Equações de Friedmann - Friedmann equations
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As equações de Friedmann são um conjunto de equações da cosmologia física que governam a expansão do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do universo no contexto da relatividade geral . Eles foram derivados pela primeira vez por Alexander Friedmann em 1922 a partir das equações de campo da gravitação de Einstein para a métrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker e um fluido perfeito com uma dada densidade de massa e pressão . As equações para curvatura espacial negativa foram fornecidas por Friedmann em 1924.
Premissas
As equações de Friedmann partem do pressuposto simplificador de que o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico , ou seja, o princípio cosmológico ; empiricamente, isso é justificado em escalas maiores que ~ 100 Mpc . O princípio cosmológico implica que a métrica do universo deve ser da forma
onde é uma métrica tridimensional que deve ser um de (a) espaço plano, (b) uma esfera de curvatura positiva constante ou (c) um espaço hiperbólico com curvatura negativa constante. Essa métrica é chamada de métrica Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker (FLRW). O parâmetro discutido abaixo assume o valor 0, 1, −1 ou a curvatura gaussiana , nestes três casos, respectivamente. É esse fato que nos permite falar sensatamente de um " fator de escala " .
As equações de Einstein agora relacionam a evolução desse fator de escala à pressão e energia da matéria no universo. A partir da métrica FLRW, calculamos os símbolos de Christoffel e , em seguida, o tensor de Ricci . Com o tensor tensão-energia para um fluido perfeito, nós os substituímos nas equações de campo de Einstein e as equações resultantes são descritas abaixo.
Equações
Relatividade geral |
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Existem duas equações de Friedmann independentes para modelar um universo isotrópico homogêneo. O primeiro é:
que é derivado do componente 00 das equações de campo de Einstein . O segundo é:
que é derivado do primeiro junto com o traço das equações de campo de Einstein (a dimensão das duas equações é o tempo -2 ).
é o fator de escala , G , Λ e c são constantes universais ( G é a constante gravitacional de Newton , Λ é a constante cosmológica (sua dimensão é comprimento -2 ) ec é a velocidade da luz no vácuo ). ρ e p são a densidade de massa volumétrica (e não a densidade de energia volumétrica) e a pressão, respectivamente. k é constante em uma solução particular, mas pode variar de uma solução para outra.
Nas equações anteriores,, ρ e p são funções do tempo. é a curvatura espacial em qualquer fatia de tempo do universo; é igual a um sexto do escalar R da curvatura espacial de Ricci, uma vez que
no modelo de Friedmann. é o parâmetro Hubble .
Vemos que nas equações de Friedmann, a (t) não depende de qual sistema de coordenadas escolhemos para fatias espaciais. Existem duas opções comumente usadas para e k que descrevem a mesma física:
- k = +1, 0 ou −1 dependendo se a forma do universo é uma esfera 3 fechada , plana (isto é, espaço euclidiano ) ou um hiperbolóide 3 aberto , respectivamente. Se k = +1, então é o raio de curvatura do universo. Se k = 0, então pode ser fixado em qualquer número positivo arbitrário em um determinado momento. Se k = −1, então (falando vagamente) pode-se dizer que esse é o raio de curvatura do universo.
- é o fator de escala considerado 1 no momento. é a curvatura espacial quando (ou seja, hoje). Se a forma do universo é hiperesférica e é o raio de curvatura ( nos dias de hoje), então . Se for positivo, então o universo é hiperesférico. Se for zero, o universo é plano . Se for negativo, o universo é hiperbólico .
Usando a primeira equação, a segunda equação pode ser reexpressa como
que elimina e expressa a conservação da massa-energia
Essas equações às vezes são simplificadas pela substituição
dar:
A forma simplificada da segunda equação é invariante sob esta transformação.
O parâmetro de Hubble pode mudar ao longo do tempo se outras partes da equação forem dependentes do tempo (em particular a densidade de massa, a energia do vácuo ou a curvatura espacial). Avaliar o parâmetro de Hubble no momento produz a constante de Hubble, que é a constante de proporcionalidade da lei de Hubble . Aplicadas a um fluido com uma dada equação de estado , as equações de Friedmann fornecem a evolução temporal e a geometria do universo em função da densidade do fluido.
Alguns cosmologistas chamam a segunda dessas duas equações de equação de aceleração de Friedmann e reservam o termo equação de Friedmann apenas para a primeira equação.
Parâmetro de densidade
O parâmetro de densidade é definido como a razão entre a densidade real (ou observada) e a densidade crítica do universo de Friedmann. A relação entre a densidade real e a densidade crítica determina a geometria geral do universo; quando são iguais, a geometria do universo é plana (euclidiana). Em modelos anteriores, que não incluíam um termo de constante cosmológica , a densidade crítica era inicialmente definida como o ponto de divisa entre um Universo em expansão e um Universo em contração.
Até o momento, a densidade crítica é estimada em aproximadamente cinco átomos (de hidrogênio monoatômico ) por metro cúbico, enquanto a densidade média da matéria comum no Universo é estimada em 0,2–0,25 átomos por metro cúbico.
Uma densidade muito maior vem da matéria escura não identificada ; tanto a matéria comum quanto a escura contribuem a favor da contração do universo. No entanto, a maior parte vem da chamada energia escura , que é responsável pelo termo constante cosmológica. Embora a densidade total seja igual à densidade crítica (exatamente, até o erro de medição), a energia escura não leva à contração do universo, mas pode acelerar sua expansão. Portanto, o universo provavelmente se expandirá para sempre.
