Função exponencial - Exponential function

A função exponencial natural y = e x
Funções exponenciais com bases 2 e 1/2

Em matemática , a função exponencial é a função onde a base e = 2,71828 ... é o número de Euler e o argumento x ocorre como um expoente . Mais geralmente, uma função exponencial é uma função da forma em que a base b é um número real positivo .

Para os números reais c e d , uma função da forma também é uma função exponencial, uma vez que pode ser reescrita como

A função exponencial é às vezes chamada de função exponencial natural para distingui-la das outras funções exponenciais. O estudo de qualquer função exponencial pode ser facilmente reduzido ao da função exponencial natural, uma vez que

Como funções de uma variável real, as funções exponenciais são caracterizadas exclusivamente pelo fato de que a taxa de crescimento de tal função (ou seja, sua derivada ) é diretamente proporcional ao valor da função. A constante de proporcionalidade dessa relação é o logaritmo natural da base b :

Para b > 1 , a função é crescente (conforme representado para b = e e b = 2 ), porque torna a derivada sempre positiva; enquanto para b <1 , a função está diminuindo (conforme representado para b = 1/2); e para b = 1 a função é constante.

A constante e = 2,71828 ... é a base única para a qual a constante de proporcionalidade é 1, de modo que a função é sua própria derivada:

Essa função, também denotada como exp x , é chamada de "função exponencial natural" ou simplesmente "função exponencial". Uma vez que qualquer função exponencial pode ser escrita em termos da exponencial natural , é computacionalmente e conceitualmente conveniente reduzir o estudo de funções exponenciais a esta em particular. O exponencial natural é, portanto, denotado por

ou

A primeira notação é comumente usada para expoentes mais simples, enquanto a última é preferida quando o expoente é uma expressão complicada. O gráfico de é inclinado para cima e aumenta mais rápido à medida que x aumenta. O gráfico sempre fica acima do eixo x , mas fica arbitrariamente próximo a ele para x negativo grande ; assim, o eixo x é uma assíntota horizontal . A equação significa que a inclinação da tangente ao gráfico em cada ponto é igual à sua coordenada y naquele ponto. Sua função inversa é o logaritmo natural , denotado ou por isso, alguns textos antigos se referem à função exponencial como o antilogaritmo .

A função exponencial satisfaz a identidade multiplicativa fundamental (que também pode ser estendida a expoentes de valor complexo ):

Pode-se mostrar que toda solução contínua diferente de zero da equação funcional é uma função exponencial, com A identidade multiplicativa, junto com a definição , mostra que para inteiros positivos n , relacionando a função exponencial à noção elementar de exponenciação.

O argumento da função exponencial pode ser qualquer número real ou complexo , ou mesmo um tipo totalmente diferente de objeto matemático (por exemplo, uma matriz quadrada ).

A ocorrência onipresente da função exponencial na matemática pura e aplicada levou o matemático W. Rudin a opinar que a função exponencial é "a função mais importante da matemática". Em configurações aplicadas, as funções exponenciais modelam um relacionamento no qual uma mudança constante na variável independente dá a mesma mudança proporcional (ou seja, aumento ou diminuição percentual) na variável dependente. Isso ocorre amplamente nas ciências naturais e sociais, como em uma população que se auto-reproduz , um fundo acumulando juros compostos ou um corpo crescente de especialização em manufatura . Assim, a função exponencial também aparece em uma variedade de contextos dentro da física , química , engenharia , biologia matemática e economia .

Definição formal

A função exponencial (em azul) e a soma dos primeiros n + 1 termos de sua série de potências (em vermelho).

A função exponencial real pode ser caracterizada de várias maneiras equivalentes. É comumente definido pelas seguintes séries de potência :

Uma vez que o raio de convergência desta série de potências é infinito, esta definição é, de fato, aplicável a todos os números complexos z ∈ ℂ (ver § Plano complexo para a extensão de ao plano complexo). A constante e pode então ser definida como

A diferenciação termo a termo desta série de potências revela que para todo real x , levando a outra caracterização comum de como a solução única da equação diferencial

satisfazendo a condição inicial

Com base nessa caracterização, a regra da cadeia mostra que sua função inversa, o logaritmo natural , satisfaz para ou. Essa relação leva a uma definição menos comum da função exponencial real como a solução para a equação

Por meio do teorema binomial e da definição da série de potências, a função exponencial também pode ser definida como o seguinte limite:

Visão geral

A curva vermelha é a função exponencial. As linhas horizontais pretas mostram onde cruza as linhas verticais verdes.

