Eugenio Beltrami - Eugenio Beltrami

Eugenio Beltrami
Beltrami.jpg
Eugenio Beltrami
Nascer ( 1835-11-16 )16 de novembro de 1835
Faleceu 18 de fevereiro de 1900 (1900-02-18)(com 64 anos)
Nacionalidade italiano
Alma mater Ghislieri College , Pavia (sem diploma)
Conhecido por Equação de
Beltrami Identidade de
Beltrami Teorema
de Beltrami Operador Laplace – Beltrami
Campo vetorial de
Beltrami Modelo Beltrami – Klein
Carreira científica
Campos Matemático
Instituições Universidade de Bolonha
Universidade de Pisa
Universidade de Roma
Universidade de Pavia
Orientadores acadêmicos Francesco Brioschi
Alunos de doutorado Giovanni Frattini

Eugenio Beltrami (16 de novembro de 1835 - 18 de fevereiro de 1900) foi um matemático italiano notável por seu trabalho sobre geometria diferencial e física matemática . Seu trabalho foi notado especialmente pela clareza de exposição. Ele foi o primeiro a provar a consistência da geometria não euclidiana modelando-a em uma superfície de curvatura constante , a pseudosfera , e no interior de uma esfera unitária n- dimensional , o chamado modelo Beltrami-Klein . Ele também desenvolveu a decomposição de valores singulares para matrizes , que foi posteriormente redescoberta várias vezes. O uso de cálculo diferencial por Beltrami para problemas de física matemática influenciou indiretamente o desenvolvimento do cálculo tensorial por Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita .

Vida

Beltrami nasceu em Cremona, na Lombardia , então parte do Império Austríaco e agora parte da Itália. Ele começou a estudar matemática na Universidade de Pavia em 1853, mas foi expulso do Ghislieri College em 1856 devido às suas opiniões políticas - ele simpatizava com o Risorgimento . Durante esse tempo, ele foi ensinado e influenciado por Francesco Brioschi . Ele teve que interromper seus estudos por causa de dificuldades financeiras e passou os próximos anos como secretário, trabalhando para a empresa ferroviária Lombardia-Veneza. Ele foi nomeado professor da Universidade de Bolonha em 1862, ano em que publicou seu primeiro artigo de pesquisa. Ao longo de sua vida, Beltrami teve vários empregos de professor nas universidades de Pisa , Roma e Pavia. De 1891 até o fim de sua vida, Beltrami viveu em Roma. Ele se tornou presidente da Accademia dei Lincei em 1898 e senador pelo Reino da Itália em 1899.

Contribuições para a geometria não euclidiana

Em 1868, Beltrami publicou duas memórias (escritas em italiano; traduções francesas de J. Hoüel surgiram em 1869) lidando com consistência e interpretações da geometria não euclidiana de János Bolyai e Nikolai Lobachevsky . Em seu "Ensaio sobre uma interpretação da geometria não euclidiana", Beltrami propôs que essa geometria poderia ser realizada em uma superfície de curvatura negativa constante , uma pseudosfera . Para o conceito de Beltrami, as linhas da geometria são representadas por geodésicas na pseudosfera e os teoremas da geometria não euclidiana podem ser provados dentro do espaço euclidiano tridimensional comum , e não derivados de forma axiomática, como Lobachevsky e Bolyai haviam feito anteriormente. Em 1840, Ferdinand Minding já considerada triângulos geodésicas no pseudoesfera e observou que as correspondentes fórmulas trigonométricas "" são obtidas a partir das fórmulas correspondentes de trigonometria esférica através da substituição dos habituais funções trigonométricas com funções hiperbólicas ; isso foi desenvolvido por Delfino Codazzi em 1857, mas aparentemente nenhum deles percebeu a associação com a obra de Lobachevsky. Desta forma, Beltrami tentou demonstrar que a geometria não euclidiana bidimensional é tão válida quanto a geometria euclidiana do espaço e, em particular, que o postulado paralelo de Euclides não poderia ser derivado dos outros axiomas da geometria euclidiana. Costuma-se afirmar que essa prova estava incompleta devido às singularidades da pseudosfera, o que significa que a geodésica não poderia ser estendida indefinidamente. No entanto, John Stillwell comenta que Beltrami devia estar bem ciente dessa dificuldade, que também se manifesta pelo fato de a pseudosfera ser topologicamente um cilindro , e não um plano, e ele gastou parte de suas memórias projetando uma maneira de contorná-la. Por uma escolha adequada de coordenadas, Beltrami mostrou como a métrica da pseudosfera pode ser transferida para o disco unitário e que a singularidade da pseudoesfera corresponde a um horociclo no plano não euclidiano. Por outro lado, na introdução de suas memórias, Beltrami afirma que seria impossível justificar "o resto da teoria de Lobachevsky", ou seja, a geometria não euclidiana do espaço, por este método.

No segundo livro de memórias publicado no mesmo ano (1868), "Teoria fundamental dos espaços de curvatura constante", Beltrami deu continuidade a essa lógica e deu uma prova abstrata da equiconsistência da geometria hiperbólica e euclidiana para qualquer dimensão. Ele conseguiu isso introduzindo vários modelos de geometria não euclidiana que agora são conhecidos como o modelo de Beltrami-Klein , o modelo de disco de Poincaré e o modelo de semiplano de Poincaré , junto com transformações que os relacionam. Para o modelo de semiplano, Beltrami citou uma nota de Joseph Liouville no tratado de Gaspard Monge sobre geometria diferencial . Beltrami também mostrou que a geometria euclidiana n- dimensional é realizada em uma horosfera do espaço hiperbólico ( n  + 1) -dimensional , de modo que a relação lógica entre a consistência das geometrias euclidiana e não-euclidiana é simétrica. Beltrami reconheceu a influência da palestra de Habilitação inovadora de Bernhard Riemann "Nas hipóteses em que a geometria se baseia" (1854; publicado postumamente em 1868).

Embora hoje o "Ensaio" de Beltrami seja reconhecido como muito importante para o desenvolvimento da geometria não euclidiana, a recepção na época foi menos entusiástica. Luigi Cremona se opôs ao raciocínio circular percebido, o que até forçou Beltrami a atrasar a publicação do "Ensaio" por um ano. Posteriormente, Felix Klein deixou de reconhecer a prioridade de Beltrami na construção do modelo de disco projetivo da geometria não euclidiana. Essa reação pode ser atribuída em parte à novidade do raciocínio de Beltrami, que era semelhante às idéias de Riemann sobre as variedades abstratas . J. Hoüel publicou a prova de Beltrami em sua tradução francesa das obras de Lobachevsky e Bolyai.

Trabalho

Sulla teoria dell'induzione magnetica secondo Poisson , 1884
  • Beltrami, Eugenio (1868). "Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea". Giornale di Mathematiche . 4 : 285–315.
  • Beltrami, Eugenio (1868). "Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante" . Annali di Matematica Pura ed Applicata . Série II. 2 : 232–255. doi : 10.1007 / BF02419615 . S2CID  120773141 .
  • Sulla teoria dell'induzione magnetica secondo Poisson (em italiano). Bolonha. 1884.
  • Opere matematiche di Eugenio Beltrami pubblicate per cura della Facoltà di scienze della r. Università di Roma (volumes 1–2) (U. Hoepli, Milano, 1902–1920)
  • Mesma edição, vols. 1-4

Referências

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