Equação de campo - Field equation
Em física teórica e matemática aplicada , uma equação de campo é uma equação diferencial parcial que determina a dinâmica de um campo físico , especificamente a evolução temporal e a distribuição espacial do campo. As soluções da equação são funções matemáticas que correspondem diretamente ao campo, como funções de tempo e espaço. Como a equação de campo é uma equação diferencial parcial, existem famílias de soluções que representam uma variedade de possibilidades físicas. Normalmente, não existe apenas uma única equação, mas um conjunto de equações acopladas que devem ser resolvidas simultaneamente. As equações de campo não são equações diferenciais ordinárias, pois um campo depende do espaço e do tempo, o que requer pelo menos duas variáveis.
Considerando que a " equação de onda ", a " equação de difusão " e a " equação de continuidade " todas têm formas padrão (e vários casos especiais ou generalizações), não há uma equação especial única referida como "a equação de campo".
O tópico se divide amplamente em equações da teoria de campo clássica e teoria de campo quântica . Equações de campo clássicas descrevem muitas propriedades físicas como temperatura de uma substância, velocidade de um fluido, tensões em um material elástico, campos elétricos e magnéticos de uma corrente, etc. Eles também descrevem as forças fundamentais da natureza, como eletromagnetismo e gravidade. Na teoria quântica de campos, partículas ou sistemas de "partículas" como elétrons e fótons estão associados a campos, permitindo graus infinitos de liberdade (ao contrário de graus finitos de liberdade na mecânica de partículas) e números de partículas variáveis que podem ser criados ou aniquilados .
Generalidades
Origem
Normalmente, as equações de campo são postuladas (como as equações de campo de Einstein e a equação de Schrödinger , subjacente a todas as equações de campo quânticas) ou obtidas a partir de resultados de experimentos (como as equações de Maxwell ). A extensão de sua validade é sua extensão para prever corretamente e concordar com os resultados experimentais.
A partir de um ponto de vista teórico, equações de campo podem ser formulados nos quadros de teoria de Lagrange campo , a teoria do campo hamiltoniano , e campo de formulações teóricas do princípio de acção estacionário . Dada uma densidade Lagrangiana ou Hamiltoniana adequada, uma função dos campos em um determinado sistema, bem como suas derivadas, o princípio da ação estacionária obterá a equação do campo.
Simetria
Em ambas as teorias clássicas e quânticas, as equações de campo irão satisfazer a simetria da teoria física de fundo. Na maioria das vezes, a simetria galileana é suficiente, para velocidades (de campos de propagação) muito menores que a luz. Quando partículas e campos se propagam a velocidades próximas à da luz, a simetria de Lorentz é uma das configurações mais comuns porque a equação e suas soluções são consistentes com a relatividade especial.
Outra simetria surge da liberdade do medidor , que é intrínseca às equações de campo. Os campos que correspondem às interações podem ser campos de calibre , o que significa que podem ser derivados de um potencial, e certos valores de potenciais correspondem ao mesmo valor do campo.
Classificação
As equações de campo podem ser classificadas de várias maneiras: clássicas ou quânticas, não relativísticas ou relativísticas, de acordo com o spin ou massa do campo e o número de componentes que o campo possui e como eles mudam sob transformações de coordenadas (por exemplo , campos escalares , campos vetoriais , campos tensores , campos spinor , campos twistor, etc.). Eles também podem herdar a classificação das equações diferenciais, como lineares ou não lineares , a ordem da derivada mais alta, ou mesmo como equações diferenciais fracionárias . Os campos de calibre podem ser classificados como na teoria dos grupos , como abelianos ou não-fabianos.
Ondas
As equações de campo são a base das equações de onda, porque os campos que mudam periodicamente geram ondas. As equações de onda podem ser consideradas como equações de campo, no sentido em que muitas vezes podem ser derivadas de equações de campo. Alternativamente, dadas as densidades Lagrangianas ou Hamiltonianas adequadas e usando o princípio da ação estacionária, as equações de onda também podem ser obtidas.
Por exemplo, as equações de Maxwell podem ser usadas para derivar equações de ondas eletromagnéticas não homogêneas , e das equações de campo de Einstein podem-se derivar equações para ondas gravitacionais .
Equações suplementares para equações de campo
Nem toda equação diferencial parcial (PDE) em física é automaticamente chamada de "equação de campo", mesmo se os campos estiverem envolvidos. Eles são equações extras para fornecer restrições adicionais para um determinado sistema físico.
" Equações de continuidade " e " equações de difusão " descrevem fenômenos de transporte , embora possam envolver campos que influenciam os processos de transporte.
Se uma " equação constitutiva " assume a forma de um PDE e envolve campos, geralmente não é chamada de equação de campo porque não governa o comportamento dinâmico dos campos. Eles relacionam um campo a outro, em um determinado material. As equações constitutivas são usadas junto com as equações de campo quando os efeitos da matéria precisam ser levados em consideração.
Equação de campo clássica
Equações de campo clássicas surgem na mecânica contínua (incluindo elastodinâmica e mecânica dos fluidos ), transferência de calor , eletromagnetismo e gravitação .
Equações de campo clássicas fundamentais incluem
- Lei da Gravitação Universal de Newton para gravitação não relativística.
- Equações de campo de Einstein para gravitação relativística
- Equações de Maxwell para eletromagnetismo.
Equações importantes derivadas de leis fundamentais incluem:
- Equações de Navier-Stokes para fluxo de fluido.
Como parte dos processos de modelagem matemática da vida real , as equações de campo clássicas são acompanhadas por outras equações de movimento , equações de estado , equações constitutivas e equações de continuidade.
Equação de campo quântico
Na teoria quântica de campos, as partículas são descritas por campos quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger . Eles também são operadores de criação e aniquilação que satisfazem as relações de comutação e estão sujeitos ao teorema da estatística de spin .
Casos particulares de equações de campo quântico relativísticas incluem
- a equação de Klein-Gordon para partículas spin-0
- a equação de Dirac para partículas de spin-1/2
- as equações de Bargmann-Wigner para partículas de qualquer spin
Em equações de campo quântico, é comum usar componentes de momento da partícula em vez de coordenadas de posição da localização da partícula, os campos estão no espaço de momento e as transformadas de Fourier os relacionam com a representação da posição.
Veja também
Referências
Geral
- G. Woan (2010). The Cambridge Handbook of Physics Formulas . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2 .
Teoria de campo clássica
- Misner, Charles W .; Thorne, Kip. S .; Wheeler, John A. (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
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Teoria quântica de campos
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Teoria de campo clássica e quântica
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links externos
- JCA Wevers (1999). "Formulário de Física" (PDF) . Retirado em 27 de dezembro de 2016 .
- Glenn Elert (1998). "Equações freqüentemente usadas" . Retirado em 27 de dezembro de 2016 .