Quatro momentum - Four-momentum

Na relatividade especial , o momento quadridimensional é a generalização do momento tridimensional clássico para o espaço-tempo quadridimensional . Momentum é um vetor em três dimensões ; da mesma forma, o quatro-momento é um quatro-vetor no espaço - tempo . O quatro-momento contravariante de uma partícula com energia relativística $E$ e três-momento $p = (p x, p y, p z) = γm v$ , onde $v$ é a velocidade de três da partícula e $γ$ o fator de Lorentz , é

{\ displaystyle p = \ left (p ^ {0}, p ^ {1}, p ^ {2}, p ^ {3} \ right) = \ left ({E \ over c}, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z} \ right).}

A quantidade $m v$ acima é o momento não relativístico comum da partícula e $m$ sua massa de repouso . O quatro momentum é útil em cálculos relativísticos porque é um vetor covariante de Lorentz . Isso significa que é fácil acompanhar como ele se transforma nas transformações de Lorentz .

A definição acima se aplica sob a convenção de coordenadas de que $x 0 = ct$ . Alguns autores usam a convenção $x 0 = t$ , que produz uma definição modificada com $p 0 = E / c 2$ . Também é possível definir quatro momentos covariantes $p μ$ onde o sinal da energia (ou o sinal do três momentos, dependendo da assinatura métrica escolhida) é invertido.

Norma Minkowski

O cálculo da norma de Minkowski ao quadrado do quatro momentum dá uma quantidade invariante de Lorentz igual (até fatores da velocidade da luz $c$ ) ao quadrado da massa própria da partícula :

{\ displaystyle p \ cdot p = \ eta _ {\ mu \ nu} p ^ {\ mu} p ^ {\ nu} = p _ {\ nu} p ^ {\ nu} = - {E ^ {2} \ sobre c ^ {2}} + | \ mathbf {p} | ^ {2} = - m ^ {2} c ^ {2}}

Onde

{\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = \ left ({\ begin {matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right)}

é o tensor métrico da relatividade especial com assinatura métrica para definição escolhida como $(-1, 1, 1, 1)$ . A negatividade da norma reflete que o momento é um vetor de quatro tempos para partículas massivas. A outra opção de assinatura inverteria os sinais em certas fórmulas (como para a norma aqui). Esta escolha não é importante, mas uma vez feita, deve ser mantida em toda a consistência.

A norma de Minkowski é invariante de Lorentz, o que significa que seu valor não é alterado pelas transformações de Lorentz / impulsionando em diferentes quadros de referência. De maneira mais geral, para quaisquer dois $p$ e $q de$ quatro momentos , a quantidade $p \cdot q$ é invariante.

Relação com quatro velocidades

Para uma partícula massiva, o quatro-momento é dado pela massa invariante da partícula m multiplicada pela velocidade de quatro da partícula ,

{\ displaystyle p ^ {\ mu} = mu ^ {\ mu},}

onde a velocidade $u de$ quatro é

{\ displaystyle u = \ left (u ^ {0}, u ^ {1}, u ^ {2}, u ^ {3} \ right) = \ gamma _ {v} \ left (c, v_ {x} , v_ {y}, v_ {z} \ right),}

e

{\ displaystyle \ gamma _ {v} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

é o fator de Lorentz (associado à velocidade $v$ ), $c$ é a velocidade da luz .

Derivação

Existem várias maneiras de chegar à expressão correta para quatro momentos. Uma maneira é primeiro definir as quatro velocidades $u = dx / dτ$ e simplesmente definir $p = mu$ , $contanto$ que seja um quatro vetores com as unidades corretas e comportamento correto. Outra abordagem, mais satisfatória, é começar com o princípio da menor ação e usar a estrutura de Lagrange para derivar o quatro-momento, incluindo a expressão para a energia. Pode-se de uma só vez, utilizando as observações detalhadas abaixo, definir quadrimomento da acção $S$ . Dado que, em geral, para um sistema fechado com coordenadas generalizadas $q i$ e momentos canônicos $p i$ ,

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ parcial S} {\ parcial q_ {i}}} = {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x_ {i}}}, \ quad E = - { \ frac {\ partial S} {\ partial t}} = - c \ cdot {\ frac {\ partial S} {\ partial x_ {0}}},}

é imediato (recordando $x 0 = ct, x 1 = x$ , $x 2 = y$ , $x 3 = z$ e $x 0 = - x 0$ , $x 1 = x 1$ , $x 2 = x 2$ , $x 3 = x 3$ em a convenção métrica atual) que

{\ displaystyle p _ {\ mu} = - {\ frac {\ partial S} {\ partial x ^ {\ mu}}} = \ left ({E \ over c}, - \ mathbf {p} \ right)}

é um quatro vetores covariantes com a parte de três vetores sendo o momento canônico (negativo de).

