Fundamentos da geometria - Foundations of geometry

Fundamentos da geometria é o estudo das geometrias como sistemas axiomáticos . Existem vários conjuntos de axiomas que dão origem à geometria euclidiana ou às geometrias não euclidianas . Estas são fundamentais para o estudo e de importância histórica, mas existem muitas geometrias modernas que não são euclidianas que podem ser estudadas deste ponto de vista. O termo geometria axiomática pode ser aplicado a qualquer geometria desenvolvida a partir de um sistema axiomático , mas é freqüentemente usado para significar geometria euclidiana estudada deste ponto de vista. A completude e a independência dos sistemas axiomáticos gerais são considerações matemáticas importantes, mas também há questões relacionadas ao ensino da geometria que entram em jogo.

Sistemas axiomáticos

Com base nos métodos gregos antigos, um sistema axiomático é uma descrição formal de uma maneira de estabelecer a verdade matemática que flui de um conjunto fixo de suposições. Embora aplicável a qualquer área da matemática, a geometria é o ramo da matemática elementar em que este método foi mais amplamente aplicado com sucesso.

Existem vários componentes de um sistema axiomático.

1. Primitivos (termos indefinidos) são as idéias mais básicas. Normalmente, eles incluem objetos e relacionamentos. Em geometria, os objetos são coisas como pontos , linhas e planos, enquanto uma relação fundamental é a de incidência - de um objeto se encontrar ou se juntar a outro. Os próprios termos são indefinidos. Hilbert certa vez observou que, em vez de pontos, linhas e planos, pode-se muito bem falar de mesas, cadeiras e canecas de cerveja. Seu ponto é que os termos primitivos são apenas conchas vazias, espaços reservados se você quiser, e não têm propriedades intrínsecas.
2. Axiomas (ou postulados) são afirmações sobre esses primitivos; por exemplo, quaisquer dois pontos são incidentes juntos com apenas uma linha (isto é, para quaisquer dois pontos, há apenas uma linha que passa por ambos). Os axiomas são considerados verdadeiros e não provados. Eles são os blocos de construção dos conceitos geométricos, uma vez que especificam as propriedades que os primitivos possuem.
3. As leis da lógica .
4. Os teoremas são as consequências lógicas dos axiomas, ou seja, as afirmações que podem ser obtidas a partir dos axiomas usando as leis da lógica dedutiva.

Uma interpretação de um sistema axiomático é uma maneira particular de dar significado concreto aos primitivos desse sistema. Se essa associação de significados torna os axiomas do sistema afirmações verdadeiras, a interpretação é chamada de modelo do sistema. Em um modelo, todos os teoremas do sistema são automaticamente afirmações verdadeiras.

Propriedades dos sistemas axiomáticos

Ao discutir sistemas axiomáticos, várias propriedades são frequentemente focadas em:

• Os axiomas de um sistema axiomático são considerados consistentes se nenhuma contradição lógica puder ser derivada deles. Exceto nos sistemas mais simples, a consistência é uma propriedade difícil de estabelecer em um sistema axiomático. Por outro lado, se existe um modelo para o sistema axiomático, então qualquer contradição derivável no sistema também é derivável no modelo, e o sistema axiomático é tão consistente quanto qualquer sistema ao qual o modelo pertence. Essa propriedade (ter um modelo) é conhecida como consistência relativa ou consistência do modelo .
• Um axioma é denominado independente se não puder ser provado ou refutado a partir dos outros axiomas do sistema axiomático. Um sistema axiomático é considerado independente se cada um de seus axiomas for independente. Se uma afirmação verdadeira é uma consequência lógica de um sistema axiomático, então ela será uma afirmação verdadeira em todos os modelos desse sistema. Para provar que um axioma é independente dos axiomas restantes do sistema, é suficiente encontrar dois modelos dos axiomas restantes, para os quais o axioma é uma afirmação verdadeira em um e uma afirmação falsa no outro. A independência nem sempre é uma propriedade desejável do ponto de vista pedagógico.
• Um sistema axiomático é denominado completo se todas as afirmações expressáveis ​​nos termos do sistema são prováveis ​​ou têm uma negação provável. Outra maneira de afirmar isso é que nenhuma afirmação independente pode ser adicionada a um sistema axiomático completo que seja consistente com os axiomas desse sistema.
• Um sistema axiomático é categórico se quaisquer dois modelos do sistema forem isomórficos (essencialmente, há apenas um modelo para o sistema). Um sistema categórico é necessariamente completo, mas completude não implica categoricidade. Em algumas situações, a categoricidade não é uma propriedade desejável, uma vez que os sistemas axiomáticos categóricos não podem ser generalizados. Por exemplo, o valor do sistema axiomático para a teoria dos grupos é que ele não é categórico, então provar um resultado na teoria dos grupos significa que o resultado é válido em todos os diferentes modelos para a teoria dos grupos e não é necessário reprovar o resultado em cada um dos modelos não isomórficos.

Geometria euclidiana

A geometria euclidiana é um sistema matemático atribuído ao matemático grego Alexandrino Euclides , que ele descreveu (embora não rigorosamente para os padrões modernos) em seu livro de geometria : os Elementos . O método de Euclides consiste em assumir um pequeno conjunto de axiomas atraentes intuitivamente e deduzir muitas outras proposições ( teoremas ) a partir deles. Embora muitos dos resultados de Euclides tenham sido declarados por matemáticos anteriores, Euclides foi o primeiro a mostrar como essas proposições poderiam se encaixar em um sistema lógico e dedutivo abrangente . Os Elementos começa com a geometria plana, ainda ensinada na escola secundária como o primeiro sistema axiomático e os primeiros exemplos de prova formal . Ele segue para a geometria sólida de três dimensões . Muitos dos elementos indicam resultados do que agora se chama álgebra e teoria dos números , explicados em linguagem geométrica.

Por mais de dois mil anos, o adjetivo "euclidiano" foi desnecessário porque nenhum outro tipo de geometria foi concebido. Os axiomas de Euclides pareciam tão intuitivamente óbvios (com a possível exceção do postulado paralelo ) que qualquer teorema provado a partir deles era considerado verdadeiro em um sentido absoluto, freqüentemente metafísico. Hoje, porém, são conhecidas muitas outras geometrias que não são euclidianas, sendo as primeiras descobertas no início do século XIX.

De Euclides Elements

De Euclides Elements é um matemático e geométrico tratado que consiste em 13 livros escritos pelo antigo matemático grego Euclides em Alexandria c. 300 AC. É uma coleção de definições, postulados ( axiomas ), proposições ( teoremas e construções ) e provas matemáticas das proposições. Os treze livros cobrem a geometria euclidiana e a versão grega antiga da teoria dos números elementares . Com exceção de On the Moving Sphere , de Autolycus , os Elementos é um dos mais antigos tratados matemáticos gregos existentes, e é o mais antigo tratamento dedutivo axiomático existente da matemática . Provou ser instrumental no desenvolvimento da lógica e da ciência moderna .

