Espaço quadridimensional - Four-dimensional space

Animação de um tesserato transformador ou de 4 cubos
O equivalente 4D de um cubo é conhecido como tesseract , visto girando aqui no espaço quadridimensional, mas projetado em duas dimensões para exibição.

Um espaço quadridimensional ( 4D ) é uma extensão matemática do conceito de espaço tridimensional ou 3D. O espaço tridimensional é a abstração mais simples possível da observação de que só são necessários três números, chamados dimensões , para descrever os tamanhos ou localizações dos objetos no mundo cotidiano. Por exemplo, o volume de uma caixa retangular é encontrado medindo e multiplicando seu comprimento, largura e altura (geralmente rotulado como x , y e z ).

A ideia de adicionar uma quarta dimensão começou com "Dimensões" de Jean le Rond d'Alembert publicado em 1754, foi seguido por Joseph-Louis Lagrange em meados de 1700 e culminou com uma formalização precisa do conceito em 1854 por Bernhard Riemann . Em 1880, Charles Howard Hinton popularizou esses insights em um ensaio intitulado " O que é a quarta dimensão? ", Que explicou o conceito de um " cubo quadridimensional " com uma generalização passo a passo das propriedades das linhas, quadrados, e cubos. A forma mais simples do método de Hinton é desenhar dois cubos 3D comuns no espaço 2D, um englobando o outro, separados por uma distância "invisível" e, em seguida, desenhar linhas entre seus vértices equivalentes. Isso pode ser visto na animação que acompanha sempre que mostra um cubo interno menor dentro de um cubo externo maior. As oito linhas conectando os vértices dos dois cubos, neste caso, representam uma única direção na quarta dimensão "invisível".

Espaços de dimensões superiores (ou seja, maiores que três), desde então, tornaram-se uma das bases para expressar formalmente a matemática e a física modernas. Grande parte desses tópicos não poderia existir em suas formas atuais sem o uso de tais espaços. O conceito de espaço-tempo de Einstein usa esse espaço 4D, embora tenha uma estrutura de Minkowski um pouco mais complicada do que o espaço 4D euclidiano .

As localizações únicas no espaço 4D podem ser dadas como vetores ou n-tuplas , isto é, como listas ordenadas de números como ( x , y , z , w ) . É apenas quando tais locais são interligados em formas mais complicadas que toda a riqueza e complexidade geométrica dos espaços de dimensões superiores emergem. Uma dica dessa complexidade pode ser vista na animação 2D que acompanha um dos objetos 4D mais simples possíveis, o tesseract (equivalente ao cubo 3D ; ver também hipercubo ).

História

Lagrange escreveu em seu Mécanique analytique (publicado em 1788, baseado em trabalho feito por volta de 1755) que a mecânica pode ser vista como operando em um espaço quadridimensional - três dimensões de espaço e uma de tempo. Em 1827, Möbius percebeu que uma quarta dimensão permitiria que uma forma tridimensional fosse girada em sua imagem no espelho, e em 1853 Ludwig Schläfli havia descoberto muitos politopos em dimensões superiores, embora seu trabalho só tenha sido publicado depois de sua morte. Dimensões mais altas logo foram firmadas pela tese de Bernhard Riemann de 1854 , Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen , na qual ele considerou um "ponto" como qualquer sequência de coordenadas ( x 1 , ..., x n ) A possibilidade de geometria em dimensões superiores , incluindo quatro dimensões em particular, foi assim estabelecida.

Uma aritmética de quatro dimensões chamada quatérnions foi definida por William Rowan Hamilton em 1843. Essa álgebra associativa foi a fonte da ciência da análise vetorial em três dimensões, conforme relatado em A History of Vector Analysis . Logo após tessarines e coquaternions foram introduzidos como outros quatro dimensões álgebras de mais de R .

Um dos primeiros grandes expositores da quarta dimensão foi Charles Howard Hinton , começando em 1880 com seu ensaio O que é a quarta dimensão? ; publicado na revista da Universidade de Dublin . Ele cunhou os termos tesserato , ana e kata em seu livro Uma Nova Era de Pensamento e introduziu um método para visualizar a quarta dimensão usando cubos no livro Quarta Dimensão .

