Velocidade de escape - Escape velocity

Na física (especificamente, na mecânica celeste ), a velocidade de escape é a velocidade mínima necessária para que um objeto livre e não propulsionado escape da influência gravitacional de um corpo maciço, atingindo assim uma distância infinita dele. A velocidade de escape aumenta com a massa do corpo (corpo do qual se deve escapar) e diminui com a distância do objeto que foge de seu centro. A velocidade de escape, portanto, depende de quão longe o objeto já percorreu, e seu cálculo a uma determinada distância leva em consideração o fato de que, sem uma nova aceleração, ele diminuirá a velocidade à medida que se desloca - devido à gravidade do corpo maciço - mas nunca será totalmente lento até parar.

Um foguete, continuamente acelerado por seu escapamento, pode escapar sem nunca atingir a velocidade de escape, uma vez que continua a adicionar energia cinética de seus motores. Ele pode escapar em qualquer velocidade, dado propelente suficiente para fornecer nova aceleração ao foguete para conter a desaceleração da gravidade e, assim, manter sua velocidade.

A velocidade de escape da superfície da Terra é de cerca de 11.186 m / s (6,951 mi / s; 40.270 km / h; 36.700 pés / s; 25.020 mph; 21.744 kn). Mais geralmente, a velocidade de escape é a velocidade na qual a soma da energia cinética de um objeto e sua energia potencial gravitacional é igual a zero; um objeto que atingiu a velocidade de escape não está nem na superfície, nem em uma órbita fechada (de qualquer raio). Com a velocidade de escape em uma direção que aponta para longe do solo de um corpo massivo, o objeto se moverá para longe do corpo, desacelerando para sempre e se aproximando, mas nunca alcançando a velocidade zero. Uma vez que a velocidade de escape é alcançada, nenhum impulso adicional precisa ser aplicado para que ele continue em sua fuga. Em outras palavras, se for dada a velocidade de escape, o objeto se afastará do outro corpo, desacelerando continuamente, e se aproximará assintoticamente da velocidade zero conforme a distância do objeto se aproxima do infinito , para nunca mais voltar. As velocidades superiores à velocidade de escape mantêm uma velocidade positiva a uma distância infinita. Observe que a velocidade mínima de escape assume que não há atrito (por exemplo, arrasto atmosférico), o que aumentaria a velocidade instantânea necessária para escapar da influência gravitacional, e que não haverá aceleração futura ou desaceleração estranha (por exemplo, de empuxo ou de gravidade de outros corpos), o que mudaria a velocidade instantânea necessária.

Para um corpo massivo esfericamente simétrico, como uma estrela ou planeta, a velocidade de escape desse corpo, a uma determinada distância, é calculada pela fórmula

onde G é a constante gravitacional universal ( G ≈ 6,67 × 10 −11 m 3 · kg −1 · s −2 ), M a massa do corpo a ser escapada er a distância do centro de massa do corpo para o objeto. A relação é independente da massa do objeto que escapa do corpo massivo. Inversamente, um corpo que cai sob a força de atração gravitacional da massa M , do infinito, partindo da velocidade zero, atingirá o objeto massivo com uma velocidade igual à sua velocidade de escape dada pela mesma fórmula.

Quando dada uma velocidade inicial maior do que a velocidade de escape, o objeto irá se aproximar assintoticamente da velocidade de excesso hiperbólica satisfazendo a equação:

Nessas equações, o atrito atmosférico ( resistência do ar ) não é levado em consideração.

Visão geral

Luna 1 , lançado em 1959, foi o primeiro objeto feito pelo homem a atingir a velocidade de escape da Terra (veja a tabela abaixo).

A existência de velocidade de escape é uma consequência da conservação de energia e de um campo de energia de profundidade finita. Para um objeto com uma dada energia total, que está se movendo sujeito a forças conservativas (como um campo de gravidade estático), só é possível para o objeto atingir combinações de localizações e velocidades que possuem essa energia total; e lugares que têm uma energia potencial superior a esta não podem ser alcançados de forma alguma. Ao adicionar velocidade (energia cinética) ao objeto, ele expande os locais possíveis que podem ser alcançados, até que, com energia suficiente, eles se tornem infinitos.

Para uma dada energia potencial gravitacional em uma determinada posição, a velocidade de escape é a velocidade mínima que um objeto sem propulsão precisa para ser capaz de "escapar" da gravidade (ou seja, para que a gravidade nunca consiga puxá-lo para trás). A velocidade de escape é na verdade uma velocidade (não uma velocidade) porque não especifica uma direção: não importa qual seja a direção da viagem, o objeto pode escapar do campo gravitacional (desde que seu caminho não intercepte o planeta).

