Matriz Cabibbo – Kobayashi – Maskawa - Cabibbo–Kobayashi–Maskawa matrix

No Modelo Padrão de física de partículas , a Matriz CKM , matriz CKM , matriz quark de mistura , ou matriz KM é uma matriz unitária que contém informação sobre a intensidade do sabor mudando ao interacção fraca . Tecnicamente, ele especifica a incompatibilidade dos estados quânticos dos quarks quando eles se propagam livremente e quando participam das interações fracas . É importante para a compreensão da violação do CP . Esta matriz foi introduzida para três gerações de quarks por Makoto Kobayashi e Toshihide Maskawa , adicionando uma geração à matriz anteriormente introduzida por Nicola Cabibbo . Essa matriz também é uma extensão do mecanismo GIM , que inclui apenas duas das três famílias atuais de quarks.

O Matrix

Predecessor - a matriz Cabibbo

O ângulo de Cabibbo representa a rotação do espaço vetorial de autoestado de massa formado pelos autoestados de massa no espaço vetorial de autoestado fraco formado pelos autoestados fracos θ _c = 13,02 °.${\ displaystyle | d \ rangle, \, | s \ rangle}$${\ displaystyle | d '\ rangle \ ,, ~ | \, s' \ rangle ~.}$

Em 1963, Nicola Cabibbo introduziu o ângulo Cabibbo ( θ _c ) para preservar a universalidade da interação fraca . Cabibbo foi inspirado no trabalho anterior de Murray Gell-Mann e Maurice Lévy, sobre o vetor não estranho e estranho efetivamente girado e as correntes axiais fracas, aos quais ele se refere.

À luz dos conceitos atuais (quarks ainda não foram propostos), o ângulo de Cabibbo está relacionado à probabilidade relativa de quarks down e estranho decair em quarks up (| V _ud | ²   e | V _us | ²  , respectivamente). No jargão da física de partículas, o objeto que se acopla ao quark up via interação fraca com corrente carregada é uma superposição de quarks do tipo down, aqui denotado por d ′ . Matematicamente, isto é:

${\ displaystyle d '= V _ {\ mathrm {ud}} \; d ~~ + ~~ V _ {\ mathrm {us}} \; s ~,}$

ou usando o ângulo Cabibbo:

${\ displaystyle d '= \ cos \ theta _ {\ mathrm {c}} \; d ~~ + ~~ \ sin \ theta _ {\ mathrm {c}} \; s ~.}$

Usando os valores atualmente aceitos para | V _ud | e | V _nós | (veja abaixo), o ângulo Cabibbo pode ser calculado usando

${\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {\, | V _ {\ mathrm {us}} | \,} {| V _ {\ mathrm {ud}} |}} = { \ frac {0,22534} {0,97427}} \ quad \ Rightarrow \ quad \ theta _ {\ mathrm {c}} = ~ 13,02 ^ {\ circ} ~.}$

Quando o quark encanto foi descoberto em 1974, notou-se que o quark down e estranho podiam se decompor em quark up ou charme, levando a dois conjuntos de equações:

${\ displaystyle d '= V _ {\ mathrm {ud}} \; d ~~ + ~~ V _ {\ mathrm {us}} \; s ~,}$

${\ displaystyle s '= V _ {\ mathrm {cd}} \; d ~~ + ~~ V _ {\ mathrm {cs}} \; s ~;}$

ou usando o ângulo Cabibbo:

${\ displaystyle d '= ~~~ \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; d ~~ + ~~ \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; s ~, }$

${\ displaystyle s '= - \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; d ~~ + ~~ \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \; s ~.}$

Isso também pode ser escrito em notação de matriz como:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d '\\ s' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} V _ {\ mathrm {ud}} & V _ {\ mathrm {us}} \\ V_ {cd} & V_ {cs} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d \\ s \ end {bmatrix}} ~,}$

ou usando o ângulo Cabibbo

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d '\\ s' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} ~~ \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} & \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \\ - \ sin {\ theta _ {\ mathrm {c}}} & \ cos {\ theta _ {\ mathrm {c}}} \\\ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} d \\ s \ end {bmatrix}} ~,}$

onde os vários | V _ij | ² representam a probabilidade de que o quark do sabor j decaia em um quark do sabor i . Essa matriz de rotação 2 × 2  é chamada de "matriz Cabibbo" e foi posteriormente expandida para a matriz CKM 3 × 3.

