Transformada de Fourier -Fourier transform

Um exemplo de aplicação da transformada de Fourier é determinar as alturas constituintes em uma forma de onda musical . Esta imagem é o resultado da aplicação de uma transformada Q constante (uma transformada relacionada a Fourier ) à forma de onda de um acorde de piano em Dó maior . Os três primeiros picos à esquerda correspondem às frequências da frequência fundamental do acorde (C, E, G). Os picos menores restantes são harmônicos de frequência mais alta dos tons fundamentais. Um algoritmo de detecção de afinação pode usar a intensidade relativa desses picos para inferir quais notas o pianista pressionou.

Em matemática , a transformada de Fourier ( FT ) é uma transformada que converte uma função em uma forma que descreve as frequências presentes na função original. A saída da transformada é uma função de valor complexo de frequência. O termo transformada de Fourier refere-se tanto a essa função de valor complexo quanto à operação matemática . Quando uma distinção precisa ser feita, a transformada de Fourier às vezes é chamada de representação no domínio da frequência da função original. A transformada de Fourier é análoga à decomposição do som de um acorde musical em termos da intensidade de suas alturas constituintes .

A sinusóide vermelha pode ser descrita pela amplitude de pico (1), pico a pico (2), RMS (3) e comprimento de onda (4). As sinusóides vermelha e azul têm uma diferença de fase de θ .
A linha superior mostra um pulso unitário em função do tempo ( f ( t ) ) e sua transformada de Fourier em função da frequência ( ( ω ) ). A linha inferior mostra um pulso unitário atrasado em função do tempo ( g ( t ) ) e sua transformada de Fourier em função da frequência ( ĝ ( ω ) ). A tradução (ou seja, atraso) no domínio do tempo é interpretada como mudanças de fase complexas no domínio da frequência. A transformada de Fourier decompõe uma função em autofunções para o grupo de traduções. A parte imaginária de ĝ ( ω ) é negada porque um expoente de sinal negativo foi usado na transformada de Fourier, que é o padrão derivado da série de Fourier, mas o sinal não importa para uma transformada que não será invertida .

As funções localizadas no domínio do tempo têm transformadas de Fourier espalhadas pelo domínio da frequência e vice-versa, um fenômeno conhecido como princípio da incerteza . O caso crítico para este princípio é a função gaussiana , de importância substancial na teoria da probabilidade e estatística , bem como no estudo de fenômenos físicos que exibem distribuição normal (por exemplo, difusão ). A transformada de Fourier de uma função Gaussiana é outra função Gaussiana. Joseph Fourier introduziu a transformada em seu estudo de transferência de calor , onde as funções gaussianas aparecem como soluções da equação do calor .

A transformada de Fourier pode ser formalmente definida como uma integral de Riemann imprópria , tornando-a uma transformada integral , embora esta definição não seja adequada para muitas aplicações que requerem uma teoria de integração mais sofisticada. Por exemplo, muitos aplicativos relativamente simples usam a função delta de Dirac , que pode ser tratada formalmente como se fosse uma função, mas a justificativa requer um ponto de vista matematicamente mais sofisticado.

A transformada de Fourier também pode ser generalizada para funções de várias variáveis ​​no espaço euclidiano, enviando uma função de 'espaço de posição' tridimensional para uma função de momento tridimensional (ou uma função de espaço e tempo para uma função de 4 momentos ). Essa ideia torna a transformada de Fourier espacial muito natural no estudo de ondas, bem como na mecânica quântica , onde é importante poder representar soluções de onda como funções de posição ou momento e, às vezes, de ambos. Em geral, as funções às quais os métodos de Fourier são aplicáveis ​​são de valor complexo e, possivelmente, de valor vetorial . Ainda mais generalização é possível para funções em grupos , que, além da transformada de Fourier original em R ou R n (visto como grupos sob adição), inclui notavelmente a transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT, grupo = Z ), a transformada de Fourier discreta (DFT, grupo = Z mod N ) e a série de Fourier ou transformada circular de Fourier (grupo = S 1 , o círculo unitário ≈ intervalo finito fechado com extremidades identificadas). Este último é empregado rotineiramente para lidar com funções periódicas . A transformada rápida de Fourier (FFT) é um algoritmo para calcular a DFT.

Definições

A transformada de Fourier em R

A transformada de Fourier é uma extensão da série de Fourier , que em sua forma mais geral introduz o uso de funções exponenciais complexas . Por exemplo, para uma função , a amplitude e a fase de um componente de frequência na frequência , são dados por este número complexo:

A extensão fornece um contínuo de frequência de componentes usando uma integral infinita de integração:

transformada de Fourier

 

 

 

 

( Eq.1 )

Aqui, a transformada da função na frequência é denotada pelo número complexo , que é apenas uma das várias convenções comuns. Avaliando a Eq.1 para todos os valores de produz a função no domínio da frequência . Quando a variável independente ( ) representa o tempo (frequentemente denotada por ), a variável de transformação ( ) representa a frequência (frequentemente denotada por ). Por exemplo, se o tempo é medido em segundos , então a frequência está em hertz .

Para cada frequência, a magnitude ( valor absoluto ) do valor complexo representa a amplitude de uma senóide complexa constituinte com essa frequência integrada no domínio, e o argumento do valor complexo representa o deslocamento de fase dessa senóide complexa . Se uma frequência não estiver presente, a transformação terá um valor de 0 para essa frequência. A transformada de Fourier não se limita a funções de tempo, mas o domínio da função original é comumente chamado de domínio de tempo . O teorema da inversão de Fourier fornece um processo de síntese que recria a função original de sua representação no domínio da frequência.

Uma chave para interpretar a Eq.1 é que o efeito de multiplicar por é subtrair de cada componente de frequência da função (consulte também Frequência negativa ). as outras componentes são oscilatórias e se integram a zero em um intervalo infinito.

As funções e são muitas vezes referidas como um par de transformadas de Fourier . Uma notação comum para designar pares de transformação é:

Uma função pode ser recuperada de sua série de Fourier, sob condições adequadas. Quando isso é possível, a série de Fourier fornece a fórmula de inversão:

Da mesma forma, sob condições adequadas em , a fórmula de inversão de Fourier em é:

Integral de inversão de Fourier

 

 

 

 

( Eq.2 )

O número complexo, , transmite tanto a amplitude quanto a fase da frequência . Portanto, a Eq.2 é uma representação de como uma soma ponderada de funções exponenciais complexas. Isso é conhecido como o teorema da inversão de Fourier e foi introduzido pela primeira vez na Teoria Analítica do Calor de Fourier , embora uma prova pelos padrões modernos não tenha sido fornecida até muito mais tarde.

Outras convenções de notação

Para outras convenções e notações comuns, incluindo o uso da frequência angular ω em vez da frequência comum ξ , consulte Outras convenções e Outras notações abaixo. A transformada de Fourier no espaço euclidiano é tratada separadamente, na qual a variável x frequentemente representa a posição e o momento ξ . As convenções escolhidas neste artigo são as da análise harmônica , e são caracterizadas como as únicas convenções tais que a transformada de Fourier é tanto unitária em L 2 quanto um homomorfismo algébrico de L 1 a L , sem renormalizar a medida de Lebesgue.

Existem muitas outras caracterizações da transformada de Fourier. Por exemplo, usa-se o teorema de Stone–von Neumann : a transformada de Fourier é o único entrelaçador unitário para as representações simpléticas e euclidianas de Schrödinger do grupo de Heisenberg .

Fundo

História

Em 1821, Fourier afirmou (ver Joseph Fourier § The Analytic Theory of Heat ) que qualquer função, contínua ou descontínua, pode ser expandida em uma série de senos. Esse importante trabalho foi corrigido e expandido por outros para fornecer a base para as várias formas da transformada de Fourier usadas desde então.

sinusóides complexas

Em geral, os coeficientes são números complexos, que possuem duas formas equivalentes (ver fórmula de Euler ):

O produto com ( Eq.2 ) tem as seguintes formas:

É notável a facilidade com que o produto foi simplificado usando a forma polar e a facilidade com que a forma retangular foi deduzida pela aplicação da fórmula de Euler.

frequência negativa

Um aspecto da transformada de Fourier que costuma ser confuso é o uso de frequência negativa . Quando a frequência é pensada como a frequência com que algo acontece, ou na física, como 1/T para algum período de tempo T. Essas noções de frequência são inerentemente positivas. Mas o valor de na Eq.1 pode assumir qualquer número real.

Para funções com valores reais, existe uma relação simples entre os valores da transformada de Fourier para positivo e negativo (veja a conjugação abaixo). Isso torna possível evitar o assunto de frequências negativas usando as transformadas de seno e cosseno . Mas a maioria dos autores prefere usar a Eq.1 em vez de usar duas transformadas. Uma razão para isso é que muitos aplicativos precisam usar a transformada de Fourier de funções de valor complexo, como equações diferenciais parciais , radar , óptica não linear , mecânica quântica e outros. Nesses casos, o valor da transformada de Fourier em frequências negativas é distinto do valor em frequências reais, e elas são importantes. Nessas situações, o conceito do que é uma frequência é definido pela transformada de Fourier, em vez de apelar para uma taxa ou período.

Transformada de Fourier para funções periódicas

A transformada de Fourier de uma função periódica não pode ser definida usando a fórmula integral diretamente. Para que a integral na Eq.1 seja definida, a função deve ser absolutamente integrável . Em vez disso, é comum usar a série de Fourier . É possível estender a definição para incluir funções periódicas visualizando-as como distribuições moderadas .

Isso torna possível ver uma conexão entre a série de Fourier e a transformada de Fourier para funções periódicas que têm uma série de Fourier convergente . Se uma função periódica , com período , que possui uma série de Fourier convergente, então:

onde são os coeficientes da série de Fourier de . Em outras palavras, a transformada de Fourier é uma função pente de Dirac cujos dentes são multiplicados pelos coeficientes da série de Fourier.

Amostragem da transformada de Fourier

A transformada de Fourier de uma função integrável pode ser amostrada em intervalos regulares de Essas amostras podem ser deduzidas de um ciclo de uma função periódica que possui coeficientes da série de Fourier proporcionais a essas amostras pela fórmula de soma de Poisson :

A integrabilidade de garante que a soma periódica converge. Portanto, as amostras podem ser determinadas por:

Quando tem suporte compacto , tem um número finito de termos dentro do intervalo de integração. Quando não possui suporte compacto, a avaliação numérica de requer uma aproximação, como afunilamento ou truncamento do número de termos.

Exemplo

As figuras a seguir fornecem uma ilustração visual de como a transformada de Fourier mede se uma frequência está presente em uma função específica. A função representada f ( t ) = cos(6π t ) e −π t 2 oscila a 3  Hz (se t mede segundos) e tende rapidamente para 0. (O segundo fator nesta equação é uma função de envelope que molda a senóide contínua em um pulso curto. Sua forma geral é uma função gaussiana ). Esta função foi especialmente escolhida para ter uma transformada de Fourier real que pode ser facilmente plotada. A primeira imagem contém seu gráfico. Para calcular devemos integrar e i 2π(3 t ) f ( t ) . A segunda imagem mostra o gráfico das partes real e imaginária desta função. A parte real do integrando é quase sempre positiva, porque quando f ( t ) é negativa, a parte real de e i 2π(3 t ) também é negativa. Como eles oscilam na mesma taxa, quando f ( t ) é positivo, a parte real de e i 2π(3 t ) também é positiva . O resultado é que quando você integra a parte real do integrando, obtém um número relativamente grande (neste caso1/2). Por outro lado, quando você tenta medir uma frequência que não está presente, como no caso em que olhamos para , você vê que tanto o componente real quanto o imaginário dessa função variam rapidamente entre valores positivos e negativos, conforme plotado no terceiro imagem. Portanto, nesse caso, o integrando oscila rápido o suficiente para que a integral seja muito pequena e o valor da transformada de Fourier para essa frequência seja próximo de zero.

