Quatro gradiente - Four-gradient

Na geometria diferencial , o gradiente de quatro (ou gradiente de 4 ) é o análogo de quatro vetores do gradiente do cálculo vetorial .

Na relatividade especial e na mecânica quântica , o gradiente de quatro é usado para definir as propriedades e relações entre os vários tensores e quatro vetores físicos .

Notação

Este artigo usa a assinatura métrica (+ - - -) .

SR e GR são abreviações para relatividade especial e relatividade geral, respectivamente.

( ) indica a velocidade da luz no vácuo.

é a métrica plana do espaço-tempo de SR.

Existem maneiras alternativas de escrever expressões de quatro vetores em física:

é um estilo de quatro vetores , que normalmente é mais compacto e pode usar notação vetorial (como o produto interno "ponto"), sempre usando maiúsculas em negrito para representar os quatro vetores e letras minúsculas em negrito para representar vetores de 3 espaços, por exemplo . A maioria das regras de vetor de espaço 3 têm análogos na matemática de quatro vetores.
é um estilo de cálculo de Ricci , que usa notação de índice de tensor e é útil para expressões mais complicadas, especialmente aquelas envolvendo tensores com mais de um índice, como .

O índice de tensor latino varia em {1, 2, 3} e representa um vetor de 3 espaços, por exemplo .

O índice tensor grego varia em {0, 1, 2, 3}, e representa um 4-vector, por exemplo .

Na física SR, normalmente usa-se uma combinação concisa, por exemplo , onde representa o componente temporal e representa o componente espacial de 3.

Os tensores em SR são tipicamente 4D (m, n) -tensores, com m índices superiores en índices inferiores, com 4D indicando 4 dimensões = o número de valores que cada índice pode assumir.

A contração tensorial usada na métrica de Minkowski pode ir para qualquer um dos lados (consulte a notação de Einstein ):

Definição

Os componentes covariantes de 4 gradientes compactamente escritos em quatro vetores e notação de cálculo de Ricci são:

A vírgula na última parte acima implica a diferenciação parcial em relação à posição 4 .

Os componentes contravariantes são:

Símbolos alternativos para are e D (embora também possam significar , o operador d'Alembert ).

Em GR, deve-se usar o tensor métrico mais geral e a derivada covariante do tensor (não deve ser confundida com o vetor gradiente 3 ).

A derivada covariante incorpora o gradiente 4 mais os efeitos da curvatura do espaço - tempo por meio dos símbolos de Christoffel

O princípio de equivalência forte pode ser declarado como:

"Qualquer lei física que pode ser expressa em notação tensorial em SR tem exatamente a mesma forma em uma estrutura localmente inercial de um espaço-tempo curvo." As vírgulas de 4 gradientes (,) em SR são simplesmente alteradas para ponto-e-vírgula derivado covariante (;) em GR, com a conexão entre os dois usando símbolos de Christoffel . Isso é conhecido na física da relatividade como a "regra da vírgula ao ponto e vírgula".

Então, por exemplo, se em SR, então em GR.

Em um (1,0) -tensor ou vetor de 4, isso seria:

Em um (2,0) -tensor, isso seria:

Uso

O gradiente 4 é usado de várias maneiras diferentes na relatividade especial (SR):

Ao longo deste artigo, as fórmulas estão todas corretas para as coordenadas planas do espaço - tempo de Minkowski de SR, mas devem ser modificadas para as coordenadas espaciais curvas mais gerais da relatividade geral (GR).

Como uma 4 divergência e fonte de leis de conservação

Divergência é um operador vetorial que produz um campo escalar assinado dando a quantidade de um campo vetorial de fonte em cada ponto.

A 4 divergência da posição 4 dá a dimensão do espaço - tempo :

A 4 divergência da densidade de 4 correntes dá uma lei de conservação - a conservação da carga :

Isso significa que a taxa de mudança da densidade de carga no tempo deve ser igual à divergência espacial negativa da densidade de corrente .

Em outras palavras, a carga dentro de uma caixa não pode mudar arbitrariamente, ela deve entrar e sair da caixa por meio de uma corrente. Esta é uma equação de continuidade .

A divergência de 4 do fluxo de 4 números (4-poeira) é usada na conservação de partículas:

Esta é uma lei de conservação para a densidade do número de partículas, normalmente algo como a densidade do número de bárions.