Uma representação pictórica dos modos de decaimento dos seis quarks, com a massa aumentando da esquerda para a direita.

Matriz CKM

Um diagrama que descreve as rotas de decaimento devido à interação fraca carregada e alguma indicação de sua probabilidade. A intensidade das linhas é dada pelos parâmetros CKM

Em 1973, observando que a violação de CP não poderia ser explicada em um modelo de quatro quarks, Kobayashi e Maskawa generalizaram a matriz Cabibbo na matriz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (ou matriz CKM) para acompanhar os decaimentos fracos de três gerações de quarks:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} d '\\ s' \\ b '\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} V _ {\ mathrm {ud}} & V _ {\ mathrm {us}} & V_ { \ mathrm {ub}} \\ V _ {\ mathrm {cd}} & V _ {\ mathrm {cs}} & V _ {\ mathrm {cb}} \\ V _ {\ mathrm {td}} & V _ {\ mathrm {ts}} & V _ {\ mathrm {tb}} \ end {bmatriz}} {\ begin {bmatriz} d \\ s \\ b \ end {bmatriz}} ~.}$

À esquerda está os parceiros de dupleto de interação fraca de quarks do tipo down, e à direita está a matriz CKM, junto com um vetor de autoestados de massa de quarks do tipo down. A matriz CKM descreve a probabilidade de uma transição de um quark de sabor j para outro quark de sabor i . Essas transições são proporcionais a | V _ij | ² .

Em 2020, a melhor determinação das magnitudes dos elementos da matriz CKM era:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} | V_ {ud} | & | V_ {us} | & | V_ {ub} | \\ | V_ {cd} | & | V_ {cs} | & | V_ {cb} | \\ | V_ {td} | & | V_ {ts} | & | V_ {tb} | \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0,97370 \ pm 0,00014 & 0,2245 \ pm 0,0008 & 0,00382 \ pm 0,00024 \\ 0,221 \ pm 0,004 e 0,987 \ pm 0,011 e 0,0410 \ pm 0,0014 \\ 0,0080 \ pm 0,0003 e 0,0388 \ pm 0,0011 e 1,013 \ pm 0,030 \ end {bmatrix}}.}$

Usando esses valores, pode-se verificar a unitariedade da matriz CKM. Em particular, descobrimos que os elementos da matriz da primeira linha fornecem:${\ displaystyle | V _ {\ mathrm {ud}} | ^ {2} + | V _ {\ mathrm {us}} | ^ {2} + | V _ {\ mathrm {ub}} | ^ {2} = 0,9985 \ pm 0,0005 ~;}$

Embora o valor pareça muito próximo de 1, sua discrepância é 0,0015; com um erro padrão de 0,0005, está a 3  desvios padrão do valor esperado de 1, em aparente violação da condição de unitariedade. Esta é uma dica interessante de física além do Modelo Padrão.

A escolha do uso de quarks do tipo down na definição é uma convenção e não representa uma assimetria fisicamente preferida entre quarks do tipo up e tipo down. Outras convenções são igualmente válidas: os autoestados de massa u , c e t dos quarks do tipo up podem definir equivalentemente a matriz em termos de seus parceiros de interação fracos u ′ , c ′ e t ′ . Como a matriz CKM é unitária, sua inversa é igual à sua transposta conjugada , que as opções alternativas usam; aparece como a mesma matriz, em uma forma ligeiramente alterada.