Uma expressão para a densidade crítica é encontrada assumindo Λ como zero (como é para todos os universos de Friedmann básicos) e definindo a curvatura espacial normalizada, k , igual a zero. Quando as substituições são aplicadas à primeira das equações de Friedmann, encontramos:
- (onde h = H o / (100 km / s / Mpc). Para H o = 67,4 km / s / Mpc, ou seja, h = 0,674, ρ c = 8,5 × 10 −27 kg / m 3 )
O parâmetro de densidade (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) é então definido como:
Este termo foi originalmente usado como um meio para determinar a geometria espacial do universo, onde é a densidade crítica para a qual a geometria espacial é plana (ou euclidiana). Assumindo uma densidade de energia de vácuo zero, se for maior do que a unidade, as seções espaciais do universo são fechadas; o universo acabará parando de se expandir e então entrará em colapso. Se for menos do que unidade, eles estão abertos; e o universo se expande para sempre. No entanto, também se pode incluir a curvatura espacial e os termos de energia do vácuo em uma expressão mais geral, caso em que esse parâmetro de densidade é exatamente igual à unidade. Em seguida, é uma questão de medir os diferentes componentes, geralmente designados por subscritos. De acordo com o modelo ΛCDM , existem componentes importantes devido aos bárions , matéria escura fria e energia escura . A geometria espacial do universo foi medida pela espaçonave WMAP como quase plana. Isso significa que o universo pode ser bem aproximado por um modelo onde o parâmetro de curvatura espacial é zero; no entanto, isso não significa necessariamente que o universo seja infinito: pode simplesmente ser que o universo seja muito maior do que a parte que vemos. (Da mesma forma, o fato de a Terra ser aproximadamente plana na escala dos Países Baixos não significa que a Terra seja plana: apenas implica que é muito maior do que a Holanda.)
A primeira equação de Friedmann é frequentemente vista em termos dos valores presentes dos parâmetros de densidade, ou seja,
Aqui está a densidade de radiação hoje (isto é, quando ), é a densidade da matéria ( escuro mais bariônico ) hoje, é a "densidade de curvatura espacial" hoje e é a constante cosmológica ou densidade do vácuo hoje.
Soluções úteis
As equações de Friedmann podem ser resolvidas exatamente na presença de um fluido perfeito com equação de estado
onde está a pressão , é a densidade de massa do fluido na estrutura móvel e é alguma constante.
No caso espacialmente plano ( k = 0), a solução para o fator de escala é
onde alguma constante de integração deve ser fixada pela escolha das condições iniciais. Esta família de soluções rotulada por é extremamente importante para a cosmologia. Por exemplo, descreve um universo dominado pela matéria , onde a pressão é insignificante em relação à densidade de massa. A partir da solução genérica, pode-se facilmente ver que em um universo dominado pela matéria, o fator de escala vai como
- dominado pela matéria
Outro exemplo importante é o caso de um universo dominado por radiação , ou seja, quando . Isto leva a
- radiação dominada
Observe que esta solução não é válida para o domínio da constante cosmológica, que corresponde a um . Nesse caso, a densidade de energia é constante e o fator de escala cresce exponencialmente.
Soluções para outros valores de k podem ser encontradas em Tersic, Balsa. "Lecture Notes on Astrophysics" (PDF) . Retirado em 20 de julho de 2011 ..
Misturas
Se o assunto for uma mistura de dois ou mais fluidos não interagentes, cada um com tal equação de estado, então
mantém-se separadamente para cada um desses fluidos f . Em cada caso,
de onde nós obtemos
Por exemplo, pode-se formar uma combinação linear de tais termos
onde: A é a densidade de "poeira" (matéria comum, w = 0) quando = 1; B é a densidade da radiação ( w = 1/3) quando = 1; e C é a densidade da "energia escura" ( w = -1). Em seguida, substitui isso em
e resolve em função do tempo.
Derivação detalhada
Para tornar as soluções mais explícitas, podemos derivar os relacionamentos completos da primeira equação de Friedman:
com
Reorganizando e mudando para usar variáveis e para a integração
Soluções para a dependência do fator de escala em relação ao tempo para universos dominados por cada componente podem ser encontradas. Em cada um deles também assumimos isso , o que é o mesmo que assumir que a fonte dominante de densidade de energia é .
Para universos dominados pela matéria, onde e , bem como .
que recupera o mencionado
Para universos dominados por radiação, onde e , bem como
Para universos dominados, onde e , bem como , e onde agora iremos mudar nossos limites de integração de para e da mesma forma para .
A solução do universo dominado é de particular interesse porque a segunda derivada com respeito ao tempo é positiva, diferente de zero; em outras palavras, implicando em uma expansão acelerada do universo, tornando-se um candidato à energia escura :
Onde por construção , nossas suposições eram , e têm sido avaliadas como positivas, forçando a aceleração a ser maior que zero.
Equação de Friedmann reescalonada
Defina , onde e estão separadamente o fator de escala e o parâmetro de Hubble hoje. Então podemos ter
onde . Para qualquer forma de potencial efetivo , existe uma equação de estado que o produzirá.
Veja também
Notas
Leitura adicional
- Liebscher, Dierck-Ekkehard (2005). "Expansão" . Cosmologia . Berlim: Springer. pp. 53–77. ISBN 3-540-23261-3.