A 4 divergência do potencial 4 eletromagnético é usada na condição de medidor de Lorenz :

Isso é o equivalente a uma lei de conservação para o potencial EM 4.

A 4-divergência do sensor transversal 4D (2,0) sem rastros que representa a radiação gravitacional no limite do campo fraco (isto é, propagando-se livremente longe da fonte).

 : Condição transversal

é o equivalente a uma equação de conservação para a propagação livre das ondas gravitacionais.

A 4 divergência do tensor tensão-energia , a corrente Noether conservada associada às traduções do espaço - tempo , fornece quatro leis de conservação em SR:

A conservação da energia (direção temporal) e a conservação do momento linear (3 direções espaciais separadas).

Muitas vezes é escrito como:

onde é entendido que o único zero é na verdade um zero de 4 vetores .

Quando a conservação do tensor de tensão-energia ( ) para um fluido perfeito é combinada com a conservação da densidade do número de partículas ( ), ambos utilizando o gradiente 4, pode-se derivar as equações relativísticas de Euler , que na mecânica dos fluidos e na astrofísica são um generalização das equações de Euler que explicam os efeitos da relatividade especial . Essas equações se reduzem às equações de Euler clássicas se a velocidade do fluido no espaço 3 é muito menor que a velocidade da luz, a pressão é muito menor que a densidade de energia e esta última é dominada pela densidade de massa de repouso.

No espaço-tempo plano e usando coordenadas cartesianas, se combinarmos isso com a simetria do tensor tensão-energia, pode-se mostrar que o momento angular ( momento angular relativístico ) também é conservado:

onde este zero é na verdade um (2,0) -tensor zero.

Como uma matriz Jacobiana para o tensor métrico SR Minkowski

A matriz Jacobiana é a matriz de todas as derivadas parciais de primeira ordem de uma função com valor vetorial .

O gradiente 4 agindo na posição 4 dá a métrica espacial SR Minkowski :

Para a métrica de Minkowski, os componentes ( não somados), com componentes não diagonais, são todos zero.

Para a métrica cartesiana de Minkowski, isso dá .

Geralmente, onde está o delta de 4D Kronecker .

Como forma de definir as transformações de Lorentz

A transformação de Lorentz é escrita na forma tensorial como

e uma vez que são apenas constantes, então

Assim, por definição do gradiente 4

Essa identidade é fundamental. Componentes da transformada de 4 gradientes de acordo com o inverso dos componentes de 4 vetores. Portanto, o gradiente 4 é a forma única "arquetípica".

Como parte da derivada de tempo adequada total

O produto escalar da velocidade de 4 com o gradiente de 4 dá a derivada total em relação ao tempo adequado :

O fato de ser um invariante escalar de Lorentz mostra que a derivada total com respeito ao tempo próprio é igualmente um invariante escalar de Lorentz.

Assim, por exemplo, a velocidade 4 é a derivada da posição 4 em relação ao tempo adequado:

ou

Outro exemplo, a aceleração 4 é a derivada no tempo adequado da velocidade 4 :

ou

Como forma de definir o tensor eletromagnético de Faraday e derivar as equações de Maxwell

O tensor eletromagnético de Faraday é um objeto matemático que descreve o campo eletromagnético no espaço-tempo de um sistema físico.

Aplicando o gradiente 4 para fazer um tensor anti-simétrico, obtém-se:

Onde:

Potencial 4 eletromagnético , não deve ser confundido com a aceleração 4
é o potencial escalar elétrico , e
é o potencial do vetor magnético de 3 espaços .

Aplicando o gradiente de 4 novamente e definindo a densidade de corrente de 4 , uma vez que se pode derivar a forma tensorial das equações de Maxwell :

onde a segunda linha é uma versão da identidade Bianchi ( identidade Jacobi ).