Construção geral da caixa

Para generalizar a matriz, conte o número de parâmetros fisicamente importantes nesta matriz, V , que aparecem em experimentos. Se houver N gerações de quarks (2 sabores N ), então

• Um N  ×  N matriz unitária (isto é, uma matriz V de tal modo que V ^† V = I , onde V ^† representa a transposta conjugada de V e I representa a matriz identidade) requer N ² parâmetros reais de ser especificados.
• 2 N  - 1 desses parâmetros não são fisicamente significativos, porque uma fase pode ser absorvida em cada campo de quark (tanto dos autoestados de massa quanto dos autoestados fracos), mas a matriz é independente de uma fase comum. Portanto, o número total de variáveis ​​livres independentes da escolha das fases dos vetores de base é N ²  - (2 N  - 1) = ( N  - 1) ² .
  • Destes, 1/2N ( N  - 1) são ângulos de rotação chamadosângulos de mistura de quarks.
  • O restante 1/2( N  - 1) ( N  - 2) são fases complexas, que causam violação do CP .

N = 2

Para o caso N  = 2, existe apenas um parâmetro, que é um ângulo de mistura entre duas gerações de quarks. Historicamente, esta foi a primeira versão da matriz CKM quando apenas duas gerações eram conhecidas. É chamado de ângulo Cabibbo em homenagem ao seu inventor Nicola Cabibbo .

N = 3

Para o caso do modelo padrão ( N  = 3), existem três ângulos de mistura e uma fase complexa que viola CP.

Observações e previsões

A ideia de Cabibbo surgiu da necessidade de explicar dois fenômenos observados:

1. as transições u ↔ d , e ↔ ν _{de e} , e u ↔ ν _u tiveram as amplitudes semelhantes.
2. as transições com mudança na estranheza ΔS = 1 tiveram amplitudes iguais a 1 ⁄ 4 daquelas com ΔS = 0 .

A solução de Cabibbo consistiu em postular uma universalidade fraca para resolver o primeiro problema, juntamente com um ângulo de mistura θ _c , agora chamado de ângulo de Cabibbo , entre os quarks d e s para resolver o segundo.

Para duas gerações de quarks, não há fases de violação de CP, conforme mostrado pela contagem da seção anterior. Como as violações do CP já haviam sido vistas em 1964, em decaimentos de Kaon neutros , o Modelo Padrão que surgiu logo depois indicava claramente a existência de uma terceira geração de quarks, como Kobayashi e Maskawa apontaram em 1973. A descoberta do quark bottom no Fermilab (pelo grupo de Leon Lederman ) em 1976, portanto, imediatamente começou a busca pelo quark top , o quark de terceira geração que faltava.

Observe, entretanto, que os valores específicos que os ângulos assumem não são uma previsão do modelo padrão: eles são parâmetros livres . No momento, não existe uma teoria geralmente aceita que explique por que os ângulos devem ter os valores que são medidos em experimentos.

Universalidade fraca

As restrições de unidade da matriz CKM nos termos diagonais podem ser escritas como

${\ displaystyle \ sum _ {k} | V_ {ik} | ^ {2} = \ sum _ {k} | V_ {ki} | ^ {2} = 1}$

para todas as gerações i . Isso implica que a soma de todos os acoplamentos de qualquer um dos quarks do tipo up com todos os quarks do tipo down é a mesma para todas as gerações. Essa relação é chamada de universalidade fraca e foi apontada pela primeira vez por Nicola Cabibbo em 1967. Teoricamente, é uma consequência do fato de que todos os dupletos SU (2) se acoplam com a mesma força aos bósons vetores de interações fracas. Foi submetido a testes experimentais contínuos.

Os triângulos unitários

As restrições restantes de unitariedade da matriz CKM podem ser escritas na forma

${\ displaystyle \ sum _ {k} V_ {ik} V_ {jk} ^ {*} = 0 ~.}$

Para qualquer i e j fixos e diferentes , essa é uma restrição para três números complexos, um para cada k , o que diz que esses números formam os lados de um triângulo no plano complexo . Existem seis opções de i e j (três independentes) e, portanto, seis desses triângulos, cada um dos quais é chamado de triângulo unitário . Seus formatos podem ser muito diferentes, mas todos possuem a mesma área, o que pode estar relacionado à fase de violação do CP . A área desaparece para os parâmetros específicos no Modelo Padrão para os quais não haveria violação de CP . A orientação dos triângulos depende das fases dos campos de quark.

