Manifold Finsler - Finsler manifold

Em matemática , em particular na geometria diferencial , uma variedade de Finsler é uma variedade diferenciável M onde um funcional de Minkowski (possivelmente assimétrico ) F ( x , -) é fornecido em cada espaço tangente T _x M , que permite definir o comprimento de qualquer curva suave γ  : [ a , b ] → M como

${\ displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} F \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) \ right) \, \ mathrm {d} t.}$

As variedades Finsler são mais gerais do que as variedades Riemannianas, uma vez que as normas tangentes não precisam ser induzidas por produtos internos .

Cada variedade de Finsler torna-se um espaço quasimétrico intrínseco quando a distância entre dois pontos é definida como o comprimento mínimo das curvas que os unem.

Élie Cartan  ( 1933 ) chamou Finsler manifolds em homenagem a Paul Finsler , que estudou essa geometria em sua dissertação ( Finsler 1918 ).

Definição

Uma variedade de Finsler é uma variedade diferenciável M junto com uma métrica de Finsler , que é uma função contínua não negativa F : T M → [0, + ∞) definida no feixe tangente de modo que para cada ponto x de M ,

• F ( v + w ) ≤ F ( v ) + F ( w ) para cada dois vetores v , w tangente a M em x ( subaditividade ).
• F (λ v ) = λ F ( v ) para todo λ ≥ 0 (mas não necessariamente para  λ <0) ( homogeneidade positiva ).
• F ( v )> 0 a menos que v = 0 ( definição positiva ).

Em outras palavras, F ( x , -) é uma norma assimétrica em cada espaço tangente T _x M . A métrica Finsler F também deve ser suave , mais precisamente:

• F é suavizar no complemento da secção de zero de T H .

O axioma de subaditividade pode então ser substituído pela seguinte condição de forte convexidade :

• Para cada vetor tangente v ≠ 0 , a matriz hessiana de F ² em v é definida positiva .

Aqui, o Hessian de F ² em v é a forma bilinear simétrica

${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {v} (X, Y): = {\ frac {1} {2}} \ left. {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial s \ partial t }} \ left [F (v + sX + tY) ^ {2} \ right] \ right | _ {s = t = 0},}$

também conhecido como tensor fundamental de F em v . A convexidade forte de implica a subaditividade com uma desigualdade estrita se u ⁄ F ( u ) ≠ v ⁄ F ( v ) . Se F for fortemente convexo, então é uma norma de Minkowski em cada espaço tangente.

Uma métrica Finsler é reversível se, além disso,

• F (- v ) = F ( v ) para todos os vetores tangentes v .

Uma métrica Finsler reversível define uma norma (no sentido usual) em cada espaço tangente.

Exemplos

• Subvariedades suaves (incluindo subconjuntos abertos) de um espaço vetorial normado de dimensão finita são variedades de Finsler se a norma do espaço vetorial for suave fora da origem.
• Variedades Riemannianas (mas não variedades pseudo-Riemannianas ) são casos especiais de variedades Finsler.

Variedades Randers

Let ser um colector de Riemannian e b um uma forma diferencial em H com ${\ displaystyle (M, a)}$

${\ displaystyle \ | b \ | _ {a}: = {\ sqrt {a ^ {ij} b_ {i} b_ {j}}} <1,}$

onde é a matriz inversa de e a notação de Einstein é usada. Então ${\ displaystyle \ left (a ^ {ij} \ right)}$${\ displaystyle (a_ {ij})}$

${\ displaystyle F (x, v): = {\ sqrt {a_ {ij} (x) v ^ {i} v ^ {j}}} + b_ {i} (x) v ^ {i}}$

define uma métrica Randers em M e é uma variedade Randers , um caso especial de uma variedade Finsler não reversível. ${\ displaystyle (M, F)}$

Espaços quasimétricos suaves

Seja ( H , d ) ser um quasimetric modo que M é também uma variedade diferenciável e d é compatível com a estrutura diferencial de M no seguinte sentido:

• Em torno de qualquer ponto z em M existe um gráfico suave ( U , φ) de M e uma constante C  ≥ 1 tal que para cada x ,  y  ∈  U

  ${\ displaystyle {\ frac {1} {C}} \ | \ phi (y) - \ phi (x) \ | \ leq d (x, y) \ leq C \ | \ phi (y) - \ phi ( x) \ |.}$

• A função d :  M  ×  M  → [0, ∞] é suave em alguma vizinhança puncionada da diagonal.

