Estado Fock - Fock state

Na mecânica quântica , um estado Fock ou estado numérico é um estado quântico que é um elemento de um espaço Fock com um número bem definido de partículas (ou quanta ). Esses estados têm o nome do físico soviético Vladimir Fock . Os estados de Fock desempenham um papel importante na segunda formulação de quantização da mecânica quântica.

A representação da partícula foi primeiramente tratada em detalhes por Paul Dirac para bósons e por Pascual Jordan e Eugene Wigner para férmions . Os estados Fock de bósons e férmions obedecem a relações úteis com respeito aos operadores de criação e aniquilação do espaço Fock .

Definição

Um especifica um estado multipartícula de N partículas idênticas não interagentes escrevendo o estado como uma soma de produtos tensores de N estados de uma partícula. Além disso, dependendo da integralidade do spin das partículas , os produtos do tensor devem ser produtos alternados (anti-simétricos) ou simétricos do espaço de Hilbert de uma partícula subjacente . Especificamente:

• Os férmions , tendo spin meio inteiro e obedecendo ao princípio de exclusão de Pauli , correspondem a produtos tensores antissimétricos.
• Bósons , possuindo spin inteiro (e não governados pelo princípio de exclusão) correspondem a produtos tensores simétricos.

Se o número de partículas for variável, constrói-se o espaço Fock como a soma direta dos espaços de Hilbert do produto tensorial para cada número de partícula . No espaço Fock, é possível especificar o mesmo estado em uma nova notação, a notação do número de ocupação, especificando o número de partículas em cada possível estado de uma partícula.

Let Ser uma base ortonormal de estados no espaço de Hilbert de uma partícula subjacente. Isso induz uma base correspondente do espaço Fock chamada de "base do número de ocupação". Um estado quântico no espaço Fock é chamado de estado Fock se for um elemento da base do número de ocupação. ${\ textstyle \ left \ {\ mathbf {k} _ {i} \ right \} _ {i \ in I}}$

Um estado Fock satisfaz um critério importante: para cada i , o estado é um autoestado do operador de número de partícula correspondente ao i -ésimo estado elementar k _i . O autovalor correspondente fornece o número de partículas no estado. Este critério quase define os estados Fock (deve-se, além disso, selecionar um fator de fase). ${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}}}$

Um determinado estado Fock é denotado por . Nesta expressão, denota o número de partículas no i-ésimo estado k _i , e o operador do número de partículas para o i-ésimo estado , atua no estado Fock da seguinte maneira: ${\ displaystyle | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, .. n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}} ... \ rangle}$${\ displaystyle n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}$${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}}}$

${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}}, .. n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}} ... \ rangle = n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, .. n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}} ... \ rangle}$

Portanto, o estado Fock é um estado próprio do operador de número com valor próprio . ${\ displaystyle n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}$

Os estados Fock geralmente formam a base mais conveniente de um espaço Fock. Os elementos de um espaço Fock que são superposições de estados de números de partículas diferentes (e, portanto, não eigenstates do operador de número) não são estados Fock. Por esse motivo, nem todos os elementos de um espaço Fock são chamados de "estados Fock".

Se definirmos o operador de número de partículas agregadas como ${\ textstyle {\ widehat {N}}}$

${\ displaystyle {\ widehat {N}} = \ sum _ {i} {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}},}$

a definição do estado Fock garante que a variância da medição , ou seja, medir o número de partículas em um estado Fock sempre retorna um valor definido sem flutuação. ${\ displaystyle \ operatorname {Var} \ left ({\ widehat {N}} \ right) = 0}$

Exemplo usando duas partículas

Para qualquer estado final , qualquer estado Fock de duas partículas idênticas fornecidas por , e qualquer operador , temos a seguinte condição de indistinguibilidade : ${\ displaystyle | f \ rangle}$${\ displaystyle | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {O}}}}$

${\ displaystyle \ left | \ left \ langle f \ left | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ right | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ { 2}} \ right \ rangle \ right | ^ {2} = \ left | \ left \ langle f \ left | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ right | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2 }}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle \ right | ^ {2}}$.

Então, devemos ter ${\ displaystyle \ left \ langle f \ left | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ right | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ right \ rangle = e ^ {i \ delta} \ left \ langle f \ left | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ right | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle}$

onde para bósons e para férmions . Uma vez que e são arbitrários, podemos dizer, ${\ displaystyle e ^ {i \ delta} = + 1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle \ langle f |}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {O}}}}$

${\ displaystyle \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ right \ rangle = + \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2 }}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle}$ para bósons e

${\ displaystyle \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ right \ rangle = - \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2 }}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle}$ para férmions.