As ideias de Hinton inspiraram uma fantasia sobre uma "Igreja da Quarta Dimensão" apresentada por Martin Gardner em sua " Coluna de Jogos Matemáticos " de janeiro de 1962 na Scientific American . Em 1886, Victor Schlegel descreveu seu método de visualização de objetos quadridimensionais com diagramas de Schlegel .

Em 1908, Hermann Minkowski apresentou um artigo consolidando o papel do tempo como a quarta dimensão do espaço-tempo , a base para as teorias da relatividade especial e geral de Einstein . Mas a geometria do espaço-tempo, sendo não euclidiana , é profundamente diferente daquela popularizada por Hinton. O estudo do espaço de Minkowski exigia uma nova matemática bastante diferente daquela do espaço euclidiano quadridimensional e, portanto, desenvolvido ao longo de linhas bastante diferentes. Essa separação era menos clara na imaginação popular, com obras de ficção e filosofia obscurecendo a distinção, então, em 1973, HSM Coxeter sentiu-se compelido a escrever:

Pouco ou nada se ganha representando a quarta dimensão euclidiana como tempo . Na verdade, essa ideia, desenvolvida de forma tão atraente por HG Wells em The Time Machine , levou autores como John William Dunne ( Um experimento com o tempo ) a um sério equívoco sobre a teoria da relatividade. A geometria do espaço-tempo de Minkowski não é euclidiana e, conseqüentemente, não tem conexão com a presente investigação.

-  HSM Coxeter , politopos regulares

Vetores

Matematicamente, o espaço quadridimensional é um espaço com quatro dimensões espaciais, ou seja, um espaço que precisa de quatro parâmetros para especificar um ponto nele. Por exemplo, um ponto geral pode ter vetor de posição a , igual a

Isso pode ser escrito em termos dos quatro vetores de base padrão ( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ), dados por

então o vetor geral a é

Os vetores somam, subtraem e escalam como em três dimensões.

O produto escalar do espaço tridimensional euclidiano generaliza para quatro dimensões como

Pode ser usado para calcular a norma ou comprimento de um vetor,

e calcular ou definir o ângulo entre dois vetores diferentes de zero como

O espaço-tempo de Minkowski é um espaço quadridimensional com geometria definida por um emparelhamento não degenerado diferente do produto escalar:

Por exemplo, a distância ao quadrado entre os pontos (0,0,0,0) e (1,1,1,0) é 3 nos 4 espaços euclidianos e de Minkowskian, enquanto a distância ao quadrado entre (0,0 , 0,0) e (1,1,1,1) é 4 no espaço euclidiano e 2 no espaço de Minkowski; aumentar, na verdade, diminui a distância métrica. Isso leva a muitos dos conhecidos "paradoxos" aparentes da relatividade.

O produto vetorial não é definido em quatro dimensões. Em vez disso, o produto externo é usado para algumas aplicações e é definido da seguinte forma:

Este é valorado por bivetor , com bivetores em quatro dimensões formando um espaço linear de seis dimensões com base ( e 12 , e 13 , e 14 , e 23 , e 24 , e 34 ). Eles podem ser usados ​​para gerar rotações em quatro dimensões.

Ortogonalidade e vocabulário

No familiar espaço tridimensional da vida diária, existem três eixos de coordenadas - normalmente rotulados como x , y e z - com cada eixo ortogonal (isto é, perpendicular) aos outros dois. As seis direções cardeais neste espaço podem ser chamadas para cima , para baixo , leste , oeste , norte e sul . As posições ao longo desses eixos podem ser chamadas de altitude , longitude e latitude . Os comprimentos medidos ao longo desses eixos podem ser chamados de altura , largura e profundidade .

Comparativamente, o espaço quadridimensional tem um eixo de coordenadas extra, ortogonal aos outros três, que geralmente é denominado w . Para descrever as duas direções cardeais adicionais, Charles Howard Hinton cunhou os termos ana e kata , das palavras gregas que significam "para cima" e "para baixo de", respectivamente.

