Fatoração - Factorization

Em matemática , fatoração (ou fatoração , veja as diferenças de grafia em inglês ) ou fatoração consiste em escrever um número ou outro objeto matemático como um produto de vários fatores , geralmente objetos menores ou mais simples do mesmo tipo. Por exemplo, 3 × 5 é uma fatoração do inteiro 15 e ( x - 2) ( x + 2) é uma fatoração do polinômio x ² - 4 .

A fatoração geralmente não é considerada significativa dentro de sistemas numéricos que possuem divisão , como os números reais ou complexos , uma vez que qualquer um pode ser escrito trivialmente como sempre que não for zero. No entanto, uma fatoração significativa para um número racional ou uma função racional pode ser obtida escrevendo-a nos termos mais baixos e fatorando separadamente seu numerador e denominador. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (xy) \ times (1 / y)}$${\ displaystyle y}$

A fatoração foi considerada pela primeira vez por matemáticos gregos antigos no caso de inteiros. Eles provaram o teorema fundamental da aritmética , que afirma que todo número inteiro positivo pode ser fatorado em um produto de números primos , que não pode ser fatorado em números inteiros maiores que 1. Além disso, essa fatoração é única até a ordem dos fatores. Embora a fatoração de inteiros seja uma espécie de inverso da multiplicação, é muito mais difícil algoritmicamente , um fato que é explorado no criptosistema RSA para implementar criptografia de chave pública .

A fatoração polinomial também tem sido estudada há séculos. Na álgebra elementar, a fatoração de um polinômio reduz o problema de encontrar suas raízes para encontrar as raízes dos fatores. Polinômios com coeficientes nos inteiros ou em um campo possuem a propriedade de fatoração única , uma versão do teorema fundamental da aritmética com números primos substituídos por polinômios irredutíveis . Em particular, um polinômio univariado com coeficientes complexos admite uma única (até ordenação) fatoração em polinômios lineares : esta é uma versão do teorema fundamental da álgebra . Nesse caso, a fatoração pode ser feita com algoritmos de localização de raízes . O caso de polinômios com coeficientes inteiros é fundamental para álgebra computacional . Existem algoritmos de computador eficientes para computar fatorações (completas) dentro do anel de polinômios com coeficientes de número racionais (ver fatoração de polinômios ).

Um anel comutativo que possui a propriedade de fatoração única é chamado de domínio de fatoração único . Existem sistemas numéricos , como certos anéis de inteiros algébricos , que não são domínios únicos de fatoração. No entanto, anéis de inteiros algébricos satisfazem a propriedade mais fraca dos domínios de Dedekind : os ideais são fatorados exclusivamente em ideais primos .

A fatoração também pode se referir a decomposições mais gerais de um objeto matemático no produto de objetos menores ou mais simples. Por exemplo, cada função pode ser fatorada na composição de uma função sobrejetiva com uma função injetiva . As matrizes possuem muitos tipos de fatorações de matrizes . Por exemplo, cada matriz tem uma fatoração LUP única como um produto de uma matriz triangular inferior L com todas as entradas diagonais iguais a um, uma matriz triangular superior U e uma matriz de permutação P ; esta é uma formulação de matriz de eliminação gaussiana .

Inteiros

Pelo teorema fundamental da aritmética , todo inteiro maior que 1 tem uma fatoração única (até a ordem dos fatores) em números primos , que são aqueles inteiros que não podem ser posteriormente fatorados no produto de inteiros maiores que um.

Para calcular a fatoração de um inteiro n , é necessário um algoritmo para encontrar um divisor q de n ou decidir que n é primo. Quando tal divisor é encontrado, a aplicação repetida desse algoritmo aos fatores q e n / q dá eventualmente a fatoração completa de n .

Para encontrar um divisor q de n , se houver, é suficiente para testar todos os valores de q tal que 1 <q e q ² ≤ n . Na verdade, se r é um divisor de n tal que r ² > n , então q = n / r é um divisor de n tal que q ² ≤ n .

Se alguém testar os valores de q em ordem crescente, o primeiro divisor encontrado é necessariamente um número primo e o cofator r = n / q não pode ter nenhum divisor menor que q . Para obter a fatoração completa, é suficiente continuar o algoritmo procurando um divisor de r que não seja menor que qe não seja maior que √ r .

Não há necessidade de testar todos os valores de q para aplicar o método. Em princípio, basta testar apenas os divisores primos. Isso precisa ter uma tabela de números primos que podem ser gerados, por exemplo, com a peneira de Eratóstenes . Como o método de fatoração faz essencialmente o mesmo trabalho que a peneira de Eratóstenes, geralmente é mais eficiente testar para um divisor apenas os números para os quais não é imediatamente claro se são primos ou não. Normalmente, pode-se prosseguir testando 2, 3, 5 e os números> 5, cujo último dígito é 1, 3, 7, 9 e a soma dos dígitos não é um múltiplo de 3.

Este método funciona bem para fatorar números inteiros pequenos, mas é ineficiente para números inteiros maiores. Por exemplo, Pierre de Fermat não conseguiu descobrir que o 6º número de Fermat

${\ displaystyle 1 + 2 ^ {2 ^ {5}} = 1 + 2 ^ {32} = 4 \, 294 \, 967 \, 297}$

não é um número primo. Na verdade, a aplicação do método acima exigiria mais do que10 000  divisões , para um número que tem 10  dígitos decimais .

