Distância euclidiana - Euclidean distance

Usando o teorema de Pitágoras para calcular a distância euclidiana bidimensional

Em matemática , a distância euclidiana entre dois pontos no espaço euclidiano é o comprimento de um segmento de linha entre os dois pontos. Pode ser calculada a partir das coordenadas cartesianas dos pontos usando o teorema de Pitágoras , sendo ocasionalmente chamada de distância pitagórica . Esses nomes vêm dos antigos matemáticos gregos Euclides e Pitágoras , embora Euclides não representasse as distâncias como números, e a conexão do teorema de Pitágoras com o cálculo da distância não foi feita até o século XVIII.

A distância entre dois objetos que não são pontos geralmente é definida como a menor distância entre pares de pontos dos dois objetos. As fórmulas são conhecidas por calcular distâncias entre diferentes tipos de objetos, como a distância de um ponto a uma linha . Na matemática avançada, o conceito de distância foi generalizado para abstrair espaços métricos , e outras distâncias além da euclidiana foram estudadas. Em algumas aplicações em estatística e otimização, o quadrado da distância euclidiana é usado em vez da própria distância.

Fórmulas de distância

Uma dimensão

A distância entre dois pontos quaisquer na linha real é o valor absoluto da diferença numérica de suas coordenadas. Assim, se e são dois pontos na linha real, a distância entre eles é dada por:

Uma fórmula mais complicada, dando o mesmo valor, mas generalizando mais prontamente para dimensões mais altas, é:
Nessa fórmula, elevar ao quadrado e obter a raiz quadrada deixa qualquer número positivo inalterado, mas substitui qualquer número negativo por seu valor absoluto.

Duas dimensões

No plano Euclidiano , deixe ponto ter coordenadas cartesianas e deixe ponto ter coordenadas . Então, a distância entre e é dada por:

Isso pode ser verificado aplicando-se o teorema de Pitágoras a um triângulo retângulo com lados horizontais e verticais, tendo o segmento de reta de a como sua hipotenusa. As duas fórmulas quadradas dentro da raiz quadrada fornecem as áreas dos quadrados nos lados horizontal e vertical, e a raiz quadrada externa converte a área do quadrado na hipotenusa no comprimento da hipotenusa.

Também é possível calcular a distância para pontos dados por coordenadas polares . Se as coordenadas polares de são e as coordenadas polares de são , então sua distância é dada pela lei dos cossenos :

Quando e são expressos como números complexos no plano complexo , a mesma fórmula para pontos unidimensionais expressos como números reais pode ser usada:

Dimensões superiores

Derivando a fórmula da distância Euclidiana dimensional aplicando repetidamente o teorema de Pitágoras

Em três dimensões, para pontos dados por suas coordenadas cartesianas, a distância é

Em geral, para pontos dados por coordenadas cartesianas no espaço euclidiano dimensional, a distância é

Objetos diferentes de pontos

Para pares de objetos que não são ambos pontos, a distância pode ser mais simplesmente definida como a menor distância entre quaisquer dois pontos dos dois objetos, embora generalizações mais complicadas de pontos para conjuntos, como distância de Hausdorff, também sejam comumente usadas. As fórmulas para calcular distâncias entre diferentes tipos de objetos incluem:

Propriedades

A distância euclidiana é o exemplo prototípico da distância em um espaço métrico e obedece a todas as propriedades definidoras de um espaço métrico:

  • É simétrica , o que significa que para todos os pontos e , . Isto é (ao contrário da distância da estrada com ruas de mão única) a distância entre dois pontos não depende de qual dos dois pontos é o início e qual é o destino.
  • É positivo , o que significa que a distância entre cada dois pontos distintos é um número positivo , enquanto a distância de qualquer ponto a ele mesmo é zero.
  • Ele obedece a desigualdade do triângulo : para cada três pontos , e , . Intuitivamente, viajar de para a via não pode ser mais curto do que viajar diretamente de para .

Outra propriedade, desigualdade de Ptolomeu , diz respeito às distâncias euclidianas entre os quatro pontos , , , e . Diz que

Para pontos no plano, isso pode ser reformulado afirmando que, para cada quadrilátero , os produtos dos lados opostos do quadrilátero somam pelo menos um número tão grande quanto o produto de suas diagonais. No entanto, a desigualdade de Ptolomeu se aplica de forma mais geral a pontos em espaços euclidianos de qualquer dimensão, não importa como eles estão dispostos. A geometria da distância euclidiana estuda as propriedades da distância euclidiana, como a desigualdade de Ptolomeu, e sua aplicação em testar se determinados conjuntos de distâncias vêm de pontos em um espaço euclidiano.