De Euclides Elements tem sido referido como o livro mais bem sucedida e influente já escrito. Tendo sido digitada pela primeira vez em Veneza em 1482, é uma das primeiras obras matemáticas a ser impressa após a invenção da imprensa e foi estimada por Carl Benjamin Boyer como perdendo apenas para a Bíblia no número de edições publicadas, com o número chegando a bem mais de mil. Durante séculos, quando o quadrivium foi incluído no currículo de todos os estudantes universitários, conhecimento de pelo menos parte da de Euclides Elements foi exigido de todos os alunos. Só no século 20, época em que seu conteúdo era universalmente ensinado por meio de outros livros escolares, ele deixou de ser considerado algo que todas as pessoas instruídas haviam lido.

Os Elementos são principalmente uma sistematização de conhecimentos anteriores de geometria. Supõe-se que sua superioridade sobre os tratamentos anteriores foi reconhecida, com a consequência de que havia pouco interesse em preservar os anteriores, e agora eles estão quase todos perdidos.

Os livros I – IV e VI discutem a geometria plana. Muitos resultados sobre figuras planas são provados, por exemplo, se um triângulo tem dois ângulos iguais, então os lados subtendidos pelos ângulos são iguais. O teorema de Pitágoras está provado.

Os livros V e VII – X tratam da teoria dos números, com números tratados geometricamente por meio de sua representação como segmentos de linha com vários comprimentos. Noções como números primos e números racionais e irracionais são introduzidas. A infinitude de números primos está provada.

Os livros XI – XIII tratam da geometria sólida. Um resultado típico é a proporção de 1: 3 entre o volume de um cone e um cilindro com a mesma altura e base.

O postulado paralelo: se duas linhas cruzam uma terceira de tal forma que a soma dos ângulos internos de um lado é menor do que dois ângulos retos, então as duas linhas inevitavelmente se cruzam naquele lado se estendidas o suficiente.

Perto do início do primeiro livro dos Elementos , Euclides fornece cinco postulados (axiomas) para a geometria plana, declarados em termos de construções (conforme traduzido por Thomas Heath):

"Que seja postulado o seguinte":

1. "Para desenhar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto."
2. "Para produzir [estender] uma linha reta finita continuamente em uma linha reta."
3. "Para descrever um círculo com qualquer centro e distância [raio]."
4. "Que todos os ângulos retos são iguais uns aos outros."
5. O postulado paralelo : "Se uma linha reta caindo em duas linhas retas torna os ângulos internos do mesmo lado menores que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se produzidas indefinidamente, se encontram naquele lado em que os ângulos são menores que os dois ângulos retos. "

Embora a declaração dos postulados de Euclides apenas afirme explicitamente a existência das construções, também se supõe que eles produzem objetos únicos.

O sucesso dos Elementos se deve principalmente à sua apresentação lógica da maior parte do conhecimento matemático disponível para Euclides. Muito do material não é original para ele, embora muitas das provas sejam supostamente dele. O desenvolvimento sistemático de Euclides de seu assunto, de um pequeno conjunto de axiomas a resultados profundos, e a consistência de sua abordagem em todos os Elementos , encorajou seu uso como livro-texto por cerca de 2.000 anos. Os elementos ainda influenciam os livros modernos de geometria. Além disso, sua abordagem axiomática lógica e provas rigorosas continuam a ser a pedra angular da matemática.

Uma crítica de Euclides

Os padrões de rigor matemático mudaram desde que Euclides escreveu os Elementos . Atitudes e pontos de vista modernos em relação a um sistema axiomático podem fazer parecer que Euclides foi de alguma forma descuidado ou descuidado em sua abordagem do assunto, mas isso é uma ilusão a-histórica. Somente depois que os fundamentos foram cuidadosamente examinados em resposta à introdução da geometria não euclidiana é que o que agora consideramos falhas começaram a surgir. O matemático e historiador WW Rouse Ball colocou essas críticas em perspectiva, observando que "o fato de que por dois mil anos [os Elementos ] foi o livro-texto usual sobre o assunto, levanta uma forte presunção de que não é impróprio para esse propósito."

Alguns dos principais problemas da apresentação de Euclides são:

• Falta de reconhecimento do conceito de termos primitivos , objetos e noções que devem ser deixados indefinidos no desenvolvimento de um sistema axiomático.
• O uso de sobreposição em algumas provas sem que haja uma justificativa axiomática desse método.
• Ausência de um conceito de continuidade, necessário para comprovar a existência de alguns pontos e linhas que Euclides constrói.
• Falta de clareza sobre se uma linha reta é infinita ou sem fronteiras no segundo postulado.
• Ausência do conceito de intermediação usado, entre outras coisas, para distinguir entre o interior e o exterior das várias figuras.

A lista de axiomas de Euclides nos Elementos não era exaustiva, mas representava os princípios que pareciam os mais importantes. Suas provas frequentemente invocam noções axiomáticas que não foram originalmente apresentadas em sua lista de axiomas. Ele não se desvia e prova coisas erradas por causa disso, uma vez que está fazendo uso de suposições implícitas cuja validade parece ser justificada pelos diagramas que acompanham suas provas. Os matemáticos posteriores incorporaram as suposições axiomáticas implícitas de Euclides na lista de axiomas formais, estendendo, assim, essa lista.

Por exemplo, na primeira construção do Livro 1, Euclides usou uma premissa que não foi postulada nem provada: que dois círculos com centros na distância de seu raio se cruzarão em dois pontos. Posteriormente, na quarta construção, ele usou a superposição (movendo os triângulos um sobre o outro) para provar que se dois lados e seus ângulos são iguais, eles são congruentes; durante essas considerações, ele usa algumas propriedades de sobreposição, mas essas propriedades não são descritas explicitamente no tratado. Se a sobreposição deve ser considerada um método válido de prova geométrica, toda a geometria estaria repleta de tais provas. Por exemplo, as proposições I.1 a I.3 podem ser provadas trivialmente usando a superposição.

Para resolver estas questões na obra de Euclides, autores posteriores têm ou tentou preencher os buracos na apresentação de Euclides - o mais notável destas tentativas é devido a D. Hilbert - ou para organizar o sistema de axioma em torno de diferentes conceitos, como GD Birkhoff fez .

Pasch e Peano

O matemático alemão Moritz Pasch (1843–1930) foi o primeiro a realizar a tarefa de colocar a geometria euclidiana em uma base axiomática firme. Em seu livro, Vorlesungen über neuere Geometrie publicado em 1882, Pasch lançou as bases do método axiomático moderno. Ele originou o conceito de noção primitiva (que ele chamou de Kernbegriffe ) e junto com os axiomas ( Kernsätzen ) ele construiu um sistema formal que é livre de quaisquer influências intuitivas. De acordo com Pasch, o único lugar onde a intuição deve desempenhar um papel é decidir quais devem ser as noções primitivas e os axiomas. Assim, para Pasch, o ponto é uma noção primitiva, mas a linha ( linha reta) não é, uma vez que temos uma boa intuição sobre os pontos, mas ninguém jamais viu ou teve experiência com uma linha infinita. A noção primitiva que Pasch usa em seu lugar é o segmento de linha .

Pasch observou que a ordem dos pontos em uma linha (ou propriedades equivalentes de contenção dos segmentos de linha) não é resolvida apropriadamente pelos axiomas de Euclides; assim, o teorema de Pasch , afirmando que se duas relações de contenção de segmento de linha são válidas, uma terceira também é válida, não pode ser provada a partir dos axiomas de Euclides. O axioma de Pasch relacionado diz respeito às propriedades de interseção de linhas e triângulos.