Observações

Considere inicialmente um sistema de um grau de liberdade $q$ . Na derivação das equações de movimento da ação usando o princípio de Hamilton , encontra-se (geralmente) em um estágio intermediário para a variação da ação,

{\ displaystyle \ delta S = \ left. \ left [{\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}}}} \ delta q \ right] \ right | _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial q}} - {\ frac {d} {dt} } {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}}}} \ right) \ delta qdt.}

A suposição é então que os caminhos variados satisfazem $δq (t 1) = δq (t 2) = 0$ , a partir do qual as equações de Lagrange decorrem imediatamente. Quando as equações do movimento são conhecidas (ou simplesmente assumidas como satisfeitas), pode-se $abrir mão$ do requisito $δq$ $($ $t$ $2$ $) = 0$ . Nesse caso, assume - se que o caminho satisfaz as equações do movimento e a ação é função do limite superior de integração $δq (t 2)$ , mas $t 2$ ainda é fixo. A equação acima torna-se com $S = S (q)$ , e definindo $δq (t 2) = δq$ , e permitindo mais graus de liberdade,

{\ displaystyle \ delta S = \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ ponto {q}} _ {i}}} \ delta q_ {i} = \ sum _ {i} p_ {i} \ delta q_ {i}.}

Observando isso

{\ displaystyle \ delta S = \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial {q} _ {i}}} \ delta q_ {i},}

um conclui

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial S} {\ partial q_ {i}}}.}

De maneira semelhante, mantenha os pontos finais fixos, mas deixe $t 2 = t$ variar. Desta vez, o sistema pode se mover através do espaço de configuração em "velocidade arbitrária" ou com "mais ou menos energia", as equações de campo ainda presumidas para se manterem e a variação pode ser realizada na integral, mas em vez disso, observe

{\ displaystyle {\ frac {dS} {dt}} = L}

pelo teorema fundamental do cálculo . Calcule usando a expressão acima para momentos canônicos,

{\ displaystyle {\ frac {dS} {dt}} = {\ frac {\ parcial S} {\ parcial t}} + \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial q_ {i} }} {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ parcial S} {\ parcial t}} + \ sum _ {i} p_ {i} {\ dot {q}} _ {i} = L.}

Agora usando

{\ displaystyle H = \ sum _ {i} p_ {i} {\ dot {q}} _ {i} -L,}

onde $H$ é o hamiltoniano , leva a, uma vez que $E = H$ no caso presente,

{\ displaystyle E = H = - {\ frac {\ parcial S} {\ parcial t}}.}

Aliás, usando $H = H (q, p, t)$ com $p =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ∂ S/∂ q$ na equação acima resulta as equações de Hamilton-Jacobi . Nesse contexto, $S$ é chamada de função principal de Hamilton .

A ação $S$ é dada por

{\ displaystyle S = -mc \ int ds = \ int Ldt, \ quad L = -mc ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} },}

onde $L$ é o Lagrangiano relativístico para uma partícula livre. Disto,

encobrindo esses detalhes,

A variação da ação é

{\ displaystyle \ delta S = -mc \ int \ delta ds.}

Para calcular $δds$ , observe primeiro que $δds 2 = 2 dsδds$ e que

{\ displaystyle \ delta ds ^ {2} = \ delta \ eta _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} \ left (\ delta \ esquerda (dx ^ {\ mu} \ direita) dx ^ {\ nu} + dx ^ {\ mu} \ delta \ esquerda (dx ^ {\ nu} \ direita) \ direita) = 2 \ eta _ {\ mu \ nu} \ delta \ left (dx ^ {\ mu} \ right) dx ^ {\ nu}.}

Então

{\ displaystyle \ delta ds = \ eta _ {\ mu \ nu} \ delta dx ^ {\ mu} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}} = \ eta _ {\ mu \ nu} d \ delta x ^ {\ mu} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}},}

ou

{\ displaystyle \ delta ds = \ eta _ {\ mu \ nu} {\ frac {d \ delta x ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {cd \ tau}} d \ tau,}

e assim

{\ displaystyle \ delta S = -m \ int \ eta _ {\ mu \ nu} {\ frac {d \ delta x ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac {dx ^ {\ nu} } {d \ tau}} d \ tau = -m \ int \ eta _ {\ mu \ nu} {\ frac {d \ delta x ^ {\ mu}} {d \ tau}} u ^ {\ nu} d \ tau = -m \ int \ eta _ {\ mu \ nu} \ left \ lbrack {\ frac {d} {d \ tau}} \ left (\ delta x ^ {\ mu} u ^ {\ nu} \ right) - \ delta x ^ {\ mu} {\ frac {d} {d \ tau}} u ^ {\ nu} \ right \ rbrack d \ tau}

que é apenas

{\ displaystyle \ delta S = \ left [-mu _ {\ mu} \ delta x ^ {\ mu} \ right] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + m \ int _ {t_ {1 }} ^ {t_ {2}} \ delta x ^ {\ mu} {\ frac {du _ {\ mu}} {ds}} ds}

