Quatro vetores - Four-vector

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Na relatividade especial , um quatro-vetor (ou 4-vetor ) é um objeto com quatro componentes, que se transformam de uma maneira específica sob a transformação de Lorentz . Especificamente, um quatro-vetor é um elemento de um espaço vetorial quadridimensional considerado como um espaço de representação da representação padrão do grupo de Lorentz , o (1/2,1/2) representação. Ele difere de um vetor euclidiano na forma como sua magnitude é determinada. As transformações que preservam essa magnitude são as transformações de Lorentz, que incluem rotações e impulsos espaciais (uma mudança por uma velocidade constante para outro referencial inercial ).

Quatro vetores descrevem, por exemplo, a posição x ^μ no espaço-tempo modelada como espaço de Minkowski , o quatro-momento de uma partícula p ^μ , a amplitude do quatro potencial eletromagnético A ^μ ( x ) em um ponto x no espaço-tempo e os elementos de o subespaço abrangido pelas matrizes gama dentro da álgebra de Dirac .

O grupo de Lorentz pode ser representado por matrizes 4 × 4 Λ . A ação de uma transformação de Lorentz em uma contravariante geral de quatro vetores X (como os exemplos acima), considerada como um vetor coluna com coordenadas cartesianas em relação a um referencial inercial nas entradas, é dada por

${\ displaystyle X ^ {\ prime} = \ Lambda X,}$

(multiplicação de matriz) onde os componentes do objeto preparado se referem ao novo quadro. Relacionado aos exemplos acima que são dados como vetores contravariantes, existem também os vetores covariantes correspondentes x _μ , p _μ e A _μ ( x ) . Estes se transformam de acordo com a regra

${\ displaystyle X ^ {\ prime} = \ left (\ Lambda ^ {- 1} \ right) ^ {\ textrm {T}} X,}$

onde ^T denota a transposta da matriz . Esta regra é diferente da regra acima. Corresponde à representação dual da representação padrão. No entanto, para o grupo de Lorentz, o dual de qualquer representação é equivalente à representação original. Assim, os objetos com índices covariantes também são quatro vetores.

Para um exemplo de um objeto de quatro componentes bem comportado na relatividade especial que não é um vetor de quatro, consulte bispinor . É definido de forma semelhante, a diferença é que a regra de transformação sob as transformações de Lorentz é dada por uma representação diferente da representação padrão. Nesse caso, a regra é X ′ = Π (Λ) X , onde Π (Λ) é uma matriz 4 × 4 diferente de Λ . Observações semelhantes se aplicam a objetos com menos ou mais componentes que se comportam bem nas transformações de Lorentz. Incluem escalares , espinores , tensores e tensores espinor.

O artigo considera quatro vetores no contexto da relatividade especial. Embora o conceito de quatro vetores também se estenda à relatividade geral , alguns dos resultados apresentados neste artigo requerem modificações na relatividade geral.

Notação

As notações neste artigo são: negrito minúsculo para vetores tridimensionais , chapéus para vetores unitários tridimensionais , negrito maiúsculo para vetores de quatro dimensões (exceto para o gradiente quatro) e notação de índice tensorial .

Álgebra de quatro vetores

Quatro vetores em uma base de valor real

Um quatro vetores A é um vetor com um componente "semelhante ao tempo" e três componentes "semelhantes ao espaço", e pode ser escrito em várias notações equivalentes:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {A} & = \ left (A ^ {0}, \, A ^ {1}, \, A ^ {2}, \, A ^ {3} \ right ) \\ & = A ^ {0} \ mathbf {E} _ {0} + A ^ {1} \ mathbf {E} _ {1} + A ^ {2} \ mathbf {E} _ {2} + A ^ {3} \ mathbf {E} _ {3} \\ & = A ^ {0} \ mathbf {E} _ {0} + A ^ {i} \ mathbf {E} _ {i} \\ & = A ^ {\ alpha} \ mathbf {E} _ {\ alpha} \\ & = A ^ {\ mu} \ end {alinhado}}}$

onde na última forma o componente de magnitude e o vetor de base foram combinados em um único elemento.

Os índices superiores indicam componentes contravariantes . Aqui, a convenção padrão é que os índices latinos assumem valores para componentes espaciais, de modo que i = 1, 2, 3, e os índices gregos assumem valores para componentes de espaço e tempo , então α = 0, 1, 2, 3, usado com a soma convenção . A divisão entre o componente de tempo e os componentes espaciais é útil para fazer ao determinar as contrações de um vetor quatro com outras quantidades de tensores, como para calcular invariantes de Lorentz em produtos internos (exemplos são dados abaixo) ou aumentar e diminuir índices .

Na relatividade especial, a base semelhante ao espaço E ₁ , E ₂ , E ₃ e os componentes A ¹ , A ² , A ³ são frequentemente bases cartesianas e componentes:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {A} & = \ left (A_ {t}, \, A_ {x}, \, A_ {y}, \, A_ {z} \ right) \\ & = A_ {t} \ mathbf {E} _ {t} + A_ {x} \ mathbf {E} _ {x} + A_ {y} \ mathbf {E} _ {y} + A_ {z} \ mathbf { E} _ {z} \\\ fim {alinhado}}}$

embora, é claro, qualquer outra base e componentes possam ser usados, como coordenadas polares esféricas

