Dimensão fractal - Fractal dimension

Litoral da Grã-Bretanha medida em uma escala de 200 km
11,5 x 200 = 2300 km
Litoral da Grã-Bretanha medida em uma escala de 100 km
28 x 100 = 2800 km
Litoral da Grã-Bretanha medida em uma escala de 50 km
70 x 50 = 3500 km
Figura 1. À medida que o comprimento da régua de medição é dimensionado cada vez menor, o comprimento total da linha costeira medida aumenta (ver Paradoxo da linha costeira ).

Na matemática , mais especificamente na geometria fractal , uma dimensão fractal é uma razão que fornece um índice estatístico de complexidade comparando como os detalhes em um padrão (estritamente falando, um padrão fractal ) mudam com a escala em que é medido. Também foi caracterizado como uma medida da capacidade de preencher o espaço de um padrão que mostra como um fractal se escala de maneira diferente do espaço em que está embutido; uma dimensão fractal não precisa ser um número inteiro.

A ideia essencial de dimensões "fraturadas" tem uma longa história na matemática, mas o próprio termo foi trazido à tona por Benoit Mandelbrot com base em seu artigo de 1967 sobre auto-similaridade, no qual ele discutiu dimensões fracionárias . Nesse artigo, Mandelbrot citou o trabalho anterior de Lewis Fry Richardson descrevendo a noção contra-intuitiva de que o comprimento medido de uma linha costeira muda com o comprimento da régua de medição usada ( ver Fig. 1 ). Em termos dessa noção, a dimensão fractal de uma linha costeira quantifica como o número de bastões de medição em escala necessários para medir a linha de costa muda com a escala aplicada ao bastão. Existem várias definições matemáticas formais da dimensão fractal que se baseiam neste conceito básico de mudança em detalhes com mudança de escala: consulte a seção Exemplos .

Em última análise, o termo dimensão fractal tornou-se a frase com a qual o próprio Mandelbrot se tornou mais confortável com relação a encapsular o significado da palavra fractal , um termo que ele criou. Depois de várias iterações ao longo dos anos, Mandelbrot decidiu-se por este uso da linguagem: "... usar fractal sem uma definição pedante, usar dimensão fractal como um termo genérico aplicável a todas as variantes."

Um exemplo não trivial é a dimensão fractal de um floco de neve Koch . Tem uma dimensão topológica de 1, mas não é de forma alguma uma curva retificável : o comprimento da curva entre quaisquer dois pontos no floco de neve de Koch é infinito . Nenhum pequeno pedaço dele é semelhante a uma linha, mas sim é composto de um número infinito de segmentos unidos em diferentes ângulos. A dimensão fractal de uma curva pode ser explicada intuitivamente pensando em uma linha fractal como um objeto muito detalhado para ser unidimensional, mas muito simples para ser bidimensional. Portanto, sua dimensão pode ser melhor descrita não por sua dimensão topológica usual de 1, mas por sua dimensão fractal, que geralmente é um número entre um e dois; no caso do floco de neve de Koch, é cerca de 1.262.

Introdução

Figura 2. Um fractal quádrico de 32 segmentos dimensionado e visualizado em caixas de tamanhos diferentes. O padrão ilustra auto-similaridade . A dimensão fractal teórica para este fractal é 5/3 ≈ 1,67; sua dimensão fractal empírica da análise de contagem de caixa é de ± 1% usando software de análise fractal .

Uma dimensão fractal é um índice para caracterizar padrões ou conjuntos fractais , quantificando sua complexidade como uma proporção da mudança em detalhes para a mudança na escala. Vários tipos de dimensão fractal podem ser medidos teoricamente e empiricamente ( ver Fig. 2 ). As dimensões fractais são usadas para caracterizar um amplo espectro de objetos que vão desde fenômenos abstratos a práticos, incluindo turbulência, redes de rios, crescimento urbano, fisiologia humana, medicina e tendências de mercado. A ideia essencial de dimensões fracionárias ou fractais tem uma longa história na matemática que pode ser rastreada até 1600, mas os termos fractal e dimensão fractal foram cunhados pelo matemático Benoit Mandelbrot em 1975.