O trabalho de Pasch sobre os fundamentos definiu o padrão de rigor, não apenas na geometria, mas também no contexto mais amplo da matemática. Suas ideias inovadoras agora são tão comuns que é difícil lembrar que tiveram um único criador. O trabalho de Pasch influenciou diretamente muitos outros matemáticos, em particular D. Hilbert e o matemático italiano Giuseppe Peano (1858–1932). O trabalho de Peano de 1889 sobre geometria, em grande parte uma tradução do tratado de Pasch para a notação de lógica simbólica (que Peano inventou), usa as noções primitivas de ponto e entre pontos . Peano quebra o laço empírico na escolha de noções primitivas e axiomas que Pasch exigia. Para Peano, todo o sistema é puramente formal, divorciado de qualquer entrada empírica.

Pieri e a escola italiana de geômetras

O matemático italiano Mario Pieri (1860–1913) fez uma abordagem diferente e considerou um sistema no qual havia apenas duas noções primitivas, a de ponto e a de movimento . Pasch usou quatro primitivas e Peano reduziu para três, mas ambas as abordagens se baseavam em algum conceito de intermediação que Pieri substituiu por sua formulação de movimento . Em 1905, Pieri deu o primeiro tratamento axiomático da geometria projetiva complexa , que não começou pela construção da geometria projetiva real .

Pieri era membro de um grupo de geômetras e lógicos italianos que Peano reunira em torno de si em Torino. Este grupo de assistentes, colegas juniores e outros foram dedicados a realizar o programa lógico-geométrico de Peano de colocar os fundamentos da geometria em bases axiomáticas firmes com base no simbolismo lógico de Peano. Além de Pieri, estiveram neste grupo Burali-Forti , Padoa e Fano . Em 1900, ocorreram duas conferências internacionais consecutivas em Paris, o Congresso Internacional de Filosofia e o Segundo Congresso Internacional de Matemáticos . Esse grupo de matemáticos italianos estava muito em evidência nesses congressos, promovendo sua agenda axiomática. Padoa deu uma palestra bem conceituada e Peano, no período de perguntas após o famoso discurso de David Hilbert sobre problemas não resolvidos , observou que seus colegas já haviam resolvido o segundo problema de Hilbert.

Axiomas de Hilbert

David Hilbert

Na Universidade de Göttingen, durante o semestre de inverno de 1898–1899, o eminente matemático alemão David Hilbert (1862–1943) apresentou um curso de palestras sobre os fundamentos da geometria. A pedido de Felix Klein , o professor Hilbert foi convidado a redigir as notas de aula para este curso a tempo para a cerimônia de dedicação do verão de 1899 de um monumento a CF Gauss e Wilhelm Weber a ser realizado na universidade. As palestras reorganizadas foram publicadas em junho de 1899 sob o título Grundlagen der Geometrie (Foundations of Geometry). A influência do livro foi imediata. De acordo com Eves (1963 , pp. 384–5):

Ao desenvolver um conjunto de postulados para a geometria euclidiana que não se afasta muito em espírito do próprio Euclides, e empregando um mínimo de simbolismo, Hilbert conseguiu convencer os matemáticos em uma extensão muito maior do que Pasch e Peano, do puramente hipotético-dedutivo natureza da geometria. Mas a influência do trabalho de Hilbert foi muito além disso, pois, apoiado pela grande autoridade matemática do autor, implantou firmemente o método postulacional, não apenas no campo da geometria, mas também essencialmente em todos os outros ramos da matemática. O estímulo ao desenvolvimento dos fundamentos da matemática fornecido pelo livrinho de Hilbert é difícil de superestimar. Sem o estranho simbolismo das obras de Pasch e Peano, a obra de Hilbert pode ser lida, em grande parte, por qualquer estudante inteligente de geometria do ensino médio.

É difícil especificar os axiomas usados ​​por Hilbert sem se referir à história de publicação do Grundlagen, uma vez que Hilbert os alterou e modificou várias vezes. A monografia original foi rapidamente seguida por uma tradução francesa, na qual Hilbert adicionou o V.2, o Axioma da Completude. Uma tradução em inglês, autorizada por Hilbert, foi feita por EJ Townsend e protegida por direitos autorais em 1902. Esta tradução incorporou as alterações feitas na tradução francesa e, portanto, é considerada uma tradução da 2ª edição. Hilbert continuou a fazer mudanças no texto e várias edições apareceram em alemão. A 7ª edição foi a última a aparecer durante a vida de Hilbert. Novas edições seguiram a 7ª, mas o texto principal essencialmente não foi revisado. As modificações nessas edições ocorrem nos apêndices e nos suplementos. As mudanças no texto foram grandes quando comparadas ao original e uma nova tradução em inglês foi encomendada pela Open Court Publishers, que publicou a tradução de Townsend. Portanto, a 2ª edição em inglês foi traduzida por Leo Unger da 10ª edição alemã em 1971. Esta tradução incorpora várias revisões e ampliações das edições alemãs posteriores de Paul Bernays. As diferenças entre as duas traduções para o inglês se devem não apenas a Hilbert, mas também a escolhas diferentes feitas pelos dois tradutores. O que se segue será baseado na tradução de Unger.

O sistema de axiomas de Hilbert é construído com seis noções primitivas : ponto , linha , plano , intermediação , repousa sobre (contenção) e congruência .

Todos os pontos, linhas e planos nos axiomas a seguir são distintos, a menos que indicado de outra forma.

I. Incidência

1. Para cada dois pontos A e B existe uma linha a que contém os dois. Escrevemos AB = a ou BA = a . Em vez de “contém”, também podemos empregar outras formas de expressão; por exemplo, podemos dizer " A encontra-se sobre a ", " A é um ponto de a ", " a passa por A e por B ", " a une A a B ", etc. Se A estiver sobre a e no ao mesmo tempo em outra linha b , fazemos uso também da expressão: “As linhas a e b têm o ponto A em comum”, etc.
2. Para cada dois pontos, não existe mais do que uma linha que os contenha; conseqüentemente, se AB = a e AC = a , onde B ≠ C , então também BC = a .
3. Existem pelo menos dois pontos em uma linha. Existem pelo menos três pontos que não estão em uma linha.
4. Para cada três pontos A , B , C não situados na mesma linha existe um plano α que contém todos eles. Para cada plano existe um ponto que fica sobre ele. Escrevemos ABC = α . Empregamos também as expressões: “ A , B , C , encontram-se em α”; “A, B, C são pontos de α”, etc.
5. Para cada três pontos A , B , C que não estão na mesma linha, não existe mais de um plano que os contém todos.
6. Se dois pontos A , B de uma reta a estão em um plano α, então todos os pontos de a estão em α. Neste caso, dizemos: “A linha a encontra - se no plano α,” etc.
7. Se dois planos α, β têm um ponto A em comum, então eles têm pelo menos um segundo ponto B em comum.
8. Existem pelo menos quatro pontos que não estão em um plano.