Observe que o operador de número não distingue bósons de férmions; na verdade, ele apenas conta as partículas independentemente de seu tipo de simetria. Para perceber qualquer diferença entre eles, precisamos de outros operadores, nomeadamente os operadores de criação e aniquilação .

Estado Bosonic Fock

Os bósons , que são partículas com spin inteiro, seguem uma regra simples: seu autoestado composto é simétrico quando operado por um operador de troca . Por exemplo, em um sistema de duas partículas na representação do produto tensorial que temos . ${\ displaystyle {\ hat {P}} \ left | x_ {1}, x_ {2} \ right \ rangle = \ left | x_ {2}, x_ {1} \ right \ rangle}$

Operadores de criação e aniquilação de bósons

Devemos ser capazes de expressar a mesma propriedade simétrica nesta nova representação do espaço Fock. Para isso, introduzimos operadores bosônicos não-Hermitianos de criação e aniquilação , denotados por e respectivamente. A ação desses operadores em um estado Fock é dada pelas duas equações a seguir: ${\ displaystyle b ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle b}$

• Operador de criação : ${\ textstyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger}}$

  ${\ displaystyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2 }}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf { k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1, ... \ rangle}$

• Operador de aniquilação : ${\ textstyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}$

  ${\ displaystyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n_ { {\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3} } ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} - 1, ... \ rangle}$

Operadores de não hermiticidade de criação e aniquilação

Os operadores bosônicos de criação e aniquilação do estado Fock não são operadores Hermitianos .

Prova de que os operadores de criação e aniquilação não são hermitianos.

Para um estado Fock, , ${\ displaystyle | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf { k} _ {l}}, ... \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3} } ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1, ... \ left | b _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ right | n _ {\ mathbf {k} _ {1 }}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}, ... \ certo \ rangle & = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}}}} \ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}} , n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1, ... | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n_ { \ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1, ... \ right \ rangle \\ [6pt] \ left (\ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} .. .n _ {\ mathbf {k} _ {l}}, ... \ left | b _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ right | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n_ { \ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1, ... \ right \ rangle \ right ) ^ {*} & = \ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}. ..n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1 ... \ left | b _ {\ mathbf {k} _ {l}} ^ {\ dagger} \ right | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathb f {k} _ {l}}, ... \ right \ rangle \\ & = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}} + 1}} \ left \ langle n _ {\ mathbf { k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1 ... | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf { k} _ {l}} + 1 ... \ right \ rangle \ end {alinhado}}}$ Portanto, é claro que o operador adjunto de criação (aniquilação) não entra em si mesmo. Portanto, eles não são operadores hermitianos. Mas o operador adjunto de criação (aniquilação) é o operador de aniquilação (criação).

Identidades do operador

As relações de comutação dos operadores de criação e aniquilação em um sistema bosônico são

${\ displaystyle \ left [b_ {i} ^ {\,}, b_ {j} ^ {\ dagger} \ right] \ equiv b_ {i} ^ {\,} b_ {j} ^ {\ dagger} -b_ {j} ^ {\ dagger} b_ {i} ^ {\,} = \ delta _ {ij},}$

${\ displaystyle \ left [b_ {i} ^ {\ dagger}, b_ {j} ^ {\ dagger} \ right] = \ left [b_ {i} ^ {\,}, b_ {j} ^ {\, } \ right] = 0,}$

onde está o comutador e é o delta de Kronecker . ${\ displaystyle [\ \, \ \]}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

Estados da base N bosônica ${\ displaystyle | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} .. .n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle}$

Número de partículas (N)	Estados de base bosônica
0	${\ displaystyle | 0,0,0 ... \ rangle}$
1	${\ displaystyle | 1,0,0 ... \ rangle}$, , , ... ${\ displaystyle | 0,1,0 ... \ rangle}$${\ displaystyle | 0,0,1 ... \ rangle}$
2	${\ displaystyle | 2,0,0 ... \ rangle}$, , , ... ${\ displaystyle | 1,1,0 ... \ rangle}$${\ displaystyle | 0,2,0 ... \ rangle}$
...	...

Ação em alguns estados Fock específicos

Ação de operadores de número

Os operadores de número para um sistema bosônico são dados por , onde${\ textstyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}}}$${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} = b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger} b _ {{\ mathbf {k } }_{eu}}}$${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ... \ rangle = n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ... \ rangle}$

Os operadores numéricos são operadores hermitianos.