Distância euclidiana quadrada

Um cone , o gráfico da distância euclidiana da origem no plano
Um parabolóide , o gráfico da distância euclidiana quadrada da origem

Em muitas aplicações, e em particular ao comparar distâncias, pode ser mais conveniente omitir a raiz quadrada final no cálculo das distâncias euclidianas. O valor resultante desta omissão é o quadrado da distância euclidiana, e é chamado de distância euclidiana ao quadrado . Como uma equação, pode ser expressa como a soma dos quadrados :

Além de sua aplicação para comparação de distâncias, a distância euclidiana quadrada é de importância central em estatísticas , onde é usada no método dos mínimos quadrados , um método padrão de ajuste de estimativas estatísticas aos dados minimizando a média das distâncias quadradas entre os valores observados e estimados . A adição de distâncias quadradas entre si, como é feito no ajuste de mínimos quadrados, corresponde a uma operação sobre distâncias (não quadradas) chamada adição pitagórica . Na análise de cluster , distâncias quadradas podem ser usadas para fortalecer o efeito de distâncias mais longas.

A distância euclidiana ao quadrado não forma um espaço métrico, pois não satisfaz a desigualdade do triângulo. No entanto, é uma função suave e estritamente convexa dos dois pontos, ao contrário da distância, que não é suave (perto de pares de pontos iguais) e convexa, mas não estritamente convexa. A distância quadrada é, portanto, preferida na teoria de otimização , uma vez que permite o uso de análise convexa . Como o quadrado é uma função monotônica de valores não negativos, minimizar a distância quadrada é equivalente a minimizar a distância euclidiana, então o problema de otimização é equivalente em termos de ambos, mas mais fácil de resolver usando a distância quadrada.

A coleção de todas as distâncias quadradas entre pares de pontos de um conjunto finito pode ser armazenada em uma matriz de distância euclidiana e é usada dessa forma na geometria de distância.

Generalizações

Em áreas mais avançadas da matemática, ao ver o espaço euclidiano como um espaço vetorial , sua distância está associada a uma norma chamada norma euclidiana , definida como a distância de cada vetor da origem . Uma das propriedades importantes dessa norma, em relação a outras normas, é que ela permanece inalterada sob rotações arbitrárias do espaço em torno da origem. De acordo com o teorema de Dvoretzky , todo espaço vetorial normatizado de dimensão finita possui um subespaço de dimensão elevada no qual a norma é aproximadamente euclidiana; a norma euclidiana é a única norma com esta propriedade. Ele pode ser estendido para espaços vector infinito-dimensionais como o L 2 norma ou L 2 distância.

Outras distâncias comuns em espaços euclidianos e espaços vetoriais de baixa dimensão incluem:

Para pontos em superfícies em três dimensões, a distância euclidiana deve ser diferenciada da distância geodésica , o comprimento de uma curva mais curta que pertence à superfície. Em particular, para medir distâncias de grande círculo na terra ou outras superfícies esféricas ou quase esféricas, as distâncias que têm sido usadas incluem a distância de haversine dando distâncias de grande círculo entre dois pontos em uma esfera de suas longitudes e latitudes, e as fórmulas de Vincenty também conhecido como "distância de Vincent" para distância em um esferóide.

História

A distância euclidiana é a distância no espaço euclidiano ; ambos os conceitos têm o nome de Euclides , matemático grego antigo , cujos Elementos se tornaram um livro-texto padrão em geometria por muitos séculos. Os conceitos de comprimento e distância são difundidos em todas as culturas, podem ser datados dos primeiros documentos burocráticos "protoliterados" sobreviventes da Suméria no quarto milênio aC (muito antes de Euclides), e foi considerada a hipótese de se desenvolver em crianças antes dos conceitos relacionados de velocidade e tempo. Mas a noção de distância, como um número definido a partir de dois pontos, na verdade não aparecem na de Euclides Elements . Em vez disso, Euclides aborda esse conceito implicitamente, por meio da congruência dos segmentos de linha, da comparação dos comprimentos dos segmentos de linha e do conceito de proporcionalidade .

O teorema de Pitágoras também é antigo, mas só poderia assumir seu papel central na medição de distâncias após a invenção das coordenadas cartesianas por René Descartes em 1637. A fórmula da distância em si foi publicada pela primeira vez em 1731 por Alexis Clairaut . Por causa dessa fórmula, a distância euclidiana também é às vezes chamada de distância pitagórica. Embora medições precisas de longas distâncias na superfície da Terra, que não são euclidianas, tenham sido novamente estudadas em muitas culturas desde os tempos antigos (ver história da geodésia ), a ideia de que a distância euclidiana pode não ser a única maneira de medir distâncias entre pontos em os espaços matemáticos vieram ainda mais tarde, com a formulação do século 19 da geometria não euclidiana . A definição da norma euclidiana e da distância euclidiana para geometrias de mais de três dimensões também apareceu pela primeira vez no século 19, na obra de Augustin-Louis Cauchy .

Veja também

Referências