II. Pedido

1. Se um ponto B situa-se entre os pontos A e C , B também é entre C e A , e existe uma linha que contém os pontos distintos A, B, C .
2. Se A e C são dois pontos de uma linha, então existe pelo menos um ponto B que se situa entre um e C .
3. De quaisquer três pontos situados em uma linha, não há mais do que um entre os outros dois.
4. Axioma da Páscoa : Let Um , B , C de três pontos não encontra-se na mesma linha e deixe um ser uma linha situada no plano ABC e não passar por qualquer dos pontos A , B , C . Então, se a reta a passar por um ponto do segmento AB , ela também passará por um ponto do segmento BC ou por um ponto do segmento AC .

III. Congruência

1. Se A , B são dois pontos em uma linha a , e se A ′ é um ponto na mesma ou em outra linha a ′ , então, em um determinado lado de A ′ na linha reta a ′ , podemos sempre encontrar um ponto B ′ de forma que o segmento AB seja congruente com o segmento A′B ′ . Indicamos essa relação escrevendo AB ≅ A ′ B ′ . Cada segmento é congruente consigo mesmo; ou seja, sempre temos AB ≅ AB .
   Podemos apresentar o axioma acima resumidamente, dizendo que cada segmento pode ser colocado em um determinado lado de um determinado ponto de uma determinada linha reta de pelo menos uma maneira.
2. Se um segmento AB for congruente com o segmento A′B ′ e também com o segmento A ″ B ″ , então o segmento A′B ′ é congruente com o segmento A ″ B ″ ; isto é, se AB ≅ A′B ′ e AB ≅ A ″ B ″ , então A′B ′ ≅ A ″ B ″ .
3. Sejam AB e BC dois segmentos de uma reta a que não têm pontos em comum além do ponto B , e, além disso, sejam A′B ′ e B′C ′ dois segmentos da mesma ou de outra reta a ′ tendo , da mesma forma, nenhum ponto diferente de B ′ em comum. Então, se AB ≅ A′B ′ e BC ≅ B′C ′ , temos AC ≅ A′C ′ .
4. Seja um ângulo ∠ ( h , k ) dado no plano α e seja dada uma reta a ′ no plano α ′. Suponha também que, no plano α ′, um lado definido da reta a ′ seja atribuído. Denote por h ′ um raio da reta a ′ que emana de um ponto O ′ dessa reta. Então, no plano α ′ existe um e apenas um raio k ′ tal que o ângulo ∠ ( h , k ), ou ∠ ( k , h ), é congruente ao ângulo ∠ ( h ′ , k ′ ) e no ao mesmo tempo, todos os pontos internos do ângulo ∠ ( h ′ , k ′ ) estão sobre o lado dado de a ′ . Expressamos essa relação por meio da notação ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′ , k ′ ).
5. Se o ângulo ∠ ( h , k ) é congruente com o ângulo ∠ ( h ′ , k ′ ) e com o ângulo ∠ ( h ″ , k ″ ), então o ângulo ∠ ( h ′ , k ′ ) é congruente com o ângulo ∠ ( h ″ , k ″ ); ou seja, se ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′ , k ′ ) e ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″ , k ″ ), então ∠ ( h ′ , k ′ ) ≅ ∠ ( h ″ , k ″ ).

4. Paralelos

1. (Axioma de Euclides): Seja a qualquer linha e A um ponto fora dela. Então, há no máximo uma linha no plano, determinada por a e A , que passa por A e não intercepta a .

V. Continuidade

1. Axioma de Arquimedes . Se AB e CD são quaisquer segmentos, em seguida, existe um número N de modo a que n segmentos CD construídos de forma contígua a partir de uma , ao longo do raio de um meio B , irá passar além do ponto B .
2. Axioma de completude de linha . Uma extensão de um conjunto de pontos em uma linha com suas relações de ordem e congruência que preservariam as relações existentes entre os elementos originais, bem como as propriedades fundamentais da ordem e congruência da linha que segue dos Axiomas I-III e de V-1 é impossível.

Mudanças nos axiomas de Hilbert

Quando a monografia de 1899 foi traduzida para o francês, Hilbert acrescentou:

V.2 Axioma de completude . A um sistema de pontos, retas e planos, é impossível adicionar outros elementos de tal maneira que o sistema assim generalizado forme uma nova geometria obedecendo a todos os cinco grupos de axiomas. Em outras palavras, os elementos da geometria formam um sistema que não é suscetível de extensão, se considerarmos os cinco grupos de axiomas como válidos.

Este axioma não é necessário para o desenvolvimento da geometria euclidiana, mas é necessário para estabelecer uma bijeção entre os números reais e os pontos de uma linha. Este foi um ingrediente essencial na prova de Hilbert da consistência de seu sistema de axiomas.

Na 7ª edição do Grundlagen , esse axioma foi substituído pelo axioma da completude da linha dado acima e o antigo axioma V.2 tornou-se o Teorema 32.

Também pode ser encontrado na monografia de 1899 (e aparecendo na tradução de Townsend):

II.4. Quaisquer quatro pontos A , B , C , D de uma linha podem sempre ser rotulados de modo que B fique entre A e C e também entre A e D , e, além disso, que C esteja entre A e D e também entre B e D .

No entanto, EH Moore e RL Moore provaram independentemente que este axioma é redundante, e o primeiro publicou este resultado em um artigo que aparece no Transactions of the American Mathematical Society em 1902. Hilbert mudou o axioma para o Teorema 5 e renumerou os axiomas de acordo (antigo axioma II-5 (axioma de Pasch) agora se tornou II-4).

Embora não seja tão dramático quanto essas mudanças, a maioria dos axiomas restantes também foram modificados em forma e / ou função ao longo das primeiras sete edições.

Consistência e independência

Indo além do estabelecimento de um conjunto satisfatório de axiomas, Hilbert também provou a consistência de seu sistema em relação à teoria dos números reais, construindo um modelo de seu sistema de axiomas a partir dos números reais. Ele provou a independência de alguns de seus axiomas construindo modelos de geometrias que satisfazem a todos, exceto o axioma em consideração. Assim, há exemplos de geometrias que satisfazem todos, exceto o axioma arquimediano V.1 (geometrias não arquimedianas), todos exceto o axioma paralelo IV.1 (geometrias não euclidianas) e assim por diante. Usando a mesma técnica, ele também mostrou como alguns teoremas importantes dependiam de certos axiomas e eram independentes de outros. Alguns de seus modelos eram muito complexos e outros matemáticos tentaram simplificá-los. Por exemplo, o modelo de Hilbert para mostrar a independência do teorema de Desargues de certos axiomas levou Ray Moulton a descobrir o plano não Desarguesiano de Moulton . Essas investigações de Hilbert praticamente inauguraram o estudo moderno da geometria abstrata no século XX.

Axiomas de Birkhoff

George David Birkhoff

Em 1932, GD Birkhoff criou um conjunto de quatro postulados da geometria euclidiana às vezes referido como axiomas de Birkhoff . Esses postulados são todos baseados na geometria básica que pode ser verificada experimentalmente com uma escala e transferidor . Em um afastamento radical da abordagem sintética de Hilbert, Birkhoff foi o primeiro a construir as bases da geometria no sistema de números reais . É essa suposição poderosa que permite o pequeno número de axiomas neste sistema.

Postulados

Birkhoff usa quatro termos indefinidos: ponto , linha , distância e ângulo . Seus postulados são:

Postulado I: Postulado da Medida da Linha . Os pontos A , B , ... de qualquer reta podem ser colocados em correspondência 1: 1 com os números reais x de modo que | x _B  - x _A | = D ( A, B ) para todos os pontos A e  B .  