A situação geral pode ser um pouco mais complicada do que isso, mas é assim que a transformada de Fourier mede quanto de uma frequência individual está presente em uma função f ( t ) .

Propriedades da transformada de Fourier

Aqui assumimos que f ( x ) , g ( x ) e h ( x ) são funções integráveis ​​: Lebesgue mensurável na linha real satisfazendo:

Denotamos as transformadas de Fourier dessas funções como ( ξ ) , ĝ ( ξ ) e ĥ ( ξ ) respectivamente.

Propriedades básicas

A transformada de Fourier tem as seguintes propriedades básicas:

Linearidade

Para quaisquer números complexos a e b , se h ( x ) = af ( x ) + bg ( x ) , então ĥ ( ξ ) = a ( ξ ) + b ĝ ( ξ ) .

Tradução / mudança de tempo

Animação mostrando a Transformada de Fourier de um sinal deslocado no tempo. [Top] o sinal original (amarelo), é continuamente deslocado no tempo (azul). [Inferior] A Transformada de Fourier resultante do sinal com deslocamento de tempo. Observe como os componentes de frequência mais alta giram no plano complexo mais rapidamente do que os componentes de frequência mais baixa.
Para qualquer número real x 0 , se h ( x ) = f ( xx 0 ) , então ĥ ( ξ ) = e ix 0 ξ ( ξ ) .

Modulação / mudança de frequência

Para qualquer número real ξ 0 , se h ( x ) = e iξ 0 x f ( x ) , então ĥ ( ξ ) = ( ξξ 0 ) .

escala de tempo

Para um número real diferente de zero a , se h ( x ) = f ( ax ) , então
O caso a = −1 leva à propriedade de reversão do tempo , que afirma: se h ( x ) = f (− x ) , então ĥ ( ξ ) = (− ξ ) .

Simetria

Quando as partes reais e imaginárias de uma função complexa são decompostas em suas partes pares e ímpares , existem quatro componentes, indicados abaixo pelos subscritos RE, RO, IE e IO. E há um mapeamento um-para-um entre os quatro componentes de uma função de tempo complexa e os quatro componentes de sua transformada de frequência complexa :

A partir disso, vários relacionamentos são aparentes, por exemplo :

  • A transformada de uma função de valor real ( f RE + f RO ) é a função simétrica par RE + i IO . Por outro lado, uma transformação simétrica implica um domínio de tempo de valor real.
  • A transformada de uma função de valor imaginário ( i f IE + i f IO ) é a função simétrica ímpar f̂ RO + i IE , e o inverso é verdadeiro.
  • A transformada de uma função par simétrica ( f RE + i f IO ) é a função de valor real RE + RO , e o inverso é verdadeiro.
  • A transformada de uma função de simetria ímpar ( f RO + i f IE ) é a função de valor imaginário i IE + i IO , e o inverso é verdadeiro.

Conjugação

Se h ( x ) = f ( x ) , então
Em particular, se f é real, então tem-se a condição de realidade
isto é, é uma função hermitiana . E se f é puramente imaginário, então

Parte real e imaginária no tempo

  • Se , então .
  • Se , então .

O componente de frequência zero

Substituindo ξ = 0 na definição, obtemos
Isso é o mesmo que a integral de f em todo o seu domínio e também é conhecido como valor médio ou viés DC da função.

Invertibilidade e periodicidade

Sob condições adequadas na função , ela pode ser recuperada de sua transformada de Fourier . De fato, denotar o operador de transformada de Fourier por , então , então para funções adequadas, aplicar a transformada de Fourier duas vezes simplesmente inverte a função: , que pode ser interpretado como "reversão do tempo". Como a reversão do tempo é biperiódica, aplicar isso duas vezes resulta em , então o operador da transformada de Fourier é quadriperiódico e, da mesma forma, a transformada inversa de Fourier pode ser obtida aplicando a transformada de Fourier três vezes: . Em particular, a transformada de Fourier é invertível (sob condições adequadas).

Mais precisamente, definindo o operador de paridade tal que , temos:

Essas igualdades de operadores exigem uma definição cuidadosa do espaço de funções em questão, definindo a igualdade de funções (igualdade em todos os pontos? igualdade em quase todos os lugares ?) pergunta. Estes não são verdadeiros para todas as funções, mas são verdadeiros sob várias condições, que são o conteúdo das várias formas do teorema da inversão de Fourier .

Essa periodicidade quádrupla da transformada de Fourier é semelhante a uma rotação do plano em 90°, particularmente porque a iteração dupla produz uma reversão e, de fato, essa analogia pode ser precisa. Enquanto a transformada de Fourier pode ser simplesmente interpretada como uma mudança no domínio do tempo e no domínio da frequência, com a transformada inversa de Fourier invertendo-os, mais geometricamente ela pode ser interpretada como uma rotação de 90° no domínio do tempo-frequência (considerando o tempo como a eixo x e frequência como o eixo y ), e a transformada de Fourier pode ser generalizada para a transformada fracionária de Fourier , que envolve rotações por outros ângulos. Isso pode ser generalizado para transformações canônicas lineares , que podem ser visualizadas como a ação do grupo linear especial SL 2 ( R ) no plano tempo-frequência, com a forma simplética preservada correspondente ao princípio da incerteza , abaixo. Esta abordagem é particularmente estudada em processamento de sinal , sob análise de tempo-frequência .

Unidades e dualidade

A variável de frequência deve ter unidades inversas às unidades do domínio da função original (normalmente denominada t ou x ). Por exemplo, se t é medido em segundos, ξ deve ser em ciclos por segundo ou hertz . Se a escala de tempo estiver em unidades de 2 π segundos, então outra letra grega ω normalmente é usada para representar a frequência angular (onde ω = 2π ξ ) em unidades de radianos por segundo. Se estiver usando x para unidades de comprimento, então ξ deve estar no comprimento inverso, por exemplo, números de onda . Ou seja, existem duas versões da linha real: uma que é a faixa de t e medida em unidades de t , e a outra que é a faixa de ξ e medida em unidades inversas às unidades de t . Essas duas versões distintas da linha real não podem ser equiparadas entre si. Portanto, a transformada de Fourier vai de um espaço de funções para um espaço diferente de funções: funções que possuem um domínio de definição diferente.

Em geral, ξ deve sempre ser tomado como uma forma linear no espaço de seu domínio, ou seja, a segunda reta real é o espaço dual da primeira reta real. Veja o artigo sobre álgebra linear para uma explicação mais formal e para mais detalhes. Este ponto de vista torna-se essencial nas generalizações da transformada de Fourier para grupos de simetria geral , incluindo o caso das séries de Fourier.

Que não há uma maneira preferida (muitas vezes, diz-se "nenhuma maneira canônica") para comparar as duas versões da linha real que estão envolvidas na transformada de Fourier - fixar as unidades em uma linha não força a escala das unidades na a outra linha - é a razão para a pletora de convenções rivais sobre a definição da transformada de Fourier. As várias definições resultantes de diferentes escolhas de unidades diferem por várias constantes.

Seja a forma da transformada de Fourier em termos de frequência ordinária ξ .

Porque , a forma alternativa (que a transformada de Fourier § Outras convenções chama de forma não unitária em frequência angular) não tem fator em sua definição

mas tem um fator de em sua fórmula de inversão correspondente

Uma forma alternativa (que a transformada de Fourier § Outras convenções chama de forma unitária em frequência angular) tem um fator de em sua definição

e também tem esse mesmo fator de em sua fórmula de inversão correspondente, produzindo uma relação simétrica

Em outras convenções, a transformada de Fourier tem i no expoente em vez de i , e vice-versa para a fórmula de inversão. Essa convenção é comum na física moderna e é o padrão do Wolfram Alpha , e não significa que a frequência se tornou negativa, pois não existe uma definição canônica de positividade para a frequência de uma onda complexa. Significa simplesmente que é a amplitude da onda     em vez da onda   (a primeira, com seu sinal de menos, é frequentemente vista na dependência do tempo para soluções de ondas planas senoidais da equação da onda eletromagnética ou na dependência do tempo para ondas quânticas funções ). Muitas das identidades envolvendo a transformada de Fourier permanecem válidas nessas convenções, desde que todos os termos que envolvam explicitamente i sejam substituídos por i . Na engenharia elétrica, a letra j é normalmente usada para a unidade imaginária em vez de i porque i é usado para corrente.

Ao usar unidades adimensionais , os fatores constantes podem nem estar escritos na definição da transformação. Por exemplo, na teoria da probabilidade , a função característica Φ da função densidade de probabilidade f de uma variável aleatória X de tipo contínuo é definida sem sinal negativo na exponencial, e como as unidades de x são ignoradas, também não há 2 π :

(Na teoria da probabilidade e na estatística matemática, o uso da transformada de Fourier-Stieltjes é preferido, porque muitas variáveis ​​aleatórias não são do tipo contínuo e não possuem uma função de densidade, e deve-se tratar não funções, mas distribuições, ou seja , , medidas que possuem "átomos".)

Do ponto de vista superior de caracteres de grupo , que é muito mais abstrato, todas essas escolhas arbitrárias desaparecem, como será explicado na seção posterior deste artigo, que trata da noção de transformada de Fourier de uma função sobre um Abeliano localmente compacto grupo .

Continuidade uniforme e o lema de Riemann-Lebesgue

A função sinc , que é a transformada de Fourier da função retangular, é limitada e contínua, mas não integrável de Lebesgue.

A transformada de Fourier pode ser definida em alguns casos para funções não integráveis, mas as transformadas de Fourier de funções integráveis ​​têm várias propriedades fortes.

A transformada de Fourier de qualquer função integrável f é uniformemente contínua e

Pelo lema de Riemann-Lebesgue ,

No entanto, não precisa ser integrável. Por exemplo, a transformada de Fourier da função retangular , que é integrável, é a função sen , que não é integrável de Lebesgue , pois suas integrais impróprias se comportam de forma análoga à série harmônica alternada , ao convergir para uma soma sem ser absolutamente convergente .

Geralmente não é possível escrever a transformada inversa como uma integral de Lebesgue . No entanto, quando f e são integráveis, a igualdade inversa

detém quase em todos os lugares . Ou seja, a transformada de Fourier é injetiva em L 1 ( R ) . (Mas se f é contínua, então a igualdade vale para todo x .)

Teorema de Plancherel e teorema de Parseval

Sejam f ( x ) e g ( x ) integráveis, e sejam ( ξ ) e ĝ ( ξ ) suas transformadas de Fourier. Se f ( x ) e g ( x ) também são integráveis ​​ao quadrado , então a fórmula de Parseval segue:

onde a barra denota conjugação complexa .