Comportamento simétrico de estados bosônicos Fock

As relações de comutação dos operadores de criação e aniquilação garantem que os estados de Fock bosônicos tenham o comportamento simétrico apropriado sob a troca de partículas. Aqui, a troca de partículas entre dois estados (digamos, l e m ) é feita aniquilando uma partícula no estado le criando uma no estado m . Se começarmos com um estado Fock e quisermos mudar uma partícula de um estado para outro, operamos o estado Fock da seguinte maneira: ${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ right \ rangle}$${\ displaystyle k_ {l}}$${\ displaystyle k_ {m}}$${\ displaystyle b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger} b _ {\ mathbf {k} _ {l}}}$

Usando a relação de comutação que temos, ${\ displaystyle b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger} .b _ {\ mathbf {k} _ {l}} = b _ {\ mathbf {k} _ {l}}. b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger} .b _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}. .. \ right \ rangle & = b _ {\ mathbf {k} _ {l}}. b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ { 1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} .. . \ right \ rangle \\ & = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1}} {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}}}} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1 ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1 ... \ right \ rangle \ end {alinhado}}}$

Assim, o estado Bosonic Fock se comporta de forma simétrica sob operação pelo operador Exchange.

• 

  Função Wigner de ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

• 

  Função Wigner de ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

• 

  Função Wigner de ${\ displaystyle | 2 \ rangle}$

• 

  Função Wigner de ${\ displaystyle | 3 \ rangle}$

• 

  Função Wigner de ${\ displaystyle | 4 \ rangle}$

Estado Fock Fermionic

Operadores de criação e aniquilação de férmions

Para ser capaz de reter o comportamento anti-simétrico dos férmions , para os estados Fock Fermiônicos, introduzimos os operadores de criação e aniquilação de férmions não Hermitianos, definidos para um estado Fock Fermiônico como: ${\ displaystyle | \ psi \ rangle = | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle}$

• O operador de criação atua como: ${\ displaystyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger}}$

  ${\ displaystyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2 }}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf { k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1, ... \ rangle}$

• O operador de aniquilação atua como: ${\ textstyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}$

  ${\ displaystyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n_ { {\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3} } ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} - 1, ... \ rangle}$

Essas duas ações são feitas de forma anti-simétrica, o que discutiremos mais tarde.

Identidades do operador

As relações de anticomutação dos operadores de criação e aniquilação em um sistema fermiônico são,

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ left \ {c_ {i} ^ {\,}, c_ {j} ^ {\ dagger} \ right \} \ equiv c_ {i} ^ {\,} c_ {j } ^ {\ dagger} + c_ {j} ^ {\ dagger} c_ {i} ^ {\,} & = \ delta _ {ij}, \\\ left \ {c_ {i} ^ {\ dagger}, c_ {j} ^ {\ dagger} \ right \} = \ left \ {c_ {i} ^ {\,}, c_ {j} ^ {\,} \ right \} & = 0, \ end {alinhado} }}$

onde está o anticommutador e é o delta de Kronecker . Essas relações anticomutação podem ser usadas para mostrar o comportamento anti-simétrico dos estados Fock Fermiônicos . ${\ displaystyle {\ {\, \ \}}}$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

Ação de operadores de número

Operadores de número para Fermions são fornecidos por . ${\ textstyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}}}$${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} = c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger} .c _ {{\ mathbf { k}} _ {l}}}$

${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ... \ rangle = n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ... \ rangle}$

Número máximo de ocupação

A ação do operador numérico, bem como os operadores de criação e aniquilação podem parecer iguais aos bosônicos, mas a verdadeira reviravolta vem do número máximo de ocupação de cada estado no estado Fock fermiônico. Estendendo o exemplo fermiônico de 2 partículas acima, primeiro devemos nos convencer de que um estado Fock fermiônico é obtido aplicando uma certa soma de operadores de permutação ao produto tensorial de autovetores como segue: ${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ right \ rangle}$

${\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ right \ rangle = S _ {-} \ left | i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} ... i_ {l} ... \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} {\ begin {vmatrix} \ left | i_ {1} \ right \ rangle _ {1} & \ cdots & \ left | i_ {1} \ right \ rangle _ {N} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ left | i_ {N} \ right \ rangle _ {1} & \ cdots & \ left | i_ {N} \ right \ rangle _ {N} \ end {vmatrix}}}$

