Matemática experimental - Experimental mathematics

A matemática experimental é uma abordagem da matemática na qual a computação é usada para investigar objetos matemáticos e identificar propriedades e padrões. Foi definido como "aquele ramo da matemática que se preocupa em última análise com a codificação e transmissão de percepções dentro da comunidade matemática através do uso de exploração experimental (no sentido galileu, baconiano, aristotélico ou kantiano) de conjecturas e crenças mais informais e uma análise cuidadosa dos dados adquiridos nesta busca. "

Conforme expresso por Paul Halmos : "A matemática não é uma ciência dedutiva - isso é um clichê. Quando você tenta provar um teorema, você não apenas lista as hipóteses e depois começa a raciocinar. O que você faz é tentativa e erro , experimentação , adivinhação. Você quer descobrir quais são os fatos, e o que você faz a esse respeito é semelhante ao que um técnico de laboratório faz. "

História

Os matemáticos sempre praticaram matemática experimental. Os registros existentes das primeiras matemáticas, como a matemática babilônica , geralmente consistem em listas de exemplos numéricos que ilustram as identidades algébricas. No entanto, a matemática moderna, a partir do século 17, desenvolveu uma tradição de publicação dos resultados em uma apresentação final, formal e abstrata. Os exemplos numéricos que podem ter levado um matemático a formular originalmente um teorema geral não foram publicados e foram geralmente esquecidos.

A matemática experimental como uma área separada de estudo ressurgiu no século XX, quando a invenção do computador eletrônico aumentou enormemente a gama de cálculos viáveis, com uma velocidade e precisão muito maior do que qualquer coisa disponível para as gerações anteriores de matemáticos. Um marco significativo e conquista da matemática experimental foi a descoberta em 1995 da fórmula de Bailey – Borwein – Plouffe para os dígitos binários de π . Essa fórmula foi descoberta não por raciocínio formal, mas sim por pesquisas numéricas em um computador; só depois foi encontrada uma prova rigorosa .

Objetivos e usos

Os objetivos da matemática experimental são "gerar compreensão e percepção; gerar e confirmar ou confrontar conjecturas; e geralmente tornar a matemática mais tangível, viva e divertida tanto para o pesquisador profissional quanto para o novato".

Os usos da matemática experimental foram definidos da seguinte forma:

1. Obtendo percepção e intuição.
2. Descobrindo novos padrões e relacionamentos.
3. Usando exibições gráficas para sugerir princípios matemáticos básicos.
4. Testando e, especialmente, falsificando conjecturas.
5. Explorando um possível resultado para ver se vale a pena uma prova formal.
6. Sugestão de abordagens para comprovação formal.
7. Substituindo derivações de mão longas por derivações baseadas em computador.
8. Confirmando resultados derivados analiticamente.

Ferramentas e técnicas

A matemática experimental usa métodos numéricos para calcular valores aproximados para integrais e séries infinitas . A aritmética de precisão arbitrária é freqüentemente usada para estabelecer esses valores com um alto grau de precisão - normalmente 100 algarismos significativos ou mais. Algoritmos de relação inteira são então usados ​​para pesquisar relações entre esses valores e constantes matemáticas . Trabalhar com valores de alta precisão reduz a possibilidade de confundir uma coincidência matemática com uma relação verdadeira. Uma prova formal de uma relação conjecturada será então buscada - muitas vezes é mais fácil encontrar uma prova formal uma vez que a forma de uma relação conjecturada é conhecida.

Se um contra - exemplo está sendo procurado ou uma prova em grande escala por exaustão está sendo tentada, técnicas de computação distribuída podem ser usadas para dividir os cálculos entre vários computadores.

O uso frequente é feito de software matemático geral ou software específico de domínio escrito para ataques a problemas que requerem alta eficiência. O software de matemática experimental geralmente inclui mecanismos de detecção e correção de erros , verificações de integridade e cálculos redundantes projetados para minimizar a possibilidade de os resultados serem invalidados por um erro de hardware ou software.

Aplicações e exemplos

Aplicações e exemplos de matemática experimental incluem:

