Nível Fermi - Fermi level

O nível de Fermi de um corpo de estado sólido é o trabalho termodinâmico necessário para adicionar um elétron ao corpo. É uma quantidade termodinâmica geralmente denotada por µ ou E F para abreviar. O nível de Fermi não inclui o trabalho necessário para remover o elétron de onde ele veio. Uma compreensão precisa do nível de Fermi - como ele se relaciona com a estrutura de banda eletrônica na determinação das propriedades eletrônicas, como se relaciona com a tensão e o fluxo de carga em um circuito eletrônico - é essencial para uma compreensão da física do estado sólido.

Na teoria da estrutura de banda , usada na física do estado sólido para analisar os níveis de energia em um sólido, o nível de Fermi pode ser considerado um nível de energia hipotético de um elétron, de modo que em equilíbrio termodinâmico esse nível de energia teria uma probabilidade de 50% de sendo ocupados em um determinado momento . A posição do nível de Fermi em relação aos níveis de energia da banda é um fator crucial na determinação das propriedades elétricas. O nível de Fermi não corresponde necessariamente a um nível de energia real (em um isolador, o nível de Fermi está no gap ), nem requer a existência de uma estrutura de banda. No entanto, o nível de Fermi é uma quantidade termodinâmica definida com precisão e as diferenças no nível de Fermi podem ser medidas simplesmente com um voltímetro .

Medição de tensão

Um voltímetro mede as diferenças no nível de Fermi dividido pela carga do elétron .

Às vezes, diz-se que as correntes elétricas são impulsionadas por diferenças no potencial eletrostático ( potencial de Galvani ), mas isso não é exatamente verdade. Como contra-exemplo, dispositivos multimateriais, como junções p-n, contêm diferenças de potencial eletrostático interno em equilíbrio, mas sem qualquer corrente líquida associada; se um voltímetro estiver conectado à junção, mede-se simplesmente zero volts. Claramente, o potencial eletrostático não é o único fator que influencia o fluxo de carga em um material - repulsão Pauli , gradientes de concentração de portadores, indução eletromagnética e efeitos térmicos também desempenham um papel importante.

Na verdade, a quantidade chamada voltagem medida em um circuito eletrônico tem uma relação simples com o potencial químico dos elétrons (nível de Fermi). Quando as pontas de um voltímetro são conectadas a dois pontos em um circuito, a tensão exibida é uma medida do trabalho total transferido quando uma carga unitária pode se mover de um ponto a outro. Se um fio simples for conectado entre dois pontos de voltagem diferente (formando um curto-circuito ), a corrente fluirá da voltagem positiva para a negativa, convertendo o trabalho disponível em calor.

O nível de Fermi de um corpo expressa o trabalho necessário para adicionar um elétron a ele, ou igualmente o trabalho obtido pela remoção de um elétron. Portanto, V A  -  V B , a diferença de tensão observada entre dois pontos, A e B , em um circuito eletrônico está exatamente relacionada à diferença de potencial químico correspondente, µ A  -  µ B , em nível de Fermi pela fórmula

onde −e é a carga do elétron .

A partir da discussão acima, pode ser visto que os elétrons se moverão de um corpo de alta µ (baixa voltagem) para baixo µ (alta voltagem) se um caminho simples for fornecido. Este fluxo de elétrons fará com que o µ mais baixo aumente (devido ao carregamento ou outros efeitos de repulsão) e, da mesma forma, fará com que o µ mais baixo diminua. Eventualmente, µ se estabelecerá com o mesmo valor em ambos os corpos. Isso leva a um fato importante em relação ao estado de equilíbrio (desligado) de um circuito eletrônico:

Um circuito eletrônico em equilíbrio termodinâmico terá um nível de Fermi constante em todas as partes conectadas.

Isso também significa que a tensão (medida com um voltímetro) entre quaisquer dois pontos será zero, no equilíbrio. Observe que o equilíbrio termodinâmico aqui requer que o circuito seja conectado internamente e não contenha baterias ou outras fontes de energia, nem quaisquer variações de temperatura.

Estrutura da banda de sólidos

Preenchimento dos estados eletrônicos em vários tipos de materiais em equilíbrio . Aqui, a altura é a energia, enquanto a largura é a densidade dos estados disponíveis para uma determinada energia no material listado. A sombra segue a distribuição Fermi – Dirac ( preto : todos os estados preenchidos, branco : nenhum estado preenchido). Em metais e semimetais, o nível de Fermi E F está dentro de pelo menos uma banda.
Em isoladores e semicondutores, o nível de Fermi está dentro de um gap ; entretanto, em semicondutores, as bandas estão próximas o suficiente do nível de Fermi para serem termicamente povoadas com elétrons ou lacunas .
Distribuição de Fermi-Dirac vs. energia , com μ  = 0,55 eV e para várias temperaturas no intervalo 50K ≤  T  ≤ 375K.

