Singularidade (matemática) - Singularity (mathematics)

Em matemática , uma singularidade é um ponto em que um determinado objeto matemático não é definido, ou um ponto em que o objeto matemático deixa de ser bem-comportado de alguma maneira particular, como por falta de diferenciabilidade ou analiticidade .

Por exemplo, a função real

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}

tem uma singularidade em , onde o valor numérico da função se aproxima, de modo que a função não é definida. A função de valor absoluto também tem uma singularidade em $x$ $= 0$ , uma vez que não é diferenciável aí. ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle g (x) = | x |}$

A curva algébrica definida por no sistema de coordenadas tem uma singularidade (chamada cúspide ) em . Para singularidades na geometria algébrica , veja o ponto singular de uma variedade algébrica . Para singularidades em geometria diferencial , consulte a teoria da singularidade . ${\ displaystyle \ left \ {(x, y): y ^ {3} -x ^ {2} = 0 \ right \}}$ ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle (0,0)}$

Análise real

Na análise real , as singularidades são descontinuidades ou descontinuidades da derivada (às vezes também descontinuidades de derivadas de ordem superior). Existem quatro tipos de descontinuidades: tipo I , que tem dois subtipos, e tipo II , que também pode ser dividido em dois subtipos (embora geralmente não seja).

Para descrever a forma como estes dois tipos de limites estão sendo usados, suponha que é uma função de um argumento verdadeiro , e para qualquer valor de seu argumento, digamos , em seguida, o canhoto limite , e o limite de destro , são definido por: ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$

{\ displaystyle f (c ^ {-}) = \ lim _ {x \ to c} f (x)}

, restringido por e

{\ displaystyle x <c}

{\ displaystyle f (c ^ {+}) = \ lim _ {x \ to c} f (x)}

, restringido por .

{\ displaystyle x> c}

O valor é o valor para o qual a função tende conforme o valor se aproxima de baixo , e o valor é o valor para o qual a função tende conforme o valor se aproxima de cima , independentemente do valor real que a função tem no ponto onde . ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle x = c}$

Existem algumas funções para as quais esses limites não existem. Por exemplo, a função

{\ displaystyle g (x) = \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}

não tende para nada à medida que se aproxima . Os limites, neste caso, não são infinitos, mas indefinidos : não há valor que se estabeleça. Pegando emprestado da análise complexa, isso às vezes é chamado de singularidade essencial . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c = 0}$ ${\ displaystyle g (x)}$

Os casos possíveis em um determinado valor para o argumento são os seguintes. ${\ displaystyle c}$

Um ponto de continuidade é um valor de para o qual , como se espera para uma função suave. Todos os valores devem ser finitos. Se não for um ponto de continuidade, então ocorre uma descontinuidade em . ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c) = f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c}$
Uma descontinuidade do tipo I ocorre quando ambos e existem e são finitos, mas pelo menos uma das três condições a seguir também se aplica: ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {+})$
- ${\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$ ;
- ${\ displaystyle f (x)}$ não está definido para o caso de ; ou ${\ displaystyle x = c}$
- ${\ displaystyle f (c)}$ tem um valor definido, que, no entanto, não corresponde ao valor dos dois limites.
As descontinuidades do tipo I podem ser ainda mais distinguidas como sendo um dos seguintes subtipos:
- Uma descontinuidade de salto ocorre quando , independentemente de estar definido, e independentemente de seu valor se estiver definido. ${\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle f (c)}$
- Uma descontinuidade removível ocorre quando , também independentemente de estar definido, e independentemente de seu valor se estiver definido (mas que não corresponde ao dos dois limites). ${\ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle f (c)}$
Uma descontinuidade do tipo II ocorre quando um ou não existe (possivelmente ambos). Isso tem dois subtipos, que geralmente não são considerados separadamente: ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {+})$
- Uma descontinuidade infinita é o caso especial quando o limite do lado esquerdo ou do lado direito não existe, especificamente porque é infinito, e o outro limite também é infinito ou é algum número finito bem definido. Em outras palavras, a função possui uma descontinuidade infinita quando seu gráfico possui uma assíntota vertical .
- Uma singularidade essencial é um termo emprestado da análise complexa (veja abaixo). É o caso quando um ou outro limita ou não existe, mas não porque se trate de uma descontinuidade infinita . As singularidades essenciais não se aproximam de nenhum limite, nem mesmo se as respostas válidas forem estendidas para incluir . ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$

Na análise real, uma singularidade ou descontinuidade é uma propriedade de uma função sozinha. Quaisquer singularidades que possam existir na derivada de uma função são consideradas como pertencentes à derivada, não à função original.

Singularidades coordenadas

Uma singularidade coordenada ocorre quando uma aparente singularidade ou descontinuidade ocorre em um quadro de coordenadas, que pode ser removida escolhendo um quadro diferente. Um exemplo disso é a aparente singularidade na latitude de 90 graus em coordenadas esféricas . Um objeto se movendo para o norte (por exemplo, ao longo da linha 0 graus de longitude) na superfície de uma esfera de repente experimentará uma mudança instantânea na longitude no pólo (no caso do exemplo, saltando da longitude 0 para a longitude 180 graus) . Essa descontinuidade, entretanto, é apenas aparente; é um artefato do sistema de coordenadas escolhido, que é singular nos pólos. Um sistema de coordenadas diferente eliminaria a descontinuidade aparente (por exemplo, substituindo a representação de latitude / longitude por uma representação de $n-$ vetor ).