{\ displaystyle \ delta S = \ left [-mu _ {\ mu} \ delta x ^ {\ mu} \ right] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + m \ int _ {t_ {1 }} ^ {t_ {2}} \ delta x ^ {\ mu} {\ frac {du _ {\ mu}} {ds}} ds = -mu _ {\ mu} \ delta x ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial S} {\ partial x ^ {\ mu}}} \ delta x ^ {\ mu} = - p _ {\ mu} \ delta x ^ {\ mu},}

onde a segunda etapa emprega as equações de campo $du μ / ds = 0$ , $(δx μ) t 1 = 0$ e $(δx μ) t 2 \equiv δx μ$ como nas observações acima. Agora compare as três últimas expressões para encontrar

{\ displaystyle p ^ {\ mu} = - \ parcial ^ {\ mu} [S] = - {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x _ {\ mu}}} = mu ^ {\ mu} = m \ left ({\ frac {c} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}, {\ frac {v_ {x}} {\ sqrt { 1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}, {\ frac {v_ {y}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} { c ^ {2}}}}}}, {\ frac {v_ {z}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \ right) ,}

com norma $- m 2 c 2$ , e o famoso resultado para a energia relativística,

${\ displaystyle E = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = m_ {r} c ^ { 2},}$

onde $m r$ é a massa relativística fora de moda , segue. Ao comparar as expressões de momentum e energia diretamente, tem-se

${\ displaystyle \ mathbf {p} = E {\ frac {\ mathbf {v}} {c ^ {2}}},}$

isso vale para partículas sem massa também. Quadrar as expressões para energia e três momentos e relacioná-los dá a relação energia-momento ,

${\ displaystyle {\ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} + m ^ {2} c ^ {2}.}$

Substituindo

{\ displaystyle p _ {\ mu} \ leftrightarrow - {\ frac {\ partial S} {\ partial x ^ {\ mu}}}}

na equação para a norma dá a equação relativística de Hamilton-Jacobi ,

${\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x ^ {\ mu}}} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x ^ {\ nu}}} = -m ^ {2} c ^ {2}.}$

Também é possível derivar os resultados do Lagrangiano diretamente. Por definição,

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ mathbf {p} & = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {v}}} = \ left ({\ partial L \ over \ partial {\ dot { x}}}, {\ parcial L \ over \ partial {\ dot {y}}}, {\ partial L \ over \ partial {\ dot {z}}} \ right) = m (\ gamma v_ {x} , \ gamma v_ {y}, \ gamma v_ {z}) = m \ gamma \ mathbf {v} = m \ mathbf {u}, \\ E & = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {v} -L = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}, \ end {alinhado}}}

que constituem as fórmulas padrão para o momento canônico e a energia de um sistema fechado (Lagrangiano independente do tempo). Com essa abordagem, fica menos claro que a energia e o momento são partes de um quatro vetores.

A energia e os três momentos são quantidades conservadas separadamente para sistemas isolados na estrutura Lagrangiana. Portanto, o momento quatro também é conservado. Mais sobre isso abaixo.

Mais abordagens de pedestres incluem o comportamento esperado em eletrodinâmica. Nesta abordagem, o ponto de partida é a aplicação da lei de força de Lorentz e da segunda lei de Newton no referencial de repouso da partícula. As propriedades de transformação do tensor de campo eletromagnético, incluindo invariância de carga elétrica , são então usadas para transformar a estrutura do laboratório, e a expressão resultante (novamente a lei de força de Lorentz) é interpretada no espírito da segunda lei de Newton, levando à expressão correta para o três momentum relativístico. A desvantagem, claro, é que não está imediatamente claro se o resultado se aplica a todas as partículas, carregadas ou não, e que não produz o quatro vetores completo.

Também é possível evitar o eletromagnetismo e usar experimentos de pensamento bem ajustados envolvendo físicos bem treinados jogando bolas de bilhar, utilizando o conhecimento da fórmula de adição de velocidade e assumindo a conservação do momento. Isso também dá apenas a parte de três vetores.