Como forma de definir o vetor de 4 ondas

Um vetor de onda é um vetor que ajuda a descrever uma onda . Como qualquer vetor, ele tem magnitude e direção , ambas importantes: sua magnitude é o número de onda ou o número de onda angular da onda (inversamente proporcional ao comprimento de onda ), e sua direção é normalmente a direção de propagação da onda

O vetor de 4 ondas é o gradiente 4 da fase negativa (ou o gradiente 4 negativo da fase) de uma onda no Espaço de Minkowski:

Isso é matematicamente equivalente à definição da fase de uma onda (ou mais especificamente uma onda plana ):

onde 4 posições , é a frequência angular temporal, é o vetor de onda espacial de 3 espaços e é a fase invariante escalar de Lorentz.

com a suposição de que a onda plana e não são funções explícitas de ou .

A forma explícita de uma onda plana SR pode ser escrita como:

onde é uma amplitude (possivelmente complexa ).

Uma onda geral seria a superposição de várias ondas planas:

Novamente usando o gradiente 4,

ou

, que é a versão de 4 gradientes de ondas planas de valor complexo

Como o operador d'Alembertian

Na relatividade especial, eletromagnetismo e teoria das ondas, o operador d'Alembert, também chamado de d'Alembertian ou operador de onda, é o operador de Laplace do espaço de Minkowski. O operador tem o nome do matemático e físico francês Jean le Rond d'Alembert.

O quadrado de é o 4- Laplaciano , que é chamado de operador d'Alembert :

.

Como é o produto escalar de dois vetores de 4, o d'Alembertiano é um escalar invariante de Lorentz .

Ocasionalmente, em analogia com a notação tridimensional, os símbolos e são usados ​​para o gradiente 4 e d'Alembertiano, respectivamente. Mais comumente, entretanto, o símbolo é reservado para o d'Alembertiano.

Seguem alguns exemplos do gradiente 4 usado no d'Alembertiano:

Na equação de onda quântica relativística de Klein-Gordon para partículas de spin-0 (ex. Bóson de Higgs ):

Na equação de onda para o campo eletromagnético (usando medidor de Lorenz ):

(no vácuo)
(com uma fonte de 4 correntes , não incluindo os efeitos de rotação)
(com fonte eletrodinâmica quântica , incluindo efeitos de spin)

Onde:

O potencial 4 eletromagnético é um potencial vetorial eletromagnético
4-densidade de corrente é uma densidade de corrente eletromagnética
Matrizes Dirac Gamma fornecem os efeitos de spin

Na equação de onda de uma onda gravitacional (usando um medidor de Lorenz semelhante )

onde é o tensor 2 transversal sem traço representando a radiação gravitacional no limite do campo fraco (isto é, propagando-se livremente longe da fonte).

Outras condições são:

: Puramente espacial
: Sem rastros
: Transversal

Na versão quadridimensional da função de Green :

onde a função 4D Delta é:

Como um componente do 4D Teorema de Gauss / Teorema de Stokes / Teorema da Divergência

No cálculo vetorial , o teorema da divergência , também conhecido como teorema de Gauss ou teorema de Ostrogradsky, é um resultado que relaciona o fluxo (isto é, fluxo ) de um campo vetorial através de uma superfície com o comportamento do campo vetorial dentro da superfície. Mais precisamente, o teorema da divergência afirma que o fluxo externo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência sobre a região dentro da superfície. Intuitivamente, ele afirma que a soma de todas as fontes menos a soma de todos os sumidouros dá o fluxo líquido para fora de uma região . No cálculo vetorial, e mais geralmente na geometria diferencial, o teorema de Stokes (também chamado de teorema de Stokes generalizado) é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais em variedades, que simplifica e generaliza vários teoremas do cálculo vetorial.

ou

Onde

é um campo de 4 vetores definido em
é a 4 divergência de
é o componente da direção ao longo
é uma região 4D simplesmente conectada do espaço-tempo de Minkowski
é seu limite 3D com seu próprio elemento de volume 3D
é o normal apontando para fora
é o elemento de volume diferencial 4D

Como um componente da equação SR Hamilton-Jacobi na mecânica analítica relativística

A equação de Hamilton – Jacobi (HJE) é uma formulação da mecânica clássica, equivalente a outras formulações como as leis do movimento de Newton , a mecânica de Lagrang e a mecânica de Hamilton . A equação de Hamilton-Jacobi é particularmente útil na identificação de quantidades conservadas para sistemas mecânicos, o que pode ser possível mesmo quando o problema mecânico em si não pode ser resolvido completamente. O HJE também é a única formulação da mecânica em que o movimento de uma partícula pode ser representado como uma onda. Nesse sentido, o HJE cumpriu um objetivo de longa data da física teórica (datando pelo menos de Johann Bernoulli no século 18) de encontrar uma analogia entre a propagação da luz e o movimento de uma partícula

O momento relativístico generalizado de uma partícula pode ser escrito como

onde e

Este é essencialmente o momento total de 4 do sistema; uma partícula de teste em um campo usando a regra de acoplamento mínimo . Existe o momento inerente da partícula , mais o momento devido à interação com o potencial do vetor EM 4 através da carga da partícula .

