Conjectura da área de enchimento - Filling area conjecture

Na geometria diferencial , Mikhail Gromov de conjecturar área de enchimento afirma que o hemisfério tem área mínima entre os orientáveis superfícies que enchem uma curva fechada de determinado comprimento sem a introdução de atalhos entre os seus pontos.

Definições e declaração da conjectura

Toda superfície lisa M ou curva no espaço euclidiano é um espaço métrico , no qual a distância (intrínseca) d M ( x , y ) entre dois pontos x y de M é definida como o ínfimo dos comprimentos das curvas que vão de x para y ao longo de M . Por exemplo, em uma curva fechada de comprimento 2 L , para cada ponto x da curva há um outro ponto exclusivo da curva (chamado de antípoda de x ) na distância L de x .

Um compacto superfície M enche uma curva fechada C , se a sua borda (também chamado limite , denotado M ) representa a curva C . O preenchimento M é dito isométrico se para quaisquer dois pontos x , y da curva limite C , a distância d M ( x , y ) entre eles ao longo de M é a mesma (não menor) que a distância d C ( x , y ) ao longo da fronteira. Em outras palavras, preencher uma curva isometricamente é preenchê-la sem introduzir atalhos.

Pergunta: Quão pequena pode ser a área de uma superfície que preenche isometricamente sua curva limite, de determinado comprimento?

Por exemplo, no espaço euclidiano tridimensional, o círculo

(de comprimento 2 π ) é preenchido pelo disco plano

que não é um preenchimento isométrico, porque qualquer corda reta ao longo dele é um atalho. Em contraste, o hemisfério

é um preenchimento isométrico do mesmo círculo C , que possui o dobro da área do disco plano . Esta é a área mínima possível?

A superfície pode ser imaginada como feita de um material flexível, mas não esticável, que permite que seja movida e dobrada no espaço euclidiano. Nenhuma dessas transformações modifica a área da superfície nem o comprimento das curvas nela traçadas, que são as magnitudes relevantes para o problema. A superfície pode ser removida do espaço euclidiano completamente, obtendo-se uma superfície Riemanniana , que é uma superfície lisa abstrata com uma métrica Riemanniana que codifica os comprimentos e área. Reciprocamente, de acordo com o teorema de Nash-Kuiper , qualquer superfície Riemanniana com limite pode ser embutida no espaço euclidiano preservando os comprimentos e a área especificados pela métrica Riemanniana. Assim, o problema de preenchimento pode ser formulado de forma equivalente como uma questão sobre superfícies Riemannianas , que não são colocadas no espaço euclidiano de nenhuma maneira particular.

Conjectura ( conjectura da área de preenchimento de Gromov, 1983): O hemisfério tem área mínima entre as superfícies compactas orientáveis ​​de Riemann que preenchem isometricamente sua curva limite, de determinado comprimento.

A prova de Gromov para o caso dos discos Riemannianos

No mesmo artigo em que Gromov afirmou a conjectura, ele provou que

o hemisfério tem a menor área entre as superfícies Riemannianas que preenchem isometricamente um círculo de determinado comprimento e são homeomórficas a um disco .

Prova: Seja um disco Riemanniano que preenche isometricamente sua fronteira de comprimento . Cole cada ponto com o seu antípoda ponto , definido como o ponto único de que está a uma distância máxima possível a partir de . Colando desta forma, obtemos uma superfície Riemanniana fechada que é homeomórfica ao plano projetivo real e cuja sístole (o comprimento da curva não contrátil mais curta) é igual a . (E, reciprocamente, se abrirmos um plano projetivo ao longo de um loop não contrátil mais curto de comprimento , obtemos um disco que preenche isometricamente seu limite de comprimento .) Assim, a área mínima que o preenchimento isométrico pode ter é igual à área mínima que um O plano projetivo riemanniano de sístole pode ter. Mas então a desigualdade sistólica de Pu afirma precisamente que um plano projetivo Riemanniano de dada sístole tem área mínima se e somente se for redondo (isto é, obtido de uma esfera euclidiana identificando cada ponto com seu oposto). A área deste plano projetivo redondo é igual à área do hemisfério (porque cada um deles tem metade da área da esfera).

A prova da desigualdade de Pu se baseia, por sua vez, no teorema da uniformização .

Preenchimentos com métricas Finsler

Em 2001, Sergei Ivanov apresentou outra forma de provar que o hemisfério possui a menor área entre os obturações isométricas homeomórficas a um disco. Seu argumento não emprega o teorema da uniformização e é baseado, em vez disso, no fato topológico de que duas curvas em um disco devem se cruzar se seus quatro pontos finais estiverem no limite e entrelaçados. Além disso, a prova de Ivanov se aplica de forma mais geral a discos com métricas de Finsler , que diferem das métricas de Riemann porque não precisam satisfazer a equação pitagórica no nível infinitesimal. A área de uma superfície de Finsler pode ser definida de várias maneiras inequivalentes, e aquela empregada aqui é a área de Holmes-Thompson , que coincide com a área usual quando a métrica é Riemanniana. O que Ivanov provou é que

O hemisfério tem uma área mínima de Holmes – Thompson entre os discos Finsler que preenchem isometricamente uma curva fechada de determinado comprimento.
Prova do teorema de Ivanov

Deixe ( H , F ) ser um disco que Finsler isometricamente preenche o seu limite de comprimento 2 G . Podemos assumir que M é o disco redondo padrão em 2 , e a métrica Finsler F : T M = M × ℝ 2 → [0, + ∞) é lisa e fortemente convexa. A área de Holmes-Thompson do preenchimento pode ser calculada pela fórmula

onde para cada ponto , o conjunto é a bola unitária da norma (a bola unitária da norma dual ), e é sua área usual como um subconjunto de .