Uma quantidade popular equivalente ao dobro da área do triângulo unitário é o invariante Jarlskog ,

${\ displaystyle J = c_ {12} c_ {13} ^ {2} c_ {23} s_ {12} s_ {13} s_ {23} \ sin \ delta \ approx 3 \ cdot 10 ^ {- 5}.}$

Para índices gregos que denotam quarks up e latinos quarks down, o tensor 4 é duplamente antissimétrico, ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta; i, j) \ equiv \ operatorname {Im} (V _ {\ alpha i} V _ {\ beta j} V _ {\ alpha j} ^ {*} V _ {\ beta i} ^ {*})}$

${\ displaystyle (\ beta, \ alpha; i, j) = - (\ alpha, \ beta; i, j) = (\ alpha, \ beta; j, i).}$

Até a antissimetria, ela tem apenas 9 = 3 × 3 componentes não desaparecedores, que, notavelmente, a partir da unitariedade de V , podem ser todos idênticos em magnitude , ou seja,

${\ displaystyle (\ alpha, \ beta; i, j) = J ~ {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \ end {bmatrix}} _ {\ alpha \ beta} \ otimes {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \ end {bmatrix}} _ {ij},}$

de modo a

${\ displaystyle J = (u, c; s, b) = (u, c; d, s) = (u, c; b, d) = (c, t; s, b) = (c, t; d, s) = (c, t; b, d) = (t, u; s, b) = (t, u; b, d) = (t, u; d, s).}$

Como os três lados dos triângulos estão abertos para a experiência direta, assim como os três ângulos, uma classe de testes do Modelo Padrão é verificar se o triângulo fecha. Este é o propósito de uma série moderna de experimentos em andamento nos experimentos japoneses do BELLE e do American BaBar , bem como no LHCb no CERN, na Suíça.

Parametrizações

Quatro parâmetros independentes são necessários para definir totalmente a matriz CKM. Muitas parametrizações foram propostas, e três das mais comuns são mostradas a seguir.

Parâmetros KM

A parametrização original de Kobayashi e Maskawa usava três ângulos ( θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) e um ângulo de fase violando CP ( δ ). θ ₁ é o ângulo Cabibbo. Cossenos e senos dos ângulos θ _k são denotados c _k e s _k , para k = 1, 2, 3 respectivamente.       

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} c_ {1} & - s_ {1} c_ {3} & - s_ {1} s_ {3} \\ s_ {1} c_ {2} & c_ {1} c_ {2 } c_ {3} -s_ {2} s_ {3} e ^ {i \ delta} & c_ {1} c_ {2} s_ {3} + s_ {2} c_ {3} e ^ {i \ delta} \ \ s_ {1} s_ {2} & c_ {1} s_ {2} c_ {3} + c_ {2} s_ {3} e ^ {i \ delta} & c_ {1} s_ {2} s_ {3} - c_ {2} c_ {3} e ^ {i \ delta} \ end {bmatriz}}.}$

Parâmetros "padrão"

Uma parametrização "padrão" da matriz CKM usa três ângulos de Euler ( θ ₁₂ , θ ₂₃ , θ ₁₃ ) e uma fase de violação de CP ( δ ₁₃ ). θ ₁₂ é o ângulo Cabibbo. Os acoplamentos entre as gerações de quark j e k desaparecem se θ _jk = 0 . Os cossenos e senos dos ângulos são denotados c _jk e s _jk , respectivamente.     