Como mencionado acima, Herman Minkowski explorou a ideia de quatro dimensões para discutir a cosmologia, incluindo a velocidade finita da luz . Ao anexar uma dimensão de tempo ao espaço tridimensional, ele especificou uma perpendicularidade alternativa, a ortogonalidade hiperbólica . Essa noção fornece ao seu espaço quadridimensional uma simultaneidade modificada apropriada às relações eletromagnéticas em seu cosmos. O mundo de Minkowski superou problemas associados à cosmologia tradicional de espaço e tempo absolutos, anteriormente usada em um universo de três dimensões espaciais e uma dimensão de tempo.

Geometria

A geometria do espaço quadridimensional é muito mais complexa do que a do espaço tridimensional, devido ao grau extra de liberdade.

Assim como em três dimensões existem poliedros feitos de polígonos bidimensionais , em quatro dimensões existem 4 politopos feitos de poliedros. Em três dimensões, existem 5 poliedros regulares conhecidos como sólidos platônicos . Em quatro dimensões, existem 6 4 politopos regulares convexos , os análogos dos sólidos platônicos. O relaxamento das condições de regularidade gera mais 58 4 politopos uniformes convexos , análogos aos 13 sólidos arquimedianos semirregulares em três dimensões. O relaxamento das condições de convexidade gera mais 10 4 politopos regulares não convexos.

Polopos regulares em quatro dimensões
(exibidos como projeções ortogonais em cada plano de simetria de Coxeter )
A 4 , [3,3,3] B 4 , [4,3,3] F 4 , [3,4,3] H 4 , [5,3,3]
altN = 4-simplex
5 células
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,3,3}
altN = 4-cubo
tesserato
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3,3}
altN = 4-orthoplex
16 células
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{3,3,4}
altN = 24 células
24 células
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,4,3}
altN = 600 células
600 células
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{3,3,5}
altN = 120 células
120 células
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5,3,3}

Em três dimensões, um círculo pode ser extrudado para formar um cilindro . Em quatro dimensões, existem vários objetos diferentes em forma de cilindro. Uma esfera pode ser extrudada para obter um cilindro esférico (um cilindro com "tampas" esféricas, conhecido como esférico ), e um cilindro pode ser extrudado para obter um prisma cilíndrico (um cubículo). O produto cartesiano de dois círculos pode ser usado para obter um duocilindro . Todos os três podem "rolar" no espaço quadridimensional, cada um com suas próprias propriedades.

Em três dimensões, as curvas podem formar nós, mas as superfícies não (a menos que se interceptem automaticamente). Em quatro dimensões, no entanto, os nós feitos usando curvas podem ser desamarrados trivialmente, deslocando-os na quarta direção - mas as superfícies 2D podem formar nós não triviais e não auto-interseccionados no espaço 4D. Como essas superfícies são bidimensionais, elas podem formar nós muito mais complexos do que as cordas no espaço 3D. A garrafa de Klein é um exemplo dessa superfície nodosa. Outra superfície é o plano projetivo real .

Hiperesfera

Projeção estereográfica de um toro de Clifford : o conjunto de pontos (cos ( a ), sin ( a ), cos ( b ), sin ( b )), que é um subconjunto da 3-esfera .

O conjunto de pontos no espaço Euclidiano 4 tendo a mesma distância R de um ponto fixo P 0 forma uma hipersuperfície conhecida como 3-esfera . O hiper-volume do espaço fechado é:

Isso é parte da métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker na relatividade geral, onde R é substituído pela função R ( t ) com t significando a idade cosmológica do universo. Aumentar ou diminuir R com o tempo significa expandir ou colapsar o universo, dependendo da densidade de massa interna.