A função exponencial surge sempre que uma quantidade cresce ou diminui a uma taxa proporcional ao seu valor atual. Uma dessas situações são os juros compostos continuamente e, de fato, foi essa observação que levou Jacob Bernoulli em 1683 ao número

agora conhecido como e . Mais tarde, em 1697, Johann Bernoulli estudou o cálculo da função exponencial.

Se o valor principal de 1 rende juros a uma taxa anual de x composta mensalmente, os juros ganhos a cada mês sãox/12vezes o valor atual, então a cada mês o valor total é multiplicado por (1 +x/12) , e o valor no final do ano é (1 +x/12) 12 . Se, em vez disso, os juros são compostos diariamente, torna-se (1 +x/365) 365 . Deixar o número de intervalos de tempo por ano crescer sem limites leva à definição de limite da função exponencial,

apresentado pela primeira vez por Leonhard Euler . Esta é uma das várias caracterizações da função exponencial ; outros envolvem séries ou equações diferenciais .

A partir de qualquer uma dessas definições, pode ser mostrado que a função exponencial obedece à identidade de exponenciação básica ,

o que justifica a notação e x para exp x .

A derivada (taxa de variação) da função exponencial é a própria função exponencial. Mais geralmente, uma função com uma taxa de mudança proporcional à própria função (em vez de igual a ela) é expressável em termos da função exponencial. Esta propriedade de função leva ao crescimento exponencial ou declínio exponencial .

A função exponencial se estende a uma função inteira no plano complexo . A fórmula de Euler relaciona seus valores em argumentos puramente imaginários a funções trigonométricas . A função exponencial também tem análogos para os quais o argumento é uma matriz , ou mesmo um elemento de uma álgebra de Banach ou álgebra de Lie .

Derivadas e equações diferenciais

A derivada da função exponencial é igual ao valor da função. De qualquer ponto P na curva (azul), deixe uma linha tangente (vermelha) e uma linha vertical (verde) com altura h ser desenhada, formando um triângulo retângulo com uma base b no eixo x . Uma vez que a inclinação da linha tangente vermelha (a derivada) em P é igual à proporção da altura do triângulo para a base do triângulo (subida ao longo do curso), e a derivada é igual ao valor da função, h deve ser igual a a razão de h para b . Portanto, a base b deve ser sempre 1.

A importância da função exponencial em matemática e ciências deriva principalmente de sua propriedade como a função única que é igual à sua derivada e é igual a 1 quando x = 0 . Isso é,

Funções da forma ce x para constante c são as únicas funções que são iguais à sua derivada (pelo teorema de Picard-Lindelöf ). Outras maneiras de dizer a mesma coisa incluem:

  • A inclinação do gráfico em qualquer ponto é a altura da função naquele ponto.
  • A taxa de aumento da função em x é igual ao valor da função em x .
  • A função resolve a equação diferencial y ′ = y .
  • exp é um ponto fixo de derivada como funcional .

Se a taxa de crescimento ou decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho - como é o caso no crescimento populacional ilimitado (ver catástrofe malthusiana ), juros compostos continuamente ou decaimento radioativo - então a variável pode ser escrita como uma constante vezes uma função exponencial do tempo . Explicitamente para qualquer constante real k , uma função f : RR satisfaz f ′ = kf se e somente se f ( x ) = ce kx para alguma constante c . A constante k é chamada de constante de decaimento , constante de desintegração , constante de taxa ou constante de transformação .

Além disso, para qualquer função diferenciável f ( x ) , encontramos, pela regra da cadeia :

Frações contínuas para e x

Uma fração contínua para e x pode ser obtida por meio de uma identidade de Euler :

A seguinte fração contínua generalizada para e z converge mais rapidamente:

ou, aplicando a substituição z =x/y:

com um caso especial para z = 2 :

Essa fórmula também converge, embora mais lentamente, para z > 2 . Por exemplo:

Avião complexo

Um gráfico complexo de , com a fase representada por matizes variados. A transição das cores escuras para as claras mostra que está aumentando apenas para a direita. As faixas horizontais periódicas correspondentes ao mesmo matiz indicam que é periódico na parte imaginária de .

