Teorema de Fréchet – Kolmogorov - Fréchet–Kolmogorov theorem

Na análise funcional , o teorema Fréchet – Kolmogorov (os nomes de Riesz ou Weil às vezes também são adicionados) fornece uma condição necessária e suficiente para que um conjunto de funções seja relativamente compacto em um espaço L ^p . Pode ser pensado como uma versão L ^p do teorema de Arzelà-Ascoli , a partir do qual pode ser deduzido. O teorema é nomeado após Maurice René Fréchet e Andrey Kolmogorov .

Demonstração

Seja um subconjunto de com , e deixe denotar a tradução de por , isto é,${\ displaystyle B}$${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle p \ in [1, \ infty)}$${\ displaystyle \ tau _ {h} f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ tau _ {h} f (x) = f (xh).}$

O subconjunto é relativamente compacto se e somente se as seguintes propriedades forem mantidas: ${\ displaystyle B}$

1. (Equicontínuo) uniformemente ativado .${\ displaystyle \ lim _ {| h | \ to 0} \ Vert \ tau _ {h} ff \ Vert _ {L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})} = 0}$${\ displaystyle B}$
2. (Equitight) uniformemente ativado .${\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ int _ {| x |> r} \ left | f \ right | ^ {p} = 0}$${\ displaystyle B}$

A primeira propriedade pode ser declarada como tal que com${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \, \, \ exists \ delta> 0}$${\ displaystyle \ Vert \ tau _ {h} ff \ Vert _ {L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})} <\ varejpsilon \, \, \ forall f \ in B, \ forall h }$${\ displaystyle | h | <\ delta.}$

Normalmente, o teorema Fréchet – Kolmogorov é formulado com a suposição extra de que é limitado (ou seja, uniformemente ativado ). No entanto, foi demonstrado que a eqüidade e a eqüicontinuidade implicam nessa propriedade. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})} <\ infty}$${\ displaystyle B}$

Caso especial

Para um subconjunto de , onde é um subconjunto limitado de , a condição de equidade não é necessária. Portanto, uma condição necessária e suficiente para ser relativamente compacto é que a propriedade de equicontinuidade seja mantida. No entanto, essa propriedade deve ser interpretada com cuidado, como mostra o exemplo a seguir. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle L ^ {p} (\ Omega)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle B}$

Exemplos

Existência de soluções de um PDE

Seja uma sequência de soluções da equação viscosa de Burgers colocada em : ${\ displaystyle (u _ {\ epsilon}) _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times (0, T)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial u ^ {2}} {\ partial x}} = \ epsilon \ Delta u, \ quad u (x, 0) = u_ {0} (x),}$

com bom o suficiente. Se as soluções gozam das propriedades -contraction e -bound, mostraremos a existência de soluções da equação Inviscid Burgers${\ displaystyle u_ {0}}$${\ displaystyle (u _ {\ epsilon}) _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle L ^ {1}}$${\ displaystyle L ^ {\ infty}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial u ^ {2}} {\ partial x}} = 0, \ quad u (x, 0) = u_ {0} (x).}$

A primeira propriedade pode ser declarada da seguinte forma: Se forem soluções da equação de Burgers com dados iniciais, então ${\ displaystyle u, v}$${\ displaystyle u_ {0}, v_ {0}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} | u (x, t) -v (x, t) | dx \ leq \ int _ {\ mathbb {R}} | u_ {0} (x) - v_ {0} (x) | dx.}$

A segunda propriedade significa simplesmente isso . ${\ displaystyle \ Vert u (\ cdot, t) \ Vert _ {L ^ {\ infty} (\ mathbb {R})} \ leq \ Vert u_ {0} \ Vert _ {L ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}}$

Agora, vamos ser qualquer conjunto compacto e definir ${\ displaystyle K \ subset \ mathbb {R} \ times (0, T)}$

${\ displaystyle w _ {\ epsilon} (x, t): = u _ {\ epsilon} (x, t) \ mathbf {1} _ {K} (x, t),}$

onde está no conjunto e 0 caso contrário. Automaticamente, desde ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {K}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle B: = \ {(w _ {\ epsilon}) _ {\ epsilon} \} \ subset L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {2})}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {2}} | w _ {\ epsilon} (x, t) | dxdt = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {2}} | u _ {\ epsilon } (x, t) \ mathbf {1} _ {K} (x, t) | dxdt \ leq \ Vert u_ {0} \ Vert _ {L ^ {\ infty} (\ mathbb {R})} | K | <\ infty.}$

Equicontinuidade é uma consequência da -contração, uma vez que é uma solução da equação de Burgers com os dados iniciais e uma vez que o limite se mantém: Nós temos isso ${\ displaystyle L ^ {1}}$${\ displaystyle u _ {\ epsilon} (xh, t)}$${\ displaystyle u_ {0} (xh)}$${\ displaystyle L ^ {\ infty}}$