Conhecimento

Pesquisas usando realidade virtual descobriram que os humanos, apesar de viverem em um mundo tridimensional, podem, sem prática especial, fazer julgamentos espaciais sobre segmentos de linha, embutidos no espaço quadridimensional, com base em seu comprimento (unidimensional) e no ângulo (bidimensional) entre eles. Os pesquisadores observaram que "os participantes em nosso estudo tinham prática mínima nessas tarefas, e permanece uma questão em aberto se é possível obter representações 4D mais sustentáveis, definitivas e mais ricas com experiência perceptual aumentada em ambientes virtuais 4D". Em outro estudo, a capacidade dos humanos de se orientarem em labirintos 2D, 3D e 4D foi testada. Cada labirinto consistia em quatro segmentos de caminho de comprimento aleatório e conectados com curvas aleatórias ortogonais, mas sem ramificações ou loops (ou seja, labirintos na verdade ). A interface gráfica foi baseada no jogo 4D Maze gratuito de John McIntosh. As pessoas participantes tinham que navegar pelo caminho e, finalmente, estimar a direção linear de volta ao ponto de partida. Os pesquisadores descobriram que alguns dos participantes foram capazes de integrar mentalmente seu caminho após alguma prática em 4D (os casos de dimensão inferior eram para comparação e para os participantes aprenderem o método).

Analogia dimensional

Uma rede de um tesserato

Para entender a natureza do espaço quadridimensional, um dispositivo chamado analogia dimensional é comumente empregado. A analogia dimensional é o estudo de como ( n - 1) dimensões se relacionam com n dimensões e, a seguir, inferir como n dimensões se relacionariam com ( n + 1) dimensões.

A analogia dimensional foi usada por Edwin Abbott Abbott no livro Flatland , que narra a história de um quadrado que vive em um mundo bidimensional, como a superfície de um pedaço de papel. Da perspectiva deste quadrado, um ser tridimensional tem poderes aparentemente divinos, como a capacidade de remover objetos de um cofre sem quebrá-lo (movendo-os através da terceira dimensão), para ver tudo o que a partir do a perspectiva dimensional é encerrada atrás de paredes e permanece completamente invisível ficando a alguns centímetros de distância na terceira dimensão.

Aplicando a analogia dimensional, pode-se inferir que um ser quadridimensional seria capaz de feitos semelhantes da perspectiva tridimensional. Rudy Rucker ilustra isso em seu romance Spaceland , no qual o protagonista encontra seres quadridimensionais que demonstram tais poderes.

Cruzamentos

Conforme um objeto tridimensional passa por um plano bidimensional, os seres bidimensionais neste plano observariam apenas uma seção transversal do objeto tridimensional dentro deste plano. Por exemplo, se um balão esférico passasse por uma folha de papel, os seres no papel veriam primeiro um único ponto, depois um círculo gradualmente crescendo, até atingir o diâmetro do balão, e então ficando menor novamente, até encolher a um ponto e depois desapareceu. É importante lembrar que os seres 2D não veriam um círculo da mesma maneira que nós, mas apenas uma projeção unidimensional do círculo em sua "retina" 1D. Da mesma forma, se um objeto quadridimensional passou por uma superfície tridimensional (hiper), pode-se observar uma seção transversal tridimensional do objeto quadridimensional - por exemplo, uma 3-esfera apareceria primeiro como um ponto, então como uma esfera crescente, com a esfera encolhendo a um único ponto e então desaparecendo. Esse meio de visualizar aspectos da quarta dimensão foi usado no romance Flatland e também em várias obras de Charles Howard Hinton . E da mesma forma, os seres tridimensionais (como os humanos com uma retina 2D) são incapazes de ver uma esfera em sua totalidade, da mesma forma que os seres 4D fariam com sua retina sólida 3D.

Projeções

Uma aplicação útil da analogia dimensional na visualização de dimensões superiores é a projeção . Uma projeção é uma forma de representar um objeto n- dimensional em n -1 dimensões. Por exemplo, as telas de computador são bidimensionais e todas as fotografias de pessoas, lugares e coisas tridimensionais são representadas em duas dimensões, projetando os objetos em uma superfície plana. Ao fazer isso, a dimensão ortogonal à tela ( profundidade ) é removida e substituída por informações indiretas. A retina do olho também é uma matriz bidimensional de receptores, mas o cérebro é capaz de perceber a natureza de objetos tridimensionais por inferência de informações indiretas (como sombreamento, encurtamento , visão binocular , etc.). Os artistas costumam usar a perspectiva para dar uma ilusão de profundidade tridimensional às imagens bidimensionais. A sombra , projetada por um modelo de grade fictício de um tesseract giratório em uma superfície plana, como mostrado nas figuras, também é o resultado de projeções.

