Quatro velocidades - Four-velocity

Na física , em particular na relatividade especial e na relatividade geral , uma velocidade de quatro é um vetor de quatro no espaço - tempo quadridimensional que representa a contraparte relativística da velocidade , que é um vetor tridimensional no espaço.

Os eventos físicos correspondem a pontos matemáticos no tempo e no espaço, o conjunto de todos eles formando um modelo matemático do espaço-tempo físico quadridimensional. A história de um objeto traça uma curva no espaço-tempo, chamada de linha do mundo . Se o objeto tem massa , de forma que sua velocidade seja necessariamente menor que a velocidade da luz , a linha do mundo pode ser parametrizada pelo próprio tempo do objeto. A velocidade de quatro é a taxa de mudança da posição de quatro em relação ao tempo adequado ao longo da curva. Já a velocidade é a taxa de variação da posição no espaço (tridimensional) do objeto, vista por um observador, em relação ao tempo do observador.

O valor da magnitude das quatro velocidades de um objeto, ou seja, a quantidade obtida pela aplicação do tensor métrico g às quatro velocidades U , ou seja, || U || 2 = U U = g μν U ν U μ , é sempre igual a ± c 2 , onde c é a velocidade da luz. A aplicação do sinal de mais ou menos depende da escolha da assinatura métrica . Para um objeto em repouso, sua velocidade de quatro é paralela à direção da coordenada de tempo com U 0 = c . Uma velocidade de quatro velocidades é, portanto, o vetor tangente normalizado direcionado para o futuro, semelhante a uma linha de mundo, e é um vetor contravariante . Embora seja um vetor, a adição de duas velocidades de quatro não resulta em uma velocidade de quatro: o espaço de quatro velocidades em si não é um espaço vetorial .

Velocidade

O caminho de um objeto no espaço tridimensional (em uma estrutura inercial) pode ser expresso em termos de três funções de coordenadas espaciais x i ( t ) de tempo t , onde i é um índice que assume os valores 1, 2, 3.

As três coordenadas formam o vetor de posição 3d , escrito como um vetor de coluna

Os componentes da velocidade (tangente à curva) em qualquer ponto da linha mundial são

Cada componente é simplesmente escrito

Teoria da relatividade

Na teoria da relatividade de Einstein , o caminho de um objeto se movendo em relação a um determinado quadro de referência é definido por quatro funções de coordenadas x μ ( τ ), onde μ é um índice do espaço-tempo que assume o valor 0 para o componente semelhante ao tempo, e 1, 2, 3 para as coordenadas espaciais. O componente zero é definido como a coordenada de tempo multiplicada por c ,

Cada função depende de um parâmetro τ denominado seu tempo adequado . Como um vetor de coluna,

Dilatação do tempo

A partir da dilatação do tempo , os diferenciais no tempo coordenado t e no tempo próprio τ estão relacionados por

onde o fator Lorentz ,

é uma função da norma euclidiana u do vetor velocidade 3d :

Definição das quatro velocidades

A quatro velocidades é o quatro vetor tangente de uma linha mundial semelhante ao tempo . A velocidade de quatro em qualquer ponto da linha mundial é definida como:

onde está a posição de quatro e é o momento adequado .

A velocidade de quatro definida aqui usando o tempo apropriado de um objeto não existe para linhas de mundo para objetos sem massa, como fótons viajando na velocidade da luz; nem é definido para linhas de mundo taquiônicas , onde o vetor tangente é semelhante a um espaço .

Componentes das quatro velocidades

A relação entre o tempo t e o tempo coordenado x 0 é definida por

Tomando a derivada disso em relação ao tempo adequado τ , encontramos o componente de velocidade U μ para μ = 0:

e para os outros 3 componentes no tempo adequado, obtemos o componente de velocidade U μ para μ = 1, 2, 3:

onde usamos a regra da cadeia e os relacionamentos

Assim, encontramos para as quatro velocidades :

Escrito em notação de quatro vetores padrão, este é:

onde está o componente temporal e é o componente espacial.

Em termos de relógios sincronizados e réguas associadas a uma fatia particular do espaço-tempo plano, os três componentes espaciais de quatro velocidades definem a velocidade adequada de um objeto em viagem, ou seja, a taxa na qual a distância é percorrida no quadro do mapa de referência por unidade de tempo adequado decorrido relógios viajando com o objeto.

Ao contrário da maioria dos outros quatro vetores, a velocidade de quatro tem apenas 3 componentes independentes em vez de 4. O fator é uma função da velocidade tridimensional .

Quando certos escalares de Lorentz são multiplicados pela velocidade de quatro, obtém-se novos quatro vetores físicos com 4 componentes independentes.

Por exemplo:

Quadrimomento : , onde é a massa
Quatro atual densidade : , onde é a densidade de carga

Efetivamente, o fator se combina com o termo escalar de Lorentz para tornar o 4º componente independente

e

Magnitude

Usando o diferencial das quatro posições, a magnitude da quatro velocidades pode ser obtida:

em suma, a magnitude da velocidade de quatro para qualquer objeto é sempre uma constante fixa:

A norma também é:

de modo a:

o que se reduz à definição do fator de Lorentz.

Veja também

Observações

Referências

  • Einstein, Albert (1920). Relatividade: a teoria especial e geral . Traduzido por Robert W. Lawson. Nova York: Original: Henry Holt, 1920; Reimpresso: Prometheus Books, 1995.
  • Rindler, Wolfgang (1991). Introdução à Relatividade Especial (2ª) . Oxford: Oxford University Press. ISBN   0-19-853952-5 .
  1. ^ McComb, WD (1999). Dinâmica e relatividade . Oxford [etc.]: Oxford University Press. p. 230. ISBN   0-19-850112-9 .