Uma maneira elegante de derivar a fórmula para a velocidade de escape é usar o princípio de conservação de energia (para outra forma, com base no trabalho, veja abaixo ). Por uma questão de simplicidade, a menos que indicado de outra forma, assumimos que um objeto escapará do campo gravitacional de um planeta esférico uniforme se afastando dele e que a única força significativa atuando no objeto em movimento é a gravidade do planeta. Imagine que uma nave espacial de massa m está inicialmente a uma distância r do centro de massa do planeta, cuja massa é M , e sua velocidade inicial é igual a sua velocidade de escape ,. Em seu estado final, estará a uma distância infinita do planeta e sua velocidade será insignificantemente pequena. A energia cinética K e a energia potencial gravitacional U g são os únicos tipos de energia com os quais vamos lidar (vamos ignorar o arrasto da atmosfera), portanto, pela conservação da energia,

Podemos definir K final = 0 porque a velocidade final é arbitrariamente pequena e U g final = 0 porque a distância final é infinita, então

onde μ é o parâmetro gravitacional padrão .

O mesmo resultado é obtido por um cálculo relativístico , caso em que a variável r representa a coordenada radial ou circunferência reduzida da métrica de Schwarzschild .

Definido um pouco mais formalmente, "velocidade de escape" é a velocidade inicial necessária para ir de um ponto inicial em um campo potencial gravitacional ao infinito e terminar no infinito com uma velocidade residual de zero, sem qualquer aceleração adicional. Todas as velocidades e velocidades são medidas em relação ao campo. Além disso, a velocidade de escape em um ponto no espaço é igual à velocidade que um objeto teria se partisse em repouso de uma distância infinita e fosse puxado pela gravidade até aquele ponto.

No uso comum, o ponto inicial está na superfície de um planeta ou lua . Na superfície da Terra, a velocidade de escape é de cerca de 11,2 km / s, o que é aproximadamente 33 vezes a velocidade do som (Mach 33) e várias vezes a velocidade da boca de uma bala de rifle (até 1,7 km / s). No entanto, a 9.000 km de altitude no "espaço", é ligeiramente inferior a 7,1 km / s. Observe que esta velocidade de escape é relativa a um referencial não rotativo, não à superfície móvel do planeta ou lua (veja abaixo).

A velocidade de escape é independente da massa do objeto que está escapando. Não importa se a massa é de 1 kg ou 1.000 kg; o que difere é a quantidade de energia necessária. Para um objeto de massa, a energia necessária para escapar do campo gravitacional da Terra é GMm / r , uma função da massa do objeto (onde r é o raio da Terra , nominalmente 6.371 quilômetros (3.959 mi), G é a constante gravitacional e M é a massa da Terra , M = 5,9736 × 10 24 kg ). Uma quantidade relacionada é a energia orbital específica que é essencialmente a soma da energia cinética e potencial dividida pela massa. Um objeto atingiu a velocidade de escape quando a energia orbital específica é maior ou igual a zero.

Cenários

Da superfície de um corpo

Uma expressão alternativa para a velocidade de escape particularmente útil na superfície do corpo é:

onde r é a distância entre o centro do corpo e o ponto no qual a velocidade de escape está sendo calculada eg é a aceleração gravitacional naquela distância (isto é, a gravidade superficial ).

Para um corpo com uma distribuição de massa esfericamente simétrica, a velocidade de escape da superfície é proporcional ao raio assumindo densidade constante e proporcional à raiz quadrada da densidade média ρ.

Onde

Observe que essa velocidade de escape é relativa a um referencial não rotativo, não à superfície móvel do planeta ou da lua, como explicamos agora.

De um corpo giratório

A velocidade de escape em relação à superfície de um corpo em rotação depende da direção em que o corpo em fuga viaja. Por exemplo, como a velocidade de rotação da Terra é de 465 m / s no equador , um foguete lançado tangencialmente do equador da Terra para o leste requer uma velocidade inicial de cerca de 10,735 km / s em relação à superfície móvel no ponto de lançamento para escapar enquanto um foguete lançado tangencialmente do equador da Terra para o oeste requer uma velocidade inicial de cerca de 11,665 km / s em relação a essa superfície móvel . A velocidade da superfície diminui com o cosseno da latitude geográfica, de modo que as instalações de lançamento espacial estão frequentemente localizadas o mais próximo possível do equador, por exemplo, o Cabo Canaveral americano (latitude 28 ° 28 ′ N) e o Centro Espacial da Guiana Francesa (latitude 5 ° 14 ′ N).