As dimensões fractais foram aplicadas pela primeira vez como um índice caracterizando formas geométricas complicadas para as quais os detalhes pareciam mais importantes do que a imagem grosseira. Para conjuntos que descrevem formas geométricas comuns, a dimensão teórica do fractal é igual à familiar dimensão euclidiana ou topológica do conjunto . Portanto, é 0 para conjuntos que descrevem pontos (conjuntos 0-dimensionais); 1 para conjuntos que descrevem linhas (conjuntos unidimensionais tendo apenas comprimento); 2 para conjuntos que descrevem superfícies (conjuntos bidimensionais com comprimento e largura); e 3 para conjuntos que descrevem volumes (conjuntos tridimensionais com comprimento, largura e altura). Mas isso muda para conjuntos fractais. Se a dimensão fractal teórica de um conjunto excede sua dimensão topológica, o conjunto é considerado como tendo geometria fractal.

Ao contrário das dimensões topológicas, o índice fractal pode assumir valores não inteiros , indicando que um conjunto preenche seu espaço qualitativa e quantitativamente de forma diferente de como um conjunto geométrico comum o faz. Por exemplo, uma curva com uma dimensão fractal muito próxima de 1, digamos 1,10, se comporta quase como uma linha comum, mas uma curva com dimensão fractal 1,9 serpenteia de maneira convolutiva através do espaço quase como uma superfície. Da mesma forma, uma superfície com dimensão fractal de 2,1 preenche o espaço de maneira muito semelhante a uma superfície comum, mas uma superfície com dimensão fractal de 2,9 dobras e flui para preencher o espaço quase como um volume. Essa relação geral pode ser vista nas duas imagens de curvas fractais na Fig.2 e Fig. 3 - o contorno de 32 segmentos na Fig. 2, convoluto e preenchido no espaço, tem uma dimensão fractal de 1,67, em comparação com a perceptivelmente menos complexa Curva de Koch na Fig. 3, que tem uma dimensão fractal de 1,26.

uma animação de curva de Koch
Figura 3. A curva de Koch é uma curva fractal iterativa clássica . É uma construção teórica feita escalando iterativamente um segmento inicial. Conforme mostrado, cada novo segmento é dimensionado em 1/3 em 4 novas peças colocadas de ponta a ponta com 2 peças do meio inclinando-se uma em direção à outra entre as outras duas peças, de modo que se fossem um triângulo sua base seria o comprimento do meio peça, de modo que todo o novo segmento se encaixe no comprimento tradicionalmente medido entre as extremidades do segmento anterior. Enquanto a animação mostra apenas algumas iterações, a curva teórica é escalada dessa forma infinitamente. Além de cerca de 6 iterações em uma imagem tão pequena, o detalhe é perdido.

A relação de uma dimensão fractal crescente com o preenchimento do espaço pode ser considerada como significando que as dimensões fractais medem a densidade, mas não é assim; os dois não estão estritamente correlacionados. Em vez disso, uma dimensão fractal mede a complexidade, um conceito relacionado a certas características-chave dos fractais: auto-similaridade e detalhe ou irregularidade . Essas características são evidentes nos dois exemplos de curvas fractais. Ambas são curvas com dimensão topológica de 1, então pode-se esperar ser capaz de medir seu comprimento e derivada da mesma forma que com curvas comuns. Mas não podemos fazer nenhuma dessas coisas, porque as curvas fractais têm complexidade na forma de auto-similaridade e detalhes que faltam às curvas comuns. A autossimilaridade reside na escala infinita e o detalhe nos elementos definidores de cada conjunto. O comprimento entre quaisquer dois pontos nessas curvas é infinito, não importa quão próximos estejam os dois pontos, o que significa que é impossível aproximar o comprimento de tal curva dividindo a curva em muitos pequenos segmentos. Cada peça menor é composta por um número infinito de segmentos em escala que se parecem exatamente com a primeira iteração. Estas não são curvas retificáveis , o que significa que não podem ser medidas divididas em muitos segmentos que se aproximam de seus respectivos comprimentos. Eles não podem ser caracterizados de forma significativa encontrando seus comprimentos e derivados. No entanto, suas dimensões fractais podem ser determinadas, o que mostra que ambas preenchem o espaço mais do que as linhas comuns, mas menos do que as superfícies, e permite que sejam comparadas a este respeito.