O teorema de Plancherel , que decorre do exposto acima, afirma que

O teorema de Plancherel permite estender a transformada de Fourier, por um argumento de continuidade, a um operador unitário em L 2 ( R ) . Em L 1 ( R ) ∩ L 2 ( R ) , esta extensão concorda com a transformada de Fourier original definida em L 1 ( R ) , ampliando assim o domínio da transformada de Fourier para L 1 ( R ) + L 2 ( R ) (e conseqüentemente para L p ( R ) para 1 ≤ p ≤ 2 ). O teorema de Plancherel tem a interpretação nas ciências de que a transformada de Fourier preserva a energia da quantidade original. A terminologia dessas fórmulas não é totalmente padronizada. O teorema de Parseval foi provado apenas para a série de Fourier, e foi provado pela primeira vez por Lyapunov. Mas a fórmula de Parseval também faz sentido para a transformada de Fourier e, embora no contexto da transformada de Fourier tenha sido provada por Plancherel, ainda é frequentemente referida como a fórmula de Parseval, ou a relação de Parseval, ou mesmo o teorema de Parseval.

Ver dualidade de Pontryagin para uma formulação geral deste conceito no contexto de grupos abelianos localmente compactos.

fórmula de soma de Poisson

A fórmula de soma de Poisson (PSF) é uma equação que relaciona os coeficientes da série de Fourier da soma periódica de uma função com os valores da transformada contínua de Fourier da função. A fórmula de soma de Poisson diz que para funções suficientemente regulares f ,

Ele tem uma variedade de formas úteis que são derivadas da forma básica pela aplicação das propriedades de escala e mudança de tempo da transformada de Fourier. A fórmula tem aplicações em engenharia, física e teoria dos números . O dual no domínio da frequência da fórmula de soma de Poisson padrão também é chamado de transformada de Fourier em tempo discreto .

A soma de Poisson é geralmente associada à física dos meios periódicos, como a condução de calor em um círculo. A solução fundamental da equação do calor em um círculo é chamada de função teta . É usado na teoria dos números para provar as propriedades de transformação das funções teta, que acabam sendo um tipo de forma modular , e é conectado de forma mais geral à teoria das formas automórficas , onde aparece em um lado da fórmula do traço de Selberg .

Diferenciação

Suponha que f ( x ) seja uma função diferenciável absolutamente contínua, e tanto f quanto sua derivada f' sejam integráveis. Então a transformada de Fourier da derivada é dada por

De forma mais geral, a transformação de Fourier da enésima derivada f ( n ) é dada por

Analogicamente,

Aplicando a transformada de Fourier e usando essas fórmulas, algumas equações diferenciais ordinárias podem ser transformadas em equações algébricas, que são muito mais fáceis de resolver. Essas fórmulas também dão origem à regra geral " f ( x ) é suave se e somente se ( ξ ) cai rapidamente para 0 para | ξ | → ∞ ." Usando as regras análogas para a transformada de Fourier inversa, pode-se também dizer " f ( x ) cai rapidamente para 0 para | x | → ∞ se e somente se ( ξ ) é suave."

teorema da convolução

A transformada de Fourier traduz entre convolução e multiplicação de funções. Se f ( x ) e g ( x ) são funções integráveis ​​com transformadas de Fourier ( ξ ) e ĝ ( ξ ) respectivamente, então a transformada de Fourier da convolução é dada pelo produto das transformadas de Fourier ( ξ ) e ĝ ( ξ ) (em outras convenções para a definição da transformada de Fourier pode aparecer um fator constante).

Isso significa que se:

onde denota a operação de convolução, então:

Na teoria do sistema linear invariante no tempo (LTI) , é comum interpretar g ( x ) como a resposta ao impulso de um sistema LTI com entrada f ( x ) e saída h ( x ) , pois substituindo o impulso unitário por f ( x ) produz h ( x ) = g ( x ) . Neste caso, ĝ ( ξ ) representa a resposta em frequência do sistema.

Por outro lado, se f ( x ) pode ser decomposto como o produto de duas funções quadradas integráveis ​​p ( x ) e q ( x ) , então a transformada de Fourier de f ( x ) é dada pela convolução das respectivas transformadas de Fourier ( ξ ) e ( ξ ) .

Teorema da correlação cruzada

De maneira análoga, pode-se mostrar que se h ( x ) é a correlação cruzada de f ( x ) e g ( x ) :

então a transformada de Fourier de h ( x ) é:

Como um caso especial, a autocorrelação da função f ( x ) é:

para qual

Autofunções

A transformada de Fourier é uma transformada linear que tem autofunções obedecendo a

Um conjunto de autofunções é encontrado observando que a equação diferencial homogênea

leva a autofunções da transformada de Fourier desde que a forma da equação permaneça invariante sob a transformada de Fourier. Em outras palavras, toda solução e sua transformada de Fourier obedecem à mesma equação. Assumindo unicidade das soluções, cada solução deve, portanto, ser uma autofunção da transformada de Fourier. A forma da equação permanece inalterada sob a transformada de Fourier se pode ser expandida em uma série de potências em que para todos os termos o mesmo fator de qualquer um dos dois surge dos fatores introduzidos pelas regras de diferenciação após a transformação de Fourier da equação diferencial homogênea porque esse fator pode então ser cancelado. O mais simples permitido leva à distribuição normal padrão .

Mais geralmente, um conjunto de autofunções também é encontrado observando que as regras de diferenciação implicam que a equação diferencial ordinária

com constante e sendo uma função par não constante permanece invariante na forma ao aplicar a transformada de Fourier a ambos os lados da equação. O exemplo mais simples é fornecido por que é equivalente a considerar a equação de Schrödinger para o oscilador harmônico quântico . As soluções correspondentes fornecem uma escolha importante de uma base ortonormal para L 2 ( R ) e são dadas pelas funções de Hermite do "físico" . Equivalentemente, pode-se usar

onde He n ( x ) são os polinômios de Hermite "probabilistas" , definidos como

Sob esta convenção para a transformada de Fourier, temos que

Em outras palavras, as funções de Hermite formam um sistema ortonormal completo de autofunções para a transformada de Fourier em L 2 ( R ) . No entanto, esta escolha de autofunções não é única. Porque existem apenas quatro autovalores diferentes da transformada de Fourier (as raízes quartas da unidade ±1 e ± i ) e qualquer combinação linear de autofunções com o mesmo autovalor fornece outra autofunção. Como conseqüência disso, é possível decompor L 2 ( R ) como uma soma direta de quatro espaços H 0 , H 1 , H 2 e H 3 onde a transformada de Fourier atua sobre He k simplesmente pela multiplicação por i k .

Como o conjunto completo de funções de Hermite ψ n fornece uma resolução da identidade, elas diagonalizam o operador de Fourier, ou seja, a transformada de Fourier pode ser representada por tal soma de termos ponderados pelos autovalores acima, e essas somas podem ser explicitamente somadas:

Esta abordagem para definir a transformada de Fourier foi proposta pela primeira vez por Norbert Wiener . Entre outras propriedades, as funções de Hermite diminuem exponencialmente rápido nos domínios da frequência e do tempo e, portanto, são usadas para definir uma generalização da transformada de Fourier, ou seja, a transformada de Fourier fracionária usada na análise de frequência de tempo. Na física , esta transformada foi introduzida por Edward Condon . Essa mudança de funções de base torna-se possível porque a transformada de Fourier é uma transformada unitária ao usar as convenções corretas . Consequentemente, nas condições adequadas, pode-se esperar que resulte de um gerador auto-adjunto via

O operador é o operador numérico do oscilador harmônico quântico escrito como

Ele pode ser interpretado como o gerador de transformadas de Fourier fracionárias para valores arbitrários de t , e da transformada de Fourier contínua convencional para o valor particular com o kernel de Mehler implementando a transformação ativa correspondente . As autofunções de são as funções de Hermite que, portanto, também são autofunções de

Ao estender a transformada de Fourier para distribuições , o pente de Dirac também é uma autofunção da transformada de Fourier.

Conexão com o grupo Heisenberg

O grupo de Heisenberg é um certo grupo de operadores unitários no espaço de Hilbert L 2 ( R ) de funções quadradas integráveis ​​de valor complexo f na reta real, geradas pelas translações ( T y f )( x ) = f ( x + y ) e multiplicação por e iξx , ( M ξ f )( x ) = e iξx f ( x ) . Esses operadores não comutam, pois seu comutador (grupo) é

que é a multiplicação pela constante (independente de x ) e iξyU (1) (o grupo circular de números complexos de módulo unitário). Como um grupo abstrato, o grupo de Heisenberg é o grupo de Lie tridimensional de triplos ( x , ξ , z ) ∈ R 2 × U (1) , com a lei de grupo

Denote o grupo de Heisenberg por H 1 . O procedimento acima descreve não apenas a estrutura do grupo, mas também uma representação unitária padrão de H 1 em um espaço de Hilbert, que denotamos por ρ  : H 1B ( L 2 ( R )) . Defina o automorfismo linear de R 2 por

de modo que J 2 = − I . Este J pode ser estendido para um automorfismo único de H 1 :

De acordo com o teorema de Stone–von Neumann , as representações unitárias ρ e ρj são unitariamente equivalentes, então existe um único entrelaçador WU ( L 2 ( R )) tal que

Este operador W é a transformada de Fourier.

Muitas das propriedades padrão da transformada de Fourier são consequências imediatas dessa estrutura mais geral. Por exemplo, o quadrado da transformada de Fourier, W 2 , é um entrelaçador associado a J 2 = − I , e assim temos ( W 2 f )( x ) = f (− x ) é o reflexo da função original f .

domínio complexo

A integral para a transformada de Fourier

pode ser estudado para valores complexos de seu argumento ξ . Dependendo das propriedades de f , isso pode não convergir para fora do eixo real, ou pode convergir para uma função analítica complexa para todos os valores de ξ = σ + , ou algo intermediário.

O teorema de Paley-Wiener diz que f é suave (ou seja, n vezes diferenciável para todos os inteiros positivos n ) e compactamente suportada se e somente se ( σ + ) é uma função holomorfa para a qual existe uma constante a > 0 tal que para qualquer inteiro n ≥ 0 ,

para alguma constante C . (Nesse caso, f é suportado em [− a , a ] .) Isso pode ser expresso dizendo que é uma função inteira que está diminuindo rapidamente em σ (para τ fixo ) e de crescimento exponencial em τ (uniformemente em σ ).

(Se f não for suave, mas apenas L 2 , a afirmação ainda é válida desde que n = 0 .) O espaço de tais funções de uma variável complexa é chamado de espaço Paley-Wiener. Este teorema foi generalizado para grupos de Lie semisimples .

Se f é suportada na meia-linha t ≥ 0 , então f é dito ser "causal" porque a função de resposta ao impulso de um filtro fisicamente realizável deve ter essa propriedade, já que nenhum efeito pode preceder sua causa. Paley e Wiener mostraram que então se estende a uma função holomorfa no semiplano inferior complexo τ < 0 que tende a zero conforme τ vai para o infinito. A recíproca é falsa e não se sabe como caracterizar a transformada de Fourier de uma função causal.

transformada de Laplace

A transformada de Fourier ( ξ ) está relacionada com a transformada de Laplace F ( s ) , que também é utilizada para a solução de equações diferenciais e análise de filtros .

Pode acontecer que uma função f para a qual a integral de Fourier não converja para o eixo real, ainda assim tenha uma transformada de Fourier complexa definida em alguma região do plano complexo .

Por exemplo, se f ( t ) é de crescimento exponencial, ou seja,

para algumas constantes C , a ≥ 0 , então

convergente para todo τ < − a , é a transformada de Laplace bilateral de f .