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {A} & = \ left (A_ {t}, \, A_ {r}, \, A _ {\ theta}, \, A _ {\ phi} \ right) \ \ & = A_ {t} \ mathbf {E} _ {t} + A_ {r} \ mathbf {E} _ {r} + A _ {\ theta} \ mathbf {E} _ {\ theta} + A _ {\ phi} \ mathbf {E} _ {\ phi} \\\ end {alinhado}}}$

ou coordenadas polares cilíndricas ,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {A} & = (A_ {t}, \, A_ {r}, \, A _ {\ theta}, \, A_ {z}) \\ & = A_ { t} \ mathbf {E} _ {t} + A_ {r} \ mathbf {E} _ {r} + A _ {\ theta} \ mathbf {E} _ {\ theta} + A_ {z} \ mathbf {E } _ {z} \\\ fim {alinhado}}}$

ou quaisquer outras coordenadas ortogonais , ou mesmo coordenadas curvilíneas gerais . Observe que os rótulos das coordenadas são sempre subscritos como rótulos e não são índices que assumem valores numéricos. Na relatividade geral, as coordenadas curvilíneas locais em uma base local devem ser usadas. Geometricamente, um quatro vetores ainda pode ser interpretado como uma seta, mas no espaço-tempo - não apenas no espaço. Na relatividade, as setas são desenhadas como parte do diagrama de Minkowski (também chamado de diagrama do espaço-tempo ). Neste artigo, quatro vetores serão chamados simplesmente de vetores.

Também é comum representar as bases por vetores de coluna :

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatriz}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} _ {3} = {\ begin {pmatriz} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatriz}}}$

de modo a:

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}}}$

A relação entre as coordenadas covariantes e contravariantes se dá por meio do tensor métrico de Minkowski (denominado métrico), η que aumenta e diminui os índices da seguinte forma:

${\ displaystyle A _ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} A ^ {\ nu} \ ,,}$

e em várias notações equivalentes, os componentes covariantes são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {A} & = (A_ {0}, \, A_ {1}, \, A_ {2}, \, A_ {3}) \\ & = A_ {0 } \ mathbf {E} ^ {0} + A_ {1} \ mathbf {E} ^ {1} + A_ {2} \ mathbf {E} ^ {2} + A_ {3} \ mathbf {E} ^ { 3} \\ & = A_ {0} \ mathbf {E} ^ {0} + A_ {i} \ mathbf {E} ^ {i} \\ & = A _ {\ alpha} \ mathbf {E} ^ {\ alpha} \\\ end {alinhado}}}$

onde o índice reduzido indica que é covariante . Freqüentemente, a métrica é diagonal, como é o caso das coordenadas ortogonais (consulte o elemento de linha ), mas não em coordenadas curvilíneas em geral .

As bases podem ser representadas por vetores linha :

${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} ^ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ end {pmatriz}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {E} ^ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

de modo a:

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} A_ {0} & A_ {1} & A_ {2} & A_ {3} \ end {pmatrix}}}$

A motivação para as convenções acima é que o produto interno é um escalar, veja abaixo para detalhes.

Transformação de Lorentz

Dadas duas inércia ou girados quadros de referência , um de quatro vector é definida como uma quantidade que transforma de acordo com a transformação de Lorentz matriz  Λ :

${\ displaystyle \ mathbf {A} '= {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {A}}$

Na notação de índice, os componentes contravariante e covariante se transformam de acordo com, respectivamente:

${\ displaystyle {A '} ^ {\ mu} = \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} A ^ {\ nu} \ ,, \ quad {A'} _ {\ mu} = \ Lambda _ {\ mu} {} ^ {\ nu} A _ {\ nu}}$

em que a matriz Λ tem componentes Λ ^μ _ν na linha  μ e coluna  ν , e a matriz inversa Λ ⁻¹ tem componentes Λ _μ ^ν na linha  μ e coluna  ν .

Para obter informações sobre a natureza dessa definição de transformação, consulte tensor . Todos os quatro vetores se transformam da mesma maneira, e isso pode ser generalizado para tensores relativísticos quadridimensionais; veja relatividade especial .

Rotações puras em torno de um eixo arbitrário

Para dois quadros girados por um ângulo fixo θ em torno de um eixo definido pelo vetor unitário :

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} = \ left ({\ hat {n}} _ {1}, {\ hat {n}} _ {2}, {\ hat {n}} _ {3} \ right) \ ,,}$

sem nenhum aumento, a matriz Λ tem componentes dados por:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Lambda _ {00} & = 1 \\\ Lambda _ {0i} = \ Lambda _ {i0} & = 0 \\\ Lambda _ {ij} & = \ left (\ delta _ {ij} - {\ hat {n}} _ {i} {\ hat {n}} _ {j} \ right) \ cos \ theta - \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {n}} _ {k} \ sin \ theta + {\ hat {n}} _ {i} {\ hat {n}} _ {j} \ end {alinhado}}}$

onde δ _ij é o delta de Kronecker e ε _ijk é o símbolo tridimensional de Levi-Civita . Os componentes do espaço de quatro vetores são girados, enquanto os componentes do tempo permanecem inalterados.

Para o caso de rotações em torno do eixo z apenas, a parte semelhante a um espaço da matriz de Lorentz se reduz à matriz de rotação em torno do eixo z :

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {A '} ^ {0} \\ {A'} ^ {1} \\ {A '} ^ {2} \\ {A'} ^ {3} \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ theta & - \ sin \ theta & 0 \\ 0 & \ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} { \ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}} \.}$

Pure impulsiona em uma direção arbitrária

Para dois quadros se movendo a uma velocidade relativa constante de três v (não a velocidade de quatro, veja abaixo ), é conveniente denotar e definir a velocidade relativa em unidades de c por:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} = (\ beta _ {1}, \, \ beta _ {2}, \, \ beta _ {3}) = {\ frac {1} {c}} ( v_ {1}, \, v_ {2}, \, v_ {3}) = {\ frac {1} {c}} \ mathbf {v} \ ,.}$

Então, sem rotações, a matriz Λ tem componentes dados por:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Lambda _ {00} & = \ gamma, \\\ Lambda _ {0i} = \ Lambda _ {i0} & = - \ gamma \ beta _ {i}, \\\ Lambda _ {ij} = \ Lambda _ {ji} & = (\ gamma -1) {\ frac {\ beta _ {i} \ beta _ {j}} {\ beta ^ {2}}} + \ delta _ {ij} = (\ gamma -1) {\ frac {v_ {i} v_ {j}} {v ^ {2}}} + \ delta _ {ij}, \\\ end {alinhado}} \, \ !}$

onde o fator de Lorentz é definido por:

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ boldsymbol {\ beta}} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}}}}} \ ,,}$

e δ _ij é o delta de Kronecker . Ao contrário do que acontece com as rotações puras, os componentes espaciais e temporais são misturados sob reforços.

