex	10-ortoplexo • 10-cubo	10-demicube
Uniforme n - politopo	n - simplex	n - ortoplex • n - cubo	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politopo pentagonal
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