Considerações práticas

Na maioria das situações, é impraticável atingir a velocidade de escape quase instantaneamente, por causa da aceleração implícita e também porque, se houver uma atmosfera, as velocidades hipersônicas envolvidas (na Terra uma velocidade de 11,2 km / s, ou 40.320 km / h) seriam fazer com que a maioria dos objetos queime devido ao aquecimento aerodinâmico ou se rasgue pelo arrasto atmosférico . Para uma órbita de escape real, uma espaçonave irá acelerar continuamente para fora da atmosfera até atingir a velocidade de escape apropriada para sua altitude (que será menor do que na superfície). Em muitos casos, a espaçonave pode ser primeiro colocada em uma órbita de estacionamento (por exemplo, uma órbita baixa da Terra em 160-2.000 km) e, em seguida, acelerada para a velocidade de escape nessa altitude, que será ligeiramente inferior (cerca de 11,0 km / s em um órbita terrestre baixa de 200 km). A mudança adicional necessária na velocidade , no entanto, é muito menor porque a espaçonave já tem uma velocidade orbital significativa (em baixa órbita da Terra a velocidade é de aproximadamente 7,8 km / s, ou 28.080 km / h).

De um corpo orbital

A velocidade de escape em uma determinada altura é vezes a velocidade em uma órbita circular na mesma altura (compare isso com a equação de velocidade em órbita circular ). Isso corresponde ao fato de que a energia potencial com respeito ao infinito de um objeto em tal órbita é menos duas vezes sua energia cinética, enquanto para escapar a soma da energia potencial e cinética precisa ser pelo menos zero. A velocidade correspondente à órbita circular é às vezes chamada de primeira velocidade cósmica , ao passo que, neste contexto, a velocidade de escape é referida como a segunda velocidade cósmica .

Para um corpo em uma órbita elíptica que deseja acelerar para uma órbita de escape, a velocidade necessária variará e será maior no periapsia, quando o corpo está mais próximo do corpo central. No entanto, a velocidade orbital do corpo também estará em seu ponto mais alto neste ponto, e a mudança na velocidade necessária será em seu ponto mais baixo, conforme explicado pelo efeito Oberth .

Velocidade de escape baricêntrica

Tecnicamente, a velocidade de escape pode ser medida em relação ao outro corpo central ou em relação ao centro de massa ou baricentro do sistema de corpos. Assim, para sistemas de dois corpos, o termo velocidade de escape pode ser ambíguo, mas geralmente se destina a significar a velocidade de escape baricêntrica do corpo menos massivo. Em campos gravitacionais, a velocidade de escape se refere à velocidade de escape das partículas de teste de massa zero em relação ao baricentro das massas que geram o campo. Na maioria das situações que envolvem espaçonaves, a diferença é insignificante. Para uma massa igual a um foguete Saturno V , a velocidade de escape em relação à plataforma de lançamento é 253,5 am / s (8 nanômetros por ano) mais rápida do que a velocidade de escape em relação ao centro de massa mútuo.

Altura das trajetórias de baixa velocidade

Ignorando todos os fatores além da força gravitacional entre o corpo e o objeto, um objeto projetado verticalmente em velocidade da superfície de um corpo esférico com velocidade de escape e raio atingirá uma altura máxima que satisfaça a equação

que, resolver para h resulta em

onde é a proporção da velocidade original para a velocidade de escape

Ao contrário da velocidade de escape, a direção (verticalmente para cima) é importante para atingir a altura máxima.

Trajetória

Se um objeto atingir exatamente a velocidade de escape, mas não for direcionado diretamente para longe do planeta, ele seguirá um caminho ou trajetória curva. Embora essa trajetória não tenha uma forma fechada, pode ser chamada de órbita. Assumindo que a gravidade é a única força significativa no sistema, a velocidade deste objeto em qualquer ponto da trajetória será igual à velocidade de escape naquele ponto devido à conservação de energia, sua energia total deve ser sempre 0, o que implica que sempre tem velocidade de escape; veja a derivação acima. A forma da trajetória será uma parábola cujo foco está localizado no centro de massa do planeta. Uma fuga real requer um curso com uma trajetória que não se cruza com o planeta, ou sua atmosfera, pois isso faria com que o objeto se espatifasse. Ao se afastar da fonte, esse caminho é chamado de órbita de escape . As órbitas de escape são conhecidas como órbitas C3 = 0. C3 é a energia característica , = - GM / 2 a , onde a é o semi-eixo maior , que é infinito para trajetórias parabólicas.

Se o corpo tem uma velocidade maior do que a velocidade de escape, então seu caminho formará uma trajetória hiperbólica e terá um excesso de velocidade hiperbólica, equivalente à energia extra que o corpo possui. Um delta- v extra relativamente pequeno acima do necessário para acelerar até a velocidade de escape pode resultar em uma velocidade relativamente grande no infinito. Algumas manobras orbitais fazem uso desse fato. Por exemplo, em um lugar onde a velocidade de escape é 11,2 km / s, a adição de 0,4 km / s produz um excesso de velocidade hiperbólica de 3,02 km / s:

Se um corpo em órbita circular (ou no periapsia de uma órbita elíptica) acelera ao longo de sua direção de deslocamento para a velocidade de escape, o ponto de aceleração formará o periapsia da trajetória de escape. A direção eventual da viagem será de 90 graus em relação à direção no ponto de aceleração. Se o corpo acelerar além da velocidade de escape, a direção final da viagem será em um ângulo menor e indicada por uma das assíntotas da trajetória hiperbólica que está tomando agora. Isso significa que o tempo de aceleração é crítico se a intenção é escapar em uma direção específica.