Então, pode-se definir uma função Finsler F :  TM  → [0, ∞] por

${\ displaystyle F (x, v): = \ lim _ {t \ to 0 +} {\ frac {d (\ gamma (0), \ gamma (t))} {t}},}$

onde γ é qualquer curva em H com γ (0) =  x e γ' (0) = v. A função Finsler F obtidos deste modo restringe a uma assimétrica (tipicamente não-Minkowski) norma em cada espaço de tangente M . A métrica intrínseca induzida d _L : M × M → [0, ∞] do quasimétrico original pode ser recuperada de

${\ displaystyle d_ {L} (x, y): = \ inf \ left \ {\ \ left. \ int _ {0} ^ {1} F \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma }} (t) \ right) \, dt \ \ right | \ \ gamma \ in C ^ {1} ([0,1], M) \, \ \ gamma (0) = x \, \ \ gamma ( 1) = y \ \ right \},}$

e de fato qualquer função Finsler F : T M  → [0, ∞) define um quasimétrico intrínseco d _L em M por esta fórmula.

Geodésica

Devido à homogeneidade de F, o comprimento

${\ displaystyle L [\ gamma]: = \ int _ {a} ^ {b} F \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) \ right) \, dt}$

de uma curva diferenciável γ : [ a , b ] → M em M é invariante sob reparametrizações orientadas positivamente . Uma curva de velocidade constante γ é uma geodésica de uma variedade de Finsler se seus segmentos suficientemente curtos γ | _{[ c , d ]} minimizam o comprimento em M de γ ( c ) a γ ( d ). Equivalentemente, γ é um geodésico se for estacionário para o funcional de energia

${\ displaystyle E [\ gamma]: = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} F ^ {2} \ left (\ gamma (t), {\ dot {\ gamma }} (t) \ direita) \, dt}$

no sentido de que os seus funcionais derivados desaparece entre diferenciável curvas γ : [ a , b ] → M com extremidades fixas γ ( um ) = x e γ ( b ) = y .

Estrutura de spray canônico em um manifold Finsler

A equação de Euler-Lagrange para o funcional de energia E [ γ ] lê nas coordenadas locais ( x ¹ , ..., x ⁿ , v ¹ , ..., v ⁿ ) de T M como

${\ displaystyle g_ {ik} {\ Big (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) {\ Big)} {\ ddot {\ gamma}} ^ {i} (t) + \ left ({\ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial x ^ {j}}} {\ Big (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma}} (t) {\ Big) } - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} {\ Big (} \ gamma (t), {\ dot {\ gamma }} (t) {\ Big)} \ right) {\ dot {\ gamma}} ^ {i} (t) {\ dot {\ gamma}} ^ {j} (t) = 0,}$

onde k = 1, ..., n e g _ij é a representação coordenada do tensor fundamental, definido como

${\ displaystyle g_ {ij} (x, v): = g_ {v} \ left (\ left. {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ right | _ {x}, \ esquerda. {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {j}}} \ right | _ {x} \ right).}$

Assumindo a forte convexidade de F ² ( x , v ) com respeito a v ∈ T _x M , a matriz g _ij ( x , v ) é invertível e seu inverso é denotado por g ^ij ( x , v ). Então γ : [ a , b ] → M é uma geodésica de ( M , F ) se e somente se sua curva tangente γ ' : [ a , b ] → T M ∖ {0} é uma curva integral do campo vetorial suave H em T M ∖ {0} definido localmente por