Para o caso de um aumento na direção x apenas, a matriz se reduz a;

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A '^ {0} \\ A' ^ {1} \\ A '^ {2} \\ A' ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} \ cosh \ phi & - \ sinh \ phi & 0 & 0 \\ - \ sinh \ phi & \ cosh \ phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A ^ {0 } \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatriz}}}$

Onde a expressão rapidez ϕ foi usada, escrita em termos das funções hiperbólicas :

${\ displaystyle \ gamma = \ cosh \ phi}$

Esta matriz de Lorentz ilustra o impulso como uma rotação hiperbólica no espaço-tempo quadridimensional, análoga à rotação circular acima no espaço tridimensional.

Propriedades

Linearidade

Quatro vectores têm as mesmas propriedades de linearidade como vectores Euclidiana em três dimensões . Eles podem ser adicionados da maneira usual de entrada:

${\ displaystyle \ mathbf {A} + \ mathbf {B} = \ left (A ^ {0}, A ^ {1}, A ^ {2}, A ^ {3} \ right) + \ left (B ^ {0}, B ^ {1}, B ^ {2}, B ^ {3} \ right) = \ left (A ^ {0} + B ^ {0}, A ^ {1} + B ^ {1 }, A ^ {2} + B ^ {2}, A ^ {3} + B ^ {3} \ right)}$

e a multiplicação escalar similarmente por um escalar λ é definida de entrada por:

${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {A} = \ lambda \ left (A ^ {0}, A ^ {1}, A ^ {2}, A ^ {3} \ right) = \ left (\ lambda A ^ {0}, \ lambda A ^ {1}, \ lambda A ^ {2}, \ lambda A ^ {3} \ right)}$

Então a subtração é a operação inversa da adição, definida de entrada por:

${\ displaystyle \ mathbf {A} + (- 1) \ mathbf {B} = \ left (A ^ {0}, A ^ {1}, A ^ {2}, A ^ {3} \ right) + ( -1) \ left (B ^ {0}, B ^ {1}, B ^ {2}, B ^ {3} \ right) = \ left (A ^ {0} -B ^ {0}, A ^ {1} -B ^ {1}, A ^ {2} -B ^ {2}, A ^ {3} -B ^ {3} \ right)}$

Tensor de Minkowski

Aplicando o tensor de Minkowski η _μν a dois quatro vetores A e B , escrevendo o resultado em notação de produto escalar , temos, usando notação de Einstein :

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A ^ {\ mu} \ eta _ {\ mu \ nu} B ^ {\ nu}}$

É conveniente reescrever a definição em forma de matriz :

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} & A ^ {1} & A ^ {2} & A ^ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ eta _ {00} & \ eta _ {01} & \ eta _ {02} & \ eta _ {03} \\\ eta _ {10} & \ eta _ {11} & \ eta _ {12} & \ eta _ {13} \\\ eta _ {20} & \ eta _ {21} & \ eta _ {22} & \ eta _ {23} \\\ eta _ {30} & \ eta _ {31} & \ eta _ {32} & \ eta _ {33} \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatriz} B ^ {0} \\ B ^ {1} \\ B ^ {2} \\ B ^ { 3} \ end {pmatrix}}}$

nesse caso, η _μν acima é a entrada na linha μ e coluna ν da métrica de Minkowski como uma matriz quadrada. A métrica de Minkowski não é uma métrica euclidiana , porque é indefinida (ver assinatura métrica ). Um número de outras expressões pode ser utilizado porque a métrica tensor pode levantar e abaixar os componentes de A ou B . Para componentes contra / co-variantes de A e componentes co / contra-variantes de B , temos:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A ^ {\ mu} \ eta _ {\ mu \ nu} B ^ {\ nu} = A _ {\ nu} B ^ {\ nu} = A ^ {\ mu} B _ {\ mu}}$

então na notação de matriz:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = {\ begin {pmatrix} A_ {0} & A_ {1} & A_ {2} & A_ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B ^ {0 } \\ B ^ {1} \\ B ^ {2} \\ B ^ {3} \ end {pmatriz}} = {\ begin {pmatriz} B_ {0} & B_ {1} & B_ {2} & B_ {3 } \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatriz} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatriz}}}$

enquanto para A e B, cada um em componentes covariantes:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A _ {\ mu} \ eta ^ {\ mu \ nu} B _ {\ nu}}$

com uma expressão de matriz semelhante à anterior.

Aplicando o tensor Minkowski para um quatro-vetor A com a própria obtemos:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} = A ^ {\ mu} \ eta _ {\ mu \ nu} A ^ {\ nu}}$

que, dependendo do caso, pode ser considerado o quadrado, ou seu negativo, do comprimento do vetor.

A seguir estão duas escolhas comuns para o tensor métrico na base padrão (essencialmente coordenadas cartesianas). Se as coordenadas ortogonais forem usadas, haveria fatores de escala ao longo da parte diagonal da parte semelhante ao espaço da métrica, enquanto para as coordenadas curvilíneas gerais toda a parte semelhante ao espaço da métrica teria componentes dependentes da base curvilínea usada.