Este determinante é denominado determinante de Slater . Se qualquer um dos estados de uma única partícula for o mesmo, duas linhas do determinante de Slater seriam iguais e, portanto, o determinante seria zero. Conseqüentemente, dois férmions idênticos não devem ocupar o mesmo estado (uma declaração do princípio de exclusão de Pauli ). Portanto, o número de ocupação de qualquer estado único é 0 ou 1. O valor próprio associado ao estado Fock fermiônico deve ser 0 ou 1. ${\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}}}$

Estados de base N fermiônica ${\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}, ... \ right \ rangle}$

Número de partículas (N)	Estados de base fermiônica
0	${\ displaystyle | 0,0,0 ... \ rangle}$
1	${\ displaystyle | 1,0,0 ... \ rangle}$, , , ... ${\ displaystyle | 0,1,0 ... \ rangle}$${\ displaystyle | 0,0,1 ... \ rangle}$
2	${\ displaystyle | 1,1,0 ... \ rangle}$, , , ... ${\ displaystyle | 0,1,1 ... \ rangle}$${\ displaystyle | 0,1,0,1 ... \ rangle}$${\ displaystyle | 1,0,1,0 ... \ rangle}$
...	...

Ação em alguns estados Fock específicos

Comportamento anti-simétrico do estado Fermionic Fock

O comportamento anti-simétrico dos estados Fermiônicos sob o operador Exchange é levado em conta nas relações de anticomutação. Aqui, a troca de partículas entre dois estados é feita aniquilando uma partícula em um estado e criando uma em outro. Se começarmos com um estado Fock e quisermos mudar uma partícula de um estado para outro, operamos o estado Fock da seguinte maneira: ${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, ... n _ {\ mathbf {k} _ { m}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ right \ rangle}$${\ displaystyle k_ {l}}$${\ displaystyle k_ {m}}$${\ displaystyle c _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger} .c _ {\ mathbf {k} _ {l}}}$

Usando a relação anticomutação, temos

${\ displaystyle c _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger} .c _ {\ mathbf {k} _ {l}} = - c _ {\ mathbf {k} _ {l}}. c_ { \ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle c _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger} .c _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n_ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ right \ rangle = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1}} {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}}}} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, .... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1 ... n _ {\ mathbf {k} _ {l} } -1 ... \ right \ rangle}$

mas,

Assim, os estados Fock fermiônicos são antissimétricos quando operados por operadores de troca de partículas.

Os estados Fock não são estados próprios de energia em geral

Na segunda teoria de quantização , a função de densidade hamiltoniana é dada por

${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ frac {1} {2m}} \ nabla _ {i} \ psi ^ {*} (x) \, \ nabla _ {i} \ psi (x)}$

O hamiltoniano total é dado por

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ mathcal {H}} & = \ int d ^ {3} x \, {\ mathfrak {H}} = \ int d ^ {3} x \ psi ^ {*} (x) \ left (- {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} \ right) \ psi (x) \\\ portanto {\ mathfrak {H}} & = - {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} \ end {alinhado}}}$

Na teoria de Schrödinger livre,

${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x) = - {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} \ psi _ {n} ^ { (+)} (x) = E_ {n} ^ {0} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x)}$

e

${\ displaystyle \ int d ^ {3} x \, \ psi _ {n} ^ {(+) ^ {*}} (x) \, \ psi _ {n '} ^ {(+)} (x) = \ delta _ {nn '}}$

e

${\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n} a_ {n} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x)}$,

onde está o operador de aniquilação. ${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle \ portanto {\ mathcal {H}} = \ sum _ {n, n '} \ int d ^ {3} x \, a_ {n'} ^ {\ dagger} \ psi _ {n '} ^ {(+) ^ {*}} (x) \, {\ mathfrak {H}} a_ {n} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x)}$

Somente para partículas não interagentes faça e comute; em geral, eles não se deslocam. Para partículas não interagentes, ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {n, n '} \ int d ^ {3} x \, a_ {n'} ^ {\ dagger} \ psi _ {n '} ^ {( +) ^ {*}} (x) \, E_ {n} ^ {0} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x) a_ {n} = \ sum _ {n, n '} E_ {n} ^ {0} a_ {n '} ^ {\ dagger} a_ {n} \ delta _ {nn'} = \ sum _ {n} E_ {n} ^ {0} a_ {n} ^ {\ punhal} a_ {n} = \ sum _ {n} E_ {n} ^ {0} {\ widehat {N}}}$

Se eles não comutarem, o hamiltoniano não terá a expressão acima. Portanto, em geral, os estados de Fock não são estados próprios de energia de um sistema.

