Feixe de fibra - Fiber bundle

Uma escova de cabelo cilíndrica que mostra a intuição por trás do termo feixe de fibras . Esta escova de cabelo é como um feixe de fibras em que o espaço da base é um cilindro e as fibras ( cerdas ) são segmentos de linha. O mapeamento pegaria um ponto em qualquer cerda e o mapearia até sua raiz no cilindro.

{\ displaystyle \ pi \ dois pontos E \ a B}

Em matemática , e particularmente na topologia , um feixe de fibras (ou, em inglês da Commonwealth : feixe de fibras ) é um espaço que é localmente um espaço de produto , mas globalmente pode ter uma estrutura topológica diferente . Especificamente, a similaridade entre um espaço e um espaço do produto é definido utilizando uma contínua sobrejetivo mapa , , que em pequenas regiões de comporta-se como uma projecção a partir de regiões correspondente de a . O mapa , denominado projeção ou submersão do feixe, é considerado parte da estrutura do feixe. O espaço é conhecida como o espaço total do feixe de fibras, como o espaço de base , e a fibra . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B \ times F}$ ${\ displaystyle \ pi \ dois pontos E \ a B}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B \ times F}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle F}$

No caso trivial , é justo , e o mapa é apenas a projeção do espaço do produto para o primeiro fator. Isso é chamado de pacote trivial . Exemplos de feixes de fibras não triviais incluem a tira de Möbius e a garrafa de Klein , bem como espaços de cobertura não triviais . Os feixes de fibras, como o feixe tangente de uma variedade e os feixes de vetores mais gerais, desempenham um papel importante na geometria e topologia diferencial , assim como os feixes principais . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B \ times F}$ ${\ displaystyle \ pi}$

Os mapeamentos entre os espaços totais de feixes de fibras que "comutam" com os mapas de projeção são conhecidos como mapas de feixes , e a classe dos feixes de fibras forma uma categoria com relação a tais mapeamentos. Um mapa de pacote do próprio espaço de base (com o mapeamento de identidade como projeção) é chamado de seção de . Os feixes de fibras podem ser especializados de várias maneiras, a mais comum delas exigindo que os mapas de transição entre as manchas triviais locais estejam em um determinado grupo topológico , conhecido como grupo de estrutura , agindo sobre a fibra . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$

História

Em topologia , os termos fibra (alemão: Faser ) e fibra espaço ( gefaserter Raum ) apareceram pela primeira vez em um artigo de Herbert Seifert em 1933, mas suas definições se limitam a um caso muito especial. A principal diferença da concepção atual de um espaço de fibra, no entanto, era que para Seifert o que agora é chamado de espaço de base (espaço topológico) de um espaço de fibra (topológico) E não fazia parte da estrutura, mas derivava dela como um espaço quociente de E . A primeira definição de espaço de fibra foi dada por Hassler Whitney em 1935 sob o nome de espaço de esfera , mas em 1940 Whitney mudou o nome para feixe de esfera .

A teoria dos espaços fibrosos, dos quais feixes vetoriais , feixes principais , fibrações topológicas e variedades fibrosas são um caso especial, é atribuída a Seifert, Heinz Hopf , Jacques Feldbau , Whitney, Norman Steenrod , Charles Ehresmann , Jean-Pierre Serre e outros .

Os feixes de fibras se tornaram seu próprio objeto de estudo no período 1935-1940. A primeira definição geral apareceu nas obras de Whitney.

Whitney chegou à definição geral de feixe de fibras a partir de seu estudo de uma noção mais particular de feixe de esferas , que é um feixe de fibras cuja fibra é uma esfera de dimensão arbitrária.