Como no caso real , a função exponencial pode ser definida no plano complexo em várias formas equivalentes. A definição mais comum da função exponencial complexa é paralela à definição da série de potências para argumentos reais, onde a variável real é substituída por uma complexa:

Alternativamente, a função exponencial complexa pode ser definida modelando a definição de limite para argumentos reais, mas com a variável real substituída por uma complexa:

Para a definição de série de potências, a multiplicação a termo de duas cópias desta série de potências no sentido de Cauchy , permitida pelo teorema de Mertens , mostra que a propriedade multiplicativa de definição de funções exponenciais continua válida para todos os argumentos complexos:

A definição da função exponencial complexa, por sua vez, leva às definições apropriadas, estendendo as funções trigonométricas a argumentos complexos.

Em particular, quando z = it ( t real), a definição da série produz a expansão

Nessa expansão, o rearranjo dos termos em partes reais e imaginárias é justificado pela convergência absoluta das séries. As partes reais e imaginárias da expressão acima correspondem de fato às expansões em série de cos t e sen t , respectivamente.

Esta correspondência fornece motivação para definir cosseno e seno para todos os argumentos complexos em termos de e as séries de potências equivalentes:

As funções exp , cos e sin assim definidas têm raios infinitos de convergência pelo teste de razão e são, portanto, funções inteiras (isto é, holomórficas on ). O intervalo da função exponencial é , enquanto os intervalos das funções complexas de seno e cosseno estão em sua totalidade, de acordo com o teorema de Picard , que afirma que o intervalo de uma função inteira não constante é todo ou excluindo um valor lacunário .

Essas definições para as funções exponenciais e trigonométricas levam trivialmente à fórmula de Euler :

.

Poderíamos, alternativamente, definir a função exponencial complexa com base nessa relação. Se z = x + iy , onde x e y são reais, então poderíamos definir sua exponencial como

onde exp , cos e sin no lado direito do sinal de definição devem ser interpretados como funções de uma variável real, previamente definida por outros meios.

Para , a relação se mantém, de modo que para real e mapeia a linha real (mod 2 π ) para o círculo unitário no plano complexo. Além disso, indo de para , a curva definida por traça um segmento do círculo unitário de comprimento

,

começando de z = 1 no plano complexo e indo no sentido anti-horário. Com base nessas observações e no fato de que a medida de um ângulo em radianos é o comprimento do arco no círculo unitário subtendido pelo ângulo, é fácil ver que, restrito a argumentos reais, as funções seno e cosseno definidas acima coincidem com as funções seno e cosseno introduzidas na matemática elementar por meio de noções geométricas.

A função exponencial complexa é periódica com período 2 πi e vale para todos .

Quando seu domínio é estendido da linha real para o plano complexo, a função exponencial retém as seguintes propriedades:

.

Estender o logaritmo natural para argumentos complexos produz o logaritmo complexo log z , que é uma função de vários valores .

Podemos então definir uma exponenciação mais geral:

para todos os números complexos z e w . Essa também é uma função de vários valores, mesmo quando z é real. Essa distinção é problemática, pois as funções de vários valores log z e z w são facilmente confundidas com seus equivalentes de valor único ao substituir z por um número real . A regra sobre a multiplicação de expoentes para o caso de números reais positivos deve ser modificada em um contexto de vários valores:

( e z )C
e zw
, mas sim ( e z )C
= e ( z + 2 niπ ) w
multivalorado sobre inteiros n

Consulte falhas de energia e identidades logarítmicas para obter mais informações sobre problemas com a combinação de poderes.

A função exponencial mapeia qualquer linha no plano complexo para uma espiral logarítmica no plano complexo com o centro na origem . Existem dois casos especiais: quando a linha original é paralela ao eixo real, a espiral resultante nunca se fecha sobre si mesma; quando a linha original é paralela ao eixo imaginário, a espiral resultante é um círculo de algum raio.

Considerando a função exponencial complexa como uma função envolvendo quatro variáveis ​​reais:

o gráfico da função exponencial é uma superfície bidimensional curvada em quatro dimensões.

Começando com uma parte codificada por cores do domínio, a seguir estão representações do gráfico como projetado de várias maneiras em duas ou três dimensões.

A segunda imagem mostra como o plano complexo de domínio é mapeado no plano complexo de alcance:

  • zero é mapeado para 1
  • o eixo real é mapeado para o eixo real positivo
  • o eixo imaginário é enrolado em torno do círculo unitário a uma taxa angular constante
  • valores com partes reais negativas são mapeados dentro do círculo unitário
  • valores com partes reais positivas são mapeados fora do círculo unitário
  • valores com uma parte real constante são mapeados para círculos centrados em zero
  • valores com uma parte imaginária constante são mapeados para raios que se estendem de zero

A terceira e a quarta imagens mostram como o gráfico na segunda imagem se estende em uma das outras duas dimensões não mostradas na segunda imagem.