Da mesma forma, os objetos na quarta dimensão podem ser projetados matematicamente nas três dimensões familiares, onde podem ser examinados de forma mais conveniente. Nesse caso, a 'retina' do olho quadridimensional é um arranjo tridimensional de receptores. Um ser hipotético com tal olho perceberia a natureza de objetos quadridimensionais inferindo a profundidade quadridimensional de informações indiretas nas imagens tridimensionais em sua retina.

A projeção em perspectiva de objetos tridimensionais na retina do olho introduz artefatos como o encurtamento, que o cérebro interpreta como profundidade na terceira dimensão. Da mesma forma, a projeção em perspectiva de quatro dimensões produz efeitos de encurtamento semelhantes. Aplicando analogia dimensional, pode-se inferir "profundidade" quadridimensional desses efeitos.

Como ilustração desse princípio, a sequência de imagens a seguir compara várias vistas do cubo tridimensional com projeções análogas do tesserato quadridimensional no espaço tridimensional.

Cubo Tesseract Descrição
Cube-face-first.png Tesseract-perspective-cell-first.png A imagem à esquerda é um cubo visto de frente. O ponto de vista análogo do tesserato em 4 dimensões é a projeção em perspectiva da primeira célula , mostrada à direita. Pode-se fazer uma analogia entre os dois: assim como o cubo se projeta para um quadrado, o tesseract se projeta para um cubo.

Observe que as outras 5 faces do cubo não são vistas aqui. Eles são obscurecidos pela face visível. Da mesma forma, as outras 7 células do tesserato não são vistas aqui porque estão obscurecidas pela célula visível.

Cube-edge-first.png Tesseract-perspective-face-first.png A imagem à esquerda mostra o mesmo cubo visto de lado. O ponto de vista análogo de um tesserato é a projeção em perspectiva de face primeiro , mostrada à direita. Assim como a projeção da primeira borda do cubo consiste em dois trapézios , a projeção da primeira face do tesserato consiste em dois troncos .

A aresta mais próxima do cubo neste ponto de vista é aquela situada entre as faces vermelha e verde. Da mesma forma, a face mais próxima do tesserato é aquela situada entre as células vermelhas e verdes.

Cube-vertex-first.png Tesseract-perspective-edge-first.png À esquerda está o cubo visto com o primeiro canto. Isso é análogo à projeção em perspectiva de borda inicial do tesserato, mostrado à direita. Assim como a projeção do primeiro vértice do cubo consiste em 3 deltóides ao redor de um vértice, a projeção da primeira borda do tesserato consiste em 3 volumes hexaédricos ao redor de uma borda. Assim como o vértice mais próximo do cubo é aquele onde as três faces se encontram, a aresta mais próxima do tesserato é aquela no centro do volume de projeção, onde as três células se encontram.
Cube-edge-first.png Tesseract-perspective-edge-first.png Uma analogia diferente pode ser traçada entre a projeção da primeira borda do tesserato e a projeção da primeira borda do cubo. A projeção da borda inicial do cubo tem dois trapézios em torno de uma borda, enquanto o tesserato tem três volumes hexaédricos em torno de uma borda.
Cube-vertex-first.png Tesseract-perspective-vertex-first.png À esquerda está o cubo visto com o primeiro canto. A projeção em perspectiva do primeiro vértice do tesserato é mostrada à direita. A projeção do primeiro vértice do cubo tem três tetrágonos em torno de um vértice, mas a projeção do primeiro vértice do tesserato tem quatro volumes hexaédricos em torno de um vértice. Assim como o canto mais próximo do cubo é aquele que fica no centro da imagem, o vértice mais próximo do tesserato não está na fronteira do volume projetado, mas em seu centro interno , onde todas as quatro células se encontram.