As duas curvas fractais descritas acima mostram um tipo de auto-similaridade que é exata com uma unidade de detalhe repetida que é facilmente visualizada. Esse tipo de estrutura pode ser estendida a outros espaços (por exemplo, um fractal que estende a curva de Koch para um espaço 3-d tem um D teórico = 2,5849). No entanto, essa complexidade perfeitamente contável é apenas um exemplo da auto-similaridade e detalhes que estão presentes nos fractais. O exemplo da linha costeira da Grã-Bretanha, por exemplo, exibe auto-similaridade de um padrão aproximado com escala aproximada. No geral, os fractais mostram vários tipos e graus de auto-similaridade e detalhes que podem não ser facilmente visualizados. Estes incluem, como exemplos, atratores estranhos para os quais o detalhe foi descrito como em essência, porções suaves se acumulando, o conjunto Julia , que pode ser visto como redemoinhos complexos sobre redemoinhos, e batimentos cardíacos, que são padrões de picos ásperos repetidos e dimensionado no tempo. A complexidade fractal nem sempre pode ser resolvida em unidades de detalhe e escala facilmente apreendidas sem métodos analíticos complexos, mas ainda é quantificável por meio de dimensões fractais.

História

Os termos dimensão fractal e fractal foram cunhados por Mandelbrot em 1975, cerca de uma década depois que ele publicou seu artigo sobre auto-similaridade no litoral da Grã-Bretanha. Várias autoridades históricas atribuem a ele também a síntese de séculos de matemática teórica complicada e trabalho de engenharia e aplicá-los de uma nova maneira para estudar geometrias complexas que desafiavam a descrição em termos lineares usuais. As primeiras raízes do que Mandelbrot sintetizou como a dimensão fractal foram traçadas claramente de volta aos escritos sobre funções não diferenciáveis , infinitamente auto-semelhantes, que são importantes na definição matemática dos fractais, na época em que o cálculo foi descoberto em meados de 1600. Houve uma calmaria no trabalho publicado sobre tais funções por um tempo depois disso, e então uma renovação começando no final de 1800 com a publicação de funções e conjuntos matemáticos que hoje são chamados de fractais canônicos (como as obras homônimas de von Koch , Sierpiński e Julia ), mas na época de sua formulação eram frequentemente considerados "monstros" matemáticos antitéticos. Esses trabalhos foram acompanhados por talvez o ponto mais crucial no desenvolvimento do conceito de uma dimensão fractal através do trabalho de Hausdorff no início dos anos 1900, que definiu uma dimensão "fracionária" que passou a receber seu nome e é frequentemente invocada para definir fractais modernos .

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Função de dimensionamento

Linhas, quadrados e cubos.
Figura 4. Noções tradicionais de geometria para definir escala e dimensão. , , , , , ,


O conceito de uma dimensão fractal se baseia em visões não convencionais de escala e dimensão. Como ilustra a Fig. 4 , as noções tradicionais de geometria ditam que as formas se dimensionam previsivelmente de acordo com ideias intuitivas e familiares sobre o espaço em que estão contidas, de modo que, por exemplo, medir uma linha usando primeiro uma régua de medição e depois outro 1/3 do seu tamanho , dará ao segundo pau um comprimento total 3 vezes mais do que o primeiro. Isso vale em 2 dimensões também. Se medirmos a área de um quadrado e depois medirmos novamente com uma caixa de comprimento lateral de 1/3 do tamanho do original, encontraremos 9 vezes mais quadrados do que na primeira medida. Essas relações de escala familiares podem ser definidas matematicamente pela regra geral de escala na Equação 1, onde a variável representa o número de palitos, o fator de escala e a dimensão fractal:

 

 

 

 

( 1 )

Esta regra de escala tipifica regras convencionais sobre geometria e dimensão - para linhas, quantifica isso, porque quando como no exemplo acima, e para quadrados, porque quando

Um contorno fractal de um floco de neve koch
Figura 5. As primeiras quatro iterações do floco de neve Koch , que tem uma dimensão de Hausdorff aproximada de 1,2619.

A mesma regra se aplica à geometria fractal, mas de forma menos intuitiva. Para elaborar, uma linha fractal medida a princípio com um comprimento, quando medida novamente usando um novo bastão dimensionado em 1/3 do antigo pode não ter os 3 esperados, mas em vez disso 4 vezes mais palitos escalonados de comprimento. Neste caso, quando e o valor de podem ser encontrados reorganizando a Equação 1:

 

 

 

 

( 2 )

Ou seja, para um fractal descrito por quando uma dimensão não inteira que sugere que o fractal tem uma dimensão diferente do espaço em que reside. A escala usada neste exemplo é a mesma escala da curva de Koch e do floco de neve . É importante notar que as imagens mostradas não são fractais verdadeiros porque a escala descrita pelo valor de não pode continuar infinitamente pela simples razão de que as imagens só existem até o ponto de seu menor componente, um pixel. O modelo teórico que as imagens digitais representam, no entanto, não tem nenhum pixel como discreto peças, mas sim é composto por um infinito número de segmentos infinitamente escalados unidas em ângulos diferentes e de fato tem uma dimensão fractal de 1,2619.

D não é um descritor único

Figura 6 . Dois fractais de ramificação de sistemas L que são feitos pela produção de 4 novas peças para cada escala de 1/3, portanto, têm o mesmo teórico que a curva de Koch e para os quais a contagem de caixa empírica foi demonstrada com precisão de 2%.

Como é o caso com dimensões determinadas para linhas, quadrados e cubos, as dimensões fractais são descritores gerais que não definem padrões de forma exclusiva. O valor de D para o fractal de Koch discutido acima, por exemplo, quantifica a escala inerente do padrão, mas não descreve exclusivamente nem fornece informações suficientes para reconstruí-lo. Muitas estruturas ou padrões fractais podem ser construídos com a mesma relação de escala, mas são dramaticamente diferentes da curva de Koch, conforme ilustrado na Figura 6 .

Para exemplos de como os padrões fractais podem ser construídos, consulte Fractal , triângulo de Sierpinski , conjunto de Mandelbrot , agregação limitada por difusão , L-System .

Estruturas de superfície fractal

O conceito de fractalidade é cada vez mais aplicado no campo da ciência da superfície , proporcionando uma ponte entre as características da superfície e as propriedades funcionais. Numerosos descritores de superfície são usados ​​para interpretar a estrutura de superfícies nominalmente planas, que frequentemente exibem características autoafins em várias escalas de comprimento. A rugosidade média da superfície , normalmente denotada por R A , é o descritor de superfície mais comumente aplicado, no entanto, vários outros descritores, incluindo inclinação média, rugosidade quadrada média (R RMS ) e outros são regularmente aplicados. Verificou-se, no entanto, que muitos fenômenos de superfície física não podem ser prontamente interpretados com referência a tais descritores, portanto, a dimensão fractal é cada vez mais aplicada para estabelecer correlações entre a estrutura da superfície em termos de comportamento de escala e desempenho. As dimensões fractais das superfícies têm sido empregadas para explicar e compreender melhor fenômenos nas áreas de mecânica de contato , comportamento friccional , resistência de contato elétrico e óxidos condutores transparentes .

Figura 7: Ilustração do aumento da fractalidade da superfície. Superfícies autoafim (esquerda) e perfis de superfície correspondentes (direita) mostrando o aumento da dimensão fractal D f

Exemplos

O conceito de dimensão fractal descrito neste artigo é uma visão básica de uma construção complicada. Os exemplos discutidos aqui foram escolhidos para maior clareza e a unidade de escala e as proporções eram conhecidas com antecedência. Na prática, no entanto, as dimensões do fractal podem ser determinadas usando técnicas que aproximam o dimensionamento e os detalhes dos limites estimados a partir de linhas de regressão em gráficos de log vs log de tamanho vs escala. Várias definições matemáticas formais de diferentes tipos de dimensão fractal estão listadas abaixo. Embora para alguns fractais clássicos todas essas dimensões coincidam, em geral elas não são equivalentes:

  • Dimensão da informação : D considera como a informação média necessária para identificar uma caixa ocupada é dimensionada com o tamanho da caixa; é uma probabilidade.
  • Dimensão de correlação : D é baseado em como o número de pontos usados ​​para gerar uma representação de um fractal eg ε , o número de pares de pontos mais próximos que ε um do outro.
  • Dimensões generalizadas ou Rényi: As dimensões de contagem de caixa, informação e correlação podem ser vistas como casos especiais de um espectro contínuo de dimensões generalizadas de ordem α, definidas por:
  • Dimensão Lyapunov
  • Dimensões multifractais : um caso especial de dimensões de Rényi, onde o comportamento de escala varia em diferentes partes do padrão.
  • Expoente de incerteza
  • Dimensão de Hausdorff : Para qualquer subconjunto de um espaço métrico e , o conteúdo d- dimensional de Hausdorff de S é definido por
A dimensão de Hausdorff de S é definida por

Estimativa de dados do mundo real

Muitos fenômenos do mundo real exibem propriedades fractais limitadas ou estatísticas e dimensões fractais que foram estimadas a partir de dados amostrados usando técnicas de análise fractal baseadas em computador . Praticamente, as medições da dimensão fractal são afetadas por várias questões metodológicas e são sensíveis a ruídos numéricos ou experimentais e limitações na quantidade de dados. No entanto, o campo está crescendo rapidamente, pois as dimensões fractais estimadas para fenômenos estatisticamente auto-semelhantes podem ter muitas aplicações práticas em vários campos, incluindo astronomia, acústica, geologia e ciências da terra, diagnóstico por imagem, ecologia, processos eletroquímicos, análise de imagens, biologia e medicina, neurociência, análise de redes , fisiologia, física e zeta zeros de Riemann. As estimativas de dimensão fractal também mostraram se correlacionar com a complexidade de Lempel-Ziv em conjuntos de dados do mundo real da psicoacústica e da neurociência.

Uma alternativa para uma medição direta é considerar um modelo matemático que se assemelha à formação de um objeto fractal do mundo real. Nesse caso, uma validação também pode ser feita comparando outras propriedades que não sejam fractais implícitas no modelo, com dados medidos. Na física coloidal , surgem sistemas compostos de partículas com várias dimensões fractais. Para descrever esses sistemas, é conveniente falar sobre uma distribuição de dimensões fractais e, eventualmente, uma evolução temporal destas últimas: um processo que é impulsionado por uma interação complexa entre agregação e coalescência .

Dimensões fractais de redes e redes espaciais

Foi descoberto que muitas redes do mundo real são semelhantes e podem ser caracterizadas por uma dimensão fractal. Além disso, os modelos de redes embutidos no espaço podem ter uma dimensão fractal contínua que depende da distribuição de links de longo alcance.

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

links externos