Finanças matemáticas - Mathematical finance

As finanças matemáticas , também conhecidas como finanças quantitativas e matemática financeira , são um campo da matemática aplicada que se preocupa com a modelagem matemática dos mercados financeiros . Consulte Analista quantitativo .

Em geral, existem dois ramos distintos de finanças que requerem técnicas quantitativas avançadas: precificação de derivativos, por um lado, e gerenciamento de risco e portfólio, por outro. As finanças matemáticas se sobrepõem fortemente às áreas de finanças computacionais e engenharia financeira . O último se concentra em aplicativos e modelagem, muitas vezes com a ajuda de modelos de ativos estocásticos , enquanto o primeiro se concentra, além da análise, na construção de ferramentas de implementação para os modelos. Também relacionado está o investimento quantitativo , que se baseia em modelos estatísticos e numéricos (e, mais recentemente , no aprendizado de máquina ), em oposição à análise fundamental tradicional ao gerenciar carteiras ; veja também negociação algorítmica .

O matemático francês Louis Bachelier é considerado o autor do primeiro trabalho acadêmico sobre finanças matemáticas, publicado em 1900. Mas as finanças matemáticas surgiram como uma disciplina na década de 1970, após o trabalho de Fischer Black , Myron Scholes e Robert Merton sobre a teoria do apreçamento de opções. O investimento matemático originou-se da pesquisa do matemático Edward Thorp, que usou métodos estatísticos para inventar a contagem de cartas no blackjack e depois aplicou seus princípios ao investimento sistemático moderno.

O assunto tem uma relação estreita com a disciplina de economia financeira , que se preocupa com grande parte da teoria subjacente que está envolvida na matemática financeira. Geralmente, as finanças matemáticas derivam e estendem os modelos matemáticos ou numéricos sem necessariamente estabelecer um vínculo com a teoria financeira, tomando como entrada os preços de mercado observados. É necessária consistência matemática, não compatibilidade com a teoria econômica. Assim, por exemplo, enquanto um economista financeiro pode estudar as razões estruturais pelas quais uma empresa pode ter um determinado preço de ação , um matemático financeiro pode tomar o preço da ação como um dado e tentar usar o cálculo estocástico para obter o valor correspondente dos derivados de o estoque . Veja: Avaliação de opções ; Modelagem financeira ; Preços de ativos . O teorema fundamental da precificação livre de arbitragem é um dos teoremas-chave em finanças matemáticas, enquanto a equação e a fórmula de Black-Scholes estão entre os resultados-chave.

Hoje, muitas universidades oferecem programas de graduação e pesquisa em finanças matemáticas.

História: Q versus P

Existem dois ramos distintos de finanças que requerem técnicas quantitativas avançadas: precificação de derivativos e gerenciamento de risco e portfólio. Uma das principais diferenças é que eles usam diferentes probabilidades, como a probabilidade neutra ao risco (ou probabilidade de arbitragem de preços), denotada por "Q", e a probabilidade real (ou atuarial), denotada por "P".

Preços de derivativos: o mundo Q

O mundo Q

Meta	"extrapolar o presente"
Ambiente	probabilidade neutra ao risco ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
Processos	martingales de tempo contínuo
Dimensão	baixo
Ferramentas	Cálculo de Itō, PDEs
Desafios	calibração
O negócio	vender lado

O objetivo da precificação de derivativos é determinar o preço justo de um determinado título em termos de títulos mais líquidos, cujo preço é determinado pela lei de oferta e demanda . O significado de "justo" depende, é claro, se alguém considera comprar ou vender o título. Exemplos de títulos que estão sendo precificados são opções simples e exóticas , títulos conversíveis , etc.

Uma vez que um preço justo tenha sido determinado, o trader do lado da venda pode fazer um mercado para o título. Portanto, a precificação de derivativos é um exercício de "extrapolação" complexo para definir o valor de mercado atual de um título, que é então usado pela comunidade de vendedores. A precificação quantitativa de derivativos foi iniciada por Louis Bachelier em The Theory of Speculation ("Théorie de la spéculation", publicada em 1900), com a introdução do mais básico e mais influente dos processos, o movimento browniano , e suas aplicações para a precificação de opções . O movimento browniano é derivado usando a equação de Langevin e o passeio aleatório discreto . Bachelier modelou a série temporal de mudanças no logaritmo dos preços das ações como um passeio aleatório em que as mudanças de curto prazo tinham uma variância finita . Isso faz com que mudanças de longo prazo sigam uma distribuição gaussiana .

A teoria permaneceu adormecida até Fischer Black e Myron Scholes , junto com contribuições fundamentais de Robert C. Merton , aplicarem o segundo processo mais influente, o movimento browniano geométrico , ao apreçamento de opções . Para isso, M. Scholes e R. Merton receberam o Prêmio Nobel Memorial de 1997 em Ciências Econômicas . Black não foi elegível para o prêmio por causa de sua morte em 1995.

O próximo passo importante foi o teorema fundamental da precificação de ativos de Harrison e Pliska (1981), segundo o qual o preço corrente adequadamente normalizado P ₀ de um título é livre de arbitragem e, portanto, verdadeiramente justo apenas se houver um processo estocástico P _t com valor esperado constante que descreve sua evolução futura:

${\ displaystyle P_ {0} = \ mathbf {E} _ {0} (P_ {t})}$

( 1 )

Um processo que satisfaça ( 1 ) é denominado " martingale ". Um martingale não recompensa o risco. Assim, a probabilidade do processo de preço normalizado do título é chamada de "neutra ao risco" e é normalmente indicada pela letra da fonte do quadro - negro " ". ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

A relação ( 1 ) deve ser mantida para todos os tempos t: portanto, os processos usados ​​para a precificação de derivativos são naturalmente configurados em tempo contínuo.

