Ponto extremo - Extreme point

Um convexo incrustado em azul claro e seus pontos extremos em vermelho.

Em matemática , um ponto extremo de um conjunto convexa S num verdadeiro espaço vectorial é um ponto em S , que não se encontra em qualquer aberto segmento de linha de junção de dois pontos de S . Na programação linear problemas, um ponto extremo é também chamado de vértice ou ponto de canto de S .

Definição

Em todo o processo, assume-se que S é um espaço vetorial real ou complexo .

Para qualquer x , x 1 , x 2S , diga que x está entre x 1 e x 2 se x 1x 2 e existe um 0 < t <1 tal que x = tx 1 + (1 - t ) x 2 .

Se K é um subconjunto de S e xK , então x é chamado um ponto extremo de K , se não se encontra entre quaisquer dois distintos pontos de K . Isto é, se não o faz não existe x 1 , x 2K e 0 < t <1 tal que x 1x 2 e x = tx 1 + (1 - t ) x 2 . O conjunto de todos os pontos extremos de K é denotado por extremo ( K ) .

Caracterizações

O ponto médio de dois elementos de x e y em um espaço vector é o vector 1/2( x + y ) .

Para quaisquer elementos x e y em um espaço vetorial, o conjunto [ x , y ]: = { tx + (1 - t ) y  : 0 ≤ t ≤ 1 } é chamado de segmento de linha fechada ou intervalo fechado entre x e y . O segmento de linha aberta ou intervalo aberto entre X e Y é ( x , x ): = ∅ quando x = y ao mesmo tempo que é ( x , y ): = { tx + (1 - t ) y  : 0 < t <1 } quando xy . Os pontos x e y são chamados os pontos finais destes intervalo. Um intervalo é considerado não degenerado ou adequado se seus pontos finais forem distintos. O ponto médio de um intervalo é o ponto médio de seus pontos finais.

Note-se que [ x , y ] é igual ao casco convexo de { x , y } por isso, se K é convexa e x , yK , em seguida, [ x , y ] ⊆ K .

Se K é um subconjunto não vazio de X e M é um subconjunto não vazio de K , então M é chamado uma cara de K se sempre que um ponto pF situa-se entre dois pontos de K , em seguida, esses dois pontos pertencem necessariamente F .

Teorema  -  Let K ser um subconjunto convexa não-vazia de um vector de espaço X e deixar pK . Então, o seguinte é equivalente:

  1. p é um ponto extremo de K ;
  2. K ∖ { p } é convexo;
  3. p não é o ponto médio de um segmento de linha não degenerado contido em K ;
  4. para qualquer x , yK , se p ∈ [ x , y ] então x = p ou y = p ;
  5. se xX é tal que p + x e p - x pertencem a K , então x = 0 ;
  6. { P } é um rosto de K .

Exemplos

  • Se um < b são dois números reais, em seguida, um e b são pontos extremos do intervalo [ a , b ] . No entanto, o intervalo aberto ( a , b ) não tem pontos extremos.
  • Um mapa linear injetivo F  : XY envia os pontos extremos de um conjunto convexo CX para os pontos extremos do conjunto convexo F ( C ) . Isso também é verdadeiro para mapas afins injetivos.
  • O perímetro de qualquer polígono convexo no plano é uma face desse polígono.
  • Os vértices de qualquer polígono convexo no plano 2 são os pontos extremos desse polígono.
  • Os pontos extremos do disco unitário fechado em 2 é o círculo unitário .
  • Qualquer intervalo aberto em não tem pontos extremos, enquanto qualquer intervalo fechado não degenerado diferente de tem pontos extremos (isto é, o (s) ponto (s) final (is) do intervalo fechado). Mais geralmente, qualquer subconjunto aberto de espaço euclidiano de dimensão finita n não tem pontos extremos.

Propriedades

Os pontos extremos de um convexa compactos formar um espaço de Baire (com a topologia subespaço) mas este conjunto pode falhar para ser fechado em X .

Teoremas

Teorema de Kerin-Milman

O teorema de Kerin-Milman é indiscutivelmente um dos teoremas mais conhecidos sobre pontos extremos.

Teorema de Kerin-Milman  -  Se S é convexo e compacto em um espaço localmente convexo , então S é o casco convexo fechadode seus pontos extremos: Em particular, tal conjunto possui pontos extremos.

Para espaços de Banach

Esses teoremas são para espaços de Banach com a propriedade Radon-Nikodym .

Um teorema de Joram Lindenstrauss afirma que, em um espaço de Banach com a propriedade Radon-Nikodym, um conjunto não vazio fechado e limitado tem um ponto extremo. (Em espaços de dimensão infinita, a propriedade de compactação é mais forte do que as propriedades conjuntas de ser fechado e ser limitado).

Teorema  ( Gerald Edgar )  -  Let E ser um espaço de Banach com a propriedade radão-Nikodym, deixe C ser uma separáveis, fechada, delimitada, convexa subconjunto de E , e deixar um ser um ponto em C . Então, há uma medida de probabilidade p nos conjuntos universalmente mensuráveis ​​em C, de modo que a é o baricentro de p , e o conjunto de pontos extremos de C tem p- medida 1.

O teorema de Edgar implica o teorema de Lindenstrauss.

k - pontos extremos

Mais geralmente, um ponto de um conjunto convexa S é k -extreme se encontra no interior de um k -dimensional convexa definida dentro de S , mas não um k + 1 conjunto convexo -dimensional dentro S . Portanto, um ponto extremo também é um ponto 0-extremo. Se S é um politopo, então o k pontos -extreme são exatamente os pontos interiores das k rostos -dimensional de S . Mais geralmente, para qualquer conjunto convexo S , os k- pontos extremos são particionados em faces abertas k -dimensionais.

O teorema de dimensão finita de Kerin-Milman, que é devido a Minkowski, pode ser rapidamente provado usando o conceito de k- pontos extremos. Se S é fechado, limitado e n- dimensional, e se p é um ponto em S , então p é k- extremo para algum k < n . O teorema afirma que p é uma combinação convexa de pontos extremos. Se k = 0, então é trivialmente verdadeiro. Caso contrário, p está em um segmento de linha em S que pode ser estendido ao máximo (porque S é fechado e limitado). Se os pontos finais do segmento são q e r , então sua classificação extrema deve ser menor que a de p , e o teorema segue por indução.

Veja também

Citações

Bibliografia