Ergodicidade - Ergodicity

Em matemática , a ergodicidade expressa a ideia de que um ponto de um sistema móvel, seja um sistema dinâmico ou um processo estocástico , acabará por visitar todas as partes do espaço em que o sistema se move, de forma uniforme e aleatória. Isso implica que o comportamento médio do sistema pode ser deduzido da trajetória de um ponto "típico". De forma equivalente, uma coleção suficientemente grande de amostras aleatórias de um processo pode representar as propriedades estatísticas médias de todo o processo. A ergodicidade é uma propriedade do sistema; é uma declaração de que o sistema não pode ser reduzido ou fatorado em componentes menores. A teoria ergódica é o estudo de sistemas que possuem ergodicidade.

Os sistemas ergódicos ocorrem em uma ampla gama de sistemas na física e na geometria . Isso pode ser aproximadamente entendido como devido a um fenômeno comum: o movimento das partículas, isto é, as geodésicas em uma variedade hiperbólica são divergentes; quando essa variedade é compacta , ou seja, de tamanho finito, essas órbitas voltam para a mesma área geral , acabando por preencher todo o espaço .

Os sistemas ergódicos captam o senso comum, noções cotidianas de aleatoriedade, de tal forma que a fumaça pode vir para encher toda uma sala cheia de fumaça, ou que um bloco de metal pode eventualmente vir a ter a mesma temperatura por toda parte, ou que vira uma moeda justa pode dar cara e coroa na metade das vezes. Um conceito mais forte do que a ergodicidade é o de mistura , que visa descrever matematicamente as noções do senso comum de mistura, como misturar bebidas ou ingredientes de cozinha.

A formulação matemática apropriada da ergodicidade é baseada nas definições formais da teoria da medida e dos sistemas dinâmicos , e mais especificamente na noção de um sistema dinâmico que preserva a medida . As origens da ergodicidade estão na física estatística , onde Ludwig Boltzmann formulou a hipótese ergódica .

Explicação informal

A ergodicidade ocorre em ambientes amplos na física e na matemática . Todas essas configurações são unificadas por uma descrição matemática comum, a do sistema dinâmico com preservação de medida . Uma descrição informal disso e uma definição de ergodicidade com respeito a ela são fornecidas imediatamente abaixo. Isso é seguido por uma descrição da ergodicidade em processos estocásticos . Eles são um e o mesmo, apesar de usarem notação e linguagem dramaticamente diferentes. Segue-se uma revisão da ergodicidade na física e na geometria . Em todos os casos, a noção de ergodicidade é exatamente a mesma que para sistemas dinâmicos; não há diferença , exceto quanto à perspectiva, notação, estilo de pensamento e os periódicos onde os resultados são publicados.

Sistemas dinâmicos que preservam medidas

A definição matemática de ergodicidade visa capturar ideias comuns do dia-a-dia sobre aleatoriedade . Isso inclui ideias sobre sistemas que se movem de forma a (eventualmente) preencher todo o espaço, como difusão e movimento browniano , bem como noções de bom senso de mistura, como misturar tintas, bebidas, ingredientes para cozinhar, produtos industriais mistura de processos , fumaça em uma sala cheia de fumaça, a poeira nos anéis de Saturno e assim por diante. Para fornecer uma base matemática sólida, as descrições dos sistemas ergódicos começam com a definição de um sistema dinâmico que preserva a medida . Isto é escrito como

O conjunto é entendido como o espaço total a ser preenchido: a tigela, a sala fumê, etc. A medida é entendida para definir o volume natural do espaço e de seus subespaços. A coleção de subespaços é denotada por e o tamanho de qualquer subconjunto é ; o tamanho é o seu volume. Ingenuamente, pode-se imaginar ser o conjunto de poder de ; isso não funciona muito bem, pois nem todos os subconjuntos de um espaço têm um volume (notoriamente, o paradoxo de Banach-Tarski ). Assim, convencionalmente, consiste nos subconjuntos mensuráveis ​​- os subconjuntos que possuem um volume. É sempre considerado um conjunto de Borel - a coleção de subconjuntos que podem ser construídos tomando interseções , uniões e complementos de conjuntos de conjuntos abertos; estes sempre podem ser considerados mensuráveis.

A evolução temporal do sistema é descrita por um mapa . Dado algum subconjunto , seu mapa será em geral uma versão deformada de - ele é comprimido ou esticado, dobrado ou cortado em pedaços. Exemplos matemáticos incluem o mapa do padeiro e o mapa da ferradura , ambos inspirados na fabricação de pão . O conjunto deve ter o mesmo volume que ; o esmagamento / alongamento não altera o volume do espaço, apenas sua distribuição. Tal sistema é "preservação de medida" (preservação de área, preservação de volume).