${\ displaystyle \ Vert w _ {\ epsilon} (\ cdot -h, \ cdot -h) -w _ {\ epsilon} \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {2})} \ leq \ Vert w _ {\ epsilon} (\ cdot -h, \ cdot -h) -w _ {\ epsilon} (\ cdot, \ cdot -h) \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ { 2})} + \ Vert w _ {\ epsilon} (\ cdot, \ cdot -h) -w _ {\ epsilon} \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {2})}.}$

Continuamos considerando

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ Vert w _ {\ epsilon} (\ cdot -h, \ cdot -h) -w _ {\ epsilon} (\ cdot, \ cdot -h) \ Vert _ {L ^ { 1} (\ mathbb {R} ^ {2})} \\ & \ leq \ Vert (u _ {\ epsilon} (\ cdot -h, \ cdot -h) -u _ {\ epsilon} (\ cdot, \ cdot -h)) \ mathbf {1} _ {K} (\ cdot -h, \ cdot -h) \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {2})} + \ Vert u_ { \ epsilon} (\ cdot, \ cdot -h) (\ mathbf {1} _ {K} (\ cdot -h, \ cdot -h) - \ mathbf {1} _ {K} (\ cdot, \ cdot - h) \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {2})}. \ end {alinhado}}}$

O primeiro termo do lado direito satisfaz

${\ displaystyle \ Vert (u _ {\ epsilon} (\ cdot -h, \ cdot -h) -u _ {\ epsilon} (\ cdot, \ cdot -h)) \ mathbf {1} _ {K} (\ cdot -h, \ cdot -h) \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {2})} \ leq T \ Vert u_ {0} (\ cdot -h) -u_ {0} \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbb {R})}}$

por uma mudança de variável e a contração. O segundo termo satisfaz ${\ displaystyle L ^ {1}}$

${\ displaystyle \ Vert u _ {\ epsilon} (\ cdot, \ cdot -h) (\ mathbf {1} _ {K} (\ cdot -h, \ cdot -h) - \ mathbf {1} _ {K} (\ cdot, \ cdot -h)) \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {2})} \ leq \ Vert u_ {0} \ Vert _ {L ^ {\ infty} ( \ mathbb {R})} \ Vert \ mathbf {1} _ {K} (\ cdot -h, \ cdot) - \ mathbf {1} _ {K} \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbb { R} ^ {2})}}$

por uma mudança de variável e o limite. Além disso, ${\ displaystyle L ^ {\ infty}}$

${\ displaystyle \ Vert w _ {\ epsilon} (\ cdot, \ cdot -h) -w _ {\ epsilon} \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {2})} \ leq \ Vert (u _ {\ epsilon} (\ cdot, \ cdot -h) -u _ {\ epsilon}) \ mathbf {1} _ {K} (\ cdot, \ cdot -h) \ Vert _ {L ^ {1} ( \ mathbb {R} ^ {2})} + \ Vert u _ {\ epsilon} (\ mathbf {1} _ {K} (\ cdot, \ cdot -h) - \ mathbf {1} _ {K}) \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {2})}.}$

Ambos os termos podem ser estimados como antes, ao notar que a equicontinuidade de tempo segue novamente pela contração. A continuidade do mapeamento de translação em, então, dá equicontinuidade uniformemente em . ${\ displaystyle L ^ {1}}$${\ displaystyle L ^ {1}}$${\ displaystyle B}$

Equitightness é válido por definição , tomando grande o suficiente. ${\ displaystyle (w _ {\ epsilon}) _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle r}$

Portanto, é relativamente compacto em , e então há uma subsequência convergente de em . Por um argumento abrangente, a última convergência está em . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {2})}$${\ displaystyle (u _ {\ epsilon}) _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle L ^ {1} (K)}$${\ displaystyle L_ {loc} ^ {1} (\ mathbb {R} \ times (0, T))}$

Para concluir a existência, resta verificar se a função limite, como , de uma subsequência de satisfaz ${\ displaystyle \ epsilon \ a 0 ^ {+}}$${\ displaystyle (u _ {\ epsilon}) _ {\ epsilon}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial u ^ {2}} {\ partial x}} = 0, \ quad u (x, 0) = u_ {0} (x).}$

Veja também

• Teorema de Arzelà-Ascoli
• Teorema de seleção de Helly
• Teorema de Rellich-Kondrachov

Referências

Literatura

• Brezis, Haïm (2010). Análise funcional, espaços de Sobolev e equações diferenciais parciais . Universitext. Springer . p. 111. ISBN 978-0-387-70913-0.
• Riesz, Marcel (1933). "Sur les ensembles compact de fonctions sommables" (PDF) . Acta Sci. Matemática. 6 : 136–142.
• Precup, Radu (2002). Métodos em equações integrais não lineares . Springer . p. 21 . ISBN 978-1-4020-0844-3.