Definição formal

Um feixe de fibras é uma estrutura , onde , e são espaços topológicos e é um contínuo surjection satisfazer uma insignificância locais condição descrito abaixo. O espaço é chamada o espaço de base do conjunto, o espaço total , e a fibra . O mapa $π$ é chamado de mapa de projeção (ou projeção de feixe). Assumiremos a seguir que o espaço de base está conectado . ${\ displaystyle (E, \, B, \, \ pi, \, F)}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle B}$

Exigimos que, para cada , haja uma vizinhança aberta de (que será chamada de vizinhança trivializante) de modo que haja um homeomorfismo (onde é dada a topologia de subespaço , e é o espaço do produto) de tal forma que $π$ concorda com o projeção sobre o primeiro fator. Ou seja, o diagrama a seguir deve comutar : ${\ displaystyle x \ in B}$ ${\ displaystyle U \ subseteq B}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ varphi: \ pi ^ {- 1} (U) \ rightarrow U \ times F}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (U)}$ ${\ displaystyle U \ times F}$

onde está a projeção natural e é um homeomorfismo. O conjunto de todos é chamado de trivialização local do pacote. ${\ displaystyle {\ text {proj}} _ {1}: U \ times F \ rightarrow U}$ ${\ displaystyle \ varphi: \ pi ^ {- 1} (U) \ rightarrow U \ times F}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ left (U_ {i}, \, \ varphi _ {i} \ right) \ right \}}$

Assim, para qualquer um , a pré - imagem é homeomórfica a (já que proj ₁⁻¹ ({ p }) claramente é) e é chamada de fibra sobre p . Cada feixe de fibra é um mapa aberto , uma vez que as projeções de produtos são mapas abertos. Portanto, carrega a topologia quociente determinada pelo mapa $π$ . ${\ displaystyle p \ in B}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (\ {p \})}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle B}$

Um feixe de fibra é frequentemente denotado ${\ displaystyle (E, \, B, \, \ pi, \, F)}$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {} \\ F \ longrightarrow E \ {\ xrightarrow {\, \ \ pi \}} \ B \\ {} \ end {matrix}}}

( 1 )

que, em analogia com uma curta seqüência exata , indica qual espaço é a fibra, espaço total e espaço base, bem como o mapa do espaço total para base.

Um feixe de fibra lisa é um feixe de fibras na categoria de manifolds lisos . Ou seja, , , e são obrigados a ser variedades suaves e todas as funções acima são obrigados a estar mapas lisos . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle F}$

Exemplos

Pacote trivial

Deixe e deixe ser a projeção no primeiro fator. Em seguida, um feixe de fibras (de ) acabou . Aqui não é apenas um produto local, mas globalmente . Qualquer um desses feixes de fibras é chamado de feixe trivial . Qualquer feixe de fibras ao longo de um contraível CW-complexo é trivial. ${\ displaystyle E = B \ vezes F}$ ${\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle E}$

Pacotes não triviais

Tira de Möbius

A faixa de Möbius é um feixe não trivial sobre o círculo.

Talvez o exemplo mais simples de um pacote não trivial seja a faixa de Möbius . Ele tem o círculo que se estende longitudinalmente ao longo do centro da tira como base e um segmento de linha para a fibra , de modo que a tira de Möbius é um feixe do segmento de linha sobre o círculo. Uma vizinhança de (onde ) é um arco ; na imagem, é o comprimento de um dos quadrados. A pré-imagem na imagem é uma fatia (um tanto torcida) da tira de quatro quadrados de largura e um de comprimento (ou seja, todos os pontos que se projetam ). ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ pi (x) \ in B}$ ${\ displaystyle x \ in E}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (U)}$ ${\ displaystyle U}$

Existe um homeomorfismo ( em § definição formal ) que mapeia a pré-imagem de (a vizinhança trivializante) para uma fatia de um cilindro: curva, mas não torcida. Este par trivializa localmente a tira. O pacote trivial correspondente seria um cilindro , mas a faixa de Möbius tem uma "torção" geral. Essa reviravolta é visível apenas globalmente; localmente, a tira de Möbius e o cilindro são idênticos (fazer um único corte vertical em qualquer um dos dois dá o mesmo espaço). ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle B \ times F}$

Garrafa de Klein

Um feixe não trivial semelhante é a garrafa de Klein , que pode ser vista como um feixe de círculo "torcido" sobre outro círculo. O correspondente não torcidos (trivial) feixe é o 2- toro , . ${\ displaystyle S ^ {1} \ times S ^ {1}}$

A garrafa de Klein imersa no espaço tridimensional.