Postulado II: Postulado Point-Line . Há uma e apenas uma linha recta, ℓ , que contém quaisquer dois pontos dados distintos P e  Q .

Postulado III: Postulado da Medida do Ângulo . Os raios { ℓ, m, n , ...} através de qualquer ponto O podem ser colocados em correspondência 1: 1 com os números reais a  (mod 2 π ) de modo que se A e B são pontos (não iguais a O ) de ℓ e m , respectivamente, a diferença a _m  -  a _ℓ  (mod 2π) dos números associados às linhas ℓ e m é AOB . Além disso, se o ponto B em m varia continuamente em uma linha r que não contém o vértice O , o número a _m varia continuamente também. ${\ displaystyle \ angle}$

Postulado IV: Postulado de Similaridade . Se em dois triângulos ABC e A'B'C '  e para alguma constante k  > 0, d ( A', B ' ) =  kd ( A, B ), d ( A', C '  ) =  kd ( A, C ) e B'A'C '   = ± BAC , então d ( B', C '  ) =  kd ( B, C ), C'B'A'   = ± CBA e A'C'B '   = ± ACB . ${\ displaystyle \ angle}$${\ displaystyle \ angle}$${\ displaystyle \ angle}$ ${\ displaystyle \ angle}$${\ displaystyle \ angle}$${\ displaystyle \ angle}$

Geometria escolar

George Bruce Halsted

Se é ou não sábio ensinar geometria euclidiana de um ponto de vista axiomático no ensino médio tem sido uma questão de debate. Houve muitas tentativas de fazê-lo e nem todas foram bem-sucedidas. Em 1904, George Bruce Halsted publicou um texto de geometria do ensino médio baseado no conjunto de axiomas de Hilbert. As críticas lógicas a este texto levaram a uma segunda edição altamente revisada. Em reação ao lançamento do satélite russo Sputnik, houve um chamado para revisar o currículo de matemática da escola. Desse esforço surgiu o programa New Math da década de 1960. Com isso como pano de fundo, muitos indivíduos e grupos começaram a fornecer material textual para aulas de geometria com base em uma abordagem axiomática.

Axiomas de Mac Lane

Saunders Mac Lane

Saunders Mac Lane (1909–2005), um matemático, escreveu um artigo em 1959 no qual propôs um conjunto de axiomas para a geometria euclidiana no espírito do tratamento de Birkhoff, usando uma função de distância para associar números reais a segmentos de linha. Esta não foi a primeira tentativa de basear um tratamento de nível escolar no sistema de Birkhoff; na verdade, Birkhoff e Ralph Beatley escreveram um texto escolar em 1940 que desenvolveu a geometria euclidiana a partir de cinco axiomas e a capacidade de medir segmentos de linha e ângulos. No entanto, a fim de direcionar o tratamento para o público do ensino médio, alguns argumentos matemáticos e lógicos foram ignorados ou arrastados.

No sistema de Mac Lane, existem quatro noções primitivas (termos indefinidos): ponto , distância , medida de linha e ângulo . Existem também 14 axiomas, quatro dando as propriedades da função de distância, quatro descrevendo propriedades de linhas, quatro discutindo ângulos (que são ângulos direcionados neste tratamento), um axioma de similaridade (essencialmente o mesmo que o de Birkhoff) e um axioma de continuidade que pode ser usado para derivar o teorema da barra transversal e seu inverso. O número aumentado de axiomas tem a vantagem pedagógica de tornar as primeiras provas no desenvolvimento mais fáceis de seguir e o uso de uma métrica familiar permite um rápido avanço através do material básico para que os aspectos mais "interessantes" do assunto possam ser obtidos mais cedo.

Axiomas SMSG (School Mathematics Study Group)

Na década de 1960, um novo conjunto de axiomas para a geometria euclidiana, adequado para os cursos de geometria do ensino médio, foi introduzido pelo School Mathematics Study Group (SMSG), como parte dos novos currículos de matemática . Este conjunto de axiomas segue o modelo de Birkhoff de usar os números reais para obter uma entrada rápida nos fundamentos geométricos. No entanto, enquanto Birkhoff tentou minimizar o número de axiomas usados, e a maioria dos autores estava preocupada com a independência dos axiomas em seus tratamentos, a lista de axiomas SMSG foi intencionalmente ampliada e redundante por razões pedagógicas. O SMSG produziu apenas um texto mimeografado usando esses axiomas, mas Edwin E. Moise , um membro do SMSG, escreveu um texto de ensino médio com base nesse sistema e um texto de nível universitário, Moise (1974) , com parte da redundância removida e modificações feitas nos axiomas para um público mais sofisticado.

Existem oito termos indefinidos: ponto , linha , plano , mentir , distância , medida do ângulo , área e volume . Os 22 axiomas desse sistema recebem nomes individuais para facilitar a referência. Entre estes encontram-se: o postulado da régua, o postulado da colocação da régua, o postulado da separação do plano, o postulado da adição do ângulo , o postulado do lado do ângulo lateral (SAS), o postulado do paralelo (na forma de Playfair ) e o princípio de Cavalieri .

Axiomas UCSMP (University of Chicago School Mathematics Project)

Embora grande parte do novo currículo de matemática tenha sido drasticamente modificado ou abandonado, a parte da geometria permaneceu relativamente estável. Os livros didáticos modernos do ensino médio usam sistemas de axiomas muito semelhantes aos do SMSG. Por exemplo, os textos produzidos pelo University of Chicago School Mathematics Project (UCSMP) utilizam um sistema que, além de alguma atualização da linguagem, difere principalmente do sistema SMSG por incluir alguns conceitos de transformação no seu "Postulado de Reflexão".

Existem apenas três termos indefinidos: ponto , linha e plano . Existem oito "postulados", mas a maioria deles tem várias partes (que são geralmente chamadas de suposições neste sistema). Contando essas partes, existem 32 axiomas neste sistema. Entre os postulados podem ser encontrados o postulado ponto-linha-plano , o postulado da desigualdade do Triângulo , os postulados para distância, medição do ângulo, ângulos, área e volume correspondentes e o postulado da Reflexão. O postulado de reflexão é usado como um substituto para o postulado SAS do sistema SMSG.

Outros sistemas

Oswald Veblen (1880 - 1960) forneceu um novo sistema de axiomas em 1904 quando substituiu o conceito de "entre", usado por Hilbert e Pasch, por uma nova ordem primitiva . Isso permitiu que vários termos primitivos usados ​​por Hilbert se tornassem entidades definidas, reduzindo o número de noções primitivas a dois, ponto e ordem .

Muitos outros sistemas axiomáticos para a geometria euclidiana foram propostos ao longo dos anos. Uma comparação de muitos deles pode ser encontrada em uma monografia de 1927 de Henry George Forder. Forder também dá, combinando axiomas de diferentes sistemas, seu próprio tratamento com base nas duas noções primitivas de ponto e ordem . Ele também fornece um tratamento mais abstrato de um dos sistemas de Pieri (de 1909) com base no ponto primitivo e na congruência .