Base padrão, assinatura (+ −−−)

Na assinatura da métrica (+ −−−) , avaliar a soma dos índices dá:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A ^ {0} B ^ {0} -A ^ {1} B ^ {1} -A ^ {2} B ^ {2} -A ^ {3} B ^ {3}}$

enquanto na forma de matriz:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = {\ begin {pmatrix} A ^ {0} & A ^ {1} & A ^ {2} & A ^ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} B ^ {0} \\ B ^ {1} \\ B ^ {2} \\ B ^ {3} \ end {pmatrix}}}$

É um tema recorrente na relatividade especial tomar a expressão

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = A ^ {0} B ^ {0} -A ^ {1} B ^ {1} -A ^ {2} B ^ {2} -A ^ {3} B ^ {3} = C}$

em um quadro de referência , onde C é o valor do produto interno neste quadro, e:

${\ displaystyle \ mathbf {A} '\ cdot \ mathbf {B}' = {A '} ^ {0} {B'} ^ {0} - {A '} ^ {1} {B'} ^ {1 } - {A '} ^ {2} {B'} ^ {2} - {A '} ^ {3} {B'} ^ {3} = C '}$

em outro quadro, em que C ′ é o valor do produto interno neste quadro. Então, uma vez que o produto interno é um invariante, eles devem ser iguais:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = \ mathbf {A} '\ cdot \ mathbf {B}'}$

isso é:

${\ displaystyle C = A ^ {0} B ^ {0} -A ^ {1} B ^ {1} -A ^ {2} B ^ {2} -A ^ {3} B ^ {3} = { A '} ^ {0} {B'} ^ {0} - {A '} ^ {1} {B'} ^ {1} - {A '} ^ {2} {B'} ^ {2} - {A '} ^ {3} {B'} ^ {3}}$

Considerando que as grandezas físicas na relatividade são quatro vetores, essa equação tem a aparência de uma " lei de conservação ", mas não há "conservação" envolvida. O significado principal do produto interno de Minkowski é que, para quaisquer dois quatro vetores, seu valor é invariante para todos os observadores; uma mudança de coordenadas não resulta em uma mudança no valor do produto interno. Os componentes dos quatro vetores mudam de um quadro para outro; A e A ′ são conectados por uma transformação de Lorentz , e da mesma forma para B e B ′, embora os produtos internos sejam os mesmos em todos os quadros. No entanto, esse tipo de expressão é explorado em cálculos relativísticos em paridade com as leis de conservação, uma vez que as magnitudes dos componentes podem ser determinadas sem realizar explicitamente quaisquer transformações de Lorentz. Um exemplo particular é com energia e momento na relação energia-momento derivada do vetor de quatro momentos (veja também abaixo).

Nesta assinatura temos:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} = \ left (A ^ {0} \ right) ^ {2} - \ left (A ^ {1} \ right) ^ {2} - \ left (A ^ { 2} \ right) ^ {2} - \ left (A ^ {3} \ right) ^ {2}}$

Com a assinatura (+ −−−), quatro vetores podem ser classificados como espaço if , timelike if e vetores nulos if . ${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} <0}$${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A}> 0}$${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} = 0}$

Base padrão, (- +++) assinatura

Alguns autores definem η com o sinal oposto, caso em que temos a assinatura métrica (- +++). Avaliando o somatório com esta assinatura:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = -A ^ {0} B ^ {0} + A ^ {1} B ^ {1} + A ^ {2} B ^ {2} + A ^ {3 } B ^ {3}}$

enquanto a forma de matriz é:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = \ left ({\ begin {matrix} A ^ {0} & A ^ {1} & A ^ {2} & A ^ {3} \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} B ^ {0} \\ B ^ {1} \\ B ^ {2} \\ B ^ {3} \ end {matriz}} \ direita)}$

Observe que, neste caso, em um quadro:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = -A ^ {0} B ^ {0} + A ^ {1} B ^ {1} + A ^ {2} B ^ {2} + A ^ {3} B ^ {3} = - C}$

enquanto em outro:

${\ displaystyle \ mathbf {A} '\ cdot \ mathbf {B}' = - {A '} ^ {0} {B'} ^ {0} + {A '} ^ {1} {B'} ^ { 1} + {A '} ^ {2} {B'} ^ {2} + {A '} ^ {3} {B'} ^ {3} = - C '}$

de modo a:

${\ displaystyle -C = -A ^ {0} B ^ {0} + A ^ {1} B ^ {1} + A ^ {2} B ^ {2} + A ^ {3} B ^ {3} = - {A '} ^ {0} {B'} ^ {0} + {A '} ^ {1} {B'} ^ {1} + {A '} ^ {2} {B'} ^ { 2} + {A '} ^ {3} {B'} ^ {3}}$

que é equivalente à expressão acima para C em termos de A e B . Qualquer convenção funcionará. Com a métrica de Minkowski definida nas duas maneiras acima, a única diferença entre componentes covariantes e contravariantes de quatro vetores são os sinais, portanto os sinais dependem de qual convenção de sinais é usada.

Nós temos:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} = - \ left (A ^ {0} \ right) ^ {2} + \ left (A ^ {1} \ right) ^ {2} + \ left (A ^ {2} \ direita) ^ {2} + \ esquerda (A ^ {3} \ direita) ^ {2}}$

Com a assinatura (- +++), os quatro vetores podem ser classificados como espaço if , timelike if e nulo if . ${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A}> 0}$${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} <0}$${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot A} = 0}$

Vetores duais

A aplicação do tensor de Minkowski é frequentemente expressa como o efeito do vetor dual de um vetor sobre o outro:

${\ displaystyle \ mathbf {A \ cdot B} = A ^ {*} (\ mathbf {B}) = A {_ {\ nu}} B ^ {\ nu}.}$

Aqui, os A _ν s são os componentes do vetor dual A * de A na base dual e chamados de coordenadas covariantes de A , enquanto os componentes A ^ν originais são chamados de coordenadas contravariantes .