Uma dificuldade formal surge quando se tenta conciliar o volume dos conjuntos com a necessidade de preservar seu tamanho sob um mapa. O problema surge porque, em geral, vários pontos diferentes no domínio de uma função podem ser mapeados para o mesmo ponto em seu intervalo; ou seja, pode haver com . Pior, um único ponto não tem tamanho. Essas dificuldades podem ser evitadas trabalhando com o mapa inverso ; ele irá mapear qualquer subconjunto fornecido para as partes que foram montadas para fazê-lo: essas partes são . Tem a importante propriedade de não perder a noção de onde as coisas vieram. Mais fortemente, ele tem a propriedade importante de que qualquer mapa (que preserva a medida) é o inverso de algum mapa . A definição adequada de um mapa de preservação de volume é aquela para a qual, porque descreve todas as peças-partes que vieram.

Agora, estamos interessados ​​em estudar a evolução temporal do sistema. Se um conjunto de , eventualmente, vem para preencher todos durante um longo período de tempo (isto é, se aproxima de todos para a grande ), o sistema está a ser dito ergódico . Se todo conjunto se comporta dessa maneira, o sistema é um sistema conservador , colocado em contraste com um sistema dissipativo , onde alguns subconjuntos se afastam , para nunca mais serem retornados. Um exemplo seria a água correndo morro abaixo - uma vez que desce, nunca mais voltará a subir. O lago que se forma no fundo deste rio pode, no entanto, ficar bem misturado. O teorema da decomposição ergódica afirma que todo sistema ergódico pode ser dividido em duas partes: a parte conservadora e a parte dissipativa.

A mistura é uma afirmação mais forte do que a ergodicidade. A mistura exige que essa propriedade ergódica seja mantida entre dois conjuntos quaisquer , e não apenas entre alguns conjuntos e . Isto é, dados quaisquer dois conjuntos , diz-se que um sistema está (topologicamente) se misturando se houver um inteiro tal que, para todos e , um tem isso . Aqui, denota a interseção do conjunto e é o conjunto vazio . Outras noções de mistura incluem mistura forte e fraca, que descreve a noção de que as substâncias misturadas se misturam em toda parte, em proporções iguais. Isso pode não ser trivial, como mostra a experiência prática de tentar misturar substâncias pegajosas e pegajosas.

Processos ergódicos

A discussão acima apela para o sentido físico de um volume. O volume não precisa ser literalmente uma parte do espaço 3D ; pode ser algum volume abstrato. Este é geralmente o caso em sistemas estatísticos, onde o volume (a medida) é dado pela probabilidade. O volume total corresponde à probabilidade um. Essa correspondência funciona porque os axiomas da teoria da probabilidade são idênticos aos da teoria da medida ; esses são os axiomas de Kolmogorov .

A ideia de um volume pode ser muito abstrata. Considere, por exemplo, o conjunto de todos os lançamentos de moeda possíveis: o conjunto de sequências infinitas de cara e coroa. Atribuindo o volume 1 a esse espaço, fica claro que metade de todas as sequências começa com cara e a outra metade começa com coroa. Pode-se dividir este volume de outras maneiras: pode-se dizer "Não me importo com os primeiros lançamentos de moeda; mas quero que eles dêem cara, e então não me importo com o que virá depois disso " Isso pode ser escrito como o conjunto em que é "não importa" e é "cara". O volume deste espaço é novamente (obviamente!) Pela metade.

O que foi dito acima é suficiente para construir um sistema dinâmico que preserva medidas, em sua totalidade. Os conjuntos de ou que ocorrem no 'ésimo lugar são chamados de conjuntos de cilindros . O conjunto de todas as intersecções, uniões e complementos possíveis dos conjuntos de cilindros formam então o conjunto de Borel definido acima. Em termos formais, os conjuntos de cilindros formam a base para uma topologia no espaço de todos os lançamentos de moeda de comprimento infinito possíveis. A medida tem todas as propriedades de bom senso que se pode esperar: a medida de um cilindro ajustado com na 'ésima posição e na ' ésima posição é obviamente 1/4, e assim por diante. Essas propriedades de senso comum persistem para conjunto-complemento e conjunto-união: tudo exceto para e em locais e obviamente tem o volume de 3/4. Juntos, eles formam os axiomas de uma medida sigma aditiva ; os sistemas dinâmicos com preservação de medida sempre usam medidas aditivas sigma. Para cara ou coroa, essa medida é chamada de medida de Bernoulli .