Observe que apenas três faces das 6 faces do cubo podem ser vistas aqui, porque as outras 3 ficam atrás dessas três faces, no lado oposto do cubo. Da mesma forma, apenas 4 das 8 células do tesserato podem ser vistas aqui; os 4 restantes ficam atrás destes 4 na quarta direção, do outro lado do tesserato.

Sombras

Um conceito intimamente relacionado à projeção é o lançamento de sombras.

Schlegel wireframe 8-cell.png

Se uma luz incide sobre um objeto tridimensional, uma sombra bidimensional é projetada. Por analogia dimensional, a luz brilhou em um objeto bidimensional em um mundo bidimensional lançaria uma sombra unidimensional, e a luz em um objeto unidimensional em um mundo unidimensional lançaria uma sombra dimensional zero, isto é , um ponto de não luz. Indo na direção oposta, pode-se inferir que a luz brilhando em um objeto quadridimensional em um mundo quadridimensional lançaria uma sombra tridimensional.

Se a estrutura de arame de um cubo for iluminada de cima, a sombra resultante em uma superfície bidimensional plana é um quadrado dentro de um quadrado com os cantos correspondentes conectados. Da mesma forma, se a estrutura de arame de um tesserato fosse iluminada "de cima" (na quarta dimensão), sua sombra seria a de um cubo tridimensional dentro de outro cubo tridimensional suspenso no ar (uma superfície "plana" de um quatro perspectiva dimensional). (Observe que, tecnicamente, a representação visual mostrada aqui é na verdade uma imagem bidimensional da sombra tridimensional da figura do wireframe quadridimensional.)

Volumes delimitadores

A analogia dimensional também ajuda a inferir propriedades básicas de objetos em dimensões superiores. Por exemplo, objetos bidimensionais são limitados por limites unidimensionais: um quadrado é limitado por quatro arestas. Os objetos tridimensionais são limitados por superfícies bidimensionais: um cubo é limitado por 6 faces quadradas. Aplicando a analogia dimensional, pode-se inferir que um cubo quadridimensional, conhecido como tesserato , é delimitado por volumes tridimensionais. E, de fato, é este o caso: a matemática mostra que o tesserato é delimitado por 8 cubos. Saber disso é a chave para entender como interpretar uma projeção tridimensional do tesserato. Os limites do projeto tesseract para volumes na imagem, não apenas superfícies bidimensionais.

Âmbito visual

As pessoas têm uma autopercepção espacial como seres em um espaço tridimensional, mas são visualmente restritas a uma dimensão a menos: o olho vê o mundo como uma projeção em duas dimensões, na superfície da retina . Supondo que um ser quadridimensional fosse capaz de ver o mundo em projeções para uma hipersuperfície, também apenas uma dimensão a menos, ou seja, para três dimensões, seria capaz de ver, por exemplo, todos os seis lados de uma caixa opaca simultaneamente, e em na verdade, o que está dentro da caixa ao mesmo tempo, assim como as pessoas podem ver os quatro lados e, simultaneamente, o interior de um retângulo em um pedaço de papel. O ser seria capaz de discernir todos os pontos em um subespaço tridimensional simultaneamente, incluindo a estrutura interna de objetos tridimensionais sólidos, coisas obscurecidas dos pontos de vista humanos em três dimensões em projeções bidimensionais. Os cérebros recebem imagens em duas dimensões e usam o raciocínio para ajudar a imaginar objetos tridimensionais.

Limitações

Raciocinar por analogia a partir de dimensões inferiores familiares pode ser um excelente guia intuitivo, mas deve-se tomar cuidado para não aceitar resultados que não sejam testados com mais rigor. Por exemplo, considere as fórmulas para a circunferência de um círculo: e a área da superfície de uma esfera: . Pode-se supor que o volume da superfície de uma esfera 3 é , ou talvez , mas qualquer um deles estaria errado. A fórmula real é .

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos