Integral exponencial - Exponential integral

Gráfico de função (parte superior) e função (parte inferior).

Em matemática, a integral exponencial Ei é uma função especial no plano complexo . É definido como uma integral definida particular da razão entre uma função exponencial e seu argumento .

Definições

Para valores reais diferentes de zero de  x , a integral exponencial Ei ( x ) é definida como

O algoritmo de Risch mostra que Ei não é uma função elementar . A definição acima pode ser usada para valores positivos de  x , mas a integral deve ser entendida em termos do valor principal de Cauchy devido à singularidade do integrando em zero.

Para valores complexos do argumento, a definição se torna ambígua devido aos pontos de ramificação em 0 e . Em vez de Ei, a seguinte notação é usada,

Para valores positivos de  x , temos .

Em geral, um corte de ramo é feito no eixo real negativo e E 1 pode ser definido por continuação analítica em outro lugar no plano complexo.

Para valores positivos da parte real de , isso pode ser escrito

O comportamento de E 1 próximo ao corte do ramo pode ser visto pela seguinte relação:

Propriedades

Várias propriedades da integral exponencial abaixo, em certos casos, permitem evitar sua avaliação explícita através da definição acima.

Séries convergentes

Para argumentos reais ou complexos fora do eixo real negativo, pode ser expresso como

onde está a constante de Euler-Mascheroni . A soma converge para todos os complexos , e tomamos o valor usual do logaritmo complexo com um corte de ramo ao longo do eixo real negativo.

Esta fórmula pode ser usada para calcular operações de ponto flutuante para reais entre 0 e 2,5. Pois , o resultado é impreciso devido ao cancelamento .

Uma série convergente mais rápida foi encontrada por Ramanujan :

Essas séries alternadas também podem ser usadas para fornecer bons limites assintóticos para x pequeno, por exemplo:

para .

Série assintótica (divergente)

Erro relativo da aproximação assintótica para diferentes números de termos na soma truncada

Infelizmente, a convergência das séries acima é lenta para argumentos de módulo maior. Por exemplo, para x  = 10, mais de 40 termos são necessários para obter uma resposta correta para três algarismos significativos para . No entanto, há uma aproximação de série divergente que pode ser obtida integrando por partes:

que tem erro de ordem e é válido para grandes valores de . O erro relativo da aproximação acima é plotado na figura à direita para vários valores de , o número de termos na soma truncada ( em vermelho, em rosa).

Comportamento exponencial e logarítmico: bracketing

Agrupamento de por funções elementares

Das duas séries sugeridas nas subseções anteriores, segue- se que se comporta como um exponencial negativo para grandes valores do argumento e como um logaritmo para pequenos valores. Para valores reais positivos do argumento, pode ser colocado entre colchetes por funções elementares da seguinte maneira:

O lado esquerdo desta desigualdade é mostrado no gráfico à esquerda em azul; a parte central é mostrada em preto e o lado direito é mostrado em vermelho.

Definição por Ein

Ambos e podem ser escritos de forma mais simples, usando toda a função definida como

(observe que esta é apenas a série alternada na definição acima de ). Então nós temos

Relação com outras funções

Equação de Kummer

é geralmente resolvido pelas funções hipergeométricas confluentes e mas quando e isto é,

temos

para todos z . Uma segunda solução é então dada por E 1 (- z ). Na verdade,

com a derivada avaliada em Outra conexão com as funções hipergeométricas confluentes é que E 1 é um exponencial vezes a função U (1,1, z ):

A integral exponencial está intimamente relacionada à função integral logarítmica li ( x ) pela fórmula

para valores reais diferentes de zero de .

Generalização

A integral exponencial também pode ser generalizada para

que pode ser escrito como um caso especial da função gama incompleta :

A forma generalizada é às vezes chamada de função Misra , definida como

Muitas propriedades dessa forma generalizada podem ser encontradas na Biblioteca Digital de Funções Matemáticas do NIST.

Incluir um logaritmo define a função integro-exponencial generalizada

A integral indefinida:

é semelhante em forma à função de geração comum para , o número de divisores de :

Derivados

As derivadas das funções generalizadas podem ser calculadas por meio da fórmula

Observe que a função é fácil de avaliar (tornando útil essa recursão), já que é justa .

Integral exponencial do argumento imaginário

contra ; parte real preta, parte imaginária vermelha.

Se for imaginário, tem uma parte real não negativa, então podemos usar a fórmula

para obter uma relação com os integrais trigonométricos e :

As partes reais e imaginárias de são plotadas na figura à direita com curvas pretas e vermelhas.

Aproximações

Existem várias aproximações para a função integral exponencial. Esses incluem:

  • A aproximação de Swamee e Ohija
    Onde
  • A aproximação de Allen e Hastings
    Onde
  • A expansão contínua da fração
  • A aproximação de Barry et al.
    Onde:
    por ser a constante de Euler-Mascheroni .

Formulários

Veja também

Notas

Referências

links externos