Para o processo de lançamento de moeda, o operador de evolução do tempo é o operador de turno que diz "jogue fora o primeiro lançamento de moeda e fique com o resto". Formalmente, se é uma sequência de cara ou coroa, então . A medida é obviamente invariante ao deslocamento: enquanto estamos a falar de um conjunto onde o primeiro coin-flip é a "não se importam" valor, então o volume não muda: . A fim de evitar falar sobre o primeiro coin-flip, é mais fácil definir como a inserção de um "não se importam" valor na primeira posição: . Com esta definição, obviamente, a tem sem restrições . Este é novamente um exemplo de por que é usado nas definições formais.

O desenvolvimento acima pega um processo aleatório, o processo de Bernoulli, e o converte em um sistema dinâmico de preservação de medida. A mesma conversão (equivalência, isomorfismo) pode ser aplicada a qualquer processo estocástico . Assim, uma definição informal de ergodicidade é que uma sequência é ergódica se visitar toda ; tais sequências são "típicas" para o processo. Outra é que suas propriedades estatísticas podem ser deduzidas de uma única amostra aleatória suficientemente longa do processo (assim, amostragem uniforme de todos ), ou que qualquer coleção de amostras aleatórias de um processo deve representar as propriedades estatísticas médias de todo o processo ( ou seja, as amostras retiradas uniformemente são representativas de como um todo.) No presente exemplo, uma sequência de cara ou coroa, em que metade é cara e a outra metade é coroa, é uma sequência "típica".

Existem vários pontos importantes a serem feitos sobre o processo de Bernoulli. Se alguém escrever 0 para coroa e 1 para cara, obterá o conjunto de todas as sequências infinitas de dígitos binários. Isso corresponde à expansão de base dois dos números reais . Explicitamente, dada uma sequência , o número real correspondente é

A afirmação de que o processo de Bernoulli é ergódico é equivalente à afirmação de que os números reais estão uniformemente distribuídos. O conjunto de todas essas strings pode ser escrito de várias maneiras: Este conjunto é o conjunto Cantor , às vezes chamado de espaço Cantor para evitar confusão com a função Cantor

No final, tudo isso é "a mesma coisa".

O conjunto Cantor desempenha um papel fundamental em muitos ramos da matemática. Na matemática recreativa, ele sustenta os fractais de duplicação do período ; na análise , aparece em uma grande variedade de teoremas. Uma chave para processos estocásticos é a decomposição Wold , que afirma que qualquer processo estacionário pode ser decomposto em um par de processos não correlacionados, um determinístico e o outro sendo um processo de média móvel .

O teorema do isomorfismo de Ornstein afirma que todo processo estocástico estacionário é equivalente a um esquema de Bernoulli (um processo de Bernoulli com um dado de jogo com N lados (e possivelmente injusto) ). Outros resultados incluem que todo sistema ergódico não dissipativo é equivalente ao hodômetro de Markov , às vezes chamado de "máquina de somar" porque se parece com a adição do ensino fundamental, ou seja, tomando uma sequência de base de N dígitos, adicionando um e propagando o carregar bits. A prova de equivalência é muito abstrata; entender o resultado não é: adicionando um a cada passo de tempo, todos os estados possíveis do hodômetro são visitados, até que ele role e comece novamente. Da mesma forma, os sistemas ergódicos visitam cada estado, uniformemente, passando ao seguinte, até que todos sejam visitados.

Sistemas que geram sequências (infinitas) de N letras são estudados por meio de dinâmica simbólica . Casos especiais importantes incluem subshifts de tipos finitos e sistemas físicos .

Ergodicidade em física

Os sistemas físicos podem ser divididos em três categorias: mecânica clássica , que descreve máquinas com um número finito de partes móveis, mecânica quântica , que descreve a estrutura dos átomos, e mecânica estatística , que descreve gases, líquidos, sólidos; isso inclui a física da matéria condensada . O caso da mecânica clássica é discutido na próxima seção, sobre ergodicidade em geometria. Quanto à mecânica quântica, embora haja uma concepção de caos quântico , não há uma definição clara de ergodocidade; o que isso pode ser é um debate acalorado. Esta seção revisa a ergodicidade na mecânica estatística.