Se a velocidade no periapsia for v , então a excentricidade da trajetória é dada por:

Isso é válido para trajetórias elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Se a trajetória for hiperbólica ou parabólica, ela se aproximará assintoticamente de um ângulo a partir da direção no periapsia, com

A velocidade irá se aproximar assintoticamente

Lista de velocidades de escape

Nesta tabela, a metade esquerda dá a velocidade de escape da superfície visível (que pode ser gasosa como em Júpiter, por exemplo), em relação ao centro do planeta ou lua (ou seja, não em relação à sua superfície móvel). Na metade direita, V e se refere à velocidade em relação ao corpo central (por exemplo, o sol), enquanto V te é a velocidade (na superfície visível do corpo menor) em relação ao corpo menor (planeta ou lua )

Localização Relativo a V e (km / s) Localização Relativo a V e (km / s) Escape do sistema, V te (km / s)
No sol A gravidade do sol 617,5
Em mercúrio Gravidade de mercúrio 4,25 Em mercúrio A gravidade do sol ~ 67,7 ~ 20,3
Em Vênus Gravidade de Vênus 10,36 Em Vênus A gravidade do sol 49,5 17,8
Na terra Gravidade da terra 11,186 Na terra A gravidade do sol 42,1 16,6
Na lua A gravidade da lua 2,38 Na lua A gravidade da Terra 1,4 2,42
Em Marte Gravidade de Marte 5,03 Em Marte A gravidade do sol 34,1 11,2
Em Ceres Gravidade de Ceres 0,51 Em Ceres A gravidade do sol 25,3 7,4
Em Júpiter Gravidade de Júpiter 60,20 Em Júpiter A gravidade do sol 18,5 60,4
Em Io Gravidade de Io 2.558 Em Io Gravidade de Júpiter 24,5 7,6
Na Europa Gravidade da Europa 2.025 Na Europa Gravidade de Júpiter 19,4 6,0
Em Ganimedes Gravidade de Ganimedes 2.741 Em Ganimedes Gravidade de Júpiter 15,4 5,3
Em Callisto Gravidade de Callisto 2.440 Em Callisto Gravidade de Júpiter 11,6 4,2
Em Saturno Gravidade de Saturno 36,09 Em Saturno A gravidade do sol 13,6 36,3
Em titã Gravidade de titã 2.639 Na titã Gravidade de Saturno 7,8 3,5
Em Urano Gravidade de Urano 21,38 Em Urano A gravidade do sol 9,6 21,5
Em Netuno Gravidade de Netuno 23,56 Em Netuno A gravidade do sol 7,7 23,7
Em tritão Gravidade de tritão 1.455 Em Triton Gravidade de Netuno 6,2 2,33
Em Plutão Gravidade de Plutão 1,23 Em Plutão A gravidade do sol ~ 6,6 ~ 2,3
No raio galáctico do Sistema Solar A gravidade da Via Láctea 492-594
No horizonte do evento A gravidade de um buraco negro 299.792,458 ( velocidade da luz )

As duas últimas colunas dependerão precisamente de onde a velocidade de escape da órbita é alcançada, já que as órbitas não são exatamente circulares (particularmente Mercúrio e Plutão).

Derivando a velocidade de escape usando cálculo

Deixe L ser a constante gravitacional e deixá- H ser a massa de terra (ou outro corpo gravitacional) e m ser a massa do corpo ou escapar projéctil. À distância r do centro de gravitação, o corpo sente uma força atrativa

O trabalho necessário para mover o corpo por uma pequena distância dr contra esta força é, portanto, dado por

O trabalho total necessário para mover o corpo da superfície r 0 do corpo gravitante até o infinito é então

A fim de fazer este trabalho para alcançar o infinito, a energia cinética mínima do corpo na partida deve corresponder a este trabalho, de modo que a velocidade de escape v 0 satisfaça

o que resulta em

Veja também

Notas

  1. ^ A energia potencial gravitacional é negativa visto que a gravidade é uma força atrativa e a energia potencial foi definida para este propósito como sendo zero a uma distância infinita do centro de gravidade.
  2. ^ O valor GM é chamado de parâmetro gravitacional padrão , ou μ , e geralmente é conhecido com mais precisão do que G ou M separadamente.

Referências

links externos