Na teoria de bandas de sólidos, considera-se que os elétrons ocupam uma série de bandas compostas por autoestados de energia de uma única partícula, cada um rotulado por ϵ . Embora esta imagem de partícula única seja uma aproximação, ela simplifica muito a compreensão do comportamento eletrônico e geralmente fornece resultados corretos quando aplicada corretamente.

A distribuição de Fermi-Dirac , , dá a probabilidade de que (pelo equilíbrio termodinâmico ) um estado que tem energia ε é ocupada por um electrão:

Aqui, T é a temperatura absoluta e k é constante de Boltzmann . Se houver um estado no nível de Fermi ( ϵ = µ ), então esse estado terá 50% de chance de estar ocupado. A distribuição é plotada na figura à esquerda. Quanto mais próximo f estiver de 1, maior será a chance desse estado estar ocupado. Quanto mais próximo f de 0, maior a chance desse estado estar vazio.

A localização de µ dentro da estrutura de banda de um material é importante para determinar o comportamento elétrico do material.

  • Em um isolador , µ fica dentro de uma grande lacuna de banda , longe de quaisquer estados que sejam capazes de transportar corrente.
  • Em um metal, semimetal ou semicondutor degenerado, µ encontra-se dentro de uma banda deslocalizada. Um grande número de estados próximos a µ são termicamente ativos e carregam corrente prontamente.
  • Em um semicondutor intrínseco ou levemente dopado, µ está próximo o suficiente de uma borda de banda para que haja um número diluído de portadores termicamente excitados residindo perto dessa borda de banda.

Em semicondutores e semimetais, a posição de µ em relação à estrutura de banda geralmente pode ser controlada em um grau significativo por dopagem ou gating. Esses controles não mudam µ, que é fixado pelos eletrodos, mas fazem com que toda a estrutura da banda se desloque para cima e para baixo (às vezes também mudando a forma da estrutura da banda). Para obter mais informações sobre os níveis de Fermi de semicondutores, consulte (por exemplo) Sze.

Referência de banda de condução local, potencial químico interno e o parâmetro ζ

Se o símbolo é utilizada para designar um nível de energia de electrões medida em relação à energia da borda da sua banda de vedante, ε C , em seguida, de um modo geral temos = ε - ε C . Podemos definir um parâmetro ζ que faz referência ao nível de Fermi em relação à borda da banda:

Segue-se que a função de distribuição Fermi-Dirac pode ser escrita como

A teoria da banda dos metais foi inicialmente desenvolvida por Sommerfeld, a partir de 1927, que prestou grande atenção à termodinâmica e à mecânica estatística subjacentes. É confuso, em alguns contextos, a quantidade referenciada por banda ζ pode ser chamada de nível de Fermi , potencial químico ou potencial eletroquímico , levando à ambigüidade com o nível de Fermi referenciado globalmente. Neste artigo, os termos nível de Fermi referenciado por banda de condução ou potencial químico interno são usados ​​para se referir a ζ .

Exemplo de variações na borda da banda de condução E C em um diagrama de banda do transistor de alta mobilidade com base em heterojunção GaAs / AlGaAs .

ζ está diretamente relacionado ao número de portadores de carga ativa, bem como à sua energia cinética típica e, portanto, está diretamente envolvido na determinação das propriedades locais do material (como a condutividade elétrica ). Por esta razão, é comum focar no valor de ζ ao se concentrar nas propriedades dos elétrons em um único material condutor homogêneo. Por analogia com os estados de energia de um elétron livre, o de um estado é a energia cinética desse estado e ϵ C é sua energia potencial . Com isso em mente, o parâmetro, ζ , também pode ser rotulado como energia cinética de Fermi .

Ao contrário de µ , o parâmetro, ζ , não é uma constante no equilíbrio, mas varia de local para local em um material devido às variações em ϵ C , que é determinado por fatores como qualidade do material e impurezas / dopantes. Próximo à superfície de um semicondutor ou semimetal, ζ pode ser fortemente controlado por campos elétricos aplicados externamente, como é feito em um transistor de efeito de campo . Em um material multibanda , ζ pode até assumir vários valores em um único local. Por exemplo, em um pedaço de metal de alumínio, existem duas bandas de condução cruzando o nível de Fermi (ainda mais bandas em outros materiais); cada banda tem uma energia de borda diferente, ϵ C , e um ζ diferente .