Cálculo de quatro vetores

Derivados e diferenciais

Na relatividade especial (mas não na relatividade geral), a derivada de um quatro vetores em relação a um escalar λ (invariante) é ela mesma um quatro vetores. Também é útil pegar o diferencial do quatro vetores, d A e dividi-lo pelo diferencial do escalar, dλ :

${\ displaystyle {\ underset {\ text {diferencial}} {d \ mathbf {A}}} = {\ underset {\ text {derivada}} {\ frac {d \ mathbf {A}} {d \ lambda}} } {\ underset {\ text {diferencial}} {d \ lambda}}}$

onde os componentes contravariantes são:

${\ displaystyle d \ mathbf {A} = \ left (dA ^ {0}, dA ^ {1}, dA ^ {2}, dA ^ {3} \ right)}$

enquanto os componentes covariantes são:

${\ displaystyle d \ mathbf {A} = \ left (dA_ {0}, dA_ {1}, dA_ {2}, dA_ {3} \ right)}$

Na mecânica relativística, muitas vezes toma-se o diferencial de um vetor de quatro e divide pelo diferencial no tempo adequado (veja abaixo).

Quatro vetores fundamentais

Quatro posições

Um ponto no espaço de Minkowski é uma posição temporal e espacial, chamada de "evento", ou às vezes a posição quatro vetores ou quatro posições ou 4 posições, descrita em algum referencial por um conjunto de quatro coordenadas:

${\ displaystyle \ mathbf {R} = \ left (ct, \ mathbf {r} \ right)}$

onde r é o vetor de posição do espaço tridimensional . Se r é uma função da coordenada de tempo t no mesmo quadro, isto é, r = r ( t ), isso corresponde a uma sequência de eventos à medida que t varia. A definição R ⁰ = ct garante que todas as coordenadas tenham as mesmas unidades (de distância). Essas coordenadas são os componentes do vetor de quatro posições do evento.

O quatro vetor de deslocamento é definido como uma "seta" ligando dois eventos:

${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {R} = \ left (c \ Delta t, \ Delta \ mathbf {r} \ right)}$

Para as quatro posições diferenciais em uma linha mundial, temos, usando uma notação de norma :

${\ displaystyle \ | d \ mathbf {R} \ | ^ {2} = \ mathbf {dR \ cdot dR} = dR ^ {\ mu} dR _ {\ mu} = c ^ {2} d \ tau ^ {2 } = ds ^ {2} \ ,,}$

definindo o elemento da linha diferencial d s e o incremento de tempo próprio diferencial d τ , mas esta "norma" também é:

${\ displaystyle \ | d \ mathbf {R} \ | ^ {2} = (cdt) ^ {2} -d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r} \ ,,}$

de modo a:

${\ displaystyle (cd \ tau) ^ {2} = (cdt) ^ {2} -d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r} \ ,.}$

Ao considerar os fenômenos físicos, as equações diferenciais surgem naturalmente; entretanto, ao considerar as derivadas de funções no espaço e no tempo , não está claro a qual referencial essas derivadas são tomadas. Fica acordado que as derivadas de tempo são tomadas em relação ao tempo adequado . Como o tempo adequado é invariante, isso garante que a derivada do tempo adequado de qualquer vetor quádruplo é ela mesma um vetor quádruplo. É então importante encontrar uma relação entre esta derivada de tempo próprio e outra derivada de tempo (usando a coordenada de tempo t de um referencial inercial). Esta relação é fornecida tomando o intervalo de espaço-tempo invariante diferencial acima e, em seguida, dividindo por ( cdt ) ² para obter: ${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {cd \ tau} {cdt}} \ right) ^ {2} = 1- \ left ({\ frac {d \ mathbf {r}} {cdt}} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {cdt}} \ right) = 1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} = {\ frac {1 } {\ gamma (\ mathbf {u}) ^ {2}}} \ ,,}$

onde u = d r / dt é a coordenada 3- velocidade de um objecto medido na mesma grelha de como as coordenadas x , y , z , e coordenar o tempo t , e

${\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {u}) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} }}}}$

é o fator de Lorentz . Isso fornece uma relação útil entre os diferenciais em tempo de coordenada e tempo adequado:

${\ displaystyle dt = \ gamma (\ mathbf {u}) d \ tau \ ,.}$

Essa relação também pode ser encontrada a partir da transformação do tempo nas transformações de Lorentz .

Quatro vetores importantes na teoria da relatividade podem ser definidos aplicando este diferencial . ${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ tau}}}$

Quatro gradiente

Considerando que as derivadas parciais são operadores lineares , pode-se formar um gradiente de quatro a partir da derivada parcial do tempo ∂ / ∂ t e do gradiente espacial ∇. Usando a base padrão, em notações de índice e abreviadas, os componentes contravariantes são:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ partial}} & = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {0}}}, \, - {\ frac {\ partial} { \ parcial x_ {1}}}, \, - {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {2}}}, \, - {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {3}}} \ direita ) \\ & = (\ parcial ^ {0}, \, - \ parcial ^ {1}, \, - \ parcial ^ {2}, \, - \ parcial ^ {3}) \\ & = \ mathbf { E} _ {0} \ parcial ^ {0} - \ mathbf {E} _ {1} \ parcial ^ {1} - \ mathbf {E} _ {2} \ parcial ^ {2} - \ mathbf {E} _ {3} \ parcial ^ {3} \\ & = \ mathbf {E} _ {0} \ parcial ^ {0} - \ mathbf {E} _ {i} \ parcial ^ {i} \\ & = \ mathbf {E} _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} \\ & = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \, - \ nabla \ right) \\ & = \ left ({\ frac {\ partial _ {t}} {c}}, - \ nabla \ right) \\ & = \ mathbf {E} _ {0} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} - \ nabla \\\ end {alinhados}}}$