Existem algoritmos de fatoração mais eficientes. No entanto, eles permanecem relativamente ineficientes, pois, com o atual estado da arte, não se pode fatorar, mesmo com os computadores mais potentes, um número de 500 dígitos decimais que é o produto de dois números primos escolhidos aleatoriamente. Isso garante a segurança do criptossistema RSA , amplamente usado para comunicação segura pela Internet .

Exemplo

Para fatorar n = 1386 em primos:

• Comece com a divisão por 2: o número é par en = 2 · 693 . Continue com 693 e 2 como candidato a primeiro divisor.
• 693 é ímpar (2 não é um divisor), mas é um múltiplo de 3: um tem 693 = 3 · 231 e n = 2 · 3 · 231 . Continue com 231 e 3 como candidato a primeiro divisor.
• 231 também é um múltiplo de 3: um tem 231 = 3 · 77 e, portanto, n = 2 · 3 ² · 77 . Continue com 77 e 3 como candidato a primeiro divisor.
• 77 não é um múltiplo de 3, pois a soma de seus dígitos é 14, não é um múltiplo de 3. Também não é um múltiplo de 5 porque seu último dígito é 7. O próximo divisor ímpar a ser testado é 7. Um tem 77 = 7 · 11 e, portanto, n = 2 · 3 ² · 7 · 11 . Isso mostra que 7 é primo (fácil de testar diretamente). Continue com 11 e 7 como candidato a primeiro divisor.
• Como 7 ² > 11 , um terminou. Assim, 11 é primo, e a fatoração primária é

1386 = 2 · 3 ² · 7 · 11 .

Expressões

Manipular expressões é a base da álgebra . A fatoração é um dos métodos mais importantes para a manipulação da expressão por vários motivos. Se alguém puder colocar uma equação em uma forma fatorada E ⋅ F = 0 , então o problema de resolver a equação se divide em dois problemas independentes (e geralmente mais fáceis) E = 0 e F = 0 . Quando uma expressão pode ser fatorada, os fatores costumam ser muito mais simples e, portanto, podem oferecer alguns insights sobre o problema. Por exemplo,

${\ displaystyle x ^ {3} -ax ^ {2} -bx ^ {2} -cx ^ {2} + abx + acx + bcx-abc}$

tendo 16 multiplicações, 4 subtrações e 3 adições, pode ser fatorado na expressão muito mais simples

${\ displaystyle (xa) (xb) (xc),}$

com apenas duas multiplicações e três subtrações. Além disso, a forma fatorada fornece imediatamente as raízes x = a , b , c como as raízes do polinômio.

Por outro lado, a fatoração nem sempre é possível e, quando é possível, os fatores nem sempre são mais simples. Por exemplo, pode ser fatorado em dois fatores irredutíveis e . ${\ displaystyle x ^ {10} -1}$ ${\ displaystyle x-1}$${\ displaystyle x ^ {9} + x ^ {8} + \ cdots + x ^ {2} + x + 1}$

Vários métodos foram desenvolvidos para encontrar fatorações; alguns são descritos abaixo .

Resolver equações algébricas pode ser visto como um problema de fatoração polinomial. Na verdade, o teorema fundamental da álgebra pode ser demonstrada como segue: cada polinómio em x de grau n com complexos coeficientes podem ser fatorado em n factores lineares para i = 1, ..., n , em que o um _i s são as raízes do polinômio. Embora a estrutura de Fatorização é conhecido nestes casos, a uma _i s geralmente não pode ser calculado em termos de radicais ( n ^th raízes), pelo teorema de Abel-Ruffini . Na maioria dos casos, o melhor que pode ser feito é calcular os valores aproximados das raízes com um algoritmo de localização de raízes . ${\ displaystyle x-a_ {i},}$

História da fatoração de expressões

O uso sistemático de manipulações algébricas para simplificar expressões (mais especificamente equações )) pode ser datado do século 9, com o livro de al-Khwarizmi , The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , que é intitulado com dois desses tipos de manipulação.

No entanto, mesmo para resolver equações quadráticas , o método de fatoração não era usado antes do trabalho de Harriot publicado em 1631, dez anos após sua morte. Em seu livro Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas , Harriot desenhou tabelas de adição, subtração, multiplicação e divisão de monômios , binômios e trinômios . Em seguida, em uma segunda seção, ele montou a equação aa - ba + ca = + bc , e mostrou que ela combina com a forma de multiplicação que ele havia fornecido anteriormente, dando a fatoração ( a - b ) ( a + c ) .

Métodos gerais

Os métodos a seguir se aplicam a qualquer expressão que seja uma soma ou que possa ser transformada em uma soma. Portanto, eles são mais frequentemente aplicados a polinômios , embora também possam ser aplicados quando os termos da soma não são monômios , ou seja, os termos da soma são um produto de variáveis ​​e constantes.

Fator comum

Pode ocorrer que todos os termos de uma soma sejam produtos e que alguns fatores sejam comuns a todos os termos. Nesse caso, a lei distributiva permite fatorar esse fator comum. Se houver vários desses fatores comuns, vale a pena dividir o maior desses fatores comuns. Além disso, se houver coeficientes inteiros, pode-se fatorar o maior divisor comum desses coeficientes.