A terceira imagem mostra o gráfico estendido ao longo do eixo real . Ele mostra que o gráfico é uma superfície de revolução em torno do eixo do gráfico da função exponencial real, produzindo uma forma de chifre ou funil.

A quarta imagem mostra o gráfico estendido ao longo do eixo imaginário . Mostra que a superfície do gráfico para valores positivos e negativos não se encontra realmente ao longo do eixo real negativo , mas, em vez disso, forma uma superfície espiral em torno do eixo. Como seus valores foram estendidos para ± 2 π , esta imagem também representa melhor a periodicidade de 2π no valor imaginário .

Cálculo de a b onde a e b são complexos

A exponenciação complexa a b pode ser definida convertendo a em coordenadas polares e usando a identidade ( e ln a )b
= a b
:

No entanto, quando b não é um inteiro, esta função é multivalorada , porque θ não é único (ver falha de energia e identidades de logaritmo ).

Matrizes e álgebras de Banach

A definição de série de potências da função exponencial faz sentido para matrizes quadradas (para as quais a função é chamada de matriz exponencial ) e mais geralmente em qualquer álgebra de Banach B unital . Nesta configuração, e 0 = 1 , e e x é invertível com inversa e - x para qualquer x em B . Se xy = yx , então e x + y = e x e y , mas essa identidade pode falhar para x e y não comutáveis .

Algumas definições alternativas levam à mesma função. Por exemplo, e x pode ser definido como

Ou e x pode ser definido como f x (1) , onde f x  : RB é a solução para a equação diferencialdf x/dt( t ) = x f x ( t ) , com condição inicial f x (0) = 1 ; segue-se que f x ( t ) = e tx para cada t em R .

Álgebras de Lie

Dado um grupo de Lie G e sua álgebra de Lie associada , o mapa exponencial é um mapa G que satisfaz propriedades semelhantes. De fato, como R é a álgebra de Lie do grupo de Lie de todos os números reais positivos sob multiplicação, a função exponencial ordinária para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Da mesma forma, uma vez que o grupo de Lie GL ( n , R ) de invertível n × n matrizes tem como álgebra de Lie M ( n , R ) , o espaço de todos os n × n matrizes, a função exponencial para matrizes quadradas é um caso especial do Mapa exponencial da álgebra de Lie.

A identidade de exp ( x + y ) = exp x exp y pode falhar por elementos Lie álgebra x e y que não comutam; a fórmula Baker-Campbell-Hausdorff fornece os termos de correção necessários.

Transcendência

A função e z não está em C ( z ) (ou seja, não é o quociente de dois polinômios com coeficientes complexos).

Para n números complexos distintos { a 1 ,…, a n }, o conjunto { e a 1 z ,…, e a n z } é linearmente independente sobre C ( z ) .

A função e z é transcendental sobre C ( z ) .

Computação

Ao calcular (uma aproximação de) a função exponencial perto do argumento 0 , o resultado será próximo de 1, e calcular o valor da diferença com aritmética de ponto flutuante pode levar à perda de (possivelmente todos) os algarismos significativos , produzindo um grande erro de cálculo, possivelmente até mesmo um resultado sem sentido.

Seguindo uma proposta de William Kahan , pode ser útil ter uma rotina dedicada, freqüentemente chamada expm1, para calcular e x - 1 diretamente, contornando a computação de e x . Por exemplo, se o exponencial é calculado usando sua série de Taylor

pode-se usar a série Taylor de

Isso foi implementado pela primeira vez em 1979 na calculadora Hewlett-Packard HP-41C e fornecido por várias calculadoras, sistemas operacionais (por exemplo, Berkeley UNIX 4.3BSD ), sistemas de álgebra de computador e linguagens de programação (por exemplo C99 ).

Além da base e , o padrão IEEE 754-2008 define funções exponenciais semelhantes próximas a 0 para as bases 2 e 10: e .

Uma abordagem semelhante foi usada para o logaritmo (ver lnp1 ).

Uma identidade em termos de tangente hiperbólica ,

fornece um valor de alta precisão para pequenos valores de x em sistemas que não implementam expm1 ( x ) .

Veja também

Notas

Referências

links externos