Teorema de Frobenius (álgebras de divisão real) - Frobenius theorem (real division algebras)

Em matemática , mais especificamente em álgebra abstrata , o teorema de Frobenius , provado por Ferdinand Georg Frobenius em 1877, caracteriza os finito-dimensionais associativas álgebras de divisão ao longo dos números reais . De acordo com o teorema, cada álgebra é isomórfica a um dos seguintes:

Essas álgebras têm dimensão real 1, 2 e 4 , respectivamente. Destas três álgebras, R e C são comutativas , mas H não é.

Prova

Os ingredientes principais para a prova a seguir são o teorema de Cayley-Hamilton e o teorema fundamental da álgebra .

Apresentando alguma notação

  • Seja D a álgebra de divisão em questão.
  • Deixe n ser a dimensão da D .
  • Nós identificar os múltiplos reais 1 com R .
  • Quando escrevemos uma ≤ 0 para um elemento a de D , assumimos tacitamente que um está contido em R .
  • Podemos considerar D como um R - espaço vetorial de dimensão finita . Qualquer elemento d de D define um endomorfismo de D por multiplicação à esquerda, identificamos d com esse endomorfismo. Portanto, podemos falar sobre o traço de d , e seus polinômios característicos e mínimos .
  • Para qualquer z em C, defina o seguinte polinômio quadrático real:
Note-se que, se zCR então Q ( z ; x ) é irredutível sobre R .

A reivindicação

A chave do argumento é a seguinte

Alegar. O conjunto V de todos os elementos a de D tal que a 2 ≤ 0 é um subespaço vetorial de D de dimensão n - 1 . Além disso, D = RV como espaços vetoriais R , o que implica que V gera D como uma álgebra.

Prova de alegação: seja m a dimensão de D como um espaço vetorial R e escolha a em D com polinômio característico p ( x ) . Pelo teorema fundamental da álgebra, podemos escrever

Podemos reescrever p ( x ) em termos dos polinômios Q ( z ; x ) :

Desde z jC \ R , os polinómios Q ( z j ; x ) são todos irredutível sobre R . Pelo teorema de Cayley-Hamilton, p ( a ) = 0 e como D é uma álgebra de divisão, segue que a - t i = 0 para algum i ou que Q ( z j ; a ) = 0 para algum j . O primeiro caso implica que a é real. No segundo caso, segue que Q ( z j ; x ) é o polinômio mínimo de a . Como p ( x ) tem as mesmas raízes complexas que o polinômio mínimo e porque é real, segue-se que

Como p ( x ) é o polinômio característico de a, o coeficiente de x 2 k −1 em p ( x ) é tr ( a ) até um sinal. Portanto, lemos da equação acima, temos: tr ( a ) = 0 se e somente se Re ( z j ) = 0 , em outras palavras tr ( a ) = 0 se e somente se a 2 = - | z j | 2 <0 .

Portanto, V é o subconjunto de todo a com tr ( a ) = 0 . Em particular, é um subespaço vetorial. O teorema da nulidade da classificação, então, implica que V tem dimensão n - 1, uma vez que é o núcleo de . Desde que R e V são disjuntos (isto é, eles satisfazem ), e as suas dimensões soma de n , temos que D = RV .

O final

Para a , b em V, defina B ( a , b ) = (- ab - ba ) / 2 . Por causa da identidade ( a + b ) 2 - a 2 - b 2 = ab + ba , segue-se que B ( a , b ) é real. Além disso, como a 2 ≤ 0 , temos: B ( a , a )> 0 para a ≠ 0 . Assim, B é um positivo definitiva forma simétrica bilinear , em outras palavras, um produto interior em V .

Seja W um subespaço de V que gera D como uma álgebra e que é mínimo em relação a esta propriedade. Deixe e 1 , ..., e n ser uma base ortonormal de W com respeito a B . Então a ortonormalidade implica que:

Se n = 0 , então D é isomorfa a R .

Se n = 1 , então D é gerado por 1 e e 1 sujeito à relação e2
1
= -1
. Por isso, é isomorfa a C .

Se n = 2 , foi mostrado acima que D é gerado por 1, e 1 , e 2 sujeito às relações

Estas são, precisamente, as relações para H .

Se n > 2 , então D não pode ser uma álgebra de divisão. Suponha que n > 2 . Seja u = e 1 e 2 e n . É fácil ver que u 2 = 1 (isso só funciona se n > 2 ). Se D fosse uma álgebra de divisão, 0 = u 2 - 1 = ( u - 1) ( u + 1) implica u = ± 1 , que por sua vez significa: e n = ∓ e 1 e 2 e assim e 1 , .. ., e n -1 gerar D . Isto contradiz o minimalidade de W .

Observações e resultados relacionados

  • O fato de D ser gerado por e 1 , ..., e n sujeito às relações acima significa que D é a álgebra de Clifford de R n . A última etapa mostra que as únicas álgebras de Clifford reais que são álgebras de divisão são Cℓ 0 , Cℓ 1 e Cℓ 2 .
  • Como consequência, a única conmutativos álgebra de divisão são de R e C . Observe também que H não é uma C- álgebra. Se fosse, em seguida, o centro de H tem que contêm C , mas o centro de H é R . Portanto, a única álgebra de divisão de dimensão finita sobre C é o próprio C.
  • Este teorema está intimamente relacionado com o teorema de Hurwitz , que afirma que o único verdadeiro álgebra de divisão normados são R , C , H , e a álgebra (associativo não-) ó .
  • Variante de pontryagin. Se D é um ligado , localmente compacto divisão do anel , então D = R , C , ou H .

Referências

  • Ray E. Artz (2009) Scalar Algebras and Quaternions , Teorema 7.1 "Classificação de Frobenius", página 26.
  • Ferdinand Georg Frobenius (1878) " Über lineare Substitutionen und bilineare Formen ", Journal für die reine und angewandte Mathematik 84: 1-63 ( Crelle's Journal ). Reimpresso em Gesammelte Abhandlungen Band I, pp. 343–405.
  • Yuri Bahturin (1993) Basic Structures of Modern Algebra , Kluwer Acad. Bar. pp. 30–2 ISBN  0-7923-2459-5 .
  • Leonard Dickson (1914) Linear Algebras , Cambridge University Press . Ver §11 "Álgebra de quatérnios reais; seu lugar único entre as álgebras", páginas 10 a 12.
  • RS Palais (1968) "The Classification of Real Division Algebras" American Mathematical Monthly 75: 366–8.
  • Lev Semenovich Pontryagin , Topological Groups , página 159, 1966.