Por exemplo,

${\ displaystyle 6x ^ {3} y ^ {2} + 8x ^ {4} y ^ {3} -10x ^ {5} y ^ {3} = 2x ^ {3} y ^ {2} (3 + 4xy -5x ^ {2} y),}$

já que 2 é o máximo divisor comum de 6, 8 e 10, e divide todos os termos. ${\ displaystyle x ^ {3} y ^ {2}}$

Agrupamento

Os termos de agrupamento podem permitir o uso de outros métodos para obter uma fatoração.

Por exemplo, para fatorar

${\ displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15y,}$

pode-se observar que os primeiros dois termos têm um fator comum x , e os dois últimos termos têm o fator comum y . Assim

${\ displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15y = (4x ^ {2} + 20x) + (3xy + 15y) = 4x (x + 5) + 3y (x + 5).}$

Em seguida, uma inspeção simples mostra o fator comum x + 5 , levando à fatoração

${\ displaystyle 4x ^ {2} + 20x + 3xy + 15y = (4x + 3y) (x + 5).}$

Em geral, isso funciona para somas de 4 termos que foram obtidos como o produto de dois binômios . Embora não seja frequente, isso pode funcionar também para exemplos mais complicados.

Adicionando e subtraindo termos

Às vezes, algum agrupamento de termos permite que apareça parte de um padrão reconhecível . Em seguida, é útil adicionar termos para completar o padrão e subtraí-los para não alterar o valor da expressão.

Um uso típico disso é completar o método do quadrado para obter a fórmula quadrática .

Outro exemplo é a fatoração de Se introduzirmos a raiz quadrada não real de –1 , comumente denotada por i , então temos uma diferença de quadrados${\ displaystyle x ^ {4} +1.}$

${\ displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {2} + i) (x ^ {2} -i).}$

No entanto, pode-se também desejar uma fatoração com coeficientes de número real . Ao adicionar, subtrair e agrupar três termos, pode-se reconhecer o quadrado de um binômio : ${\ displaystyle 2x ^ {2},}$

${\ displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {4} + 2x ^ {2} +1) -2x ^ {2} = (x ^ {2} +1) ^ {2} - \ left ( x {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2} = \ left (x ^ {2} + x {\ sqrt {2}} + 1 \ right) \ left (x ^ {2} -x {\ sqrt {2}} + 1 \ right).}$

Subtraindo e adicionando também resulta a fatoração: ${\ displaystyle 2x ^ {2}}$

${\ displaystyle x ^ {4} + 1 = (x ^ {4} -2x ^ {2} +1) + 2x ^ {2} = (x ^ {2} -1) ^ {2} + \ left ( x {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2} = \ left (x ^ {2} + x {\ sqrt {-2}} - 1 \ right) \ left (x ^ {2} -x { \ sqrt {-2}} - 1 \ right).}$

Essas fatorações funcionam não apenas sobre os números complexos, mas também sobre qualquer campo , onde –1, 2 ou –2 é um quadrado. Em um corpo finito , o produto de dois não quadrados é um quadrado; isso implica que o polinômio que é irredutível sobre os inteiros, é módulo redutível a cada número primo . Por exemplo, ${\ displaystyle x ^ {4} +1,}$

${\ displaystyle x ^ {4} +1 \ equiv (x + 1) ^ {4} {\ pmod {2}};}$

${\ displaystyle x ^ {4} +1 \ equiv (x ^ {2} + x-1) (x ^ {2} -x-1) {\ pmod {3}}, \ qquad}$Desde a ${\ displaystyle 1 ^ {2} \ equiv -2 {\ pmod {3}};}$

${\ displaystyle x ^ {4} +1 \ equiv (x ^ {2} +2) (x ^ {2} -2) {\ pmod {5}}, \ qquad}$Desde a ${\ displaystyle 2 ^ {2} \ equiv -1 {\ pmod {5}};}$

${\ displaystyle x ^ {4} +1 \ equiv (x ^ {2} + 3x + 1) (x ^ {2} -3x + 1) {\ pmod {7}}, \ qquad}$Desde a ${\ displaystyle 3 ^ {2} \ equiv 2 {\ pmod {7}}.}$

Padrões reconhecíveis

Muitas identidades fornecem uma igualdade entre uma soma e um produto. Os métodos acima podem ser usados ​​para deixar o lado da soma de alguma identidade aparecer em uma expressão, que pode, portanto, ser substituída por um produto.

Abaixo estão as identidades cujos lados esquerdos são comumente usados ​​como padrões (isso significa que as variáveis E e F que aparecem nessas identidades podem representar qualquer subexpressão da expressão que deve ser fatorada.

• Diferença de dois quadrados

${\ displaystyle E ^ {2} -F ^ {2} = (E + F) (EF)}$

Por exemplo,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} a ^ {2} + & 2ab + b ^ {2} -x ^ {2} + 2xy-y ^ {2} \\ & = (a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}) - (x ^ {2} -2xy + y ^ {2}) \\ & = (a + b) ^ {2} - (xy) ^ {2} \\ & = (a + b) + xy) (a + b-x + y). \ end {alinhado}}}$

• Soma / diferença de dois cubos

${\ displaystyle E ^ {3} + F ^ {3} = (E + F) (E ^ {2} -EF + F ^ {2})}$

${\ displaystyle E ^ {3} -F ^ {3} = (EF) (E ^ {2} + EF + F ^ {2})}$

• Diferença de duas quartas potências

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} E ^ {4} -F ^ {4} & = (E ^ {2} + F ^ {2}) (E ^ {2} -F ^ {2}) \\ & = (E ^ {2} + F ^ {2}) (E + F) (EF) \ end {alinhado}}}$

• Soma / diferença de dois n th poderes

Nas identidades a seguir, os fatores podem muitas vezes ser fatorados:

• Diferença, mesmo expoente

${\ displaystyle E ^ {2n} -F ^ {2n} = (E ^ {n} + F ^ {n}) (E ^ {n} -F ^ {n})}$

• Diferença, expoente par ou ímpar

${\ displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = (EF) (E ^ {n-1} + E ^ {n-2} F + E ^ {n-3} F ^ {2} + \ cdots + EF ^ {n-2} + F ^ {n-1})}$

Este é um exemplo que mostra que os fatores podem ser muito maiores do que a soma que é fatorada.

• Soma, expoente ímpar

${\ displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = (E + F) (E ^ {n-1} -E ^ {n-2} F + E ^ {n-3} F ^ {2} - \ cdots -EF ^ {n-2} + F ^ {n-1})}$

(obtido alterando F por - F na fórmula anterior)

• Soma, expoente par

Se o expoente for uma potência de dois, então a expressão não pode, em geral, ser fatorada sem a introdução de números complexos (se E e F contiverem números complexos, pode não ser o caso). Se n tiver um divisor ímpar, isto é, se n = pq com p ímpar, pode-se usar a fórmula anterior (em "Soma, expoente ímpar") aplicada a${\ displaystyle (E ^ {q}) ^ {p} + (F ^ {q}) ^ {p}.}$

• Trinômios e fórmulas cúbicas

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} +2 (xy + yz + xz) = (x + y + z) ^ {2} \\ & x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} -3xyz = (x + y + z) (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -xy-xz-yz ) \\ & x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + 3x ^ {2} (y + z) + 3y ^ {2} (x + z) + 3z ^ {2} (x + y) + 6xyz = (x + y + z) ^ {3} \\ & x ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4} = (x ^ {2} + xy + y ^ {2}) (x ^ {2} -xy + y ^ {2}). \ end {alinhado}}}$

• Expansões binomiais

O teorema binomial fornece padrões que podem ser facilmente reconhecidos a partir dos inteiros que aparecem neles

Em baixo grau:

${\ displaystyle a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} = (a + b) ^ {2}}$

${\ displaystyle a ^ {2} -2ab + b ^ {2} = (ab) ^ {2}}$

${\ displaystyle a ^ {3} + 3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} + b ^ {3} = (a + b) ^ {3}}$

${\ displaystyle a ^ {3} -3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} -b ^ {3} = (ab) ^ {3}}$

De modo mais geral, os coeficientes das formas expandidas de e são os coeficientes binomial , que aparecem no n º fileira de triângulo de Pascal .${\ displaystyle (a + b) ^ {n}}$${\ displaystyle (ab) ^ {n}}$

Raízes de unidade

O n th raízes da unidade são os números complexos cada um dos quais é uma raiz do polinomial Eles são, portanto, os números ${\ displaystyle x ^ {n} -1.}$

${\ displaystyle e ^ {2ik \ pi / n} = \ cos {\ tfrac {2 \ pi k} {n}} + i \ sin {\ tfrac {2 \ pi k} {n}}}$

para ${\ displaystyle k = 0, \ ldots, n-1.}$

Segue-se que para quaisquer duas expressões E e F , uma tem:

${\ displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = (EF) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ left (E-Fe ^ {2ik \ pi / n} \ right)}$

${\ displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ left (E-Fe ^ {(2k + 1) i \ pi / n} \ right ) \ qquad {\ text {if}} n {\ text {is even}}}$

${\ displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = (E + F) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ left (E + Fe ^ {2ik \ pi / n} \ right ) \ qquad {\ text {if}} n {\ text {is odd}}}$

Se E e F são expressões reais, e se deseja fatores reais, deve-se substituir cada par de fatores conjugados complexos por seu produto. Como o conjugado complexo de é e ${\ displaystyle e ^ {i \ alpha}}$${\ displaystyle e ^ {- i \ alpha},}$

${\ displaystyle \ left (a-be ^ {i \ alpha} \ right) \ left (a-be ^ {- i \ alpha} \ right) = a ^ {2} -ab \ left (e ^ {i \ alfa} + e ^ {- i \ alpha} \ right) + b ^ {2} e ^ {i \ alpha} e ^ {- i \ alpha} = a ^ {2} -2ab \ cos \, \ alpha + b ^ {2},}$

um tem as seguintes fatorações reais (um passa de um para o outro mudando k em n - k ou n + 1 - k , e aplicando as fórmulas trigonométricas usuais :

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} E ^ {2n} -F ^ {2n} & = (EF) (E + F) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ left (E ^ { 2} -2EF \ cos \, {\ tfrac {k \ pi} {n}} + F ^ {2} \ direita) \\ & = (EF) (E + F) \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ left (E ^ {2} + 2EF \ cos \, {\ tfrac {k \ pi} {n}} + F ^ {2} \ right) \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} E ^ {2n} + F ^ {2n} & = \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left (E ^ {2} + 2EF \ cos \, {\ tfrac {(2k-1) \ pi} {2n}} + F ^ {2} \ right) \\ & = \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left (E ^ {2} -2EF \ cos \, {\ tfrac {(2k-1) \ pi} {2n}} + F ^ {2} \ direita) \ end {alinhado}}}$

Os cossenos que aparecem nessas fatorações são números algébricos e podem ser expressos em termos de radicais (isso é possível porque seu grupo de Galois é cíclico); no entanto, essas expressões radicais são muito complicadas para serem usadas, exceto para valores baixos de n . Por exemplo,

${\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = (a ^ {2} - {\ sqrt {2}} ab + b ^ {2}) (a ^ {2} + {\ sqrt {2} } ab + b ^ {2}).}$

${\ displaystyle a ^ {5} -b ^ {5} = (ab) \ left (a ^ {2} + {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ { 2} \ right) \ left (a ^ {2} + {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ {2} \ right),}$

${\ displaystyle a ^ {5} + b ^ {5} = (a + b) \ left (a ^ {2} - {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ {2} \ right) \ left (a ^ {2} - {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} ab + b ^ {2} \ right),}$

Freqüentemente, deseja-se uma fatoração com coeficientes racionais. Tal fatoração envolve polinômios ciclotômicos . Para expressar fatorações racionais de somas e diferenças ou poderes, precisamos de uma notação para a homogeneização de um polinômio : se sua homogeneização é o polinômio bivariado , então, tem-se ${\ displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {i} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n},}$ ${\ displaystyle {\ overline {P}} (x, y) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {i} x ^ {n-1} y + \ cdots + a_ {n} y ^ {n} .}$

${\ displaystyle E ^ {n} -F ^ {n} = \ prod _ {k \ mid n} {\ overline {Q}} _ {n} (E, F),}$

${\ displaystyle E ^ {n} + F ^ {n} = \ prod _ {k \ mid 2n, k \ not \ mid n} {\ overline {Q}} _ {n} (E, F),}$

onde os produtos são tomados todos os divisores de n , ou todos os divisores de 2 n que não se dividem n , e é o n º CYCLOTOMIC polinomial. ${\ displaystyle Q_ {n} (x)}$

Por exemplo,

${\ displaystyle a ^ {6} -b ^ {6} = {\ overline {Q}} _ {1} (a, b) {\ overline {Q}} _ {2} (a, b) {\ overline {Q}} _ {3} (a, b) {\ overline {Q}} _ {6} (a, b) = (ab) (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ { 2}) (a ^ {2} + ab + b ^ {2}),}$

${\ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} = {\ overline {Q}} _ {4} (a, b) {\ overline {Q}} _ {12} (a, b) = (a ^ {2} + b ^ {2}) (a ^ {4} -a ^ {2} b ^ {2} + b ^ {4}),}$

já que os divisores de 6 são 1, 2, 3, 6, e os divisores de 12 que não dividem 6 são 4 e 12.

Polinômios

Para polinômios, a fatoração está fortemente relacionada com o problema de resolução de equações algébricas . Uma equação algébrica tem a forma

${\ displaystyle P (x) \ \, {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \, a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n} = 0,}$

onde P ( x ) é um polinômio em x com uma solução desta equação (também chamada de raiz do polinômio) é um valor r de x tal que ${\ displaystyle a_ {0} \ neq 0.}$

${\ displaystyle P (r) = 0.}$

Se for uma fatoração de P ( x ) = 0 como um produto de dois polinômios, então as raízes de P ( x ) são a união das raízes de Q ( x ) e as raízes de R ( x ) . Assim, resolver P ( x ) = 0 é reduzido aos problemas mais simples de resolver Q ( x ) = 0 e R ( x ) = 0 . ${\ displaystyle P (x) = Q (x) R (x)}$

Por outro lado, o teorema do fator afirma que, se r é uma raiz de P ( x ) = 0 , então P ( x ) pode ser fatorado como

${\ displaystyle P (x) = (xr) Q (x),}$

onde Q ( x ) é o quociente da divisão euclidiana de P ( x ) = 0 pelo fator linear (grau um) x - r .

Se os coeficientes de P ( x ) são números reais ou complexos , o teorema fundamental da álgebra afirma que P ( x ) tem uma raiz real ou complexa. Usando o teorema do fator recursivamente, resulta que

${\ displaystyle P (x) = a_ {0} (x-r_ {1}) \ cdots (x-r_ {n}),}$

onde estão as raízes reais ou complexas de P , com algumas delas possivelmente repetidas. Essa fatoração completa é única de acordo com a ordem dos fatores. ${\ displaystyle r_ {1}, \ ldots, r_ {n}}$

Se os coeficientes de P ( x ) forem reais, geralmente se deseja uma fatoração onde os fatores têm coeficientes reais. Nesse caso, a fatoração completa pode ter alguns fatores quadráticos (grau dois). Esta fatoração pode ser facilmente deduzida da fatoração completa acima. Na verdade, se r = a + ib é uma raiz não real de P ( x ) , então seu conjugado complexo s = a - ib também é uma raiz de P ( x ) . Então, o produto

${\ displaystyle (xr) (xs) = x ^ {2} - (r + s) x + rs = x ^ {2} + 2ax + a ^ {2} + b ^ {2}}$

é um fator de P ( x ) com coeficientes reais. Repetir isso para todos os fatores não reais fornece uma fatoração com fatores reais lineares ou quadráticos.

Para calcular essas fatorações reais ou complexas, são necessárias as raízes do polinômio, que podem não ser calculadas exatamente, e apenas aproximadas usando algoritmos de localização de raízes .

Na prática, a maioria das equações algébricas de interesse têm coeficientes inteiros ou racionais , e pode-se desejar uma fatoração com fatores do mesmo tipo. O teorema fundamental da aritmética pode ser generalizado para este caso, afirmando que polinômios com coeficientes inteiros ou racionais têm a propriedade única de fatoração . Mais precisamente, todo polinômio com coeficientes racionais pode ser fatorado em um produto

${\ displaystyle P (x) = q \, P_ {1} (x) \ cdots P_ {k} (x),}$

onde q é um número racional e são polinômios não constantes com coeficientes inteiros que são irredutíveis e primitivos ; isso significa que nenhum dos pode ser escrito como o produto de dois polinômios (com coeficientes inteiros) que não são nem 1 nem -1 (inteiros são considerados polinômios de grau zero). Além disso, essa fatoração é única até a ordem dos fatores e os sinais dos fatores. ${\ displaystyle P_ {1} (x), \ ldots, P_ {k} (x)}$${\ displaystyle P_ {i} (x)}$

Existem algoritmos eficientes para calcular essa fatoração, que são implementados na maioria dos sistemas de álgebra computacional. Consulte Fatoração de polinômios . Infelizmente, esses algoritmos são muito complicados de usar para cálculos de papel e lápis. Além das heurísticas acima, apenas alguns métodos são adequados para cálculos manuais, que geralmente funcionam apenas para polinômios de baixo grau, com poucos coeficientes diferentes de zero. Os principais métodos são descritos nas próximas subseções.

Parte primitiva e fatoração de conteúdo

Todo polinômio com coeficientes racionais , pode ser fatorado, de forma única, como o produto de um número racional e um polinômio com coeficientes inteiros, que é primitivo (ou seja, o maior divisor comum dos coeficientes é 1), e possui um coeficiente líder positivo (coeficiente do termo do grau mais alto). Por exemplo:

${\ displaystyle -10x ^ {2} + 5x + 5 = (- 5) \ cdot (2x ^ {2} -x-1)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} x ^ {5} + {\ frac {7} {2}} x ^ {2} + 2x + 1 = {\ frac {1} {6}} ( 2x ^ {5} + 21x ^ {2} + 12x + 6)}$

Nessa fatoração, o número racional é chamado de conteúdo , e o polinômio primitivo é a parte primitiva . O cálculo desta fatoração pode ser feito da seguinte forma: em primeiro lugar, reduza todos os coeficientes a um denominador comum, para obter o quociente por um inteiro q de um polinômio com coeficientes inteiros. Em seguida, divide-se o maior divisor comum p dos coeficientes desse polinômio para obter a parte primitiva, sendo o conteúdo Finalmente, se necessário, muda-se os sinais de pe todos os coeficientes da parte primitiva. ${\ displaystyle p / q.}$

Essa fatoração pode produzir um resultado maior do que o polinômio original (normalmente quando há muitos denominadores de coprime ), mas, mesmo quando esse for o caso, a parte primitiva é geralmente mais fácil de manipular para posterior fatoração.

Usando o teorema do fator

O teorema do fator afirma que, se r é uma raiz de um polinômio

${\ displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1} x + a_ {n},}$

significando P ( r ) = 0 , então há uma fatoração

${\ displaystyle P (x) = (xr) Q (x),}$

Onde

${\ displaystyle Q (x) = b_ {0} x ^ {n-1} + \ cdots + b_ {n-2} x + b_ {n-1},}$

com . Em seguida, a divisão longa polinomial ou divisão sintética dá: ${\ displaystyle a_ {0} = b_ {0}}$

${\ displaystyle b_ {i} = a_ {0} r ^ {i} + \ cdots + a_ {i-1} r + a_ {i} \ {\ text {for}} \ i = 1, \ ldots, n {-} 1.}$

Isso pode ser útil quando se conhece ou pode adivinhar a raiz do polinômio.

Por exemplo, pode-se facilmente ver que a soma de seus coeficientes é 0, então r = 1 é uma raiz. Como r + 0 = 1 , e um tem ${\ displaystyle P (x) = x ^ {3} -3x + 2,}$${\ displaystyle r ^ {2} + 0r-3 = -2,}$

${\ displaystyle x ^ {3} -3x + 2 = (x-1) (x ^ {2} + x-2).}$

Raízes racionais

Para polinômios com coeficientes de número racionais, pode-se pesquisar raízes que são números racionais. A fatoração de conteúdo de parte primitiva (veja acima ) reduz o problema de busca de raízes racionais ao caso de polinômios com coeficientes inteiros sem divisor comum não trivial .