Observe que os vetores de base são colocados na frente dos componentes, para evitar confusão entre tirar a derivada do vetor de base ou simplesmente indicar que a derivada parcial é um componente desse quatro vetores. Os componentes covariantes são:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ partial}} & = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {0}}}, \, {\ frac {\ partial} { \ parcial x ^ {1}}}, \, {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {2}}}, \, {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {3}}} \ direita) \\ & = (\ parcial _ {0}, \, \ parcial _ {1}, \, \ parcial _ {2}, \, \ parcial _ {3}) \\ & = \ mathbf {E} ^ {0} \ parcial _ {0} + \ mathbf {E} ^ {1} \ parcial _ {1} + \ mathbf {E} ^ {2} \ parcial _ {2} + \ mathbf {E} ^ { 3} \ parcial _ {3} \\ & = \ mathbf {E} ^ {0} \ parcial _ {0} + \ mathbf {E} ^ {i} \ parcial _ {i} \\ & = \ mathbf { E} ^ {\ alpha} \ partial _ {\ alpha} \\ & = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \, \ nabla \ direita) \\ & = \ left ({\ frac {\ partial _ {t}} {c}}, \ nabla \ right) \\ & = \ mathbf {E} ^ {0} {\ frac {1} { c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + \ nabla \\\ end {alinhados}}}$

Como este é um operador, ele não tem um "comprimento", mas avaliar o produto interno do operador consigo mesmo fornece outro operador:

${\ displaystyle \ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2 }}} - \ nabla ^ {2} = {\ frac {{\ partial _ {t}} ^ {2}} {c ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}}$

chamado de operador D'Alembert .

Cinemática

Quatro velocidades

A velocidade de quatro de uma partícula é definida por:

${\ displaystyle \ mathbf {U} = {\ frac {d \ mathbf {X}} {d \ tau}} = {\ frac {d \ mathbf {X}} {dt}} {\ frac {dt} {d \ tau}} = \ gamma (\ mathbf {u}) \ left (c, \ mathbf {u} \ right),}$

Geometricamente, U é um vetor normalizado tangente à linha de mundo da partícula. Usando o diferencial das quatro posições, a magnitude da quatro velocidades pode ser obtida:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {U} \ | ^ {2} = U ^ {\ mu} U _ {\ mu} = {\ frac {dX ^ {\ mu}} {d \ tau}} {\ frac { dX _ {\ mu}} {d \ tau}} = {\ frac {dX ^ {\ mu} dX _ {\ mu}} {d \ tau ^ {2}}} = c ^ {2} \ ,,}$

em suma, a magnitude da velocidade de quatro para qualquer objeto é sempre uma constante fixa:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {U} \ | ^ {2} = c ^ {2}}$

A norma também é:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {U} \ | ^ {2} = {\ gamma (\ mathbf {u})} ^ {2} \ left (c ^ {2} - \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {você está certo)\,,}$

de modo a:

${\ displaystyle c ^ {2} = {\ gamma (\ mathbf {u})} ^ {2} \ left (c ^ {2} - \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u} \ right) \, ,}$

o que se reduz à definição do fator de Lorentz .

As unidades de quatro velocidades são m / s no SI e 1 no sistema de unidades geometrizadas . Quatro velocidades é um vetor contravariante.

Quatro aceleração

A quatro aceleração é dada por:

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {d \ mathbf {U}} {d \ tau}} = \ gamma (\ mathbf {u}) \ left ({\ frac {d {\ gamma} (\ mathbf {u})} {dt}} c, {\ frac {d {\ gamma} (\ mathbf {u})} {dt}} \ mathbf {u} + \ gamma (\ mathbf {u}) \ mathbf {a} \ right).}$

onde a = d u / dt é a coordenada 3-aceleração. Como a magnitude de U é uma constante, a aceleração quatro é ortogonal à velocidade quatro, ou seja, o produto interno de Minkowski da aceleração quatro e da velocidade quatro é zero:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {U} = A ^ {\ mu} U _ {\ mu} = {\ frac {dU ^ {\ mu}} {d \ tau}} U _ {\ mu} = {\ frac {1} {2}} \, {\ frac {d} {d \ tau}} \ left (U ^ {\ mu} U _ {\ mu} \ right) = 0 \,}$

o que é verdade para todas as linhas do mundo. O significado geométrico da aceleração de quatro é o vetor de curvatura da linha do mundo no espaço de Minkowski.

Dinâmica

Four-momentum

Para uma partícula massiva de massa em repouso (ou massa invariante ) m ₀ , o momento quatro é dado por:

${\ displaystyle \ mathbf {P} = m_ {0} \ mathbf {U} = m_ {0} \ gamma (\ mathbf {u}) (c, \ mathbf {u}) = \ left ({\ frac {E } {c}}, \ mathbf {p} \ right)}$

onde a energia total da partícula em movimento é:

${\ displaystyle E = \ gamma (\ mathbf {u}) m_ {0} c ^ {2}}$

e o momento relativístico total é:

${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ gamma (\ mathbf {u}) m_ {0} \ mathbf {u}}$

Levando consigo o produto interno do quatro momentum:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = P ^ {\ mu} P _ {\ mu} = m_ {0} ^ {2} U ^ {\ mu} U _ {\ mu} = m_ {0} ^ {2} c ^ {2}}$

e também:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = {\ frac {E ^ {2}} {c ^ {2}}} - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p}}$

o que leva à relação energia-momento :

${\ displaystyle E ^ {2} = c ^ {2} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} + \ left (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2} \ ,.}$

Esta última relação é útil na mecânica relativística , essencial na mecânica quântica relativística e na teoria quântica de campos relativística , todas com aplicações na física de partículas .