A equação relativística de Hamilton-Jacobi é obtida definindo o momento total igual ao gradiente 4 negativo da ação .

O componente temporal dá:

Os componentes espaciais fornecem:

onde está o hamiltoniano.

Na verdade, isso está relacionado ao vetor de 4 ondas ser igual ao gradiente 4 negativo da fase de cima.

Para obter o HJE, primeiro usa-se a regra invariante escalar de Lorentz no momento 4:

Mas a partir da regra de acoplamento mínimo :

Então:

Quebrando os componentes temporais e espaciais:

onde o final é a equação relativística de Hamilton-Jacobi .

Como um componente das relações de Schrödinger na mecânica quântica

O gradiente 4 está conectado com a mecânica quântica .

A relação entre o momento 4 e o gradiente 4 fornece as relações QM de Schrödinger .

O componente temporal dá:

Os componentes espaciais fornecem:

Na verdade, isso pode ser composto de duas etapas separadas.

Primeiro:

que é a versão completa de 4 vetores de:

A (componente temporal) relação Planck-Einstein

A (componentes espaciais) relação de onda da matéria de Broglie

Segundo:

que é apenas a versão de 4 gradientes da equação de onda para ondas planas de valor complexo

O componente temporal dá:

Os componentes espaciais fornecem:

Como um componente da forma covariante da relação de comutação quântica

Na mecânica quântica (física), a relação de comutação canônica é a relação fundamental entre grandezas conjugadas canônicas (grandezas que são relacionadas por definição de tal forma que uma é a transformada de Fourier de outra).

: Pegando os componentes espaciais:
: Porque
: Porque
: os índices de reclassificação fornecem as regras de comutação quântica usuais

Como um componente das equações de onda e correntes de probabilidade na mecânica quântica relativística

O gradiente 4 é um componente em várias das equações de onda relativísticas:

Na equação de onda quântica relativística de Klein-Gordon para partículas de spin-0 (ex. Bóson de Higgs ):

Na equação de onda quântica relativística de Dirac para partículas de spin 1/2 (ex. Elétrons ):

onde estão as matrizes gama de Dirac e é uma função de onda relativística .

é escalar de Lorentz para a equação de Klein – Gordon e um spinor para a equação de Dirac.

É bom que as próprias matrizes gama se refiram ao aspecto fundamental do SR, a métrica de Minkowski:

A conservação da densidade de corrente de 4 probabilidades segue a equação de continuidade:

A densidade de corrente de 4 probabilidades tem a expressão covariante relativista:

A densidade de corrente de 4 cargas é apenas a carga (q) vezes a densidade de corrente de 4 probabilidades:

Como um componente-chave na derivação da mecânica quântica e equações de onda quântica relativística da relatividade especial

As equações de onda relativísticas usam 4 vetores para serem covariantes.

Comece com os 4 vetores SR padrão:

4 posições
4 velocidades
4 momentum
Vetor de 4 ondas
4-gradiente

Observe as seguintes relações simples das seções anteriores, onde cada vetor de 4 está relacionado a outro por um escalar de Lorentz :

, onde é a hora certa
, onde está a massa de descanso
, que é a versão de 4 vetores da relação de Planck-Einstein e a relação de onda de matéria de de Broglie
, que é a versão de 4 gradientes de ondas planas de valor complexo

Agora, basta aplicar a regra de produto escalar de Lorentz padrão para cada um:

A última equação (com o produto escalar de 4 gradientes) é uma relação quântica fundamental.

Quando aplicado a um campo escalar de Lorentz , obtém-se a equação de Klein – Gordon, a mais básica das equações de onda relativísticas quânticas :

A equação de Schrödinger é o caso limite de baixa velocidade (| v | ≪ c) da equação de Klein – Gordon .