A versão mais usual ("unilateral") da transformada de Laplace é

Se f também for causal e analítico, então: Assim, estender a transformada de Fourier para o domínio complexo significa incluir a transformada de Laplace como um caso especial no caso de funções causais—mas com a mudança de variável s = iξ .

De outro ponto de vista, talvez mais clássico, a transformada de Laplace por sua forma envolve um termo regulador exponencial adicional que permite convergir para fora da linha imaginária onde a transformada de Fourier é definida. Como tal, pode convergir no máximo para séries e integrais exponencialmente divergentes, enquanto a decomposição original de Fourier não pode, permitindo a análise de sistemas com elementos divergentes ou críticos. Dois exemplos particulares de processamento de sinal linear são a construção de redes de filtro allpass a partir do pente crítico e filtros de mitigação por meio do cancelamento exato de polo zero no círculo unitário. Esses projetos são comuns em processamento de áudio, onde se busca uma resposta de fase altamente não linear, como no reverb.

Além disso, quando respostas de impulso estendidas são procuradas para o trabalho de processamento de sinal, a maneira mais fácil de produzi-las é ter um circuito que produza uma resposta de tempo divergente e, em seguida, cancelar sua divergência por meio de uma resposta oposta e compensatória retardada. Lá, apenas o circuito de atraso intermediário admite uma descrição clássica de Fourier, que é crítica. Ambos os circuitos ao lado são instáveis, e não admitem uma decomposição de Fourier convergente. No entanto, eles admitem uma descrição do domínio de Laplace, com semiplanos idênticos de convergência no plano complexo (ou no caso discreto, o plano Z), onde seus efeitos se cancelam.

Na matemática moderna, a transformada de Laplace é convencionalmente subsumida sob a égide dos métodos de Fourier. Ambos são incluídos na ideia muito mais geral e abstrata da análise harmônica .

Inversão

Se é analítico complexo para aτb , então

pelo teorema integral de Cauchy . Portanto, a fórmula de inversão de Fourier pode usar a integração ao longo de diferentes linhas, paralelas ao eixo real.

Teorema: Se f ( t ) = 0 para t < 0 , e | f ( t ) | < Ce a | t | para algumas constantes C , a > 0 , então

para qualquer τ < −a/.

Este teorema implica a fórmula de inversão de Mellin para a transformação de Laplace,

para qualquer b > a , onde F ( s ) é a transformada de Laplace de f ( t ) .

As hipóteses podem ser enfraquecidas, como nos resultados de Carleson e Hunt, para f ( t ) e sendo L 1 , desde que f seja de variação limitada em uma vizinhança fechada de t (cf. teorema de Dirichlet–Dini ) , o O valor de f em t é considerado a média aritmética dos limites esquerdo e direito, desde que as integrais sejam consideradas no sentido dos valores principais de Cauchy.

Versões L 2 dessas fórmulas de inversão também estão disponíveis.

Transformada de Fourier no espaço euclidiano

A transformada de Fourier pode ser definida em qualquer número arbitrário de dimensões n . Assim como no caso unidimensional, existem muitas convenções. Para uma função integrável f ( x ) , este artigo adota a definição:

onde x e ξ são vetores n -dimensionais , e x · ξ é o produto escalar dos vetores. Alternativamente, ξ pode ser visto como pertencente ao espaço vetorial dual , caso em que o produto escalar se torna a contração de x e ξ , geralmente escrito como x , ξ .

Todas as propriedades básicas listadas acima valem para a transformada de Fourier n -dimensional, assim como o teorema de Plancherel e de Parseval. Quando a função é integrável, a transformada de Fourier ainda é uniformemente contínua e o lema de Riemann-Lebesgue é válido.

Princípio da incerteza

De um modo geral, quanto mais concentrado for f ( x ) , mais espalhada deve ser sua transformada de Fourier ( ξ ) . Em particular, a propriedade de escala da transformada de Fourier pode ser vista como dizendo: se espremermos uma função em x , sua transformada de Fourier se estenderá em ξ . Não é possível concentrar arbitrariamente uma função e sua transformada de Fourier.

A compensação entre a compactação de uma função e sua transformada de Fourier pode ser formalizada na forma de um princípio de incerteza , visualizando uma função e sua transformada de Fourier como variáveis ​​conjugadas com relação à forma simplética no domínio do tempo-frequência : do do ponto de vista da transformação canônica linear , a transformada de Fourier é uma rotação de 90° no domínio do tempo-frequência e preserva a forma simplética .

Suponha que f ( x ) seja uma função integrável e quadrática . Sem perda de generalidade, assuma que f ( x ) é normalizado:

Segue do teorema de Plancherel que ( ξ ) também é normalizado.

A dispersão em torno de x = 0 pode ser medida pela dispersão em torno de zero definida por

Em termos de probabilidade, este é o segundo momento de | f ( x ) | 2 sobre zero.

O princípio da incerteza afirma que, se f ( x ) é absolutamente contínua e as funções x · f ( x ) e f ( x ) são integráveis ​​ao quadrado, então

.

A igualdade só é alcançada no caso

onde σ > 0 é arbitrário e C 1 =42/σde modo que f é L 2 -normalizado. Em outras palavras, onde f é uma função Gaussiana (normalizada) com variância σ 2 /2 π , centrada em zero, e sua transformada de Fourier é uma função Gaussiana com variância σ −2 /2 π .

De fato, essa desigualdade implica que:

para qualquer x 0 , ξ 0R .

Na mecânica quântica , as funções de onda de momento e posição são pares de transformada de Fourier, dentro de um fator da constante de Planck . Com essa constante devidamente considerada, a desigualdade acima torna-se a declaração do princípio da incerteza de Heisenberg .

Um princípio de incerteza mais forte é o princípio de incerteza de Hirschman , que é expresso como:

onde H ( p ) é a entropia diferencial da função densidade de probabilidade p ( x ) :

onde os logaritmos podem estar em qualquer base consistente. A igualdade é obtida para uma gaussiana, como no caso anterior.

Transformações de seno e cosseno

A formulação original da transformada de Fourier não usava números complexos, mas sim senos e cossenos. Estatísticos e outros ainda usam este formulário. Uma função absolutamente integrável f para a qual a inversão de Fourier vale pode ser expandida em termos de frequências genuínas (evitando frequências negativas, que às vezes são consideradas difíceis de interpretar fisicamente) λ por

Isso é chamado de expansão como integral trigonométrica ou expansão integral de Fourier. As funções de coeficiente a e b podem ser encontradas usando variantes da transformada cosseno de Fourier e da transformada seno de Fourier (as normalizações, novamente, não são padronizadas):

e

A literatura mais antiga refere-se às duas funções transformadas, a transformada cosseno de Fourier, a , e a transformada seno de Fourier, b .

A função f pode ser recuperada da transformada de seno e cosseno usando

juntamente com identidades trigonométricas. Isso é chamado de fórmula integral de Fourier.

Harmônicos esféricos

Seja o conjunto dos polinômios harmônicos homogêneos de grau k em R n denotado por A k . O conjunto A k consiste nos harmônicos esféricos sólidos de grau k . Os harmônicos esféricos sólidos desempenham um papel semelhante em dimensões superiores aos polinômios de Hermite na dimensão um. Especificamente, se f ( x ) = e −π| x | 2 P ( x ) para algum P ( x ) em A k , então ( ξ ) = i k f ( ξ ) . Seja o conjunto H k o fechamento em L 2 ( R n ) de combinações lineares de funções da forma f (| x |) P ( x ) onde P ( x ) está em A k . O espaço L 2 ( R n ) é então uma soma direta dos espaços H k e a transformada de Fourier mapeia cada espaço H k para si mesmo e é possível caracterizar a ação da transformada de Fourier sobre cada espaço H k .

Seja f ( x ) = f 0 (| x |) P ( x ) (com P ( x ) em A k ), então

onde

Aqui J ( n + 2 k − 2)/2 denota a função de Bessel do primeiro tipo com ordemn + 2 k − 2/2. Quando k = 0 , isso fornece uma fórmula útil para a transformada de Fourier de uma função radial. Esta é essencialmente a transformada de Hankel . Além disso, existe uma recursão simples relacionando os casos n + 2 e n permitindo calcular, por exemplo, a transformada de Fourier tridimensional de uma função radial a partir da unidimensional.

Problemas de restrição

Em dimensões superiores torna-se interessante estudar problemas de restrição para a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função integrável é contínua e a restrição desta função a qualquer conjunto é definida. Mas, para uma função integrável ao quadrado, a transformada de Fourier pode ser uma classe geral de funções integráveis ​​ao quadrado. Como tal, a restrição da transformada de Fourier de uma função L 2 ( R n ) não pode ser definida em conjuntos de medida 0. Ainda é uma área ativa de estudo entender problemas de restrição em L p para 1 < p < 2 . Surpreendentemente, é possível em alguns casos definir a restrição de uma transformada de Fourier a um conjunto S , desde que S tenha curvatura diferente de zero. O caso em que S é a esfera unitária em R n é de particular interesse. Nesse caso, o teorema de restrição de Tomas– Stein afirma que a restrição da transformada de Fourier à esfera unitária em R n é um operador limitado em L p desde que 1 ≤ p2 n + 2/n + 3.

Uma diferença notável entre a transformada de Fourier em 1 dimensão versus dimensões superiores diz respeito ao operador de soma parcial. Considere uma coleção crescente de conjuntos mensuráveis ​​E R indexados por R ∈ (0,∞) : como bolas de raio R centradas na origem, ou cubos de lado 2 R . Para uma dada função integrável f , considere a função f R definida por:

Suponha ainda que fL p ( R n ) . Para n = 1 e 1 < p < ∞ , se tomarmos E R = (− R , R ) , então f R converge para f em L p quando R tende ao infinito, pela limitação da transformada de Hilbert . Ingenuamente, pode-se esperar que o mesmo seja verdadeiro para n > 1 . No caso de E R ser considerado um cubo com comprimento de lado R , a convergência ainda é válida. Outro candidato natural é a bola euclidiana E R = { ξ  : | ξ | < R } . Para que este operador de soma parcial converja, é necessário que o multiplicador da bola unitária seja limitado em L p ( R n ) . Para n ≥ 2 é um célebre teorema de Charles Fefferman que o multiplicador para a bola unitária nunca é limitado a menos que p = 2 . De fato, quando p ≠ 2 , isso mostra que não só f R pode não convergir para f em L p , mas para algumas funções fL p ( R n ) , f R nem mesmo é um elemento de L p .

Transformada de Fourier em espaços funcionais

Em espaços L p

Em L 1

A definição da transformada de Fourier pela fórmula integral

é válido para funções integráveis ​​de Lebesgue f ; ou seja, fL 1 ( R n ) .

A transformada de Fourier F  : L 1 ( R n ) → L ( R n ) é um operador limitado . Isso decorre da observação de que

o que mostra que sua norma de operador é limitada por 1. De fato, é igual a 1, o que pode ser visto, por exemplo, a partir da transformada da função rect . A imagem de L 1 é um subconjunto do espaço C 0 ( R n ) de funções contínuas que tendem a zero no infinito (o lema de Riemann–Lebesgue ), embora não seja o espaço inteiro. Com efeito, não existe uma caracterização simples da imagem.

Em L 2

Uma vez que funções suaves compactamente suportadas são integráveis ​​e densas em L 2 ( R n ) , o teorema de Plancherel nos permite estender a definição da transformada de Fourier para funções gerais em L 2 ( R n ) por argumentos de continuidade. A transformada de Fourier em L 2 ( R n ) não é mais dada por uma integral de Lebesgue ordinária, embora possa ser calculada por uma integral imprópria , aqui significando que para uma função de L 2 f ,

onde o limite é tomado no sentido L 2 . (De forma mais geral, você pode pegar uma sequência de funções que estão na interseção de L 1 e L 2 e que converge para f na norma L 2 e definir a transformada de Fourier de f como o limite L 2 do Fourier transformadas dessas funções.)

Muitas das propriedades da transformada de Fourier em L 1 são transportadas para L 2 , por um argumento limitante adequado.

Além disso, F  : L 2 ( R n ) → L 2 ( R n ) é um operador unitário . Para um operador ser unitário basta mostrar que ele é bijetivo e preserva o produto interno, então neste caso seguem do teorema da inversão de Fourier combinado com o fato de que para qualquer f , gL 2 ( R n ) nós ter

Em particular, a própria imagem de L 2 ( R n ) está sob a transformada de Fourier.

Em outro L p

A definição da transformada de Fourier pode ser estendida para funções em L p ( R n ) para 1 ≤ p ≤ 2 decompondo tais funções em uma parte da cauda gorda em L 2 mais uma parte do corpo gordo em L 1 . Em cada um desses espaços, a transformada de Fourier de uma função em L p ( R n ) está em L q ( R n ) , onde q =p/p -1é o conjugado de Hölder de p (pela desigualdade de Hausdorff–Young ). No entanto, exceto para p = 2 , a imagem não é facilmente caracterizada. Outras extensões tornam-se mais técnicas. A transformada de Fourier de funções em L p para o intervalo 2 < p < ∞ requer o estudo de distribuições. De fato, pode-se mostrar que existem funções em L p com p > 2 de forma que a transformada de Fourier não é definida como uma função.

distribuições temperadas

Pode-se considerar ampliar o domínio da transformada de Fourier de L 1 + L 2 considerando funções generalizadas ou distribuições. Uma distribuição em R n é um funcional linear contínuo no espaço C c ( R n ) de funções suaves compactamente suportadas, equipadas com uma topologia adequada. A estratégia é então considerar a ação da transformada de Fourier sobre C c ( R n ) e passar para distribuições por dualidade. A obstrução para fazer isso é que a transformada de Fourier não mapeia C c ( R n ) para C c ( R n ) . De fato a transformada de Fourier de um elemento em C c ( R n ) não pode se anular em um conjunto aberto; veja a discussão acima sobre o princípio da incerteza. O espaço certo aqui é o espaço um pouco maior das funções de Schwartz . A transformada de Fourier é um automorfismo no espaço de Schwartz, como um espaço vetorial topológico, e assim induz um automorfismo em seu dual, o espaço das distribuições temperadas. As distribuições temperadas incluem todas as funções integráveis ​​mencionadas acima, bem como funções bem comportadas de crescimento polinomial e distribuições de suporte compacto.

Para a definição da transformada de Fourier de uma distribuição temperada, sejam f e g funções integráveis, e sejam e ĝ suas transformadas de Fourier, respectivamente. Então a transformada de Fourier obedece à seguinte fórmula de multiplicação,

Toda função integrável f define (induz) uma distribuição T f pela relação

para todas as funções de Schwartz φ . Portanto, faz sentido definir a transformada de Fourier f de T f por

para todas as funções de Schwartz φ . Estendendo isso para todas as distribuições temperadas T dá a definição geral da transformada de Fourier.

As distribuições podem ser diferenciadas e a compatibilidade acima mencionada da transformada de Fourier com diferenciação e convolução permanece verdadeira para distribuições temperadas.

Generalizações

Transformada de Fourier-Stieltjes

A transformada de Fourier de uma medida finita de Borel μ em R n é dada por:

Esta transformada continua a desfrutar de muitas das propriedades da transformada de Fourier de funções integráveis. Uma diferença notável é que o lema de Riemann-Lebesgue falha para medidas. No caso = f ( x ) dx , então a fórmula acima se reduz à definição usual para a transformada de Fourier de f . No caso de μ ser a distribuição de probabilidade associada a uma variável aleatória X , a transformada de Fourier–Stieltjes está intimamente relacionada com a função característica , mas as convenções típicas da teoria da probabilidade tomam e iξx em vez de e iξx . No caso em que a distribuição tem uma função de densidade de probabilidade, esta definição se reduz à transformada de Fourier aplicada à função de densidade de probabilidade, novamente com uma escolha diferente de constantes.

A transformada de Fourier pode ser usada para caracterizar as medidas. O teorema de Bochner caracteriza quais funções podem surgir como a transformada de Fourier-Stieltjes de uma medida positiva no círculo.

Além disso, a função delta de Dirac , embora não seja uma função, é uma medida finita de Borel. Sua transformada de Fourier é uma função constante (cujo valor específico depende da forma da transformada de Fourier usada).

Grupos abelianos localmente compactos

A transformada de Fourier pode ser generalizada para qualquer grupo abeliano localmente compacto. Um grupo abeliano localmente compacto é um grupo abeliano que é ao mesmo tempo um espaço topológico de Hausdorff localmente compacto de modo que a operação do grupo é contínua. Se G é um grupo abeliano localmente compacto, ele possui uma medida invariante de translação μ , chamada medida de Haar . Para um grupo abeliano localmente compacto G , o conjunto de representações unitárias irredutíveis, isto é, unidimensionais, são chamados de seus caracteres . Com sua estrutura de grupo natural e a topologia de convergência pontual, o conjunto de caracteres Ĝ é ele próprio um grupo abeliano localmente compacto, chamado de Pontryagin dual de G . Para uma função f em L 1 ( G ) , sua transformada de Fourier é definida por

O lema de Riemann–Lebesgue vale neste caso; ( ξ ) é uma função que se anula no infinito em Ĝ .

A transformada de Fourier em T = R/Z é um exemplo; aqui T é um grupo abeliano localmente compacto, e a medida de Haar μ em T pode ser considerada como a medida de Lebesgue em [0,1). Considere a representação de T no plano complexo C que é um espaço vetorial complexo unidimensional. Há um grupo de representações (que são irredutíveis já que C é 1-dim) onde para .

O caráter de tal representação, que é o traço de cada um e , é ele mesmo. No caso de representação de grupo finito, a tabela de caracteres do grupo G são linhas de vetores tais que cada linha é o caractere de uma representação irredutível de G , e esses vetores formam uma base ortonormal do espaço de funções de classe que mapeiam de G a C pelo lema de Schur. Agora o grupo T não é mais finito, mas ainda compacto, e preserva a ortonormalidade da tabela de caracteres. Cada linha da tabela é a função de e o produto interno entre duas funções de classe (todas as funções sendo funções de classe desde que T é abeliano) é definido como com o fator de normalização . A sequência é uma base ortonormal do espaço das funções de classe .

Para qualquer representação V de um grupo finito G , pode ser expresso como o span ( são os irreps de G ), tal que . Da mesma forma para e , . O dual de Pontriagin é e para , é sua transformada de Fourier para .

Transformação Gelfand

A transformada de Fourier também é um caso especial da transformada de Gelfand . Neste contexto particular, está intimamente relacionado com o mapa de dualidade de Pontryagin definido acima.

Dado um grupo topológico de Hausdorff localmente compacto abeliano G , como antes, consideramos o espaço L 1 ( G ) , definido usando uma medida de Haar. Com a convolução como multiplicação, L 1 ( G ) é uma álgebra abeliana de Banach . Também possui uma involução * dada por

Tomando a conclusão em relação à maior possível C * -norma dá sua envolvente C * -álgebra, chamada de grupo C * -álgebra C *( G ) de G . (Qualquer norma C * em L 1 ( G ) é limitada pela norma L 1 , portanto, seu supremo existe.)

Dado qualquer C * -álgebra A abeliano , a transformada de Gelfand fornece um isomorfismo entre A e C 0 ( A ^) , onde A ^ são os funcionais lineares multiplicativos, isto é, representações unidimensionais, em A com a topologia fraca-*. O mapa é simplesmente dado por

Acontece que os funcionais lineares multiplicativos de C *( G ) , após identificação adequada, são exatamente os caracteres de G , e a transformada de Gelfand, quando restrita ao subconjunto denso L 1 ( G ) é a transformada de Fourier-Pontryagin.

Grupos não abelianos compactos

A transformada de Fourier também pode ser definida para funções em um grupo não abeliano, desde que o grupo seja compacto . Removendo a suposição de que o grupo subjacente é abeliano, as representações unitárias irredutíveis nem sempre precisam ser unidimensionais. Isso significa que a transformada de Fourier em um grupo não abeliano assume valores como operadores de espaço de Hilbert. A transformada de Fourier em grupos compactos é uma ferramenta importante na teoria da representação e na análise harmônica não comutativa .

Seja G um grupo topológico Hausdorff compacto . Seja Σ a coleção de todas as classes de isomorfismo de representações unitárias irredutíveis de dimensão finita , juntamente com uma escolha definida de representação U ( σ ) no espaço de Hilbert H σ de dimensão finita d σ para cada σ ∈ Σ . Se μ é uma medida de Borel finita em G , então a transformada de Fourier–Stieltjes de μ é o operador em H σ definido por

onde U ( σ ) é a representação conjugada complexa de U ( σ ) atuando em H σ . Se μ é absolutamente contínua em relação à medida de probabilidade invariante à esquerda λ em G , representada como

para algum fL 1 ( λ ) , identifica-se a transformada de Fourier de f com a transformada de Fourier–Stieltjes de μ .

o mapeamento

define um isomorfismo entre o espaço de Banach M ( G ) de medidas finitas de Borel (ver espaço rca ) e um subespaço fechado do espaço de Banach C (Σ) consistindo de todas as sequências E = ( E σ ) indexadas por Σ de (limitado) operadores lineares E σ  : H σH σ para os quais a norma

é finito. O " teorema da convolução " afirma que, além disso, este isomorfismo de espaços de Banach é de fato um isomorfismo isométrico de C*-álgebras em um subespaço de C (Σ) . A multiplicação em M ( G ) é dada pela convolução de medidas e a involução * definida por

e C (Σ) tem uma estrutura C * -álgebra natural como operadores de espaço de Hilbert.

O teorema de Peter-Weyl é válido, e uma versão da fórmula de inversão de Fourier ( teorema de Plancherel ) segue: se fL 2 ( G ) , então

onde o somatório é entendido como convergente no sentido L 2 .

A generalização da transformada de Fourier para a situação não comutativa também contribuiu em parte para o desenvolvimento da geometria não comutativa . Nesse contexto, uma generalização categórica da transformada de Fourier para grupos não comutativos é a dualidade Tannaka–Krein , que substitui o grupo de caracteres pela categoria de representações. No entanto, isso perde a conexão com as funções harmônicas.

Alternativas

Em termos de processamento de sinal , uma função (de tempo) é uma representação de um sinal com resolução de tempo perfeita , mas sem informação de frequência, enquanto a transformada de Fourier tem resolução de frequência perfeita , mas sem informação de tempo: a magnitude da transformada de Fourier em um ponto é quanto conteúdo de frequência existe, mas a localização é dada apenas pela fase (argumento da transformada de Fourier em um ponto), e as ondas estacionárias não são localizadas no tempo – uma onda senoidal continua até o infinito, sem decair. Isso limita a utilidade da transformada de Fourier para analisar sinais localizados no tempo, principalmente transientes ou qualquer sinal de extensão finita.

Como alternativas à transformada de Fourier, na análise de tempo-frequência , usa-se transformadas de tempo-frequência ou distribuições de tempo-frequência para representar sinais em uma forma que tenha alguma informação de tempo e alguma informação de frequência - pelo princípio da incerteza, há uma troca fora entre estes. Estas podem ser generalizações da transformada de Fourier, como a transformada de Fourier de tempo curto ou transformada de Fourier fracionária , ou outras funções para representar sinais, como em transformadas wavelet e transformadas chirplet , com o analógico wavelet da transformada de Fourier (contínua) sendo o transformada wavelet contínua .

Formulários

Alguns problemas, como certas equações diferenciais, tornam-se mais fáceis de resolver quando a transformada de Fourier é aplicada. Nesse caso, a solução do problema original é recuperada usando a transformada inversa de Fourier.

Operações lineares realizadas em um domínio (tempo ou frequência) têm operações correspondentes em outro domínio, que às vezes são mais fáceis de realizar. A operação de diferenciação no domínio do tempo corresponde à multiplicação pela frequência, portanto algumas equações diferenciais são mais fáceis de analisar no domínio da frequência. Além disso, a convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação ordinária no domínio da frequência (consulte o teorema da convolução ). Depois de realizar as operações desejadas, a transformação do resultado pode ser feita de volta ao domínio do tempo. A análise harmônica é o estudo sistemático da relação entre os domínios da frequência e do tempo, incluindo os tipos de funções ou operações que são "mais simples" em um ou outro, e tem conexões profundas com muitas áreas da matemática moderna.

Análise de equações diferenciais

Talvez o uso mais importante da transformação de Fourier seja resolver equações diferenciais parciais . Muitas das equações da física matemática do século XIX podem ser tratadas dessa maneira. Fourier estudou a equação do calor, que em uma dimensão e em unidades adimensionais é

O exemplo que daremos, um pouco mais difícil, é a equação da onda em uma dimensão,

Como sempre, o problema não é encontrar uma solução: são infinitas. O problema é o chamado "problema de fronteira": encontrar uma solução que satisfaça as "condições de fronteira"

Aqui, f e g são dadas funções. Para a equação do calor, apenas uma condição de contorno pode ser necessária (geralmente a primeira). Mas para a equação de onda, ainda existem infinitas soluções y que satisfazem a primeira condição de contorno. Mas quando se impõem ambas as condições, há apenas uma solução possível.

É mais fácil encontrar a transformada de Fourier ŷ da solução do que encontrar a solução diretamente. Isso ocorre porque a transformação de Fourier leva a diferenciação em multiplicação pela variável dual de Fourier e, portanto, uma equação diferencial parcial aplicada à função original é transformada em multiplicação por funções polinomiais das variáveis ​​duais aplicadas à função transformada. Após ŷ ser determinado, podemos aplicar a transformação inversa de Fourier para encontrar y .

O método de Fourier é o seguinte. Primeiro, observe que qualquer função das formas

satisfaz a equação de onda. Estas são chamadas de soluções elementares.

Em segundo lugar, observe que, portanto, qualquer integral

satisfaz a equação de onda para a + , a , b + , b . Essa integral pode ser interpretada como uma combinação linear contínua de soluções para a equação linear.

Agora, isso se assemelha à fórmula para a síntese de Fourier de uma função. Na verdade, esta é a transformada de Fourier inversa real de a ± e b ± na variável x .

A terceira etapa é examinar como encontrar as funções de coeficiente desconhecidas específicas a ± e b ± que levarão y a satisfazer as condições de contorno. Estamos interessados ​​nos valores dessas soluções em t = 0 . Então vamos definir t = 0 . Supondo que as condições necessárias para a inversão de Fourier sejam satisfeitas, podemos então encontrar as transformadas de Fourier seno e cosseno (na variável x ) de ambos os lados e obter

e

Da mesma forma, tomando a derivada de y em relação a t e, em seguida, aplicando as transformações de seno e cosseno de Fourier, obtém-se

e

Estas são quatro equações lineares para as quatro incógnitas a ± e b ± , em termos das transformadas de Fourier seno e cosseno das condições de contorno, que são facilmente resolvidas pela álgebra elementar, desde que essas transformadas possam ser encontradas.

Em resumo, escolhemos um conjunto de soluções elementares, parametrizadas por ξ , cuja solução geral seria uma combinação linear (contínua) na forma de uma integral sobre o parâmetro ξ . Mas essa integral estava na forma de uma integral de Fourier. O próximo passo foi expressar as condições de contorno em termos dessas integrais e igualá-las às funções dadas f e g . Mas essas expressões também assumiram a forma de uma integral de Fourier por causa das propriedades da transformada de Fourier de uma derivada. O último passo foi explorar a inversão de Fourier aplicando a transformação de Fourier a ambos os lados, obtendo assim expressões para as funções de coeficiente a ± e b ± em termos das condições de contorno dadas f e g .

De um ponto de vista superior, o procedimento de Fourier pode ser reformulado de forma mais conceitual. Como existem duas variáveis, usaremos a transformação de Fourier em x e t , em vez de operar como Fourier, que transformou apenas nas variáveis ​​espaciais. Observe que ŷ deve ser considerado no sentido de uma distribuição, pois y ( x , t ) não será L 1 : como uma onda, ela persistirá no tempo e, portanto, não é um fenômeno transitório. Mas será limitado e, portanto, sua transformada de Fourier pode ser definida como uma distribuição. As propriedades operacionais da transformação de Fourier que são relevantes para esta equação são que ela leva a diferenciação em x para a multiplicação por iξ e a diferenciação em relação a t para a multiplicação por if onde f é a frequência. Então a equação de onda torna-se uma equação algébrica em ŷ :

Isso é equivalente a exigir ŷ ( ξ , f ) = 0 a menos que ξ = ± f . De cara, isso explica porque a escolha de soluções elementares que fizemos anteriormente funcionou tão bem: obviamente = δ ( ξ ± f ) serão soluções. Aplicando a inversão de Fourier a essas funções delta, obtemos as soluções elementares que escolhemos anteriormente. Mas do ponto de vista superior, não se escolhe soluções elementares, mas sim considera o espaço de todas as distribuições que são suportadas na cônica (degenerada) ξ 2f 2 = 0 .

Podemos também considerar as distribuições suportadas na cônica que são dadas por distribuições de uma variável na linha ξ = f mais distribuições na linha ξ = − f como segue: se Φ é qualquer função de teste,

onde s + , e s , são distribuições de uma variável.

Então a inversão de Fourier dá, para as condições de contorno, algo muito semelhante ao que tivemos mais concretamente acima (coloque Φ ( ξ , f ) = e i 2π( + tf ) , que é claramente de crescimento polinomial):

e

Agora, como antes, aplicar a transformação de Fourier de uma variável na variável x a essas funções de x produz duas equações nas duas distribuições desconhecidas s ± (que podem ser consideradas funções comuns se as condições de contorno forem L 1 ou L 2 ).

Do ponto de vista do cálculo, a desvantagem é que é preciso primeiro calcular as transformadas de Fourier das condições de contorno, depois montar a solução a partir delas e depois calcular uma transformada de Fourier inversa. Fórmulas de forma fechada são raras, exceto quando há alguma simetria geométrica que pode ser explorada, e os cálculos numéricos são difíceis devido à natureza oscilatória das integrais, o que torna a convergência lenta e difícil de estimar. Para cálculos práticos, outros métodos são freqüentemente usados.

O século XX viu a extensão desses métodos para todas as equações diferenciais parciais lineares com coeficientes polinomiais e, ao estender a noção de transformação de Fourier para incluir operadores integrais de Fourier, algumas equações não lineares também.

Espectroscopia de transformada de Fourier

A transformada de Fourier também é usada em ressonância magnética nuclear (NMR) e em outros tipos de espectroscopia , por exemplo, infravermelho ( FTIR ). Em NMR, um sinal de decaimento de indução livre (FID) de forma exponencial é adquirido no domínio do tempo e transformado por Fourier em uma forma de linha Lorentziana no domínio da frequência. A transformada de Fourier também é usada em ressonância magnética (MRI) e espectrometria de massa .

Mecânica quântica

A transformada de Fourier é útil na mecânica quântica em pelo menos duas maneiras diferentes. Para começar, a estrutura conceitual básica da mecânica quântica postula a existência de pares de variáveis ​​complementares , conectadas pelo princípio da incerteza de Heisenberg . Por exemplo, em uma dimensão, a variável espacial q de, digamos, uma partícula, só pode ser medida pelo " operador de posição " da mecânica quântica ao custo de perder informações sobre o momento p da partícula. Portanto, o estado físico da partícula pode ser descrito por uma função, chamada "a função de onda", de q ou por uma função de p , mas não por uma função de ambas as variáveis. A variável p é chamada de variável conjugada a q . Na mecânica clássica, o estado físico de uma partícula (existindo em uma dimensão, para simplificar a exposição) seria dado pela atribuição de valores definidos a p e q simultaneamente. Assim, o conjunto de todos os estados físicos possíveis é o espaço vetorial real bidimensional com um eixo p e um eixo q chamado espaço de fase .

Em contraste, a mecânica quântica escolhe uma polarização desse espaço no sentido de que escolhe um subespaço de metade da dimensão, por exemplo, o eixo q sozinho , mas em vez de considerar apenas pontos, toma o conjunto de todos os valores complexos "funções de onda" neste eixo. No entanto, escolher o eixo p é uma polarização igualmente válida, produzindo uma representação diferente do conjunto de possíveis estados físicos da partícula que está relacionado com a primeira representação pela transformação de Fourier

Estados fisicamente realizáveis ​​são L 2 , e assim pelo teorema de Plancherel , suas transformadas de Fourier também são L 2 . (Observe que, como q está em unidades de distância e p está em unidades de momento, a presença da constante de Planck no expoente torna o expoente adimensional , como deveria ser.)

Portanto, a transformada de Fourier pode ser usada para passar de uma forma de representar o estado da partícula, por uma função de onda da posição, para outra forma de representar o estado da partícula: por uma função de onda do momento. Infinitas polarizações diferentes são possíveis, e todas são igualmente válidas. Ser capaz de transformar estados de uma representação para outra pela transformada de Fourier não é apenas conveniente, mas também a razão subjacente do princípio da incerteza de Heisenberg .

O outro uso da transformada de Fourier tanto na mecânica quântica quanto na teoria quântica de campos é resolver a equação de onda aplicável. Na mecânica quântica não relativística, a equação de Schrödinger para uma função de onda variável no tempo em uma dimensão, não sujeita a forças externas, é

Isso é o mesmo que a equação do calor, exceto pela presença da unidade imaginária i . Métodos de Fourier podem ser usados ​​para resolver esta equação.

Na presença de um potencial, dado pela função de energia potencial V ( x ) , a equação torna-se

As "soluções elementares", como as referimos acima, são os chamados "estados estacionários" da partícula, e o algoritmo de Fourier, conforme descrito acima, ainda pode ser usado para resolver o problema do valor de contorno da evolução futura de ψ dados seus valores para t = 0 . Nenhuma dessas abordagens tem muito uso prático na mecânica quântica. Problemas de valor de contorno e a evolução temporal da função de onda não são de muito interesse prático: são os estados estacionários que são mais importantes.