Se é uma raiz racional de tal polinômio ${\ displaystyle x = {\ tfrac {p} {q}}}$

${\ displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1} x + a_ {n},}$

o teorema do fator mostra que um tem uma fatoração

${\ displaystyle P (x) = (qx-p) Q (x),}$

onde ambos os fatores têm coeficientes inteiros (o fato de que Q tem coeficientes inteiros resulta da fórmula acima para o quociente de P ( x ) por ). ${\ displaystyle xp / q}$

Comparando-se os coeficientes de grau n e os coeficientes constantes nas mostras de igualdade acima que, se é uma raiz racional em forma reduzida , então q é um divisor de e p é um divisor de Portanto, existe um número finito de possibilidades para p e q , que pode ser examinado sistematicamente. ${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$${\ displaystyle a_ {0},}$${\ displaystyle a_ {n}.}$

Por exemplo, se o polinômio

${\ displaystyle P (x) = 2x ^ {3} -7x ^ {2} + 10x-6}$

tem uma raiz racional com q > 0 , então p deve dividir 6; que é e q tem de dividir 2, que é Além disso, se x <0 , todos os termos do polinomial são negativos, e, por conseguinte, uma raiz não pode ser negativa. Ou seja, é preciso ter ${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$${\ displaystyle p \ in \ {\ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ pm 6 \},}$${\ displaystyle q \ in \ {1,2 \}.}$

${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \ in \ {1,2,3,6, {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {3} {2}} \}.}$

Um cálculo direto mostra que apenas é uma raiz, portanto, não pode haver outra raiz racional. A aplicação do teorema do fator leva finalmente à fatoração ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {2}}}$${\ displaystyle 2x ^ {3} -7x ^ {2} + 10x-6 = (2x-3) (x ^ {2} -2x + 2).}$

Método ac quadrático

O método acima pode ser adaptado para polinômios quadráticos , levando ao método ac de fatoração.

Considere o polinômio quadrático

${\ displaystyle P (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

com coeficientes inteiros. Se ele tem uma raiz racional, seu denominador deve dividir uma forma uniforme e pode ser escrita como uma possivelmente fração redutível por fórmulas de viète , a outra raiz é ${\ displaystyle {\ tfrac {r} {a}}.}$

${\ displaystyle - {\ frac {b} {a}} - {\ frac {r} {a}} = - {\ frac {b + r} {a}} = {\ frac {s} {a}} ,}$

com Assim, a segunda raiz também é racional, e a segunda fórmula de Vieta dá ${\ displaystyle s = - (b + r).}$

${\ displaystyle {\ frac {s} {a}} {\ frac {r} {a}} = {\ frac {c} {a}},}$

isso é

${\ displaystyle rs = ac \ quad {\ text {e}} \ quad r + s = -b.}$

Verificar todos os pares de inteiros cujo produto é ac fornece as raízes racionais, se houver.

Por exemplo, vamos considerar o polinômio quadrático

${\ displaystyle 6x ^ {2} + 13x + 6.}$

A inspeção dos fatores de ac = 36 leva a 4 + 9 = 13 = b , dando as duas raízes

${\ displaystyle - {\ frac {4} {6}} = - {\ frac {2} {3}} \ quad {\ text {and}} \ quad - {\ frac {9} {6}} = - {\ frac {3} {2}},}$

e a fatoração

${\ displaystyle 6x ^ {2} + 13x + 6 = 6 (x + {\ tfrac {2} {3}}) (x + {\ tfrac {3} {2}}) = (3x + 2) (2x + 3 ).}$

Usando fórmulas para raízes polinomiais

Qualquer polinômio quadrático univariado pode ser fatorado usando a fórmula quadrática : ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (x- \ alpha) (x- \ beta) = a \ left (x - {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac }}} {2a}} \ right) \ left (x - {\ frac {-b - {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} \ right),}$

onde e são as duas raízes do polinômio. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

Se a, b, c são todos reais , os fatores são reais se e somente se o discriminante for não negativo. Caso contrário, o polinômio quadrático não pode ser fatorado em fatores reais não constantes. ${\ displaystyle b ^ {2} -4ac}$

A fórmula quadrática é válida quando os coeficientes pertencem a qualquer campo de característica diferente de dois e, em particular, para coeficientes em um corpo finito com um número ímpar de elementos.

Existem também fórmulas para raízes de polinômios cúbicos e quárticos , que são, em geral, muito complicadas para o uso prático. O teorema de Abel-Ruffini mostra que não existem fórmulas de raiz geral em termos de radicais para polinômios de grau cinco ou superior.

Usando relações entre raízes

Pode ocorrer que se conheça alguma relação entre as raízes de um polinômio e seus coeficientes. Usar esse conhecimento pode ajudar a fatorar o polinômio e encontrar suas raízes. A teoria de Galois é baseada em um estudo sistemático das relações entre raízes e coeficientes, que incluem as fórmulas de Vieta .

Aqui, consideramos o caso mais simples onde duas raízes e de um polinômio satisfazem a relação ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle P (x)}$

${\ displaystyle x_ {2} = Q (x_ {1}),}$

onde Q é um polinômio.