Se a relação quântica é aplicada a um campo de 4 vetores em vez de um campo escalar de Lorentz , obtém-se a equação de Proca :

Se o termo de massa em repouso for definido como zero (partículas semelhantes a luz), isso dá a equação de Maxwell livre :

Formas e interações mais complicadas podem ser derivadas usando a regra de acoplamento mínimo :

Como um componente da derivada covariante RQM (espaços de partículas internas)

Na física de partículas elementares moderna , pode-se definir uma derivada covariante de calibre que utiliza os campos RQM extras (espaços de partículas internas) agora conhecidos por existir.

A versão conhecida do EM clássico (em unidades naturais) é:

A derivada covariante completa para as interações fundamentais do Modelo Padrão que atualmente conhecemos (em unidades naturais ) é:

ou

Onde:

as somas do produto escalar ( ) aqui se referem aos espaços internos, não aos índices tensoriais
corresponde a U (1) invariância = (1) Bóson medidor de força EM
corresponde a invariância SU (2) = (3) bósons calibre de força fraca ( i = 1, ..., 3)
corresponde a invariância SU (3) = (8) bósons calibre de força de cor ( a = 1, ..., 8)

As constantes de acoplamento são números arbitrários que devem ser descobertos a partir do experimento. Vale ressaltar que para as transformações não abelianas, uma vez que são fixadas para uma representação, são conhecidas para todas as representações.

Esses espaços de partículas internas foram descobertos empiricamente.

Derivação

Em três dimensões, o operador gradiente mapeia um campo escalar para um campo vetorial de forma que a linha integral entre quaisquer dois pontos no campo vetorial seja igual à diferença entre o campo escalar nesses dois pontos. Com base nisso, pode parecer incorreto que a extensão natural do gradiente para 4 dimensões deve ser:

incorreta

No entanto, uma integral de linha envolve a aplicação do produto escalar vetorial, e quando este é estendido para o espaço-tempo 4-dimensional, uma mudança de sinal é introduzida nas coordenadas espaciais ou na coordenada de tempo dependendo da convenção usada. Isso se deve à natureza não euclidiana do espaço-tempo. Neste artigo, colocamos um sinal negativo nas coordenadas espaciais (a convenção de métrica positiva com o tempo ). O fator de (1 / c ) é manter a dimensionalidade da unidade correta , [comprimento] -1 , para todos os componentes do vetor 4 e (-1) é manter a covariante de Lorentz de 4 gradientes . Adicionar essas duas correções à expressão acima fornece a definição correta de gradiente 4:

correto

Veja também

Nota sobre referências

Em relação ao uso de escalares, 4 vetores e tensores em física, vários autores usam notações ligeiramente diferentes para as mesmas equações. Por exemplo, alguns usam para massa de repouso invariante, outros usam para massa de repouso invariante e usam para massa relativística. Muitos autores definem fatores de e e para a unidade adimensional. Outros mostram algumas ou todas as constantes. Alguns autores usam para velocidade, outros usam . Alguns usam como um vetor de 4 ondas (para escolher um exemplo arbitrário). Outros usam ou ou ou ou ou , etc. Alguns escrevem o vetor de 4 ondas como , alguns como ou ou ou ou ou . Alguns se certificarão de que as unidades dimensionais coincidam no vetor 4, outros não. Alguns se referem ao componente temporal no nome de 4 vetores, outros se referem ao componente espacial no nome de 4 vetores. Alguns misturam ao longo do livro, às vezes usando um e depois o outro. Alguns usam a métrica (+ - - -) , outros usam a métrica (- + + +) . Alguns não usam 4 vetores, mas fazem tudo como o estilo antigo E e o vetor de 3 espaços p . O fato é que todos esses são apenas estilos de notação, com alguns mais claros e concisos do que outros. A física é a mesma, desde que se use um estilo consistente em toda a derivação.

Referências

Leitura adicional

  • S. Hildebrandt, "Analysis II" (Calculus II), ISBN  3-540-43970-6 , 2003
  • LC Evans, "Partial Differences equations", AMSociety, Grad.Studies Vol.19, 1988
  • JD Jackson, "Classical Electrodynamics" Capítulo 11, Wiley ISBN  0-471-30932-X