Na mecânica quântica relativística, a equação de Schrödinger torna-se uma equação de onda como era usual na física clássica, exceto que ondas de valor complexo são consideradas. Um exemplo simples, na ausência de interações com outras partículas ou campos, é a equação unidimensional livre de Klein–Gordon–Schrödinger–Fock, desta vez em unidades adimensionais,

Isso é, do ponto de vista matemático, o mesmo que a equação de onda da física clássica resolvida acima (mas com uma onda de valor complexo, o que não faz diferença nos métodos). Isso é de grande utilidade na teoria quântica de campos: cada componente separado de Fourier de uma onda pode ser tratado como um oscilador harmônico separado e então quantizado, um procedimento conhecido como "segunda quantização". Os métodos de Fourier foram adaptados para lidar também com interações não triviais.

Finalmente, o operador numérico do oscilador harmônico quântico pode ser interpretado, por exemplo, através do kernel de Mehler , como o gerador da transformada de Fourier .

Processamento de sinal

A transformada de Fourier é usada para a análise espectral de séries temporais. O assunto do processamento estatístico de sinais, no entanto, geralmente não aplica a transformação de Fourier ao próprio sinal. Mesmo que um sinal real seja de fato transitório, na prática foi considerado aconselhável modelar um sinal por uma função (ou, alternativamente, um processo estocástico) que é estacionário no sentido de que suas propriedades características são constantes ao longo do tempo. A transformada de Fourier de tal função não existe no sentido usual, e descobriu-se que é mais útil para a análise de sinais tomar a transformada de Fourier de sua função de autocorrelação.

A função de autocorrelação R de uma função f é definida por

Esta função é uma função do intervalo de tempo τ decorrido entre os valores de f a serem correlacionados.

Para a maioria das funções f que ocorrem na prática, R é uma função par limitada do intervalo de tempo τ e para sinais ruidosos típicos ela é uniformemente contínua com um máximo em τ = 0 .

A função de autocorrelação, mais apropriadamente chamada de função de autocovariância, a menos que seja normalizada de alguma maneira apropriada, mede a força da correlação entre os valores de f separados por um intervalo de tempo. Esta é uma forma de buscar a correlação de f com seu próprio passado. É útil até para outras tarefas estatísticas além da análise de sinais. Por exemplo, se f ( t ) representa a temperatura no tempo t , espera-se uma forte correlação com a temperatura em um intervalo de tempo de 24 horas.

Possui uma transformada de Fourier,

Essa transformada de Fourier é chamada de função de densidade espectral de potência de f . (A menos que todos os componentes periódicos sejam primeiro filtrados de f , esta integral irá divergir, mas é fácil filtrar tais periodicidades.)

O espectro de potência, conforme indicado por esta função de densidade P , mede a quantidade de variância contribuída para os dados pela frequência ξ . Em sinais elétricos, a variação é proporcional à potência média (energia por unidade de tempo) e, portanto, o espectro de potência descreve o quanto as diferentes frequências contribuem para a potência média do sinal. Esse processo é chamado de análise espectral de séries temporais e é análogo à análise usual de variância de dados que não são séries temporais ( ANOVA ).

O conhecimento de quais frequências são "importantes" nesse sentido é crucial para o projeto adequado de filtros e para a avaliação adequada de aparelhos de medição. Também pode ser útil para a análise científica dos fenômenos responsáveis ​​pela produção dos dados.

O espectro de potência de um sinal também pode ser medido aproximadamente diretamente medindo a potência média que permanece em um sinal depois que todas as frequências fora de uma banda estreita foram filtradas.

A análise espectral também é realizada para sinais visuais. O espectro de potência ignora todas as relações de fase, o que é bom o suficiente para muitos propósitos, mas para sinais de vídeo outros tipos de análise espectral também devem ser empregados, ainda usando a transformada de Fourier como ferramenta.

Outras notações

Outras notações comuns para ( ξ ) incluem:

Indicar a transformada de Fourier por uma letra maiúscula correspondente à letra da função que está sendo transformada (como f ( x ) e F ( ξ ) ) é especialmente comum nas ciências e na engenharia. Em eletrônica, ômega ( ω ) é frequentemente usado no lugar de ξ devido a sua interpretação como frequência angular, às vezes é escrito como F ( ) , onde j é a unidade imaginária , para indicar sua relação com a transformada de Laplace , e às vezes é é escrito informalmente como F (2π f ) para usar a frequência comum. Em alguns contextos, como a física de partículas, o mesmo símbolo pode ser usado tanto para uma função quanto para a transformada de Fourier, com os dois apenas distinguidos por seu argumento : referir-se-ia à transformada de Fourier por causa do argumento do momento, enquanto referir-se-ia à função original por causa do argumento posicional. Embora os tils possam ser usados ​​para indicar transformadas de Fourier, os tils também podem ser usados ​​para indicar uma modificação de uma quantidade com uma forma mais invariante de Lorentz , como , portanto, deve-se tomar cuidado. Da mesma forma, muitas vezes denota a transformada de Hilbert de .

A interpretação da função complexa ( ξ ) pode ser auxiliada expressando-a na forma de coordenadas polares

em termos das duas funções reais A ( ξ ) e φ ( ξ ) onde:

é a amplitude e

é a fase (ver função arg ).

Então a transformada inversa pode ser escrita:

que é uma recombinação de todos os componentes de frequência de f ( x ) . Cada componente é uma senóide complexa da forma e ixξ cuja amplitude é A ( ξ ) e cujo ângulo de fase inicial (em x = 0 ) é φ ( ξ ) .

A transformada de Fourier pode ser pensada como um mapeamento em espaços de função. Este mapeamento é aqui denotado por F e F ( f ) é usado para denotar a transformada de Fourier da função f . Este mapeamento é linear, o que significa que F também pode ser visto como uma transformação linear no espaço da função e implica que a notação padrão em álgebra linear de aplicação de uma transformação linear a um vetor (aqui a função f ) pode ser usada para escrever F f em vez de F ( f ) . Como o resultado da aplicação da transformada de Fourier é novamente uma função, podemos estar interessados ​​no valor dessa função avaliada no valor ξ para sua variável, e isso é denotado como F f ( ξ ) ou como ( F f )( ξ ) . Observe que no primeiro caso, é implicitamente entendido que F é aplicado primeiro a f e então a função resultante é avaliada em ξ , e não o contrário.

Na matemática e em várias ciências aplicadas, muitas vezes é necessário distinguir entre uma função f e o valor de f quando sua variável é igual a x , denotado f ( x ) . Isso significa que uma notação como F ( f ( x )) formalmente pode ser interpretada como a transformada de Fourier dos valores de f em x . Apesar dessa falha, a notação anterior aparece com frequência, muitas vezes quando uma função específica ou uma função de uma variável específica deve ser transformada. Por exemplo,

às vezes é usado para expressar que a transformada de Fourier de uma função retangular é uma função sinc , ou

é usado para expressar a propriedade de deslocamento da transformada de Fourier.

Observe que o último exemplo só está correto sob a suposição de que a função transformada é uma função de x , não de x 0 .

Outras convenções

A transformada de Fourier também pode ser escrita em termos de frequência angular :

cujas unidades são radianos por segundo.

A substituição ξ =ω/nas fórmulas acima produz esta convenção:

Sob esta convenção, a transformada inversa torna-se:

Ao contrário da convenção seguida neste artigo, quando a transformada de Fourier é definida dessa forma, ela não é mais uma transformação unitária em L 2 ( R ) . Também há menos simetria entre as fórmulas da transformada de Fourier e sua inversa.

Outra convenção é dividir o fator de uniformemente entre a transformada de Fourier e sua inversa, o que leva a definições:

Sob esta convenção, a transformada de Fourier é novamente uma transformação unitária em L 2 ( R ) . Também restaura a simetria entre a transformada de Fourier e sua inversa.

Variações de todas as três convenções podem ser criadas pela conjugação do núcleo exponencial complexo das transformadas direta e reversa. Os sinais devem ser opostos. Fora isso, a escolha é (novamente) uma questão de convenção.

Resumo das formas populares da transformada de Fourier, unidimensional
frequência comum ξ (Hz) unitário
frequência angular ω (rad/s) unitário
não unitário
Generalização para funções n -dimensionais
frequência comum ξ (Hz) unitário
frequência angular ω (rad/s) unitário
não unitário

Conforme discutido acima, a função característica de uma variável aleatória é a mesma que a transformada de Fourier-Stieltjes de sua medida de distribuição, mas neste contexto é típico adotar uma convenção diferente para as constantes. Normalmente, a função característica é definida

Como no caso da convenção de "frequência angular não unitária" acima, o fator de 2 π não aparece nem na constante de normalização nem no expoente. Ao contrário de qualquer uma das convenções que aparecem acima, esta convenção assume o sinal oposto no expoente.

Métodos de computação

O método de cálculo apropriado depende muito de como a função matemática original é representada e da forma desejada da função de saída.

Como a definição fundamental de uma transformada de Fourier é uma integral, as funções que podem ser expressas como expressões de forma fechada são comumente calculadas trabalhando analiticamente a integral para produzir uma expressão de forma fechada na variável conjugada da transformada de Fourier como resultado. Este é o método usado para gerar tabelas de transformadas de Fourier, incluindo as encontradas na tabela abaixo ( Transformada de Fourier#Tabelas de transformadas de Fourier importantes ).

Muitos sistemas de álgebra computacional, como Matlab e Mathematica , que são capazes de integração simbólica , são capazes de computar transformadas de Fourier analiticamente. Por exemplo, para calcular a transformada de Fourier de cos(6π t ) e −π t 2 , pode-se inserir o comando integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to infno Wolfram Alpha .

Integração numérica de funções de forma fechada

Se a função de entrada estiver na forma fechada e a função de saída desejada for uma série de pares ordenados (por exemplo, uma tabela de valores a partir da qual um gráfico pode ser gerado) sobre um domínio especificado, a transformada de Fourier pode ser gerada por integração numérica em cada valor da variável conjugada de Fourier (frequência, por exemplo) para a qual se deseja um valor da variável de saída. Observe que esse método requer o cálculo de uma integração numérica separada para cada valor de frequência para o qual um valor da transformada de Fourier é desejado. A abordagem de integração numérica funciona em uma classe muito mais ampla de funções do que a abordagem analítica, porque produz resultados para funções que não possuem integrais de transformada de Fourier de forma fechada.

Integração numérica de uma série de pares ordenados

Se a função de entrada for uma série de pares ordenados (por exemplo, uma série temporal da medição de uma variável de saída repetidamente em um intervalo de tempo), a função de saída também deverá ser uma série de pares ordenados (por exemplo, um número complexo versus frequência sobre um domínio especificado de frequências), a menos que certas suposições e aproximações sejam feitas, permitindo que a função de saída seja aproximada por uma expressão de forma fechada. No caso geral em que as séries de entrada disponíveis de pares ordenados são assumidas como amostras representando uma função contínua em um intervalo (amplitude versus tempo, por exemplo), a série de pares ordenados representando a função de saída desejada pode ser obtida por integração numérica de os dados de entrada no intervalo disponível em cada valor da variável conjugada de Fourier (frequência, por exemplo) para o qual o valor da transformada de Fourier é desejado.