A definição abstrata acima de um volume é necessária como a configuração apropriada para as definições de ergodicidade em física . Considere um recipiente com líquido , gás , plasma ou outra coleção de átomos ou partículas . Cada partícula tem uma posição 3D e uma velocidade 3D e é, portanto, descrita por seis números: um ponto no espaço de seis dimensões. Se houver uma dessas partículas no sistema, uma descrição completa requer números. Qualquer sistema é apenas um único ponto em O sistema físico não é tudo , é claro; se for uma caixa de largura, altura e comprimento, então um ponto está dentro. Nem as velocidades podem ser infinitas: elas são escaladas por alguma medida de probabilidade, por exemplo, a medida de Boltzmann-Gibbs para um gás. No entanto, para perto do número de Avogadro , este é obviamente um espaço muito grande. Este espaço é denominado conjunto canônico .

Um sistema físico é considerado ergódico se algum ponto representativo do sistema eventualmente vier visitar todo o volume do sistema. Para o exemplo acima, isso implica que qualquer átomo dado não apenas visita todas as partes da caixa com probabilidade uniforme, mas o faz com todas as velocidades possíveis, com a probabilidade dada pela distribuição de Boltzmann para essa velocidade (portanto, uniforme em relação àquela medir). A hipótese ergódica afirma que os sistemas físicos realmente são ergódicos. Múltiplas escalas de tempo estão em ação: gases e líquidos parecem ser ergódicos em escalas de tempo curtas. A ergodicidade em um sólido pode ser vista em termos dos modos vibracionais ou fônons , já que obviamente os átomos em um sólido não trocam de localização. Os óculos apresentam um desafio à hipótese ergódica; presume-se que as escalas de tempo estão na casa dos milhões de anos, mas os resultados são controversos. Os vidros giratórios apresentam dificuldades particulares.

Provas matemáticas formais de ergodicidade na física estatística são difíceis de encontrar; a maioria dos sistemas de muitos corpos de alta dimensão são considerados ergódicos, sem prova matemática. As exceções incluem o bilhar dinâmico , que modela colisões de átomos do tipo bola de bilhar em um gás ou plasma ideal . O primeiro teorema da ergodicidade da esfera dura foi para o bilhar do Sinai , que considera duas bolas, uma delas tida como estacionária, na origem. Conforme a segunda bola colide, ela se afasta; aplicando condições de contorno periódicas, ele então volta a colidir novamente. Apelando para a homogeneidade, este retorno da "segunda" bola pode, em vez disso, ser considerado "apenas algum outro átomo" que entrou no alcance e está se movendo para colidir com o átomo na origem (que pode ser considerado apenas "qualquer outro átomo".) Esta é uma das poucas provas formais que existem; não há declarações equivalentes, por exemplo, para átomos em um líquido, interagindo por meio de forças de van der Waals , mesmo que fosse bom senso acreditar que tais sistemas são ergódicos (e se misturam). Argumentos físicos mais precisos podem ser feitos, no entanto.

Ergodicidade em geometria

A ergodicidade é um fenômeno amplamente difundido no estudo das variedades Riemannianas . Uma rápida sequência de exemplos, do simples ao complicado, ilustra esse ponto. Todos os sistemas mencionados abaixo provaram ser ergódicos por meio de provas formais rigorosas. A rotação irracional de um círculo é ergódica: a órbita de um ponto é tal que, eventualmente, todos os outros pontos do círculo são visitados. Essas rotações são um caso especial do mapa de troca de intervalo . As expansões beta de um número são ergódicas: as expansões beta de um número real não são feitas na base- N , mas na base- para alguns A versão refletida da expansão beta é o mapa de tenda ; há uma variedade de outros mapas ergódicos do intervalo da unidade. Movendo-se para duas dimensões, o bilhar aritmético com ângulos irracionais é ergódico. Também se pode pegar um retângulo plano, amassá-lo, cortá-lo e remontá-lo; este é o mapa do padeiro mencionado anteriormente . Seus pontos podem ser descritos pelo conjunto de strings bi-infinitas em duas letras, ou seja, estendendo-se tanto para a esquerda quanto para a direita; como tal, parecem duas cópias do processo de Bernoulli. Se alguém deformar lateralmente durante o esmagamento, obtém o mapa do gato de Arnold . Em muitos aspectos, o mapa do gato é um protótipo de qualquer outra transformação semelhante.

Para superfícies não planas, tem-se que o fluxo geodésico de qualquer superfície compacta de Riemann curvada negativamente é ergódica. Uma superfície é "compacta" no sentido de que possui uma área superficial finita. O fluxo geodésico é uma generalização da ideia de se mover em "linha reta" em uma superfície curva: essas linhas retas são geodésicas . Um dos primeiros casos estudados é o bilhar de Hadamard , que descreve geodésicas na superfície de Bolza , topologicamente equivalente a um donut com dois orifícios. A ergodicidade pode ser demonstrada informalmente, se alguém tiver um Sharpie e algum exemplo razoável de um donut de dois furos: começando em qualquer lugar, em qualquer direção, tenta-se traçar uma linha reta; governantes são úteis para isso. Não leva muito tempo para descobrir que não estamos voltando ao ponto de partida. (Claro, o desenho torto também pode explicar isso; é por isso que temos provas.)

Esses resultados se estendem a dimensões superiores. O fluxo geodésico para variedades Riemannianas compactas com curvas negativas é ergódico. Um exemplo clássico disso é o fluxo de Anosov , que é o fluxo do horociclo em uma variedade hiperbólica . Isso pode ser visto como uma espécie de fibração de Hopf . Esses fluxos ocorrem comumente na mecânica clássica , que é o estudo em física de máquinas móveis de dimensão finita, por exemplo, o pêndulo duplo e assim por diante. A mecânica clássica é construída em variedades simpléticas . Os fluxos em tais sistemas podem ser desconstruídos em coletores estáveis ​​e instáveis ; como regra geral, quando isso é possível, o resultado é um movimento caótico. Que isso é genérico pode ser visto observando que o feixe cotangente de uma variedade Riemanniana é (sempre) uma variedade simplética; o fluxo geodésico é dado por uma solução para as equações de Hamilton-Jacobi para esta variedade. Em termos de coordenadas canônicas na variedade cotangente, a Hamiltoniana ou energia é dada por

com o (inverso do) tensor métrico e o momento . A semelhança com a energia cinética de uma partícula pontual dificilmente é acidental; este é o objetivo de chamar essas coisas de "energia". Nesse sentido, o comportamento caótico com órbitas ergódicas é um fenômeno mais ou menos genérico em grandes extensões da geometria.

Resultados de ergodicidade foram fornecidos em superfícies de translação , grupos hiperbólicos e geometria sistólica . As técnicas incluem o estudo de fluxos ergódicos , a decomposição de Hopf e o teorema Ambrose – Kakutani – Krengel – Kubo . Uma importante classe de sistemas são os sistemas Axiom A.

Vários resultados de classificação e "anti-classificação" foram obtidos. O teorema do isomorfismo de Ornstein se aplica aqui também; novamente, afirma que a maioria desses sistemas são isomórficos a algum esquema de Bernoulli . Isso vincula nitidamente esses sistemas de volta à definição de ergodicidade dada para um processo estocástico, na seção anterior. Os resultados de anti-classificação afirmam que há mais do que um número infinito contável de sistemas dinâmicos com preservação de medida ergódica desigual. Isso talvez não seja totalmente uma surpresa, já que pode-se usar pontos no conjunto Cantor para construir sistemas semelhantes, mas diferentes. Consulte o sistema dinâmico de preservação de medida para um breve levantamento de alguns dos resultados de anti-classificação.

Ergodicidade em finanças

A ergodicidade é amplamente observada em finanças e investimentos , e muitas teorias nesses campos assumem a ergodicidade, explícita ou implicitamente. A suposição ergódica é predominante na teoria moderna de portfólio , modelos de fluxo de caixa descontado (DCF) e na maioria dos modelos de indicadores agregados que infundem a macroeconomia , entre outros.

As situações modeladas por essas teorias podem ser úteis. Mas muitas vezes eles só são úteis durante muito, mas não todo, de qualquer período de tempo específico em estudo. Eles podem, portanto, perder alguns dos maiores desvios do modelo padrão, como crises financeiras , crises de dívida e risco sistêmico no sistema bancário que ocorrem raramente.

Nassim Nicholas Taleb apontou que uma parte muito importante da realidade empírica em finanças e investimentos não é ergódica. Uma distribuição estatística uniforme de probabilidades, onde o sistema retorna a todos os estados possíveis um número infinito de vezes, simplesmente não é o caso que observamos em situações em que se atingem "estados absorventes", um estado em que se vê a ruína . A morte de um indivíduo , ou a perda total de tudo, ou a devolução ou desmembramento de um Estado-nação e do regime jurídico que o acompanhou, são todos Estados absorventes. Assim, nas finanças, a dependência do caminho é importante. Um caminho onde um indivíduo, empresa ou país atinge um " pare de "uma barreira absorvente ", qualquer coisa que evite que pessoas com pele no jogo saiam dela e para a qual o sistema tenderá invariavelmente. Chamemos essas situações de “ruína”, pois a entidade não pode emergir da condição. O problema central é que, se houver possibilidade de ruína, as análises de custo-benefício não serão mais possíveis. ”- serão não ergódicas. Todos os modelos tradicionais baseados em estatísticas probabilísticas padrão quebram nessas situações extremas.

Desenvolvimento histórico

A ideia de ergodicidade nasceu no campo da termodinâmica , onde era necessário relacionar os estados individuais das moléculas de gás à temperatura de um gás como um todo e sua evolução no tempo. Para isso, era necessário afirmar o que significa exatamente os gases se misturarem bem, para que o equilíbrio termodinâmico pudesse ser definido com rigor matemático . Uma vez que a teoria foi bem desenvolvida na física , foi rapidamente formalizada e ampliada, de modo que a teoria ergódica há muito é uma área independente da matemática em si mesma. Como parte dessa progressão, mais de uma definição ligeiramente diferente de ergodicidade e inúmeras interpretações do conceito em diferentes campos coexistem.

Por exemplo, na física clássica, o termo implica que um sistema satisfaz a hipótese ergódica da termodinâmica , sendo o espaço de estado relevante a posição e o espaço de momento . Na teoria dos sistemas dinâmicos, o espaço de estados é geralmente considerado um espaço de fase mais geral . Por outro lado, na teoria da codificação, o espaço de estados costuma ser discreto tanto no tempo quanto no estado, com menos estrutura concomitante. Em todos esses campos, as idéias de média de tempo e média de conjunto também podem carregar uma bagagem extra - como é o caso com as muitas funções de partição termodinamicamente relevantes possíveis usadas para definir médias de conjunto em física, de volta. Como tal, a formalização teórica da medida do conceito também serve como uma disciplina unificadora. Em 1913, Michel Plancherel provou a estrita impossibilidade de ergodicidade para um sistema puramente mecânico.

Etimologia

O termo ergódico é comumente considerado como derivado das palavras gregas ἔργον ( ergon : "trabalho") e ὁδός ( hodos : "caminho", "caminho"), conforme escolhido por Ludwig Boltzmann enquanto trabalhava em um problema de mecânica estatística . Ao mesmo tempo, também é reivindicado ser uma derivação do ergomonode , cunhado por Boltzmann em um artigo relativamente obscuro de 1884. A etimologia parece ser contestada de outras maneiras também.

Definição para sistemas de tempo discreto

Definição formal

Deixe ser um espaço mensurável . Se é uma função mensurável a partir de si mesmo e uma medida de probabilidade de então dizemos que é -ergodic ou é uma medida ergódica para se preserva e a seguinte condição:

Para qualquer um que seja ou .

Em outras palavras, não há subconjuntos -invariantes até a medida 0 (em relação a ). Lembre-se de que preservar (ou ser - invariante ) significa isso para todos (consulte também Sistema dinâmico de preservação de medida ).

Exemplos

O exemplo mais simples é quando é um conjunto finito e a medida de contagem . Então, um auto-mapa de preserva se e somente se é uma bijeção, e é ergódico se e somente se tem apenas uma órbita (isto é, para cada existe tal que ). Por exemplo, se então o ciclo é ergódico, mas a permutação não (tem os dois subconjuntos invariantes e ).

Formulações equivalentes

A definição dada acima admite as seguintes reformulações imediatas:

  • para cada com temos ou (onde denota a diferença simétrica );
  • para tudo com medida positiva que temos ;
  • para cada dois conjuntos de medidas positivas, existe tal que ;
  • Cada função mensurável com é constante em um subconjunto de medida completa.

É importante ressaltar que para aplicações, a condição na última caracterização pode ser restrita apenas a funções quadradas integráveis :

  • Se e então é constante em quase todos os lugares.

Outros exemplos

Mudanças e subshift de Bernoulli

Seja um conjunto finito e com a medida do produto (cada fator sendo dotado de sua medida de contagem). Então, o operador de turno definido por é -ergódico.

Há muitas medidas mais ergódicas para o mapa mudança na . Seqüências periódicas fornecem medidas com suporte finito. Mais curiosamente, existem aqueles com suporte infinito que são subshifts de tipo finito .

Rotações irracionais

Deixe ser o círculo unitário , com sua medida de Lebesgue . Para qualquer a rotação do ângulo é dada por . Se então não é ergódico para a medida de Lebesgue, pois tem infinitas órbitas finitas. Por outro lado, se é irracional, é ergódico.

Mapa do gato de Arnold

Deixe ser o 2-toro. Então, qualquer elemento define um auto-mapa de desde . Quando se obtém o chamado mapa do gato de Arnold, que é ergódico para a medida de Lebesgue no toro.

Teoremas ergódicos

Se é uma medida de probabilidade em um espaço que é ergódica para uma transformação, o teorema ergódico pontual de G. Birkhoff afirma que para todas as funções mensuráveis e para quase todos os pontos a média de tempo na órbita de converge para a média espacial de . Formalmente, isso significa que

O teorema ergódico médio de J. von Neumann é uma afirmação semelhante, mais fraca, sobre traduções médias de funções quadradas integráveis.

Propriedades relacionadas

Órbitas densas

Uma consequência imediata da definição de ergodicidade é que em um espaço topológico , e se for a σ-álgebra dos conjuntos de Borel , se for -ergódica então -quase toda órbita de é densa no suporte de .

Esta não é uma equivalência, pois para uma transformação que não é exclusivamente ergódica, mas para a qual existe uma medida ergódica com suporte total , para qualquer outra medida ergódica a medida não é ergódica, mas suas órbitas são densas no suporte. Exemplos explícitos podem ser construídos com medidas invariantes de deslocamento.

Mistura

Uma transformação de um espaço de medida de probabilidade é considerada uma mistura para a medida se, para quaisquer conjuntos mensuráveis, o seguinte for válido:

É imediato que uma transformação de mistura também é ergódica (considerando -se um subconjunto -stable e seu complemento). O inverso não é verdadeiro, por exemplo, uma rotação com ângulo irracional no círculo (que é ergódico pelos exemplos acima) não está se misturando (por um intervalo suficientemente pequeno, suas imagens sucessivas não se cruzarão na maioria das vezes). As mudanças de Bernoulli estão se misturando, assim como o mapa do gato de Arnold.

Esta noção de mistura é às vezes chamada de mistura forte, em oposição à mistura fraca, o que significa que

Ergodicidade adequada

A transformação é dita corretamente ergódica se não tiver uma órbita de medida completa. No caso discreto, isso significa que a medida não é suportada em uma órbita finita de .

Definição para sistemas dinâmicos de tempo contínuo

A definição é essencialmente a mesma para sistemas dinâmicos de tempo contínuo e para uma única transformação. Seja um espaço mensurável e para cada um , então tal sistema é dado por uma família de funções mensuráveis ​​de si mesmo, de modo que para qualquer a relação se mantém (normalmente também é perguntado se o mapa de órbita também é mensurável). Se for uma medida de probabilidade em, então dizemos que é -ergódico ou é uma medida ergódica para se cada um preserva e a seguinte condição é válida:

Para qualquer , se para todos nós temos então ou .

Exemplos

Como no caso discreto, o exemplo mais simples é o de uma ação transitiva, por exemplo, a ação no círculo dado por é ergódica para a medida de Lebesgue.

Um exemplo com infinitas órbitas é dado pelo fluxo ao longo de uma inclinação irracional no toro: deixe e . Let ; então, se isso for ergódico para a medida de Lebesgue.

Fluxos ergódicos

Outros exemplos de fluxos ergódicos são:

  • Bilhar em domínios euclidianos convexos;
  • o fluxo geodésico de uma variedade Riemanniana curvada negativamente de volume finito é ergódico (para a medida de volume normalizado);
  • o fluxo do horociclo em uma variedade hiperbólica de volume finito é ergódico (para a medida de volume normalizado)

Ergodicidade em espaços métricos compactos

Se for um espaço métrico compacto , é naturalmente dotado da σ-álgebra dos conjuntos de Borel . A estrutura adicional proveniente da topologia permite então uma teoria muito mais detalhada para transformações ergódicas e medidas .

Interpretação da análise funcional

Uma definição alternativa muito poderosa de medidas ergódicas pode ser dada usando a teoria dos espaços de Banach . Medidas de radônio em formam um espaço de Banach do qual o conjunto de medidas de probabilidade em é um subconjunto convexo . Dada uma transformação contínua do subconjunto de medidas -invariantes é um subconjunto convexo fechado, e uma medida é ergódica se e somente se for um ponto extremo deste convexo.

Existência de medidas ergódicas

Na configuração acima, segue do teorema de Banach-Alaoglu que sempre existem pontos extremos em . Portanto, a transformação de um espaço métrico compacto sempre admite medidas ergódicas.

Decomposição ergódica

Em geral, uma medida invariante não precisa ser ergódica, mas como consequência da teoria de Choquet, ela sempre pode ser expressa como o baricentro de uma medida de probabilidade no conjunto de medidas ergódicas. Isso é conhecido como decomposição ergódica da medida.

Exemplo

No caso de e a medida de contagem não é ergódica. As medidas ergódicas para são as medidas uniformes apoiados sobre os subconjuntos e e cada medida de probabilidade -invariant pode ser escrito na forma , por algum . Em particular, é a decomposição ergódica da medida de contagem.