Análise complexa

Na análise complexa , existem várias classes de singularidades. Isso inclui as singularidades isoladas, as singularidades não isoladas e os pontos de ramificação.

Singularidades isoladas

Suponha que U seja um subconjunto aberto dos números complexos C , com o ponto a sendo um elemento de U , e que f seja uma função diferenciável complexa definida em alguma vizinhança em torno de a , excluindo a : U \ { a }, então:

O ponto a é uma singularidade removível de f se existe uma função holomórfica g definida em todo U tal que f ( z ) = g ( z ) para todo z em U \ { a }. A função g é uma substituição contínua da função f .
O ponto a é um pólo ou singularidade não essencial de f se existe uma função holomórfica g definida em U com g ( a ) diferente de zero, e um número natural n tal que f ( z ) = g ( z ) / ( z - a ) ⁿ para todo z em U \ { a }. O menor número n é chamado de ordem do pólo . A própria derivada em uma singularidade não essencial tem uma singularidade não essencial, com n aumentado por 1 (exceto se n for 0 de modo que a singularidade seja removível).
O ponto a é uma singularidade essencial de f se não for uma singularidade removível nem um pólo. O ponto a é uma singularidade essencial se e somente se a série de Laurent tiver infinitos poderes de grau negativo.

Singularidades não isoladas

Além de singularidades isoladas, funções complexas de uma variável podem exibir outro comportamento singular. Estas são chamadas de singularidades não isoladas, das quais existem dois tipos:

Pontos de cluster : pontos limites de singularidades isoladas. Se forem todos pólos, apesar de admitir expansões da série Laurent em cada um deles, então nenhuma expansão é possível em seu limite.
Limites naturais : qualquer conjunto não isolado (por exemplo, uma curva) no qual as funções não podem ser continuadas analiticamente ao redor (ou fora delas se forem curvas fechadas na esfera de Riemann ).

Pontos de ramificação

Os pontos de ramificação são geralmente o resultado de uma função com vários valores , como ou , que são definidos dentro de um determinado domínio limitado para que a função possa ser tornada com valor único dentro do domínio. O corte é uma linha ou curva excluída do domínio para introduzir uma separação técnica entre os valores descontínuos da função. Quando o corte é genuinamente necessário, a função terá valores distintos em cada lado do corte do ramo. A forma do corte do ramo é uma questão de escolha, embora deva conectar dois pontos de ramo diferentes (como e para ) que são fixados no lugar. ${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$ ${\ displaystyle \ log (z)}$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = \ infty}$ ${\ displaystyle \ log (z)}$

Singularidade de tempo finito

A função recíproca , exibindo crescimento hiperbólico .

Uma singularidade de tempo finito ocorre quando uma variável de entrada é o tempo e uma variável de saída aumenta para o infinito em um tempo finito. Estes são importantes em cinemática e PDEs ( Equações Diferenciais Parciais ) - infinitos não ocorrem fisicamente, mas o comportamento próximo à singularidade é frequentemente de interesse. Matematicamente, as singularidades de tempo finito mais simples são leis de potência para vários expoentes da forma em que o mais simples é o crescimento hiperbólico , onde o expoente é (negativo) 1: Mais precisamente, a fim de obter uma singularidade em um tempo positivo conforme o tempo avança ( então a saída cresce até o infinito), em vez disso, usa-se (usando t para o tempo, invertendo a direção para de modo que o tempo aumente para o infinito e mudando a singularidade para frente de 0 para um tempo fixo ). ${\ displaystyle x ^ {- \ alpha},}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}.}$ ${\ displaystyle (t_ {0} -t) ^ {- \ alpha}}$ ${\ displaystyle -t}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$

Um exemplo seria o movimento de salto de uma bola inelástica em um avião. Se for considerado o movimento idealizado, no qual a mesma fração da energia cinética é perdida a cada salto, a frequência dos saltos torna-se infinita, pois a bola para em um tempo finito. Outros exemplos de singularidades de tempo finito incluem as várias formas do paradoxo Painlevé (por exemplo, a tendência de um giz pular quando arrastado por um quadro negro) e como a taxa de precessão de uma moeda girada em uma superfície plana acelera para o infinito— antes de parar abruptamente (conforme estudado usando o brinquedo do Disco de Euler ).

Exemplos hipotéticos incluem a " equação do Juízo Final " de Heinz von Foerster (modelos simplistas geram uma população humana infinita em tempo finito).

Geometria algébrica e álgebra comutativa

Na geometria algébrica , uma singularidade de uma variedade algébrica é um ponto da variedade onde o espaço tangente pode não ser definido regularmente. O exemplo mais simples de singularidades são curvas que se cruzam. Mas existem outros tipos de singularidades, como cúspides . Por exemplo, a equação $y 2 - x 3 = 0$ define uma curva que tem uma cúspide na origem $x = y = 0$ . Pode-se definir o eixo $x$ como uma tangente neste ponto, mas essa definição não pode ser a mesma que a definição em outros pontos. Na verdade, neste caso, o eixo $x$ é uma "tangente dupla".

Para variedades afins e projetivas , as singularidades são os pontos em que a matriz Jacobiana tem uma classificação inferior à de outros pontos da variedade.

Uma definição equivalente em termos de álgebra comutativa pode ser dada, que se estende a variedades e esquemas abstratos : Um ponto é singular se o anel local neste ponto não for um anel local regular .

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