O valor de ζ na temperatura zero é amplamente conhecido como energia de Fermi , às vezes escrito ζ 0 . De forma confusa (novamente), o nome energia de Fermi às vezes é usado para se referir a ζ em temperatura diferente de zero.

Temperatura fora de equilíbrio

O nível de Fermi, µ , e a temperatura, T , são constantes bem definidas para um dispositivo de estado sólido em situação de equilíbrio termodinâmico, como quando está sentado na prateleira sem fazer nada. Quando o dispositivo é desequilibrado e colocado em uso, estritamente falando, o nível de Fermi e a temperatura não são mais bem definidos. Felizmente, muitas vezes é possível definir um nível de quase-Fermi e quase temperatura para um determinado local, que descreve com precisão a ocupação dos estados em termos de uma distribuição térmica. Diz-se que o dispositivo está em quase-equilíbrio quando e onde tal descrição é possível.

A abordagem de quase equilíbrio permite construir uma imagem simples de alguns efeitos de não equilíbrio como a condutividade elétrica de uma peça de metal (como resultante de um gradiente de μ ) ou sua condutividade térmica (como resultante de um gradiente em T ). Os quase μ e quase T podem variar (ou não existir) em qualquer situação de não equilíbrio, como:

  • Se o sistema contém um desequilíbrio químico (como em uma bateria ).
  • Se o sistema for exposto a campos eletromagnéticos variáveis ​​(como em capacitores , indutores e transformadores ).
  • Sob iluminação de uma fonte de luz com uma temperatura diferente, como o sol (como nas células solares ),
  • Quando a temperatura não é constante dentro do dispositivo (como em termopares ),
  • Quando o dispositivo foi alterado, mas não teve tempo suficiente para se reequilibrar (como em substâncias piezoelétricas ou piroelétricas ).

Em algumas situações, como imediatamente após um material experimentar um pulso de laser de alta energia, a distribuição de elétrons não pode ser descrita por qualquer distribuição térmica. Não se pode definir o nível de quase-Fermi ou quase temperatura neste caso; os elétrons são simplesmente chamados de não termalizados . Em situações menos dramáticas, como em uma célula solar sob iluminação constante, uma descrição de quase-equilíbrio pode ser possível, mas exigindo a atribuição de valores distintos de μ e T para bandas diferentes (banda de condução vs. banda de valência). Mesmo assim, os valores de μ e T podem saltar descontinuamente através de uma interface de material (por exemplo, junção p – n ) quando uma corrente está sendo conduzida e ser mal definidos na própria interface.

Tecnicalidades

Problemas de terminologia

O termo nível de Fermi é usado principalmente na discussão da física do estado sólido de elétrons em semicondutores , e um uso preciso desse termo é necessário para descrever diagramas de banda em dispositivos que compreendem diferentes materiais com diferentes níveis de dopagem. Nestes contextos, no entanto, também se pode ver o nível de Fermi usado imprecisamente para se referir ao nível de Fermi referenciado em banda , µ  -  ϵ C , denominado ζ acima. É comum ver cientistas e engenheiros se referirem a "controlar", " fixar " ou "ajustar" o nível de Fermi dentro de um condutor, quando na verdade estão descrevendo mudanças em ϵ C devido ao doping ou ao efeito de campo . Na verdade, o equilíbrio termodinâmico garante que o nível de Fermi em um condutor é sempre fixado para ser exatamente igual ao nível de Fermi dos eletrodos; apenas a estrutura da banda (não o nível de Fermi) pode ser alterada por dopagem ou efeito de campo (veja também o diagrama da banda ). Uma ambigüidade semelhante existe entre os termos potencial químico e potencial eletroquímico .

Também é importante notar que o nível de Fermi não é necessariamente a mesma coisa que a energia de Fermi . No contexto mais amplo da mecânica quântica, o termo energia de Fermi geralmente se refere à energia cinética máxima de um férmion em um gás Fermi de temperatura zero, sem interação idealizado e sem desordem . Este conceito é muito teórico (não existe um gás de Fermi sem interação e a temperatura zero é impossível de alcançar). No entanto, ele encontra alguma utilidade na descrição aproximada de anãs brancas , estrelas de nêutrons , núcleos atômicos e elétrons em um metal . Por outro lado, nos campos da física e engenharia de semicondutores, a energia de Fermi costuma ser usada para se referir ao nível de Fermi descrito neste artigo.