Um toro.

Mapa de cobertura

Um espaço de cobertura é um feixe de fibras de forma que a projeção do feixe seja um homeomorfismo local . Conclui-se que a fibra é um espaço discreto .

Vetor e pacotes principais

Uma classe especial de feixes de fibras, chamados de feixes de vetores , são aqueles cujas fibras são espaços vetoriais (para se qualificar como um feixe de vetores, o grupo de estruturas do feixe - veja abaixo - deve ser um grupo linear ). Exemplos importantes de pacotes vetoriais incluem o pacote tangente e o pacote cotangente de uma variedade lisa. A partir de qualquer feixe vetorial, pode-se construir o feixe de bases do quadro , que é um feixe principal (veja abaixo).

Outra classe especial de feixes de fibras, denominados feixes principais , são os feixes em cujas fibras se dá uma ação livre e transitiva de um grupo , de modo que cada fibra é um espaço homogêneo principal . O pacote geralmente é especificado junto com o grupo, referindo-se a ele como um -bundle principal . O grupo também é o grupo de estrutura do pacote. Dada uma representação de um espaço vetorial , um pacote vetorial com um grupo de estrutura pode ser construído, conhecido como pacote associado . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ rho (G) \ subseteq {\ text {Aut}} (V)}$

Feixes de esfera

Um feixe de esfera é um feixe de fibra cuja fibra é uma n- esfera . Dado um feixe vetorial com uma métrica (como o feixe tangente a uma variedade Riemanniana ), pode-se construir o feixe de esferas unitárias associado , para o qual a fibra sobre um ponto é o conjunto de todos os vetores unitários em . Quando o feixe vetorial em questão é o feixe tangente , o feixe da esfera unitária é conhecido como o feixe tangente unitário . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle E_ {x}}$ ${\ displaystyle TM}$

Um feixe de esferas é parcialmente caracterizado por sua classe de Euler , que é uma classe de cohomologia de grau no espaço total do feixe. No caso, o feixe de esferas é denominado feixe circular e a classe de Euler é igual à primeira classe de Chern , o que caracteriza completamente a topologia do feixe. Para qualquer um , dada a classe de Euler de um feixe, pode-se calcular sua cohomologia usando uma longa sequência exata chamada sequência de Gysin . ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle n = 1}$ ${\ displaystyle n}$

Mapeando toros

Se X é um espaço topológico e é um homeomorfismo, então o toro de mapeamento tem uma estrutura natural de um feixe de fibras sobre o círculo com fibras . O mapeamento de toros de homeomorfismos de superfícies é de particular importância na topologia de três variedades . ${\ displaystyle f: X \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle M_ {f}}$ ${\ displaystyle X}$

Espaços quocientes

Se for um grupo topológico e um subgrupo fechado , então, em algumas circunstâncias, o espaço quociente junto com o mapa de quociente é um feixe de fibras, cuja fibra é o espaço topológico . Uma condição necessária e suficiente para ( ) formar um feixe de fibras é que o mapeamento admita seções transversais locais ( Steenrod 1951 , §7). ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G / H}$ ${\ displaystyle \ pi \ dois pontos G \ a G / H}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G, \, G / H, \, \ pi, \, H}$ ${\ displaystyle \ pi}$