A partir de Peano, houve um paralelo de interesse entre os lógicos a respeito dos fundamentos axiomáticos da geometria euclidiana. Isso pode ser visto, em parte, na notação usada para descrever os axiomas. Pieri afirmava que, embora escrevesse na linguagem tradicional da geometria, estava sempre pensando em termos da notação lógica introduzida por Peano e usava esse formalismo para ver como provar as coisas. Um exemplo típico desse tipo de notação pode ser encontrado no trabalho de EV Huntington (1874 - 1952) que, em 1913, produziu um tratamento axiomático da geometria euclidiana tridimensional com base nas noções primitivas de esfera e inclusão (uma esfera deitada dentro de outro). Além da notação, também há interesse na estrutura lógica da teoria da geometria. Alfred Tarski provou que uma parte da geometria, que ele chamou de geometria elementar , é uma teoria lógica de primeira ordem (ver os axiomas de Tarski ).

Tratamentos de texto modernos dos fundamentos axiomáticos da geometria euclidiana seguem o padrão de HG Forder e Gilbert de B. Robinson, que misturam e combinam axiomas de diferentes sistemas para produzir diferentes ênfases. Venema (2006) é um exemplo moderno dessa abordagem.

Geometria não euclidiana

Em vista do papel que a matemática desempenha na ciência e as implicações do conhecimento científico para todas as nossas crenças, mudanças revolucionárias na compreensão do homem sobre a natureza da matemática não poderiam deixar de significar mudanças revolucionárias em sua compreensão da ciência, doutrinas da filosofia, religiosas e éticas crenças e, de fato, todas as disciplinas intelectuais.

Na primeira metade do século XIX, ocorreu uma revolução no campo da geometria que foi tão cientificamente importante quanto a revolução copernicana na astronomia e tão profunda filosoficamente quanto a teoria darwiniana da evolução em seu impacto sobre a maneira como pensamos. Esta foi a consequência da descoberta da geometria não euclidiana. Por mais de dois mil anos, começando na época de Euclides, os postulados que fundamentaram a geometria foram considerados verdades evidentes sobre o espaço físico. Os geômetras pensaram que estavam deduzindo deles outras verdades mais obscuras, sem possibilidade de erro. Essa visão tornou-se insustentável com o desenvolvimento da geometria hiperbólica. Havia agora dois sistemas incompatíveis de geometria (e mais surgiram depois) que eram autoconsistentes e compatíveis com o mundo físico observável. “Desse ponto em diante, toda a discussão da relação entre geometria e espaço físico foi conduzida em termos bastante diferentes.” ( Moise 1974 , p. 388)

Para obter uma geometria não euclidiana, o postulado paralelo (ou seu equivalente) deve ser substituído por sua negação . A negação da forma axiomática do Playfair , por se tratar de um enunciado composto (... existe um e somente um ...), pode ser feita de duas maneiras. Existirá mais de uma linha através do ponto paralelo à linha fornecida ou não haverá nenhuma linha através do ponto paralelo à linha fornecida. No primeiro caso, substituindo o postulado paralelo (ou seu equivalente) pela afirmação "Em um plano, dado um ponto P e uma reta ℓ que não passa por P, existem duas retas passando por P que não se encontram com ℓ " e mantendo todas as os outros axiomas, produz geometria hiperbólica . O segundo caso não é tratado com tanta facilidade. A simples substituição do postulado paralelo pela afirmação: "Em um plano, dado um ponto P e uma linha ℓ que não passa por P, todas as linhas que passam por P encontram ℓ ", não dá um conjunto consistente de axiomas. Isso ocorre porque as linhas paralelas existem na geometria absoluta, mas esta afirmação diria que não existem linhas paralelas. Este problema era conhecido (sob uma aparência diferente) por Khayyam, Saccheri e Lambert e foi a base para a rejeição do que ficou conhecido como "caso de ângulo obtuso". Para obter um conjunto consistente de axiomas que inclua este axioma sobre não ter linhas paralelas, alguns dos outros axiomas devem ser ajustados. Os ajustes a serem feitos dependem do sistema de axioma que está sendo usado. Entre outros, esses ajustes terão o efeito de modificar o segundo postulado de Euclides da declaração de que os segmentos de linha podem ser estendidos indefinidamente para a declaração de que as linhas são ilimitadas. A geometria elíptica de Riemann surge como a geometria mais natural que satisfaz esse axioma.

Foi Gauss quem cunhou o termo "geometria não euclidiana". Ele se referia ao seu próprio trabalho não publicado, que hoje chamamos de geometria hiperbólica . Vários autores ainda consideram "geometria não euclidiana" e "geometria hiperbólica" como sinônimos. Em 1871, Felix Klein , ao adaptar uma métrica discutida por Arthur Cayley em 1852, foi capaz de trazer propriedades métricas para um ambiente projetivo e, assim, foi capaz de unificar os tratamentos da geometria hiperbólica, euclidiana e elíptica sob o guarda-chuva da geometria projetiva . Klein é responsável pelos termos "hiperbólica" e "elíptica" (em seu sistema ele chamou a geometria euclidiana de "parabólica", um termo que não sobreviveu ao teste do tempo e é usado hoje apenas em algumas disciplinas). Sua influência o conduziu ao uso comum do termo "geometria não euclidiana" para significar geometria "hiperbólica" ou "elíptica".

Existem alguns matemáticos que estenderiam a lista de geometrias que deveriam ser chamadas de "não euclidianas" de várias maneiras. Em outras disciplinas, principalmente a física matemática , onde a influência de Klein não foi tão forte, o termo "não-euclidiano" é freqüentemente considerado como significando não euclidiano.

Postulado paralelo de Euclides

Por dois mil anos, muitas tentativas foram feitas para provar o postulado paralelo usando os primeiros quatro postulados de Euclides. Uma possível razão pela qual tal prova foi tão procurada foi que, ao contrário dos primeiros quatro postulados, o postulado paralelo não é autoevidente. Se a ordem em que os postulados foram listados nos Elementos for significativa, isso indica que Euclides incluiu esse postulado apenas quando percebeu que não poderia prová-lo ou prosseguir sem ele. Muitas tentativas foram feitas para provar o quinto postulado a partir dos outros quatro, muitos deles sendo aceitos como provas por longos períodos de tempo até que o erro fosse encontrado. Invariavelmente, o erro foi assumir alguma propriedade "óbvia" que acabou por ser equivalente ao quinto postulado. Eventualmente, percebeu-se que este postulado não pode ser provado pelos outros quatro. De acordo com Trudeau (1987 , p. 154) esta opinião sobre o postulado paralelo (Postulado 5) aparece impressa:

Aparentemente, o primeiro a fazê-lo foi GS Klügel (1739–1812), um estudante de doutorado na Universidade de Göttingen, com o apoio de seu professor AG Kästner, na dissertação de 1763 do primeiro Conatuum praecipuorum teoriam parallelarum demonstrandi recensio (Revisão dos Mais Famosos Tentativas de demonstrar a teoria dos paralelos). Neste trabalho, Klügel examinou 28 tentativas de provar o Postulado 5 (incluindo o de Saccheri), achou todas elas deficientes e ofereceu a opinião de que o Postulado 5 é improvável e é apoiado apenas pelo julgamento de nossos sentidos.