Sistemas contínuos

Tudo nesta seção é transferido literalmente para ações contínuas de ou em espaços métricos compactos.

Ergodicidade única

A transformação é dita exclusivamente ergódica se houver uma medida de probabilidade Borel única na qual é ergódica para .

Nos exemplos considerados acima, as rotações irracionais do círculo são exclusivamente ergódicas; mapas de deslocamento, não.

Interpretação probabilística: processos ergódicos

Se for um processo estocástico de tempo discreto em um espaço , é dito ergódico se a distribuição conjunta das variáveis ​​em for invariante no mapa de deslocamento . Este é um caso particular das noções discutidas acima.

O caso mais simples é o de um processo independente e distribuído de forma idêntica que corresponde ao mapa de deslocamento descrito acima. Outro caso importante é o de uma cadeia de Markov que é discutido em detalhes abaixo.

Uma interpretação semelhante é válida para processos estocásticos de tempo contínuo, embora a construção da estrutura mensurável da ação seja mais complicada.

Ergodicidade das cadeias de Markov

O sistema dinâmico associado a uma cadeia de Markov

Deixe ser um conjunto finito. Uma cadeia de Markov on é definida por uma matriz , onde é a probabilidade de transição de para , portanto, para cada que temos . Uma medida estacionária para é uma medida de probabilidade de tal forma  ; isso é para todos .

Usando esses dados, podemos definir uma medida de probabilidade no conjunto com seu produto σ-álgebra, fornecendo as medidas dos cilindros da seguinte forma:

Estacionaridade de então significa que a medida é invariante no mapa de deslocamento .

Critério para ergodicidade

A medida é sempre ergódica para o mapa de deslocamento se a cadeia de Markov associada for irredutível (qualquer estado pode ser alcançado com probabilidade positiva de qualquer outro estado em um número finito de etapas).

As hipóteses acima implicam que existe uma única medida estacionária para a cadeia de Markov. Em termos da matriz, uma condição suficiente para isso é que 1 seja um autovalor simples da matriz e todos os outros autovalores de (in ) sejam de módulo <1.

Observe que na teoria da probabilidade a cadeia de Markov é chamada ergódica se, além disso, cada estado for aperiódico (os tempos em que a probabilidade de retorno é positiva não são múltiplos de um único inteiro> 1). Isso não é necessário para que a medida invariável seja ergódica; portanto, as noções de "ergodicidade" para uma cadeia de Markov e a medida invariante ao deslocamento associada são diferentes (aquela para a cadeia é estritamente mais forte).

Além disso, o critério é um "se e somente se" se todas as classes comunicantes na cadeia forem recorrentes e considerarmos todas as medidas estacionárias.

Exemplos

Medida de contagem

Se para todos a medida estacionária é a medida de contagem, a medida é o produto das medidas de contagem. A cadeia de Markov é ergódica, então o exemplo de deslocamento acima é um caso especial do critério.

Cadeias de Markov não ergódicas

Cadeias de Markov com classes de comunicação recorrentes não são irredutíveis, não são ergódicas, e isso pode ser visto imediatamente como segue. Se houver duas classes comunicantes recorrentes distintas, há medidas estacionárias diferentes de zero com suporte respectivamente e nos subconjuntos e são invariantes ao deslocamento e de medida 1.2 para a medida de probabilidade invariante . Um exemplo muito simples disso é a cadeia fornecida pela matriz (ambos os estados são estacionários).

Uma cadeia periódica

A cadeia de Markov fornecida pela matriz é irredutível, mas periódica. Portanto, não é ergódico no sentido da cadeia de Markov, embora a medida associada em seja ergódica para o mapa de deslocamento. Porém o deslocamento não está se misturando para esta medida, como para os conjuntos

e
nós temos mas

Generalizações

Ações ergódicas de grupo

A definição de ergodicidade também faz sentido para ações em grupo . A teoria clássica (para transformações invertíveis) corresponde a ações de ou .

Medidas quase invariantes

Para grupos não abelianos, pode não haver medidas invariantes, mesmo em espaços métricos compactos. No entanto, a definição de ergodicidade permanece inalterada se substituirmos medidas invariantes por medidas quase invariantes .

Exemplos importantes são a ação de um grupo de Lie semi - simples (ou uma rede nele) em sua fronteira de Furstenberg .

Relações ergódicas

Uma relação de equivalência mensurável é dita ergódica se todos os subconjuntos saturados são nulos ou conull.

Notas

Referências

links externos