As condições mais gerais sob as quais o mapa de quociente admitirá seções transversais locais não são conhecidas, embora se for um grupo de Lie e um subgrupo fechado (e, portanto, um subgrupo de Lie pelo teorema de Cartan ), então o mapa de quociente é um feixe de fibras. Um exemplo disto é a fibração Hopf , que é um feixe de fibras sobre a esfera cujo espaço total é . Do ponto de vista dos grupos de Lie, podem ser identificados com o grupo unitário especial . O subgrupo abeliano de matrizes diagonais é isomórfico ao grupo circular , e o quociente é difeomórfico à esfera. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle S ^ {3} \ a S ^ {2}}$ ${\ displaystyle S ^ {2}}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ ${\ displaystyle SU (2)}$ ${\ displaystyle U (1)}$ ${\ displaystyle SU (2) / U (1)}$

De modo mais geral, se houver qualquer grupo topológico e um subgrupo fechado que também seja um grupo de Lie, então será um feixe de fibras. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G \ a G / H}$

Seções

Uma secção (ou secção transversal ) de um feixe de fibras é um mapa contínuo de tal modo que para todos os x em B . Uma vez que os pacotes em geral não têm seções definidas globalmente, um dos propósitos da teoria é dar conta de sua existência. A obstrução à existência de uma seção muitas vezes pode ser medida por uma classe de cohomologia, o que leva à teoria das classes características na topologia algébrica . ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle f \ dois pontos B \ a E}$ ${\ displaystyle \ pi (f (x)) = x}$

O exemplo mais conhecido é o teorema da bola cabeluda , onde a classe de Euler é a obstrução ao feixe tangente da 2-esfera tendo uma seção de desaparecimento em lugar nenhum.

Freqüentemente, gostaria de definir seções apenas localmente (especialmente quando não existem seções globais). Uma secção local de um feixe de fibras é um mapa contínuo onde L é um conjunto aberto em B e para todos os x em L . Se é um gráfico banalização local, então secções locais sempre existem mais de U . Essas seções estão em correspondência 1-1 com mapas contínuos . As seções formam um feixe . ${\ displaystyle f \ dois pontos U \ a E}$ ${\ displaystyle \ pi (f (x)) = x}$ ${\ displaystyle (U, \, \ varphi)}$ ${\ displaystyle U \ a F}$

Grupos de estrutura e funções de transição

Os pacotes de fibra geralmente vêm com um grupo de simetrias que descrevem as condições de correspondência entre gráficos de trivialização locais sobrepostos. Especificamente, seja G um grupo topológico que atua continuamente no espaço de fibra F à esquerda. Não perdemos nada se precisarmos G agir fielmente na F de modo que possa ser pensado como um grupo de homeomorfismos de F . Um G - atlas para o pacote ( E , B , $π$ , F ) é um conjunto de gráficos de trivialização locais , para qualquer um dos gráficos sobrepostos e da função ${\ displaystyle \ {(U_ {k}, \, \ varphi _ {k}) \}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {i}, \ varphi _ {j}}$ ${\ displaystyle (U_ {i}, \, \ varphi _ {i})}$ ${\ displaystyle (U_ {j}, \, \ varphi _ {j})}$

{\ displaystyle \ varphi _ {i} \ varphi _ {j} ^ {- 1} \ dois pontos \ esquerda (U_ {i} \ cap U_ {j} \ direita) \ vezes F \ para \ esquerda (U_ {i} \ cap U_ {j} \ right) \ times F}

É dado por

{\ displaystyle \ varphi _ {i} \ varphi _ {j} ^ {- 1} (x, \, \ xi) = \ left (x, \, t_ {ij} (x) \ xi \ right)}

onde t _ij : U _i ∩ U _j → G é um mapa contínuo denominado função de transição . Dois G -atlases são equivalentes se sua união também for um G -atlas. Um pacote G é um pacote de fibras com uma classe de equivalência de G -atlases. O grupo G é denominado grupo de estrutura do pacote; o termo análogo em física é grupo de calibre .

Na categoria liso, um L -bundle é um feixe de fibras lisas em que L é um grupo de Lie e a acção correspondente em F é suave e as funções de transição são todos os mapas lisas.