O início do século 19 iria finalmente testemunhar passos decisivos na criação da geometria não euclidiana. Por volta de 1813, Carl Friedrich Gauss e, independentemente, por volta de 1818, o professor de direito alemão Ferdinand Karl Schweikart tiveram as ideias germinais da geometria não euclidiana elaboradas, mas nenhum dos dois publicou resultados. Então, por volta de 1830, o matemático húngaro János Bolyai e o matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaram separadamente tratados sobre o que hoje chamamos de geometria hiperbólica . Conseqüentemente, a geometria hiperbólica tem sido chamada de geometria bolyai-lobachevskiana, pois os dois matemáticos, independentes um do outro, são os autores básicos da geometria não euclidiana. Gauss mencionou ao pai de Bolyai, quando mostrado o trabalho do jovem Bolyai, que ele havia desenvolvido tal geometria vários anos antes, embora não publicasse. Enquanto Lobachevsky criou uma geometria não euclidiana negando o postulado paralelo, Bolyai elaborou uma geometria onde tanto a geometria euclidiana quanto a hiperbólica são possíveis dependendo de um parâmetro k . Bolyai termina seu trabalho mencionando que não é possível decidir apenas pelo raciocínio matemático se a geometria do universo físico é euclidiana ou não euclidiana; esta é uma tarefa para as ciências físicas. A independência do postulado paralelo dos outros axiomas de Euclides foi finalmente demonstrada por Eugenio Beltrami em 1868.

As várias tentativas de prova do postulado paralelo produziram uma longa lista de teoremas que são equivalentes ao postulado paralelo. Equivalência aqui significa que, na presença dos outros axiomas da geometria, cada um desses teoremas pode ser assumido como verdadeiro e o postulado paralelo pode ser provado a partir desse conjunto alterado de axiomas. Isso não é o mesmo que equivalência lógica . Em diferentes conjuntos de axiomas para a geometria euclidiana, qualquer um deles pode substituir o postulado do paralelo euclidiano. A lista parcial a seguir indica alguns desses teoremas que são de interesse histórico.

1. As linhas retas paralelas são equidistantes. (Poseidonios, século 1 aC)
2. Todos os pontos equidistantes de uma determinada linha reta, em um determinado lado dela, constituem uma linha reta. (Christoph Clavius, 1574)
3. Axioma da Playfair . Em um plano, há no máximo uma linha que pode ser traçada paralela a outra dada por um ponto externo. (Proclus, século 5, mas popularizado por John Playfair, final do século 18)
4. A soma dos ângulos em cada triângulo é 180 ° (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, início do século 19)
5. Existe um triângulo cujos ângulos somam 180 °. (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, início do século 19)
6. Existe um par de triângulos semelhantes , mas não congruentes . (Gerolamo Saccheri, 1733)
7. Cada triângulo pode ser circunscrito . (Adrien-Marie Legendre, Farkas Bolyai, início do século 19)
8. Se três ângulos de um quadrilátero são ângulos retos , o quarto ângulo também é um ângulo reto. (Alexis-Claude Clairaut, 1741; Johann Heinrich Lambert, 1766)
9. Existe um quadrilátero em que todos os ângulos são ângulos retos. (Geralamo Saccheri, 1733)
10. Postulado de Wallis . Em uma determinada linha reta finita, é sempre possível construir um triângulo semelhante a um determinado triângulo. (John Wallis, 1663; Lazare-Nicholas-Marguerite Carnot, 1803; Adrien-Marie Legendre, 1824)
11. Não há limite superior para a área de um triângulo. (Carl Friedrich Gauss, 1799)
12. Os ângulos do ápice do quadrilátero de Saccheri são 90 °. (Geralamo Saccheri, 1733)
13. Axioma de Proclo . Se uma linha cruza uma das duas linhas paralelas, ambas coplanares com a linha original, então ela também cruza a outra. (Proclo, século V)

Geometria neutra (ou absoluta)

A geometria absoluta é uma geometria baseada em um sistema de axiomas que consiste em todos os axiomas que dão a geometria euclidiana, exceto para o postulado paralelo ou qualquer uma de suas alternativas. O termo foi introduzido por János Bolyai em 1832. Às vezes é referido como geometria neutra , pois é neutro em relação ao postulado paralelo.

Relação com outras geometrias

Em de Euclides Elements , os primeiros 28 proposições e evitar proposição I.31 usando o postulado das paralelas, e, portanto, são teoremas válidos na geometria absoluta. A proposição I.31 prova a existência de linhas paralelas (por construção). Além disso, o teorema de Saccheri – Legendre , que afirma que a soma dos ângulos em um triângulo é no máximo 180 °, pode ser provado.

Os teoremas da geometria absoluta valem tanto na geometria hiperbólica quanto na geometria euclidiana .

A geometria absoluta é inconsistente com a geometria elíptica : na geometria elíptica não existem linhas paralelas, mas na geometria absoluta existem linhas paralelas. Além disso, na geometria elíptica, a soma dos ângulos em qualquer triângulo é maior que 180 °.

Incompletude

Logicamente, os axiomas não formam uma teoria completa, pois é possível adicionar axiomas independentes extras sem tornar o sistema de axiomas inconsistente. Pode-se estender a geometria absoluta adicionando diferentes axiomas sobre paralelismo e obter sistemas de axiomas incompatíveis, mas consistentes, dando origem à geometria euclidiana ou hiperbólica. Assim, todo teorema da geometria absoluta é um teorema da geometria hiperbólica e da geometria euclidiana. No entanto, o inverso não é verdade. Além disso, a geometria absoluta não é uma teoria categórica , uma vez que possui modelos que não são isomórficos.

Geometria hiperbólica

Na abordagem axiomática da geometria hiperbólica (também conhecida como geometria Lobachevskiana ou geometria Bolyai-Lobachevskiana), um axioma adicional é adicionado aos axiomas, dando geometria absoluta . O novo axioma é o postulado paralelo de Lobachevsky (também conhecido como o postulado característico da geometria hiperbólica ):

Através de um ponto fora de uma determinada linha, existem (no plano determinado por este ponto e linha) pelo menos duas linhas que não se encontram com a linha dada.

Com esta adição, o sistema axioma está completo.

Embora o novo axioma afirme apenas a existência de duas linhas, é prontamente estabelecido que há um número infinito de linhas através do ponto dado que não encontram a linha dada. Dada esta plenitude, deve-se ter cuidado com a terminologia neste cenário, pois o termo linha paralela não tem mais o significado único que tem na geometria euclidiana. Especificamente, seja P um ponto que não está em uma determinada linha . Seja PA a perpendicular traçada de P a (encontrando-se no ponto A ). As linhas até P se enquadram em duas classes, aquelas que se encontram e aquelas que não se encontram. O postulado característico da geometria hiperbólica diz que existem pelo menos duas linhas do último tipo. Das linhas que não se encontram , haverá (em cada lado do PA ) uma linha fazendo o menor ângulo com o PA . Às vezes, essas linhas são chamadas de primeiras linhas até P, que não se encontram e são chamadas de linhas limitantes, assintóticas ou paralelas (quando este último termo é usado, essas são as únicas linhas paralelas). Todas as outras linhas através de P que não se encontram são chamadas de linhas sem interseção ou ultraparalelas . ${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ ell}$