• Procurando um contra-exemplo para uma conjectura
  • Roger Frye usou técnicas matemáticas experimentais para encontrar o menor contra-exemplo para a conjectura da soma dos poderes de Euler .
  • O projeto ZetaGrid foi criado para buscar um contra-exemplo à hipótese de Riemann .
  • Tomás Oliveira e Silva buscou um contra-exemplo à conjectura de Collatz .
• Encontrar novos exemplos de números ou objetos com propriedades específicas
  • A grande busca principal de Mersenne na Internet está em busca de novos primos de Mersenne .
  • A Grande Caçada ao Caminho Periódico está procurando novos caminhos periódicos.
  • O projeto OGR do Distributed.net está procurando por réguas Golomb ideais .
  • O projeto Peneira Riesel está buscando o menor número de Riesel .
  • O projeto Seventeen or Bust está procurando o menor número Sierpinski .
• Encontrando padrões numéricos casuais
  • Edward Lorenz encontrou o atrator Lorenz , um dos primeiros exemplos de sistema dinâmico caótico , investigando comportamentos anômalos em um modelo numérico de tempo.
  • A espiral Ulam foi descoberta por acidente.
  • O padrão nos números de Ulam foi descoberto por acidente.
  • A descoberta da constante de Feigenbaum por Mitchell Feigenbaum foi baseada inicialmente em observações numéricas, seguidas por uma prova rigorosa.
• Uso de programas de computador para verificar um grande, mas finito número de casos para completar uma prova assistida por computador até a exaustão
  • A prova de Thomas Hales da conjectura de Kepler .
  • Várias provas do teorema das quatro cores .
  • A prova de Clement Lam da inexistência de um plano projetivo finito de ordem 10.
  • Gary McGuire provou que um Sudoku solucionável mínimo requer 17 pistas.
• Validação simbólica (via álgebra computacional ) de conjecturas para motivar a busca por uma prova analítica
  • Soluções para um caso especial do problema quântico de três corpos, conhecido como íon-molécula de hidrogênio, foram encontradas em conjuntos de bases da química quântica padrão antes de perceber que todos eles levam à mesma solução analítica única em termos de uma generalização da função W de Lambert . Relacionado a este trabalho está o isolamento de uma ligação até então desconhecida entre a teoria da gravidade e a mecânica quântica em dimensões inferiores (ver gravidade quântica e referências nela).
  • No reino da mecânica relativística de muitos corpos , ou seja, a teoria do absorvedor de Wheeler-Feynman com simetria no tempo : a equivalência entre um potencial avançado de Liénard-Wiechert da partícula j agindo na partícula i e o potencial correspondente da partícula i agindo na partícula j foi demonstrada exaustivamente para pedir antes de ser provado matematicamente. A teoria de Wheeler-Feynman recuperou o interesse por causa da não localidade quântica .${\ displaystyle 1 / c ^ {10}}$
  • No domínio da óptica linear, verificação da expansão em série do envelope do campo elétrico para pulsos de luz ultracurtos viajando em meios não isotrópicos . As expansões anteriores foram incompletas: o resultado revelou um termo extra justificado por experimento.
• Avaliação de séries infinitas , produtos infinitos e integrais (ver também integração simbólica ), normalmente realizando um cálculo numérico de alta precisão e, em seguida, usando um algoritmo de relação inteira (como a Calculadora Simbólica Inversa ) para encontrar uma combinação linear de constantes matemáticas que corresponde a este valor. Por exemplo, a seguinte identidade foi redescoberta por Enrico Au-Yeung, um aluno de Jonathan Borwein usando pesquisa de computador e algoritmo PSLQ em 1993:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {1} {2} } + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {k}} \ right) ^ {2} = {\ frac {17 \ pi ^ {4}} {360}} . \ end {alinhado}}}$

• Investigações visuais
  • Em Pérolas de Indra , David Mumford e outros investigaram várias propriedades da transformação de Möbius e do grupo Schottky usando imagens geradas por computador dos grupos que: forneceram evidências convincentes para muitas conjecturas e iscas para exploração posterior .

Exemplos plausíveis, mas falsos

Algumas relações plausíveis têm um alto grau de precisão, mas ainda não são verdadeiras. Um exemplo é:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos (2x) \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {x} {n}} \ right) \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {8}}.}$

Os dois lados desta expressão realmente diferem após a 42ª casa decimal.

Outro exemplo é que a altura máxima (valor absoluto máximo dos coeficientes) de todos os fatores de x ⁿ - 1 parece ser a mesma que a altura do n- ésimo polinômio ciclotômico . O computador mostrou que isso era verdadeiro para n <10000 e esperava-se que fosse verdadeiro para todos os n . No entanto, uma pesquisa de computador maior mostrou que essa igualdade falha para n = 14.235, quando a altura do n- ésimo polinômio ciclotômico é 2, mas a altura máxima dos fatores é 3.

Praticantes

Os seguintes matemáticos e cientistas da computação fizeram contribuições significativas para o campo da matemática experimental:

Veja também

• Integral de Borwein
• Prova auxiliada por computador
• Provas e Refutações
• Matemática Experimental (jornal)
• Instituto de Matemática Experimental

Referências

links externos

• Matemática Experimental (Jornal)
• Centro de Matemática Experimental e Construtiva (CECM) na Simon Fraser University
• Grupo Colaborativo para Pesquisa em Educação Matemática na Universidade de Southampton
• Reconhecendo constantes numéricas de David H. Bailey e Simon Plouffe
• Psicologia da Matemática Experimental
• Site de matemática experimental (links e recursos)
• Site do The Great Periodic Path Hunt (links e recursos)
• Um algoritmo para as idades: PSLQ, uma maneira melhor de encontrar relações inteiras ( link alternativo )
• Teoria da Informação Algorítmica Experimental
• Exemplos de problemas de matemática experimental por David H. Bailey e Jonathan M. Borwein
• Ten Problems in Experimental Mathematics, de David H. Bailey , Jonathan M. Borwein , Vishaal Kapoor e Eric W. Weisstein
• Instituto de Matemática Experimental da Universidade de Duisburg-Essen