Teorema do ponto fixo - Fixed-point theorem
Em matemática , um teorema de ponto fixo é um resultado que diz que uma função F terá pelo menos um ponto fixo (um ponto x para o qual F ( x ) = x ), sob algumas condições em F que podem ser declaradas em termos gerais. Resultados desse tipo estão entre os mais geralmente úteis em matemática.
Na análise matemática
O teorema do ponto fixo de Banach fornece um critério geral garantindo que, se for satisfeito, o procedimento de iterar uma função resulta em um ponto fixo.
Em contraste, o teorema do ponto fixo de Brouwer é um resultado não construtivo : ele diz que qualquer função contínua da bola unitária fechada no espaço euclidiano n- dimensional para si mesma deve ter um ponto fixo, mas não descreve como encontrar o ponto fixo (veja também o lema de Sperner ).
Por exemplo, a função cosseno é contínua em [−1,1] e mapeia-a em [−1, 1] e, portanto, deve ter um ponto fixo. Isso fica claro ao examinar um gráfico esboçado da função cosseno; o ponto fixo ocorre onde a curva cosseno y = cos ( x ) intercepta a reta y = x . Numericamente, o ponto fixo é aproximadamente x = 0,73908513321516 (portanto, x = cos ( x ) para este valor de x ).
O teorema de ponto fixo de Lefschetz (e o teorema de ponto fixo de Nielsen ) da topologia algébrica é notável porque fornece, em certo sentido, uma maneira de contar pontos fixos.
Existem várias generalizações para o teorema do ponto fixo de Banach e mais; estes são aplicados na teoria PDE . Veja teoremas de ponto fixo em espaços de dimensão infinita .
O teorema da colagem na compressão fractal prova que, para muitas imagens, existe uma descrição relativamente pequena de uma função que, quando aplicada iterativamente a qualquer imagem inicial, converge rapidamente para a imagem desejada.
Em álgebra e matemática discreta
O teorema de Knaster-Tarski afirma que qualquer função de preservação de ordem em uma rede completa tem um ponto fixo e, de fato, um menor ponto fixo. Veja também teorema de Bourbaki-Witt .
O teorema tem aplicações em interpretação abstrata , uma forma de análise estática de programa .
Um tema comum no cálculo lambda é encontrar pontos fixos de determinadas expressões lambda. Cada expressão lambda tem um ponto fixo, e um combinador de ponto fixo é uma "função" que recebe como entrada uma expressão lambda e produz como saída um ponto fixo dessa expressão. Um importante combinador de ponto fixo é o combinador Y usado para dar definições recursivas .
Na semântica denotacional de linguagens de programação, um caso especial do teorema de Knaster-Tarski é usado para estabelecer a semântica de definições recursivas. Enquanto o teorema do ponto fixo é aplicado à "mesma" função (de um ponto de vista lógico), o desenvolvimento da teoria é bastante diferente.
A mesma definição de função recursiva pode ser dada, na teoria da computabilidade , aplicando o teorema da recursão de Kleene . Esses resultados não são teoremas equivalentes; o teorema de Knaster-Tarski é um resultado muito mais forte do que o que é usado na semântica denotacional. No entanto, à luz da tese de Church-Turing, seu significado intuitivo é o mesmo: uma função recursiva pode ser descrita como o ponto mínimo fixo de um certo funcional, mapeando funções para funções.
A técnica acima de iterar uma função para encontrar um ponto fixo também pode ser usada na teoria dos conjuntos ; o lema do ponto fixo para funções normais afirma que qualquer função contínua estritamente crescente de ordinais para ordinais tem um (e de fato muitos) pontos fixos.
Cada operador de fechamento em um poset tem muitos pontos fixos; esses são os "elementos fechados" em relação ao operador de fechamento e são a principal razão pela qual o operador de fechamento foi definido em primeiro lugar.
Cada involução em um conjunto finito com um número ímpar de elementos tem um ponto fixo; mais geralmente, para cada involução em um conjunto finito de elementos, o número de elementos e o número de pontos fixos têm a mesma paridade . Don Zagier usou essas observações para dar uma prova de uma frase do teorema de Fermat sobre somas de dois quadrados , descrevendo duas involuções no mesmo conjunto de triplos de inteiros, um dos quais pode facilmente ser mostrado como tendo apenas um ponto fixo e o outro do qual tem um ponto fixo para cada representação de um dado primo (congruente a 1 mod 4) como uma soma de dois quadrados. Como a primeira involução tem um número ímpar de pontos fixos, a segunda também tem e, portanto, sempre existe uma representação da forma desejada.
Lista de teoremas de ponto fixo
- Teorema de ponto fixo de Atiyah-Bott
- Teorema de ponto fixo de Banach
- Teorema de ponto fixo de Borel
- Teorema de Bourbaki-Witt
- Teorema de ponto fixo de Browder
- Teorema de ponto fixo de Brouwer
- Teorema de ponto fixo de Caristi
- Lema diagonal , também conhecido como lema de ponto fixo, para produzir sentenças autorreferenciais de lógica de primeira ordem
- Teoremas de ponto fixo discreto
- Combinador de ponto fixo , que mostra que cada termo no cálculo lambda não tipado tem um ponto fixo
- Lema de ponto fixo para funções normais
- Propriedade de ponto fixo
- Teoremas de ponto fixo em espaços de dimensão infinita
- Espaço métrico injetivo
- Teorema do ponto fixo de Kakutani
- Teorema de ponto fixo de Kleene
- Teorema de Knaster-Tarski
- Teorema de ponto fixo de Lefschetz
- Teorema do ponto fixo de Nielsen
- O teorema de Poincaré-Birkhoff prova a existência de dois pontos fixos
- Teorema de ponto fixo de Ryll-Nardzewski
- Teorema de ponto fixo de Schauder
- Teoria do grau topológico
- Teorema de ponto fixo de Tychonoff
Notas de rodapé
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- ^ Zagier, D. (1990), "A prova de uma frase de que todo primo p ≡ 1 (mod 4) é uma soma de dois quadrados", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi : 10.2307 / 2323918 , MR 1041893.
Referências
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