Visto que a geometria hiperbólica e a geometria euclidiana são ambas construídas sobre os axiomas da geometria absoluta, elas compartilham muitas propriedades e proposições. No entanto, as consequências de substituir o postulado paralelo da geometria euclidiana pelo postulado característico da geometria hiperbólica podem ser dramáticas. Para mencionar alguns deles:

Quadrilátero de Lambert em geometria hiperbólica

• Um quadrilátero de Lambert é um quadrilátero que tem três ângulos retos. O quarto ângulo de um quadrilátero de Lambert é agudo se a geometria for hiperbólica e um ângulo reto se a geometria for euclidiana. Além disso, retângulos podem existir (uma afirmação equivalente ao postulado paralelo) apenas na geometria euclidiana.
• Um quadrilátero de Saccheri é um quadrilátero que tem dois lados de igual comprimento, ambos perpendiculares a um lado chamado base . Os outros dois ângulos de um quadrilátero de Saccheri são chamados de ângulos do cume e têm igual medida. Os ângulos de cume de um quadrilátero de Saccheri são agudos se a geometria for hiperbólica e os ângulos retos se a geometria for euclidiana.
• A soma das medidas dos ângulos de qualquer triângulo é menor que 180 ° se a geometria for hiperbólica e igual a 180 ° se a geometria for euclidiana. O defeito de um triângulo é o valor numérico (180 ° - soma das medidas dos ângulos do triângulo). Este resultado também pode ser declarado como: o defeito dos triângulos na geometria hiperbólica é positivo e o defeito dos triângulos na geometria euclidiana é zero.
• A área de um triângulo na geometria hiperbólica é limitada, enquanto os triângulos existem com áreas arbitrariamente grandes na geometria euclidiana.
• O conjunto de pontos no mesmo lado e igualmente distantes de uma determinada linha reta formam uma linha na geometria euclidiana, mas não na geometria hiperbólica (eles formam um hiperciclo ).

Os defensores da posição de que a geometria euclidiana é a única geometria "verdadeira" sofreram um revés quando, em um livro de memórias publicado em 1868, "Teoria fundamental dos espaços de curvatura constante", Eugenio Beltrami deu uma prova abstrata da equiconsistência de hiperbólica e euclidiana geometria para qualquer dimensão. Ele conseguiu isso introduzindo vários modelos de geometria não euclidiana que agora são conhecidos como o modelo de Beltrami-Klein , o modelo de disco de Poincaré e o modelo de semiplano de Poincaré , junto com transformações que os relacionam. Para o modelo semiplano, Beltrami citou uma nota de Liouville no tratado de Monge sobre geometria diferencial . Beltrami também mostrou que a geometria euclidiana n- dimensional é realizada em uma horosfera do espaço hiperbólico ( n  + 1) -dimensional , de forma que a relação lógica entre a consistência das geometrias euclidiana e não-euclidiana é simétrica.

Geometria elíptica

Outra maneira de modificar o postulado paralelo euclidiano é assumir que não há retas paralelas em um plano. Ao contrário da situação com a geometria hiperbólica , onde apenas adicionamos um novo axioma, não podemos obter um sistema consistente adicionando esta afirmação como um novo axioma aos axiomas da geometria absoluta . Isso ocorre porque as linhas paralelas provavelmente existem na geometria absoluta. Outros axiomas devem ser alterados.

Começando com os axiomas de Hilbert, as mudanças necessárias envolvem remover os quatro axiomas de ordem de Hilbert e substituí-los por esses sete axiomas de separação relacionados com uma nova relação indefinida.

Há uma relação indefinida ( primitiva ) entre quatro pontos, A , B , C e D denotados por ( A , C | B , D ) e lidos como " A e C separam B e D ", satisfazendo estes axiomas:

1. Se ( A , B | C , D ), então os pontos A , B , C e D são colineares e distintos.
2. Se ( A , B | C , D ), então ( C , D | A , B ) e ( B , A | D , C ).
3. Se ( A , B | C , D ), então não ( A , C | B , D ).
4. Se os pontos A , B , C e D são colineares e distintos, então ( A , B | C , D ) ou ( A , C | B , D ) ou ( A , D | B , C ).
5. Se os pontos A , B e C são colineares e distintos, então existe um ponto D tal que ( A , B | C , D ).
6. Para quaisquer cinco pontos colineares distintos A , B , C , D e E , se ( A , B | D , E ), então ( A , B | C , D ) ou ( A , B | C , E ).
7. As perspectivas preservam a separação.

Uma vez que a noção de Hilbert de "entre as duas coisas" foi removida, os termos que foram definidos usando esse conceito precisam ser redefinidos. Assim, um segmento de linha AB definido como os pontos A e B e todos os pontos entre A e B na geometria absoluta, precisa ser reformulado. Um segmento de linha nesta nova geometria é determinada por três pontos colineares A , B e C e é constituída por aqueles três pontos e todos os pontos não separados a partir de B por um e C . Existem outras consequências. Uma vez que dois pontos não determinam um segmento de linha exclusivamente, três pontos não colineares não determinam um triângulo único e a definição de triângulo deve ser reformulada.

Uma vez que essas noções tenham sido redefinidas, os outros axiomas da geometria absoluta (incidência, congruência e continuidade) fazem sentido e são deixados em paz. Junto com o novo axioma sobre a inexistência de linhas paralelas, temos um sistema consistente de axiomas dando uma nova geometria. A geometria resultante é chamada de geometria elíptica (plana) .

Quadriláteros de Saccheri em geometria euclidiana, elíptica e hiperbólica

Embora a geometria elíptica não seja uma extensão da geometria absoluta (como a geometria euclidiana e a hiperbólica), há uma certa "simetria" nas proposições das três geometrias que reflete uma conexão mais profunda que foi observada por Felix Klein. Algumas das proposições que exibem essa propriedade são:

• O quarto ângulo de um quadrilátero de Lambert é um ângulo obtuso na geometria elíptica.
• Os ângulos do ápice de um quadrilátero de Saccheri são obtusos na geometria elíptica.
• A soma das medidas dos ângulos de qualquer triângulo é maior que 180 ° se a geometria for elíptica. Ou seja, o defeito de um triângulo é negativo.
• Todas as linhas perpendiculares a uma determinada linha se encontram em um ponto comum na geometria elíptica, chamado de pólo da linha. Na geometria hiperbólica, essas linhas não se cruzam mutuamente, enquanto na geometria euclidiana elas são mutuamente paralelas.

Outros resultados, como o teorema do ângulo exterior , enfatizam claramente a diferença entre a elíptica e as geometrias que são extensões da geometria absoluta.

Geometria esférica

Outras geometrias

Geometria projetiva

Geometria afim

Geometria ordenada

A geometria absoluta é uma extensão da geometria ordenada e, portanto, todos os teoremas da geometria ordenada são válidos para a geometria absoluta. O inverso não é verdadeiro. A geometria absoluta assume os primeiros quatro dos Axiomas de Euclides (ou seus equivalentes), a serem contrastados com a geometria afim , que não assume o terceiro e o quarto axiomas de Euclides. A geometria ordenada é uma base comum da geometria absoluta e afim.

Geometria finita

Veja também

• Livre de coordenadas
• Geometria sintética

Notas

Referências

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links externos

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