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_ {23} & s_ {23} \\ 0 & -s_ {23} & c_ {23} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } c_ {13} & 0 & s_ {13} e ^ {- i \ delta _ {13}} \\ 0 & 1 & 0 \\ - s_ {13} e ^ {i \ delta _ {13}} & 0 & c_ {13} \ end {bmatrix }} {\ begin {bmatrix} c_ {12} & s_ {12} & 0 \\ - s_ {12} & c_ {12} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} c_ { 12} c_ {13} & s_ {12} c_ {13} & s_ {13} e ^ {- i \ delta _ {13}} \\ - s_ {12} c_ {23} -c_ {12} s_ {23} s_ {13} e ^ {i \ delta _ {13}} & c_ {12} c_ {23} -s_ {12} s_ {23} s_ {13} e ^ {i \ delta _ {13}} & s_ {23 } c_ {13} \\ s_ {12} s_ {23} -c_ {12} c_ {23} s_ {13} e ^ {i \ delta _ {13}} & - c_ {12} s_ {23} - s_ {12} c_ {23} s_ {13} e ^ {i \ delta _ {13}} & c_ {23} c_ {13} \ end {bmatriz}}. \ end {alinhado}}}$

Os valores de 2008 para os parâmetros padrão foram:

θ ₁₂ =13,04 ± 0,05 °, θ ₁₃ =0,201 ± 0,011 °, θ ₂₃ =2,38 ± 0,06 °

e

δ ₁₃ =1,20 ± 0,08  radianos =68,8 ± 4,5 °.

Parâmetros Wolfenstein

Uma terceira parametrização da matriz CKM foi introduzida por Lincoln Wolfenstein com os quatro parâmetros λ , A , ρ e η , que 'desapareceriam' (seriam zero) se não houvesse acoplamento. Os quatro parâmetros Wolfenstein têm a propriedade de serem todos de ordem 1 e relacionados com a parametrização 'padrão':

λ = s ₁₂

A λ ² = s ₂₃

A λ ³ ( ρ - i η ) = s ₁₃ e ^{- i δ}

A parametrização de Wolfenstein da matriz CKM, é uma aproximação da parametrização padrão. Para pedir λ ³ , é:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 - {\ tfrac {1} {2}} \ lambda ^ {2} & \ lambda & A \ lambda ^ {3} (\ rho -i \ eta) \\ - \ lambda & 1 - {\ tfrac {1} {2}} \ lambda ^ {2} & A \ lambda ^ {2} \\ A \ lambda ^ {3} (1- \ rho -i \ eta) & - A \ lambda ^ {2} & 1 \ end {bmatrix}} + O (\ lambda ^ {4}).}$

A violação do CP pode ser determinada medindo ρ - i η .

Usando os valores da seção anterior para a matriz CKM, a melhor determinação dos parâmetros de Wolfenstein é:

λ =0,2257+
0,0009-0,0010,     A =0,8140,021
-0,022,     ρ =0,1350,031
-0,016, e   η =0,3490,015
-0,017.

premio Nobel

Em 2008, Kobayashi e Maskawa dividiram a metade do Prêmio Nobel de Física "pela descoberta da origem da quebra de simetria que prevê a existência de pelo menos três famílias de quarks na natureza". Alguns físicos nutriram sentimentos amargos sobre o fato de o comitê do Prêmio Nobel não ter recompensado o trabalho de Cabibbo , cujo trabalho anterior estava intimamente relacionado ao de Kobayashi e Maskawa. Questionado sobre a reação ao prêmio, Cabibbo preferiu não comentar.

Veja também

• Formulação do Modelo Padrão e violações de CP
• Cromodinâmica quântica , sabor e forte problema de CP
• Ângulo de Weinberg , um ângulo semelhante para Z e mistura de fótons
• Matriz Pontecorvo – Maki – Nakagawa – Sakata , a matriz de mistura equivalente para neutrinos
• Fórmula Koide

Referências

Leituras adicionais e links externos

• DJ Griffiths (2008). Introdução às Partículas Elementares (2ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 978-3-527-40601-2.

• B. Povh; et al. (1995). Partículas e núcleos: uma introdução aos conceitos físicos . Springer . ISBN 978-3-540-20168-7.

• II Bigi, AI Sanda (2000). Violação de CP . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-44349-4.

• "Grupo de dados de partículas: a matriz de mistura de quarks CKM" (PDF) .
• "Grupo de dados de partículas: violação de CP em decaimentos de meson" (PDF) .
• "O experimento Babar" .no SLAC , Califórnia, e "o experimento BELLE" .em KEK , Japão.