${\ displaystyle \ left.H \ right | _ {(x, v)}: = \ left.v ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ right | _ { (x, v)} \! \! - \ left.2G ^ {i} (x, v) {\ frac {\ partial} {\ partial v ^ {i}}} \ right | _ {(x, v )},}$

onde os coeficientes de pulverização locais G ⁱ são dados por

${\ displaystyle G ^ {i} (x, v): = {\ frac {1} {4}} g ^ {ij} (x, v) \ left (2 {\ frac {\ partial g_ {jk}} {\ parcial x ^ {\ ell}}} (x, v) - {\ frac {\ parcial g_ {k \ ell}} {\ parcial x ^ {j}}} (x, v) \ direita) v ^ {k} v ^ {\ ell}.}$

O campo vetorial H em T M ∖ {0} satisfaz JH  =  V e [ V ,  H ] =  H , onde J e V são o endomorfismo canônico e o campo vetorial canônico em T M ∖ {0}. Assim, por definição, H é um pulverizador em  H . O spray H define uma conexão não linear no feixe de fibras T M ∖ {0} → M através da projeção vertical

${\ displaystyle v: T (\ mathrm {T} M \ setminus \ {0 \}) \ a T (\ mathrm {T} M \ setminus \ {0 \}); \ quad v: = {\ frac {1 } {2}} {\ big (} I + {\ mathcal {L}} _ {H} J {\ big)}.}$

Em analogia com o caso Riemanniano , há uma versão

${\ displaystyle D _ {\ dot {\ gamma}} D _ {\ dot {\ gamma}} X (t) + R _ {\ dot {\ gamma}} \ left ({\ dot {\ gamma}} (t), X (t) \ direita) = 0}$

da equação de Jacobi para uma estrutura de spray geral ( M , H ) em termos da curvatura de Ehresmann e derivada covariante não linear .

Singularidade e propriedades de minimização de geodésicas

Pelo teorema de Hopf-Rinow sempre existem curvas de minimização de comprimento (pelo menos em vizinhanças pequenas o suficiente) em ( M ,  F ). Curvas de minimização de comprimento podem sempre ser reparametrizadas positivamente para serem geodésicas, e qualquer geodésica deve satisfazer a equação de Euler-Lagrange para E [ γ ]. Assumindo a forte convexidade de F ² , existe uma geodésica máxima única γ com γ (0) = x e γ ' (0) = v para qualquer ( x ,  v ) ∈ T M ∖ {0} pela unicidade das curvas integrais .

Se F ² for fortemente convexa, as geodésicas γ : [0,  b ] →  M minimizam o comprimento entre as curvas próximas até que o primeiro ponto γ ( s ) se conjugue com γ (0) ao longo de γ , e para t  >  s sempre existem mais curtos curvas de γ (0) a γ ( t ) perto de γ , como no caso Riemanniano .

Notas

Referências

• Antonelli, Peter L., ed. (2003), Handbook of Finsler geometry. Vol. 1, 2 , Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1, MR  2067663
• Bao, David; Chern, Shiing-Shen ; Shen, Zhongmin (2000). Uma introdução à geometria Riemann – Finsler . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 200 . Nova York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-1268-3 . ISBN 0-387-98948-X. MR  1747675 .
• Cartan, Élie (1933), "Sur les espaces de Finsler", CR Acad. Sci. Paris , 196 : 582–586 , Zbl  0006.22501
• Chern, Shiing-Shen (1996), "A geometria de Finsler é apenas geometria Riemanniana sem a restrição quadrática" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 43 (9): 959-63, MR  1400859
• Finsler, Paul (1918), Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen , Dissertation, Göttingen, JFM  46.1131.02 (Reimpresso por Birkhäuser (1951))
• Rund, Hanno (1959). A geometria diferencial dos espaços de Finsler . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 101 . Berlin – Göttingen – Heidelberg: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-642-51610-8 . ISBN 978-3-642-51612-2. MR  0105726 .
• Shen, Zhongmin (2001). Aulas teóricas sobre geometria Finsler . Singapura: World Scientific. doi : 10.1142 / 4619 . ISBN 981-02-4531-9. MR  1845637 .

links externos

• "Finsler space, generalized" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• O (novo) boletim informativo Finsler