Escolha uma coleção de pontos de fronteira, listados no sentido anti-horário. Para cada ponto , definimos em M a função escalar . Essas funções têm as seguintes propriedades:

  • Cada função é Lipschitz em M e, portanto (pelo teorema de Rademacher ) diferenciável em quase todos os pontos .
  • Se é diferenciável em um ponto interior , então há uma curva mais curta única a partir de x (parametrizados com a velocidade da unidade), que chega x com uma velocidade . O diferencial tem norma 1 e é o único covetor desse tipo .
  • Em cada ponto onde todas as funções são diferenciáveis, os covetores são distintos e colocados no sentido anti-horário na esfera unitária dual . Na verdade, eles devem ser distintos porque diferentes geodésicas não podem chegar à mesma velocidade. Além disso, se três desses covetores (para alguns ) aparecessem em ordem invertida, então duas das três curvas mais curtas dos pontos a se cruzariam, o que não é possível.

Em resumo, para quase todos os pontos interiores , os covetores são vértices, listados no sentido anti-horário, de um polígono convexo inscrito na esfera de unidade dual . A área deste polígono é (onde o índice i  + 1 é calculado módulo n ). Portanto, temos um limite inferior

para a área do recheio. Se definirmos a forma 1 , podemos reescrever esse limite inferior usando a fórmula de Stokes como

.

A integral de contorno que aparece aqui é definida em termos das funções de distância restritas ao contorno, que não dependem do preenchimento isométrico . O resultado da integral, portanto, depende apenas da colocação dos pontos no círculo de comprimento 2L . Omitimos o cálculo e expressamos o resultado em termos dos comprimentos de cada arco de limite no sentido anti-horário de um ponto ao ponto seguinte . O cálculo é válido apenas se .

Em resumo, nosso limite inferior para a área do preenchimento isométrico de Finsler converge para conforme a coleção é densificada. Isso implica que

,

como tínhamos que provar.


Ao contrário do caso Riemanniano, há uma grande variedade de discos de Finsler que preenchem isometricamente uma curva fechada e têm a mesma área de Holmes-Thompson que o hemisfério. Se a área de Hausdorff for usada, então a minimalidade do hemisfério ainda se mantém, mas o hemisfério se torna o minimizador único. Isso segue do teorema de Ivanov, uma vez que a área de Hausdorff de uma variedade de Finsler nunca é menor que a área de Holmes-Thompson , e as duas áreas são iguais se e somente se a métrica for Riemanniana.

Não minimalidade do hemisfério entre recheios racionais com métricas Finsler

Um disco euclidiano que preenche um círculo pode ser substituído, sem diminuir as distâncias entre os pontos de fronteira, por um disco de Finsler que preenche o mesmo círculo N = 10 vezes (no sentido de que seu limite envolve o círculo N vezes), mas cujo Holmes –A área de Thompson é menor que N vezes a área do disco. Para o hemisfério, uma substituição semelhante pode ser encontrada. Em outras palavras, a conjectura da área de preenchimento é falsa se duas cadeias de Finsler com coeficientes racionais forem permitidas como preenchimentos, em vez de superfícies orientáveis ​​(que podem ser consideradas como 2 cadeias com coeficientes inteiros ).

Preenchimentos Riemannianos de gênero um e hiperelipticidade

Uma superfície Riemanniana orientável de gênero que preenche isometricamente o círculo não pode ter menos área do que o hemisfério. A prova, neste caso, começa novamente com a colagem dos pontos antípodas da fronteira. A superfície fechada não orientável obtida desta forma tem uma cobertura dupla orientável do gênero dois, sendo portanto hiperelíptica . A prova então explora uma fórmula de J. Hersch da geometria integral. Ou seja, considere a família de loops em forma de 8 em uma bola de futebol, com o ponto de autointerseção no equador. A fórmula de Hersch expressa a área de uma métrica na classe conforme do futebol, como uma média das energias dos loops de figura 8 da família. Uma aplicação da fórmula de Hersch ao quociente hiperelíptico da superfície de Riemann prova a conjectura da área de preenchimento neste caso.

Variedades quase planas são preenchimentos mínimos de suas distâncias limite

Se uma variedade Riemanniana M (de qualquer dimensão) é quase plana (mais precisamente, M é uma região de com uma métrica Riemanniana que está próxima da métrica Euclidiana padrão), então M é um minimizador de volume : não pode ser substituído por um orientável Variedade Riemanniana que preenche o mesmo limite e tem menos volume sem reduzir a distância entre alguns pontos de limite. Isso implica que, se um pedaço de esfera for suficientemente pequeno (e, portanto, quase plano), ele é um minimizador de volume. Se este teorema pode ser estendido para grandes regiões (ou seja, para todo o hemisfério), então a conjectura da área de preenchimento é verdadeira. Foi conjecturado que todas as variedades Riemannianas simples (aquelas que são convexas em seus limites e onde cada dois pontos são unidos por uma geodésica única) são minimizadores de volume.

A prova de que cada variedade quase plana M é um minimizador de volume envolve incorporar M em , e então mostrar que qualquer substituição isométrica de M também pode ser mapeada no mesmo espaço e projetada em M , sem aumentar seu volume. Isso implica que a substituição não tem menos volume do que o coletor M original .

Veja também

Referências