As funções de transição t _ij satisfazem as seguintes condições

${\ displaystyle t_ {ii} (x) = 1 \,}$
${\ displaystyle t_ {ij} (x) = t_ {ji} (x) ^ {- 1} \,}$
${\ displaystyle t_ {ik} (x) = t_ {ij} (x) t_ {jk} (x). \,}$

A terceira condição se aplica a sobreposições triplas U _i ∩ U _j ∩ U _k e é chamada de condição de cociclo (ver cohomologia de Čech ). A importância disso é que as funções de transição determinam o feixe de fibras (se se assumir a condição de cociclo Čech).

Um pacote G principal é um pacote G onde a fibra F é um espaço homogêneo principal para a ação esquerda do próprio G (equivalentemente, pode-se especificar que a ação de G na fibra F é livre e transitiva, ou seja, regular ). Nesse caso, muitas vezes é uma questão de conveniência identificar F com G e assim obter uma ação (correta) de G no pacote principal.

Mapas de pacote

É útil ter noções de mapeamento entre dois feixes de fibras. Suponha-se que M e N são espaços de base, e e são feixes de fibras mais de M e N , respectivamente. Um mapa de feixe (ou morfismo de feixe ) consiste em um par de funções contínuas ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ dois pontos E \ a M}$ ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ dois pontos F \ a N}$

{\ displaystyle \ varphi \ dois pontos E \ a F, \ quad f \ dois pontos M \ a N}

tal que . Ou seja, o diagrama a seguir comuta : ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ circ \ varphi = f \ circ \ pi _ {E}}$

Para feixes de fibras com o grupo de estrutura G e cujos espaços totais são espaços G (à direita) (como um feixe principal), os morfismos do feixe também devem ser G - equivariante nas fibras. Isso significa que também é G- morfismo de um G- espaço para outro, ou seja, para todos e . ${\ displaystyle \ varphi \ dois pontos E \ a F}$ ${\ displaystyle \ varphi (xs) = \ varphi (x) s}$ ${\ displaystyle x \ in E}$ ${\ displaystyle s \ in G}$

No caso de os espaços de base M e N coincidirem, então um morfismo de feixe sobre M do feixe de fibra para é um mapa tal que . Isto significa que o mapa pacote abrange a identidade do M . Ou seja, e o diagrama comuta ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ dois pontos E \ a M}$ ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ dois pontos F \ a M}$ ${\ displaystyle \ varphi \ dois pontos E \ a F}$ ${\ displaystyle \ pi _ {E} = \ pi _ {F} \ circ \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi \ dois pontos E \ a F}$ ${\ displaystyle f \ equiv \ mathrm {id} _ {M}}$

Assume-se que ambos e são definidas através do mesmo espaço de base M . Um isomorfismo de feixe é um mapa de feixe entre $π$ _E : E → M e $π$ _F : F → M tal que e tal que φ também é um homeomorfismo. ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ dois pontos E \ a M}$ ${\ displaystyle \ pi _ {F} \ dois pontos F \ a M}$ ${\ displaystyle (\ varphi, \, f)}$ ${\ displaystyle f \ equiv \ mathrm {id} _ {M}}$

Feixes de fibras diferenciáveis

Na categoria de variedades diferenciáveis , os feixes de fibras surgem naturalmente como submersões de uma variedade em outra. Nem toda submersão (diferenciável) ƒ: M → N de uma variedade diferenciável M para outra variedade diferenciável N dá origem a um feixe de fibras diferenciável. Por um lado, o mapa deve ser sobrejetivo, e ( M , N , ƒ) é chamado de variedade de fibras . No entanto, essa condição necessária não é suficiente, e há uma variedade de condições suficientes em uso comum.