A integração numérica explícita sobre os pares ordenados pode produzir o valor de saída da transformada de Fourier para qualquer valor desejado da variável conjugada da transformada de Fourier (frequência, por exemplo), de modo que um espectro possa ser produzido em qualquer tamanho de passo desejado e em qualquer faixa de variável desejada para determinação precisa de amplitudes, frequências e fases correspondentes a picos isolados. Ao contrário das limitações nos métodos DFT e FFT, a integração numérica explícita pode ter qualquer tamanho de etapa desejado e calcular a transformada de Fourier em qualquer faixa desejada da variável de transformada de Fourier conjugada (por exemplo, frequência).

Transformadas discretas de Fourier e transformadas rápidas de Fourier

Se os pares ordenados que representam a função de entrada original são igualmente espaçados em sua variável de entrada (por exemplo, intervalos de tempo iguais), então a transformada de Fourier é conhecida como transformada discreta de Fourier ( DFT ), que pode ser calculada por integração numérica explícita, por avaliação explícita da definição DFT, ou por métodos de transformada rápida de Fourier (FFT). Em contraste com a integração explícita de dados de entrada, o uso dos métodos DFT e FFT produz transformadas de Fourier descritas por pares ordenados de tamanho de passo igual ao recíproco do intervalo de amostragem original. Por exemplo, se os dados de entrada forem amostrados a cada 10 segundos, a saída dos métodos DFT e FFT terá um espaçamento de frequência de 0,1 Hz.

Tabelas de importantes transformadas de Fourier

As tabelas a seguir registram algumas transformadas de Fourier de forma fechada. Para as funções f ( x ) eg ( x ) denote suas transformadas de Fourier por e ĝ . Apenas as três convenções mais comuns estão incluídas. Pode ser útil observar que a entrada 105 fornece uma relação entre a transformada de Fourier de uma função e a função original, que pode ser vista como relacionando a transformada de Fourier e sua inversa.

Relações funcionais, unidimensionais

As transformadas de Fourier nesta tabela podem ser encontradas em Erdélyi (1954) ou Kammler (2000 , apêndice).

Função
Freqüência ordinária, unitária transformada de Fourier
Transformada de Fourier
unitária, frequência angular
Transformada de Fourier
não unitária, frequência angular
Observações
Definições
101 Linearidade
102 Mudança no domínio do tempo
103 Mudança no domínio da frequência, dual de 102
104 Escalonamento no domínio do tempo. Se | um | é grande, então f ( ax ) está concentrado em torno de 0 e se espalha e achata.

105 A mesma transformada é aplicada duas vezes, mas x substitui a variável de frequência ( ξ ou ω ) após a primeira transformada.
106 como f é uma função de Schwartz
107 Este é o dual de 106
108 A notação fg denota a convolução de f e g — esta regra é o teorema da convolução
109 Este é o dual de 108
110 Para f ( x ) puramente real Simetria hermitiana. z indica o conjugado complexo .
113 Para f ( x ) puramente imaginária z indica oconjugado complexo.
114 Conjugação complexa , generalização de 110 e 113
115 Isso decorre das regras 101 e 103 usando a fórmula de Euler :
116 Isso segue de 101 e 103 usando a fórmula de Euler :

Funções quadradas integráveis, unidimensionais

As transformadas de Fourier nesta tabela podem ser encontradas em Campbell & Foster (1948) , Erdélyi (1954) ou Kammler (2000 , apêndice).

Função
Freqüência ordinária, unitária transformada de Fourier
Transformada de Fourier
unitária, frequência angular
Transformada de Fourier
não unitária, frequência angular
Observações
Definições
201 O pulso retangular e a função sinc normalizada , aqui definida como sinc( x ) =sen(π x )/π x
202 Dual da regra 201. A função retangular é um filtro passa-baixa ideal , e a função sinc é a resposta ao impulso não causal de tal filtro. A função sinc é definida aqui como sinc( x ) =sen(π x )/π x
203 A função tri( x ) é a função triangular
204 Dual da regra 203.
205 A função u ( x ) é a função degrau da unidade de Heaviside e a > 0 .
206 Isso mostra que, para as transformadas unitárias de Fourier, a função gaussiana e αx 2 é sua própria transformada de Fourier para alguma escolha de α . Para que isso seja integrável devemos ter Re( α ) > 0 .
208 Para Re( a ) > 0 . Ou seja, a transformada de Fourier de uma função exponencial decrescente bilateral é uma função lorentziana .
209 A secante hiperbólica é sua própria transformada de Fourier
210 H n é o polinômio de Hermite de ordem n . Se a = 1 então as funções de Gauss-Hermite são autofunções do operador de transformada de Fourier. Para obter uma derivação, consulte polinômio de Hermite . A fórmula reduz para 206 para n = 0 .

Distribuições unidimensionais

As transformadas de Fourier nesta tabela podem ser encontradas em Erdélyi (1954) ou Kammler (2000 , apêndice).

Função
Freqüência ordinária, unitária transformada de Fourier
Transformada de Fourier
unitária, frequência angular
Transformada de Fourier
não unitária, frequência angular
Observações
Definições
301 A distribuição δ ( ξ ) denota a função delta de Dirac .
302 Dual da regra 301.
303 Isso decorre de 103 e 301.
304 Isso decorre das regras 101 e 303 usando a fórmula de Euler :
305 Isso decorre de 101 e 303 usando
306 Isso segue de 101 e 207 usando
307 Isso segue de 101 e 207 usando
308 Aqui assume-se que é real. Para o caso de alfa ser complexo, consulte a entrada da tabela 206 acima.
309 Aqui, n é um número natural e δ ( n ) ( ξ ) é a enésima derivada de distribuição da função delta de Dirac. Esta regra decorre das regras 107 e 301. Combinando esta regra com a 101, podemos transformar todos os polinômios .
310 Dual da regra 308. δ ( n ) ( ξ ) é a enésima derivada de distribuição da função delta de Dirac. Esta regra decorre de 106 e 302.
311 Aqui sgn( ξ ) é a função de sinal . Observe que1/xnão é uma distribuição. É necessário usar o valor principal de Cauchy ao testar as funções de Schwartz . Esta regra é útil no estudo da transformada de Hilbert .
312 1/x né a distribuição homogênea definida pela derivada distributiva
313 Esta fórmula é válida para 0 > α > −1 . Para α > 0 alguns termos singulares surgem na origem que podem ser encontrados pela diferenciação de 318. Se Re α > −1 , então | x | α é uma função localmente integrável e, portanto, uma distribuição temperada. A função α ↦ | x | α é uma função holomórfica do semiplano direito para o espaço de distribuições temperadas. Admite uma única extensão meromorfa para uma distribuição temperada, também denotada | x | α para α ≠ −1, −3, ... (Veja distribuição homogênea .)
Caso especial de 311.
314 O dual da regra 309. Desta vez, as transformadas de Fourier precisam ser consideradas como um valor principal de Cauchy .
315 A função u ( x ) é a função degrau unitário de Heaviside ; isso decorre das regras 101, 301 e 312.
316 Esta função é conhecida como função de pente de Dirac . Esse resultado pode ser derivado de 302 e 102, juntamente com o fato de que, como distribuições.

317 A função J 0 ( x ) é a função de Bessel de ordem zero de primeira espécie.
318 Esta é uma generalização de 315. A função J n ( x ) é a função de Bessel de ordem n de primeiro tipo. A função Tn ( x ) é o polinômio Chebyshev de primeiro tipo .
319 γ é a constante de Euler-Mascheroni . É necessário usar uma integral de parte finita ao testar1/| ξ |ou1/| ω |contra as funções de Schwartz . Os detalhes disso podem alterar o coeficiente da função delta.
320 Esta fórmula é válida para 1 > α > 0 . Use a diferenciação para derivar a fórmula para expoentes maiores. u é a função de Heaviside.

Funções bidimensionais

Função
Freqüência ordinária, unitária transformada de Fourier
Transformada de Fourier
unitária, frequência angular
Transformada de Fourier
não unitária, frequência angular
Observações
400 As variáveis ​​ξ x , ξ y , ω x , ω y são números reais. As integrais são tomadas em todo o plano.
401 Ambas as funções são gaussianas, que podem não ter volume unitário.
402 A função é definida por circ( r ) = 1 para 0 ≤ r ≤ 1 , e é 0 caso contrário. O resultado é a distribuição de amplitude do disco de Airy , e é expresso usando J 1 (a função Bessel de ordem 1 do primeiro tipo).
403 Esta é a transformada de Hankel de r −1 , uma "autotransformação" de Fourier 2-D.
404

Fórmulas para funções n -dimensionais gerais

Função
Freqüência ordinária, unitária transformada de Fourier
Transformada de Fourier
unitária, frequência angular
Transformada de Fourier
não unitária, frequência angular
Observações
500
501 A função χ [0, 1] é a função indicadora do intervalo [0, 1] . A função Γ( x ) é a função gama. A função Jn/2+ δ é uma função de Bessel de primeiro tipo, com ordemn/2+ δ . Tomando n = 2 e δ = 0 produz 402.
502 Veja o potencial de Riesz onde a constante é dada por A fórmula também vale para todo αn , n + 2, ... por continuação analítica, mas então a função e suas transformadas de Fourier precisam ser entendidas como distribuições temperadas adequadamente regularizadas. Veja distribuição homogênea .

503 Esta é a fórmula para uma distribuição normal multivariada normalizada para 1 com média 0. Variáveis ​​em negrito são vetores ou matrizes. Seguindo a notação da página acima, Σ = σ σ T e Σ −1 = σ −T σ −1
504 Aqui Re( α ) > 0

Veja também

Notas

Citações

Referências

  • Boashash, B., ed. (2003), Análise e processamento de sinal de frequência de tempo: uma referência abrangente , Oxford: Elsevier Science, ISBN 978-0-08-044335-5.
  • Bracewell, RN (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3ª ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8.
  • Campbell, George; Foster, Ronald (1948), Fourier Integrals for Practical Applications , New York: D. Van Nostrand Company, Inc..
  • Clozel, Laurent; Delorme, Patrice (1985), "Sur le théorème de Paley-Wiener invariant pour les groupes de Lie réductifs réels", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 300 : 331–333.
  • de Groot, Sybren R.; Mazur, Peter (1984), Non-Equilibrium Thermodynamics (2ª ed.), New York: Dover.
  • Erdélyi, Arthur, ed. (1954), Tables of Integral Transforms , vol. 1, McGraw-Hill.
  • Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis , Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-035399-3.
  • Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Análise harmônica abstrata , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Banda 152, vol. II: Estrutura e análise para grupos compactos. Análise de grupos Abelianos localmente compactos, Springer , MR  0262773.
  • Jordan, Camille (1883), Cours d'Analyse de l'École Polytechnique , vol. II, Calcul Integral: Intégrales définies et indéfinies (2ª ed.), Paris.
  • Imprensa, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1992), Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, segunda edição (2ª ed.), Cambridge University Press.
  • Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis (3ª ed.), Singapura: McGraw Hill, ISBN 978-0-07-100276-9.
  • Simonen, P.; Olkkonen, H. (1985), "Método rápido para calcular a transformada integral de Fourier via integração numérica de Simpson", Journal of Biomedical Engineering , 7 (4): 337–340, doi : 10.1016/0141-5425(85)90067-6 , PMID  4057997.
  • Wiener, Norbert (1949), Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series With Engineering Applications , Cambridge, Mass.: Technology Press and John Wiley & Sons and Chapman & Hall.
  • Wilson, RG (1995), Fourier Series and Optical Transform Techniques in Contemporary Optics , New York: Wiley , ISBN 978-0-471-30357-2.

links externos