Flutuações de vácuo

O estado de vácuo ou é o estado de energia mais baixa e os valores esperados de e desaparecem neste estado: ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle a | 0 \ rangle = 0 = \ langle 0 | a ^ {\ dagger}}$

Os campos elétricos e magnéticos e o potencial vetorial têm o modo de expansão da mesma forma geral:

${\ displaystyle F \ left ({\ vec {r}}, t \ right) = \ varepsilon ae ^ {i {\ vec {k}} x- \ omega t} + h \ cdot c}$

Assim, é fácil ver que os valores de expectativa desses operadores de campo desaparecem no estado de vácuo:

${\ displaystyle \ langle 0 | F | 0 \ rangle = 0}$

No entanto, pode-se mostrar que os valores esperados do quadrado desses operadores de campo são diferentes de zero. Portanto, há flutuações no campo em torno da média do conjunto zero. Essas flutuações de vácuo são responsáveis ​​por muitos fenômenos interessantes, incluindo o deslocamento de Lamb na óptica quântica.

Estados Fock multimodo

Em um campo multimodo, cada operador de criação e aniquilação opera em seu próprio modo. Portanto, e funcionará apenas em . Uma vez que os operadores correspondentes a diferentes modos operam em diferentes subespaços do espaço de Hilbert, todo o campo é um produto direto de todos os modos: ${\ displaystyle a _ {\ mathbf {k} _ {l}}}$${\ displaystyle a _ {\ mathbf {k} _ {l}} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ right \ rangle}$${\ displaystyle | n _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ rangle}$

${\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ right \ rangle \ left | n _ {\ mathbf {k } _ {3}} \ right \ rangle \ ldots \ equiv \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}} ... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} ... \ right \ rangle \ equiv \ left | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ right \ rangle}$

Os operadores de criação e aniquilação operam no estado multimodo apenas aumentando ou diminuindo o estado numérico de seu próprio modo:

${\ displaystyle {\ begin {align} a _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle & = {\ sqrt {n _ {{ \ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf { k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} - 1, ... \ rangle \\ a _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}. ..n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}, ... \ rangle & = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1}} | n _ {{ \ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}} ... n _ {{\ mathbf { k}} _ {l}} + 1, ... \ rangle \ end {alinhado}}}$

Também definimos o operador de número total para o campo, que é uma soma dos operadores de número de cada modo:

${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ mathbf {k}} = \ sum {\ hat {n}} _ {\ mathbf {k} _ {l}}}$

O estado Fock multimodo é um autovetor do número total do operador cujo autovalor é o número total de ocupação de todos os modos

${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ mathbf {k}} | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ rangle = \ left (\ sum n _ {\ mathbf {k} _ {l} } \ right) | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ rangle}$

No caso de partículas não interagentes, o operador de número e o hamiltoniano comutam um com o outro e, portanto, os estados Fock multimodo tornam-se estados próprios do hamiltoniano multimodo

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ left | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ right \ rangle = \ left (\ sum \ hbar \ omega \ left (n _ {\ mathbf {k} _ {l}} + {\ frac {1} {2}} \ direita) \ direita) \ esquerda | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ direita \ rangle}$

Fonte de estado de fóton único

Fótons únicos são rotineiramente gerados usando emissores únicos (átomos, centro de vacância de nitrogênio , ponto quântico ). No entanto, essas fontes nem sempre são muito eficientes, frequentemente apresentando uma baixa probabilidade de realmente obter um único fóton sob demanda; e muitas vezes complexo e inadequado fora de um ambiente de laboratório.

Outras fontes são comumente usadas para superar esses problemas às custas de um comportamento não determinístico. As fontes anunciadas de fóton único são fontes probabilísticas de dois fótons das quais o par é dividido e a detecção de um fóton anuncia a presença do restante. Essas fontes geralmente contam com a não linearidade óptica de alguns materiais, como niobato de lítio periodicamente polido ( conversão para baixo paramétrica espontânea ) ou silício ( mistura espontânea de quatro ondas ), por exemplo.

Comportamento não clássico

A representação Glauber-Sudarshan P dos estados de Fock mostra que esses estados são puramente mecânicos quânticos e não têm contrapartida clássica. O desses estados na representação é uma 'ésima derivada da função delta de Dirac e, portanto, não uma distribuição de probabilidade clássica. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ varphi (\ alpha) \,}$${\ displaystyle 2n}$

Veja também

• Estados coerentes
• Limite de Heisenberg
• Luz não clássica

Referências

links externos

• Vladan Vuletic de MIT foi utilizado um conjunto de átomos para produzir um estado Fock (aka único fotão) fonte (PDF)
• Produzir e medir um único estado de fóton (estado Fock) com um experimento interativo QuantumLab