Referenciamento do nível de Fermi e a localização do nível zero de Fermi

Muito parecido com a escolha da origem em um sistema de coordenadas, o ponto zero de energia pode ser definido arbitrariamente. Os fenômenos observáveis ​​dependem apenas das diferenças de energia. Ao comparar corpos distintos, entretanto, é importante que todos sejam consistentes em sua escolha da localização da energia zero, caso contrário, serão obtidos resultados absurdos. Portanto, pode ser útil nomear explicitamente um ponto comum para garantir que os diferentes componentes estejam de acordo. Por outro lado, se um ponto de referência for inerentemente ambíguo (como "o vácuo", veja abaixo), ele causará mais problemas.

Uma escolha prática e bem justificada de ponto comum é um condutor físico volumoso, como o aterramento elétrico . Tal condutor pode ser considerado em bom equilíbrio termodinâmico e, portanto, seu µ é bem definido. Ele fornece um reservatório de carga, de modo que um grande número de elétrons pode ser adicionado ou removido sem incorrer em efeitos de carga. Ele também tem a vantagem de ser acessível, de modo que o nível de Fermi de qualquer outro objeto pode ser medido simplesmente com um voltímetro.

Por que não é aconselhável usar "a energia no vácuo" como referência zero

Quando os dois metais representados aqui estão em equilíbrio termodinâmico como mostrado (níveis Fermi iguais E F ), o potencial eletrostático de vácuo ϕ não é plano devido a uma diferença na função de trabalho .

Em princípio, pode-se considerar o uso do estado de um elétron estacionário no vácuo como um ponto de referência para as energias. Essa abordagem não é aconselhável, a menos que se tenha o cuidado de definir exatamente onde está o vácuo . O problema é que nem todos os pontos no vácuo são equivalentes.

No equilíbrio termodinâmico, é típico que diferenças de potencial elétrico de ordem 1 V existam no vácuo ( potenciais de Volta ). A fonte dessa variação do potencial de vácuo é a variação na função de trabalho entre os diferentes materiais condutores expostos ao vácuo. Fora de um condutor, o potencial eletrostático depende sensivelmente do material, bem como da superfície selecionada (orientação do cristal, contaminação e outros detalhes).

O parâmetro que dá a melhor aproximação à universalidade é o nível de Fermi com referência à Terra sugerido acima. Isso também tem a vantagem de poder ser medido com um voltímetro.

Efeitos de carregamento discretos em sistemas pequenos

Nos casos em que os "efeitos de carga" devido a um único elétron não são desprezíveis, as definições acima devem ser esclarecidas. Por exemplo, considere um capacitor feito de duas placas paralelas idênticas. Se o capacitor estiver descarregado, o nível de Fermi é o mesmo em ambos os lados, então pode-se pensar que não deve ser necessária nenhuma energia para mover um elétron de uma placa para a outra. Mas quando o elétron foi movido, o capacitor ficou (levemente) carregado, então isso requer uma pequena quantidade de energia. Em um capacitor normal, isso é insignificante, mas em um capacitor em escala nano pode ser mais importante.

Neste caso, deve-se ser preciso quanto à definição termodinâmica do potencial químico, bem como ao estado do dispositivo: ele está isolado eletricamente ou está conectado a um eletrodo?

  • Quando o corpo é capaz de trocar elétrons e energia com um eletrodo (reservatório), isso é descrito pelo grande conjunto canônico . Pode-se dizer que o valor do potencial químico µ é fixado pelo eletrodo, e o número de elétrons N no corpo pode flutuar. Neste caso, o potencial químico de um corpo é a quantidade infinitesimal de trabalho necessária para aumentar o número médio de elétrons em uma quantidade infinitesimal (mesmo que o número de elétrons em qualquer momento seja um inteiro, o número médio varia continuamente.):
    onde F ( N , T ) é a função de energia livre do grande conjunto canônico.
  • Se o número de elétrons no corpo for fixo (mas o corpo ainda estiver termicamente conectado a um banho de calor), então ele está no conjunto canônico . Podemos definir um "potencial químico" neste caso literalmente como o trabalho necessário para adicionar um elétron a um corpo que já tem exatamente N elétrons,
    onde F ( N , T ) é a função de energia livre do conjunto canônico, alternativamente,

Esses potenciais químicos não são equivalentes, µµ 'µ' ' , exceto no limite termodinâmico . A distinção é importante em sistemas pequenos, como aqueles que mostram o bloqueio de Coulomb . O parâmetro, µ , (ou seja, no caso em que o número de elétrons pode flutuar) permanece exatamente relacionado à tensão do voltímetro, mesmo em sistemas pequenos. Para ser preciso, então, o nível de Fermi é definido não por um evento de carregamento determinístico por uma carga de elétron, mas sim por um evento de carregamento estatístico por uma fração infinitesimal de um elétron.

Notas de rodapé e referências