Se M e N são compactos e conectados, então qualquer submersão f : M → N dá origem a um feixe de fibras no sentido de que há um espaço de fibra F difeomórfico para cada uma das fibras, tal que ( E , B , $π$ , F ) = ( M , N , ƒ, F ) é um feixe de fibras. (Surjetividade de ƒ segue as suposições já dadas neste caso.) Mais geralmente, a suposição de compactação pode ser relaxada se a submersão ƒ: M → N for assumida como um mapa de sobrejetivo próprio , o que significa que ƒ ⁻¹ ( K ) é compacto para cada subconjunto compacto K de N . Outra condição suficiente, devido a Ehresmann (1951) , é que se ƒ: M → N é uma submersão sobrejetiva com variedades M e N diferenciáveis de modo que a pré-imagem ƒ ⁻¹ { x } seja compacta e conectada para todos os x ∈ N , então ƒ admite uma estrutura de feixe de fibra compatível ( Michor 2008 , §17).

Generalizações

A noção de um pacote aplica-se a muito mais categorias em matemática, às custas de modificar apropriadamente a condição de trivialidade local; cf. espaço homogêneo principal e torsor (geometria algébrica) .
Em topologia, uma fibração é um mapeamento $π$ : E → B que tem certas propriedades teóricas da homotopia em comum com feixes de fibras. Especificamente, sob suposições técnicas moderadas, um feixe de fibra sempre tem a propriedade de levantamento de homotopia ou propriedade de cobertura de homotopia (ver Steenrod (1951 , 11.7) para detalhes). Esta é a propriedade definidora de uma fibração.
Uma seção de um feixe de fibra é uma "função cuja faixa de saída depende continuamente da entrada". Essa propriedade é formalmente capturada na noção de tipo dependente .

Veja também

Notas

^ Seifert, Herbert (1933). "Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume" . Acta Mathematica . 60 : 147–238. doi : 10.1007 / bf02398271 .
^ "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" no Projeto Euclides .
^ Whitney, Hassler (1935). "Espaços de esfera" . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 21 (7): 464–468. Bibcode : 1935PNAS ... 21..464W . doi : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .
^ Whitney, Hassler (1940). "Na teoria dos feixes de esferas" . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 26 (2): 148-153. Bibcode : 1940PNAS ... 26..148W . doi : 10.1073 / pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .
^ Feldbau, Jacques (1939). "Sur la classificação des espaces fibrés". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 208 : 1621–1623.
^ Ehresmann, Charles (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Principal. Alg. Paris . CNRS: 3–15.
^ Ehresmann, Charles (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 224 : 1611–1612.
^ Ehresmann, Charles (1955). "Les prolongements d'un espace fibré différentiable". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 240 : 1755–1757.
^ Serre, Jean-Pierre (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Aplicações". Annals of Mathematics . 54 (3): 425–505. doi : 10.2307 / 1969485 . JSTOR 1969485 .
^ Veja Steenrod (1951 , Prefácio)
^
Em seus primeiros trabalhos, Whitney referiu-se aos feixes de esferas como "espaços-esferas". Veja, por exemplo:
- Whitney, Hassler (1935). "Espaços de esfera" . Proc. Natl. Acad. Sci . 21 (7): 462–468. Bibcode : 1935PNAS ... 21..464W . doi : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .
- Whitney, Hassler (1937). "Propriedades topológicas de variedades diferenciáveis" . Touro. Amer. Matemática. Soc . 43 (12): 785–805. doi : 10.1090 / s0002-9904-1937-06642-0 .
^ Whitney, Hassler (1940). "Sobre a teoria dos feixes de esferas" (PDF) . Proc. Natl. Acad. Sci . 26 (2): 148-153. Bibcode : 1940PNAS ... 26..148W . doi : 10.1073 / pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .
^ Dependendo da categoria de espaços envolvidos, as funções podem ser assumidas como tendo outras propriedades além da continuidade. Por exemplo, na categoria de variedades diferenciáveis, as funções são consideradas suaves. Na categoria de variedades algébricas, eles são morfismos regulares.
^ Ou é, pelo menos, invertível na categoria apropriada; por exemplo, um difeomorfismo.