Isso implica que é uma raiz comum de e, portanto, é uma raiz do maior divisor comum desses dois polinômios. Conclui-se que este maior divisor comum é um fator não constante do algoritmo Euclidiano para polinômios que permite calcular este maior fator comum. ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle P (Q (x))}$${\ displaystyle P (x).}$${\ displaystyle P (x).}$

Por exemplo, se alguém sabe ou adivinha que: tem duas raízes que somam zero, pode-se aplicar o algoritmo Euclidiano a e O primeiro passo de divisão consiste em somar para dar o resto de ${\ displaystyle P (x) = x ^ {3} -5x ^ {2} -16x + 80}$${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle P (-x).}$${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle P (-x),}$

${\ displaystyle -10 (x ^ {2} -16).}$

Então, dividir por dá zero como um novo resto, e x - 5 como um quociente, levando à fatoração completa ${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle x ^ {2} -16}$

${\ displaystyle x ^ {3} -5x ^ {2} -16x + 80 = (x-5) (x-4) (x + 4).}$

Domínios de fatoração únicos

Os inteiros e os polinômios sobre um campo compartilham a propriedade de fatoração única, ou seja, cada elemento diferente de zero pode ser fatorado em um produto de um elemento invertível (uma unidade , ± 1 no caso de inteiros) e um produto de elementos irredutíveis ( números primos , no caso de inteiros), e essa fatoração é única até o rearranjo dos fatores e unidades de deslocamento entre os fatores. Os domínios integrais que compartilham esta propriedade são chamados de domínios de fatoração únicos (UFD).

Os maiores divisores comuns existem em UFDs e, inversamente, todo domínio integral em que os maiores divisores comuns existem é um UFD. Todo domínio ideal principal é um UFD.

Um domínio euclidiano é um domínio integral no qual é definida uma divisão euclidiana semelhante à dos inteiros. Cada domínio euclidiano é um domínio ideal principal e, portanto, um UFD.

Em um domínio euclidiano, a divisão euclidiana permite definir um algoritmo euclidiano para calcular os maiores divisores comuns. No entanto, isso não implica a existência de um algoritmo de fatoração. Há um exemplo explícito de um campo F tal que não pode existir qualquer algoritmo de fatoração no domínio euclidiano F [ x ] dos polinômios de uma variável mais de F .

Ideais

Na teoria algébrica dos números , o estudo das equações diofantinas levou os matemáticos, durante o século 19, a introduzir generalizações dos inteiros chamados inteiros algébricos . O primeiro anel de inteiros algébricos que foram considerados foram inteiros gaussianos e inteiros de Eisenstein , que compartilham com os inteiros usuais a propriedade de serem domínios ideais principais e, portanto, têm a propriedade única de fatoração .

Infelizmente, logo percebeu-se que a maioria dos anéis de inteiros algébricos não são principais e não têm fatoração única. O exemplo mais simples é em que ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}],}$

${\ displaystyle 9 = 3 \ cdot 3 = (2 + {\ sqrt {-5}}) (2 - {\ sqrt {-5}}),}$

e todos esses fatores são irredutíveis .

Essa falta de fatoração única é uma grande dificuldade para resolver as equações diofantinas. Por exemplo, muitas provas erradas do Último Teorema de Fermat (provavelmente incluindo a "prova realmente maravilhosa disso, que esta margem é muito estreita para conter" ) foram baseadas na suposição implícita de fatoração única.

Essa dificuldade foi resolvida por Dedekind , que provou que os anéis de inteiros algébricos têm fatoração única de ideais : nesses anéis, todo ideal é produto de ideais primos , e essa fatoração é única na ordem dos fatores. Os domínios integrais que possuem esta propriedade única de fatoração são agora chamados de domínios de Dedekind . Eles têm muitas propriedades interessantes que os tornam fundamentais na teoria algébrica dos números.

Matrizes

Os anéis de matriz são não comutativos e não possuem fatoração única: existem, em geral, muitas maneiras de escrever uma matriz como um produto de matrizes. Assim, o problema de fatoração consiste em encontrar fatores de tipos específicos. Por exemplo, a decomposição LU fornece uma matriz como o produto de uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior . Como isso nem sempre é possível, geralmente considera-se a "decomposição de LUP" tendo uma matriz de permutação como seu terceiro fator.

Consulte Decomposição de matrizes para os tipos mais comuns de fatorações de matrizes.

Uma matriz lógica representa uma relação binária e a multiplicação da matriz corresponde à composição das relações . A decomposição de uma relação por meio da fatoração serve para traçar o perfil da natureza da relação, como uma relação difuncional .

Veja também

• Método de fatoração de Euler para inteiros
• Método de fatoração de Fermat para inteiros
• Fatoração monóide
• Partição multiplicativa
• Tabela de fatorações inteiras de Gauss

Notas

Referências

• Burnside, William Snow ; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations com uma introdução à teoria das formas algébricas binárias (Volume um) , Dover
• Dickson, Leonard Eugene (1922), Primeiro Curso de Teoria das Equações , Nova York: John Wiley & Sons
• Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revisado) , Boston: DC Heath & Co.
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from a Advanced Standpoint; Aritmética, Álgebra, Análise , Dover
• Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18ª ed.), The Chemical Rubber Co.

links externos

• O Wolfram Alpha também pode fatorar .