Conservação de quatro momentos

Conforme mostrado acima, existem três leis de conservação (não independentes, as duas últimas implicam na primeira e vice-versa):

O quatro momentum $p$ (covariante ou contravariante) é conservado.
A energia total $E = p 0 c$ é conservada.
O 3-espaço impulso é conservada (para não ser confundido com o impulso não-relativista clássico ). ${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ left (p ^ {1}, p ^ {2}, p ^ {3} \ right)}$ ${\ displaystyle m \ mathbf {v}}$

Observe que a massa invariante de um sistema de partículas pode ser maior do que a soma das massas de repouso das partículas, uma vez que a energia cinética no referencial do centro de massa do sistema e a energia potencial das forças entre as partículas contribuem para a massa invariante. Como exemplo, duas partículas com quatro momentos (5 GeV / c , 4 GeV / c , 0, 0) e (5 GeV / c , −4 GeV / c , 0, 0) cada uma tem (repouso) massa 3 GeV / c ² separadamente, mas sua massa total (a massa do sistema) é 10 GeV / c ² . Se essas partículas colidissem e grudassem, a massa do objeto composto seria de 10 GeV / c ² .

Uma aplicação prática da física de partículas da conservação da massa invariante envolve combinar os quatro momentos $p A$ e $p B$ de duas partículas filhas produzidas no decaimento de uma partícula mais pesada com quatro momentos $p C$ para encontrar a massa da partícula mais pesada . A conservação de quatro momentos dá $p C μ = p A μ + p B μ$ , enquanto a massa $M$ da partícula mais pesada é dada por $- P C \cdot P C = M 2 c 2$ . Ao medir as energias e os três momentos das partículas filhas, é possível reconstruir a massa invariante do sistema de duas partículas, que deve ser igual a $H$ . Esta técnica é usada, por exemplo, em pesquisas experimentais por bósons Z ′ em colisores de partículas de alta energia , onde o bóson Z ′ apareceria como uma saliência no espectro de massa invariante de pares elétron - pósitron ou múon - antimuon.

Se a massa de um objeto não muda, o produto interno de Minkowski de seu quatro momentos e correspondente quatro acelerações $A μ$ é simplesmente zero. A aceleração de quatro é proporcional à derivada de tempo adequada do momento de quatro dividido pela massa da partícula, então

{\ displaystyle p ^ {\ mu} A _ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} p ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} p ^ {\ mu} {\ frac {d} {d \ tau}} {\ frac {p ^ {\ nu}} {m}} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d} {d \ tau }} p \ cdot p = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d} {d \ tau}} \ left (-m ^ {2} c ^ {2} \ right) = 0.}

Momento canônico na presença de um potencial eletromagnético

Para uma partícula carregada de carga $q$ , movendo-se em um campo eletromagnético dado pelo quadripotencial eletromagnético :

{\ displaystyle A = \ left (A ^ {0}, A ^ {1}, A ^ {2}, A ^ {3} \ right) = \ left ({\ phi \ over c}, A_ {x} , A_ {y}, A_ {z} \ right)}

onde $Φ$ é o potencial escalar e $A = (A x, A y, A z)$ o potencial vetorial , os componentes do (não invariante de calibre ) do momento canônico de quatro vetores $P$ é

{\ displaystyle P ^ {\ mu} = p ^ {\ mu} + qA ^ {\ mu}. \!}

Isso, por sua vez, permite que a energia potencial da partícula carregada em um potencial eletrostático e a força de Lorentz na partícula carregada em movimento em um campo magnético sejam incorporadas de forma compacta, na mecânica quântica relativística .

Veja também

Referências

Goldstein, Herbert (1980). Mecânica clássica (2ª ed.). Leitura, Missa: Addison – Wesley Pub. Co. ISBN 978-0201029185.
Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975) [1939]. Mecânica . Traduzido do russo por JB Sykes e JS Bell . (3ª ed.). Amsterdã: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.
Landau, LD; Lifshitz, EM (2000). A teoria clássica dos campos . 4ª rev. Edição em inglês, reimpressa com correções; traduzido do russo por Morton Hamermesh. Oxford: Butterworth Heinemann. ISBN 9780750627689.
Rindler, Wolfgang (1991). Introdução à Relatividade Especial (2ª ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0.
Sard, RD (1970). Mecânica Relativística - Relatividade Especial e Dinâmica de Partículas Clássica . Nova York: WA Benjamin. ISBN 978-0805384918.
Lewis, GN ; Tolman, RC (1909). "O Princípio da Relatividade e a Mecânica Não Newtoniana" . Phil. Mag . 6. 18 (106): 510-523. doi : 10.1080 / 14786441008636725 . Versão Wikisource

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