Referências

Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fiber Bundles , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
Steenrod, Norman (5 de abril de 1999). A topologia dos feixes de fibra . Princeton Mathematical Series. 14 . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. OCLC 40734875 .
Bleecker, David (1981), Gauge Theory and Variational Principles , Reading, Mass: Addison-Wesley Publishing, ISBN 978-0-201-10096-9
Ehresmann, Charles . "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Bruxelles, 1950 . Georges Thone, Liège; Masson et Cie., Paris, 1951. pp. 29-55.
Husemoller, Dale (1994), Fiber Bundles , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
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Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Fiber space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

links externos

Pacote de fibra , PlanetMath
Rowland, Todd. "Pacote de fibra" . MathWorld .
Fazendo a escultura simbólica de John Robinson 'Eternidade'
Sardanashvily, Gennadi , Fiber bundles, jet manifolds e Lagrangian theory. Aulas para teóricos, arXiv : 0908.1886

[1] Seifert, Herbert (1933). "Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume" . Acta Mathematica . 60 : 147–238. doi : 10.1007 / bf02398271 .

[2] "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" no Projeto Euclides .

[3] Whitney, Hassler (1935). "Espaços de esfera" . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 21 (7): 464–468. Bibcode : 1935PNAS ... 21..464W . doi : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .

[4] Whitney, Hassler (1940). "Na teoria dos feixes de esferas" . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 26 (2): 148-153. Bibcode : 1940PNAS ... 26..148W . doi : 10.1073 / pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .

[5] Feldbau, Jacques (1939). "Sur la classificação des espaces fibrés". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 208 : 1621–1623.

[6] Ehresmann, Charles (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Principal. Alg. Paris . CNRS: 3–15.

[7] Ehresmann, Charles (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 224 : 1611–1612.

[8] Ehresmann, Charles (1955). "Les prolongements d'un espace fibré différentiable". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 240 : 1755–1757.

[9] Serre, Jean-Pierre (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Aplicações". Annals of Mathematics . 54 (3): 425–505. doi : 10.2307 / 1969485 . JSTOR 1969485 .

[10] Veja Steenrod (1951 , Prefácio)

[11] Em seus primeiros trabalhos, Whitney referiu-se aos feixes de esferas como "espaços-esferas". Veja, por exemplo:

Whitney, Hassler (1935). "Espaços de esfera" . Proc. Natl. Acad. Sci . 21 (7): 462–468. Bibcode : 1935PNAS ... 21..464W . doi : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .

Whitney, Hassler (1937). "Propriedades topológicas de variedades diferenciáveis" . Touro. Amer. Matemática. Soc . 43 (12): 785–805. doi : 10.1090 / s0002-9904-1937-06642-0 .

[12] Whitney, Hassler (1935). "Espaços de esfera" . Proc. Natl. Acad. Sci . 21 (7): 462–468. Bibcode : 1935PNAS ... 21..464W . doi : 10.1073 / pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID 16588001 .

[13] Whitney, Hassler (1937). "Propriedades topológicas de variedades diferenciáveis" . Touro. Amer. Matemática. Soc . 43 (12): 785–805. doi : 10.1090 / s0002-9904-1937-06642-0 .

[12] Whitney, Hassler (1940). "Sobre a teoria dos feixes de esferas" (PDF) . Proc. Natl. Acad. Sci . 26 (2): 148-153. Bibcode : 1940PNAS ... 26..148W . doi : 10.1073 / pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID 16588328 .

[13] Dependendo da categoria de espaços envolvidos, as funções podem ser assumidas como tendo outras propriedades além da continuidade. Por exemplo, na categoria de variedades diferenciáveis, as funções são consideradas suaves. Na categoria de variedades algébricas, eles são morfismos regulares.

[14] Ou é, pelo menos, invertível na categoria apropriada; por exemplo, um difeomorfismo.

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