Os quants que operam no mundo Q de precificação de derivativos são especialistas com profundo conhecimento dos produtos específicos que modelam.

Os títulos são avaliados individualmente e, portanto, os problemas no mundo Q são de natureza reduzida. A calibração é um dos principais desafios do mundo Q: uma vez que um processo paramétrico de tempo contínuo foi calibrado para um conjunto de títulos negociados por meio de um relacionamento como ( 1 ), um relacionamento semelhante é usado para definir o preço de novos derivativos.

As principais ferramentas quantitativas necessárias para lidar com processos Q de tempo contínuo são o cálculo estocástico de Itô , simulação e equações diferenciais parciais (PDE's).

Gestão de risco e portfólio: o mundo P

O mundo P

Meta	"modelar o futuro"
Ambiente	probabilidade do mundo real ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$
Processos	série de tempo discreto
Dimensão	ampla
Ferramentas	estatísticas multivariadas
Desafios	estimativa
O negócio	lado da compra

A gestão de risco e carteira visa modelar a distribuição de probabilidade estatisticamente derivada dos preços de mercado de todos os títulos em um determinado horizonte de investimento futuro.
Esta distribuição de probabilidade "real" dos preços de mercado é tipicamente denotada pela letra da fonte do quadro-negro " ", em oposição à probabilidade "neutra ao risco" "usada na precificação de derivativos. Com base na distribuição P, a comunidade do lado da compra toma decisões sobre quais títulos comprar para melhorar o perfil de lucros e perdas em perspectiva de suas posições consideradas como uma carteira. Cada vez mais, os elementos desse processo são automatizados; consulte Esboço de finanças § Investimento quantitativo para obter uma lista de artigos relevantes. ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Por seu trabalho pioneiro, Markowitz e Sharpe , junto com Merton Miller , compartilharam o Prêmio Nobel Memorial de Ciências Econômicas de 1990 , pela primeira vez concedido por um trabalho em finanças.

O trabalho de seleção de portfólio de Markowitz e Sharpe introduziu a matemática na gestão de investimentos . Com o tempo, a matemática tornou-se mais sofisticada. Graças a Robert Merton e Paul Samuelson, os modelos de um período foram substituídos por modelos de tempo contínuo, modelos de movimento browniano , e a função de utilidade quadrática implícita na otimização de média-variância foi substituída por funções de utilidade côncavas crescentes mais gerais. Além disso, nos últimos anos, o foco mudou para o risco de estimativa, ou seja, os perigos de assumir incorretamente que a análise de série de tempo avançada por si só pode fornecer estimativas completamente precisas dos parâmetros de mercado.

Muito esforço foi despendido no estudo dos mercados financeiros e como os preços variam com o tempo. Charles Dow , um dos fundadores da Dow Jones & Company e do The Wall Street Journal , enunciou um conjunto de ideias sobre o assunto que hoje são chamadas de Teoria Dow . Esta é a base do chamado método de análise técnica para tentar prever mudanças futuras. Um dos princípios da "análise técnica" é que as tendências do mercado dão uma indicação do futuro, pelo menos no curto prazo. As afirmações dos analistas técnicos são contestadas por muitos acadêmicos.

Crítica

Ao longo dos anos, modelos matemáticos e estratégias de precificação de derivativos cada vez mais sofisticados foram desenvolvidos, mas sua credibilidade foi prejudicada pela crise financeira de 2007-2010 . A prática contemporânea de finanças matemáticas foi submetida a críticas de personalidades da área, notadamente por Paul Wilmott e por Nassim Nicholas Taleb , em seu livro The Black Swan . Taleb afirma que os preços dos ativos financeiros não podem ser caracterizados pelos modelos simples atualmente em uso, tornando muitas das práticas atuais, na melhor das hipóteses, irrelevantes e, na pior, perigosamente enganosas. Wilmott e Emanuel Derman publicaram o Manifesto dos Modeladores Financeiros em janeiro de 2009, que aborda algumas das preocupações mais sérias. Organismos como o Institute for New Economic Thinking estão agora tentando desenvolver novas teorias e métodos.

Em geral, modelar as mudanças por distribuições com variância finita é, cada vez mais, considerado inadequado. Na década de 1960, foi descoberto por Benoit Mandelbrot que as mudanças nos preços não seguem uma distribuição gaussiana , mas são melhor modeladas por distribuições alfa- estáveis ​​de Lévy . A escala de mudança, ou volatilidade, depende da duração do intervalo de tempo para uma potência um pouco maior que 1/2. Grandes mudanças para cima ou para baixo são mais prováveis ​​do que se calcularia usando uma distribuição gaussiana com um desvio padrão estimado . Mas o problema é que isso não resolve o problema, pois torna a parametrização muito mais difícil e o controle de risco menos confiável.

Veja também

Ferramentas matemáticas

Preços de derivativos

Modelagem de portfólio

De outros

Notas

Leitura adicional

• Nicole El Karoui , "O futuro da matemática financeira" , ParisTech Review , 6 de setembro de 2013
• Harold Markowitz , "Portfolio Selection", The Journal of Finance , 7, 1952, pp. 77-91
• Attilio Meucci , "'P Versus Q': Diferenças e Comunalidades entre as Duas Áreas de Finanças Quantitativas" , GARP Risk Professional , fevereiro de 2011, pp. 41-44
• William F. Sharpe , Investments , Prentice-Hall, 1985