Four-force

A quatro forças agindo sobre uma partícula é definida analogamente à força 3 como a derivada do tempo do momento 3 na segunda lei de Newton :

${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {P}} {d \ tau}} = \ gamma (\ mathbf {u}) \ left ({\ frac {1} {c}} { \ frac {dE} {dt}}, {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ right) = \ gamma (\ mathbf {u}) \ left ({\ frac {P} {c} }, \ mathbf {f} \ right)}$

onde P é a força transferida para mover a partícula e f é a força 3 agindo sobre a partícula. Para uma partícula de massa invariante constante m ₀ , isso é equivalente a

${\ displaystyle \ mathbf {F} = m_ {0} \ mathbf {A} = m_ {0} \ gamma (\ mathbf {u}) \ left ({\ frac {d {\ gamma} (\ mathbf {u} )} {dt}} c, \ left ({\ frac {d {\ gamma} (\ mathbf {u})} {dt}} \ mathbf {u} + \ gamma (\ mathbf {u}) \ mathbf { a} \ direita) \ direita)}$

Um invariante derivado da força quatro é:

${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {U} = F ^ {\ mu} U _ {\ mu} = m_ {0} A ^ {\ mu} U _ {\ mu} = 0}$

do resultado acima.

Termodinâmica

Fluxo de quatro calor

O campo vetorial de fluxo de quatro calor é essencialmente semelhante ao campo vetorial de fluxo de calor 3d q , no quadro local do fluido:

${\ displaystyle \ mathbf {Q} = -k {\ boldsymbol {\ parcial}} T = -k \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ parcial T} {\ parcial t}} , \ nabla T \ right)}$

em que T é a temperatura absoluta e K é a condutividade térmica .

Fluxo numérico de quatro bárions

O fluxo dos bárions é:

${\ displaystyle \ mathbf {S} = n \ mathbf {U}}$

onde n é a densidade numérica de bárions no quadro de repouso local do fluido bárion (valores positivos para bárions, negativos para antibárions ) e U o campo de quatro velocidades (do fluido) como acima.

Quatro entropia

O vetor de quatro entropia é definido por:

${\ displaystyle \ mathbf {s} = s \ mathbf {S} + {\ frac {\ mathbf {Q}} {T}}}$

onde s é a entropia por bárion e T a temperatura absoluta , no referencial de repouso local do fluido.

Eletromagnetismo

Exemplos de quatro vetores em eletromagnetismo incluem o seguinte.

Quatro correntes

A quatro correntes eletromagnéticas (ou mais corretamente uma densidade de quatro correntes) é definida por

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ left (\ rho c, \ mathbf {j} \ right)}$

formado a partir da densidade de corrente j e da densidade de carga ρ .

Quatro potenciais

O potencial eletromagnético de quatro (ou mais corretamente um potencial de vetor de quatro EM) definido por

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {a} \ right)}$

formado a partir do potencial vector de um e o potencial escalar φ .

O quatro potencial não é determinado exclusivamente, porque depende de uma escolha de medidor .

Na equação de onda para o campo eletromagnético:

${\ displaystyle (\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial}) \ mathbf {A} = 0}$ {no vácuo}

${\ displaystyle (\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial}) \ mathbf {A} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}${com uma fonte de quatro correntes e usando a condição de medidor Lorenz }${\ displaystyle (\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {A}) = 0}$

Ondas

Quatro frequências

Uma onda plana fotônica pode ser descrita por quatro frequências definidas como

${\ displaystyle \ mathbf {N} = \ nu \ left (1, {\ hat {\ mathbf {n}}} \ right)}$

onde ν é a frequência da onda e é um vetor unitário na direção de viagem da onda. Agora: ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$

${\ displaystyle \ | \ mathbf {N} \ | = N ^ {\ mu} N _ {\ mu} = \ nu ^ {2} \ left (1 - {\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot { \ hat {\ mathbf {n}}} \ right) = 0}$

portanto, a freqüência de quatro de um fóton é sempre um vetor nulo.

Vetor de quatro ondas

As grandezas recíprocas no tempo t e no espaço r são a frequência angular ω e o vetor de onda k , respectivamente. Eles formam os componentes do vetor de quatro ondas ou vetor de quatro ondas:

${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega} { c}}, {\ frac {\ omega} {v_ {p}}} \ mathbf {\ hat {n}} \ right) \ ,.}$

Um pacote de ondas de luz quase monocromática pode ser descrito por:

${\ displaystyle \ mathbf {K} = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ mathbf {N} = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ nu \ left (1, {\ hat { \ mathbf {n}}} \ right) = {\ frac {\ omega} {c}} \ left (1, {\ hat {\ mathbf {n}}} \ right) \ ,.}$

As relações de de Broglie mostraram então que o vetor de quatro ondas se aplicava às ondas de matéria e também às ondas de luz. :

${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ hbar \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {p}} \ right) = \ hbar \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) \ ,.}$

rendendo e , onde ħ é a constante de Planck dividida por 2 π . ${\ displaystyle E = \ hbar \ omega}$${\ displaystyle {\ vec {p}} = \ hbar {\ vec {k}}}$

O quadrado da norma é:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {K} \ | ^ {2} = K ^ {\ mu} K _ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} - \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {k} \ ,,}$

e pela relação de Broglie:

${\ displaystyle \ | \ mathbf {K} \ | ^ {2} = {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ | \ mathbf {P} \ | ^ {2} = \ left ({ \ frac {m_ {0} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ ,,}$

temos a onda de matéria análoga à relação energia-momento:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} - \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {k} = \ left ({\ frac {m_ {0} c } {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ ,.}$

Observe que para partículas sem massa, em cujo caso m ₀ = 0 , temos:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} = \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {k} \ ,,}$

ou ‖ k ‖ = ω / c . Observe que isso é consistente com o caso acima; para fótons com vetor de 3 ondas de módulo ω / c , na direção de propagação da onda definida pelo vetor unitário . ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$

Teoria quântica

Corrente de quatro probabilidades

Na mecânica quântica , a corrente de quatro probabilidades ou a corrente de probabilidade quatro é análoga à corrente eletromagnética de quatro :

${\ displaystyle \ mathbf {J} = (\ rho c, \ mathbf {j})}$

onde ρ é a função de densidade de probabilidade correspondente ao componente de tempo ej é o vetor de probabilidade atual . Na mecânica quântica não relativística, esta corrente é sempre bem definida porque as expressões para densidade e corrente são definidas positivamente e podem admitir uma interpretação de probabilidade. Na mecânica quântica relativística e na teoria quântica de campos , nem sempre é possível encontrar uma corrente, principalmente quando há interações envolvidas.

Substituindo a energia pelo operador de energia e o momento pelo operador de momento no quatro momentos, obtém -se o operador quatro momentos , usado nas equações de onda relativísticas .

Quatro giros

O quatro spin de uma partícula é definido no quadro de repouso de uma partícula para ser

${\ displaystyle \ mathbf {S} = (0, \ mathbf {s})}$

onde s é o pseudovetor de spin . Na mecânica quântica, nem todos os três componentes desse vetor são mensuráveis ​​simultaneamente, apenas um componente é. O componente semelhante ao tempo é zero no quadro de repouso da partícula, mas não em qualquer outro quadro. Este componente pode ser encontrado a partir de uma transformação de Lorentz apropriada.

O quadrado da norma é o (negativo da) magnitude ao quadrado do spin, e de acordo com a mecânica quântica, temos

${\ displaystyle \ | \ mathbf {S} \ | ^ {2} = - | \ mathbf {s} | ^ {2} = - \ hbar ^ {2} s (s + 1)}$

Este valor é observável e quantizado, com s o número quântico de spin (não a magnitude do vetor de spin).

Outras formulações

Quatro vetores na álgebra do espaço físico

Um quatro vetores A também pode ser definido usando as matrizes de Pauli como base , novamente em várias notações equivalentes:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {A} & = \ left (A ^ {0}, \, A ^ {1}, \, A ^ {2}, \, A ^ {3} \ right ) \\ & = A ^ {0} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} + A ^ {1} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {1} + A ^ {2} {\ boldsymbol { \ sigma}} _ {2} + A ^ {3} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {3} \\ & = A ^ {0} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} + A ^ {i} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i} \\ & = A ^ {\ alpha} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {\ alpha} \\\ end {alinhado}}}$

ou explicitamente:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} & = A ^ {0} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + A ^ {1} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatriz}} + A ^ {2} {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}} + A ^ {3} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \ end {pmatriz}} \\ & = {\ begin {pmatriz} A ^ {0} + A ^ {3} & A ^ {1} -iA ^ {2} \\ A ^ {1} + iA ^ { 2} & A ^ {0} -A ^ {3} \ end {pmatriz}} \ end {alinhado}}}$

e nesta formulação, o quatro-vetor é representado como uma matriz Hermitiana (a matriz transposta e o conjugado complexo da matriz a deixa inalterada), ao invés de uma coluna de valor real ou vetor linha. O determinante da matriz é o módulo do vetor quatro, portanto, o determinante é um invariante:

${\ displaystyle {\ begin {align} | \ mathbf {A} | & = {\ begin {vmatrix} A ^ {0} + A ^ {3} & A ^ {1} -iA ^ {2} \\ A ^ {1} + iA ^ {2} & A ^ {0} -A ^ {3} \ end {vmatrix}} \\ & = \ left (A ^ {0} + A ^ {3} \ right) \ left ( A ^ {0} -A ^ {3} \ right) - \ left (A ^ {1} -iA ^ {2} \ right) \ left (A ^ {1} + iA ^ {2} \ right) \ \ & = \ left (A ^ {0} \ right) ^ {2} - \ left (A ^ {1} \ right) ^ {2} - \ left (A ^ {2} \ right) ^ {2} - \ left (A ^ {3} \ right) ^ {2} \ end {alinhado}}}$

Essa ideia de usar as matrizes de Pauli como vetores básicos é empregada na álgebra do espaço físico , um exemplo de álgebra de Clifford .

Quatro vetores na álgebra do espaço-tempo

Na álgebra do espaço-tempo , outro exemplo da álgebra de Clifford, as matrizes gama também podem formar uma base . (Também são chamadas de matrizes de Dirac, devido ao seu aparecimento na equação de Dirac ). Há mais de uma maneira de expressar as matrizes gama, detalhada nesse artigo principal.

A notação de barra de Feynman é uma abreviação para um quatro vetor A contraído com as matrizes gama:

${\ displaystyle \ mathbf {A} \! \! \! \! / = A _ {\ alpha} \ gamma ^ {\ alpha} = A_ {0} \ gamma ^ {0} + A_ {1} \ gamma ^ { 1} + A_ {2} \ gamma ^ {2} + A_ {3} \ gamma ^ {3}}$

O quatro momentum contraído com as matrizes gama é um caso importante na mecânica quântica relativística e na teoria quântica de campos relativística . Na equação de Dirac e em outras equações de onda relativísticas , termos da forma:

${\ displaystyle \ mathbf {P} \! \! \! \! / = P _ {\ alpha} \ gamma ^ {\ alpha} = P_ {0} \ gamma ^ {0} + P_ {1} \ gamma ^ { 1} + P_ {2} \ gamma ^ {2} + P_ {3} \ gamma ^ {3} = {\ dfrac {E} {c}} \ gamma ^ {0} -p_ {x} \ gamma ^ { 1} -p_ {y} \ gamma ^ {2} -p_ {z} \ gamma ^ {3}}$

aparecem, em que as componentes de energia E e momento ( p _x , p _y , p _z ) são substituídas por seus respectivos operadores .

Veja também

• Mecânica relativística
• paravetor
• vetor de onda
• Poeira (relatividade) para o fluxo numérico de quatro vetores
• Introdução básica à matemática do espaço-tempo curvo
• Espaço Minkowski

Referências

• Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2ª ed.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN  0-19-853952-5