Frustum - Frustum

Conjunto de frustums piramidais
Exemplos: tronco pentagonal e quadrado
Rostos	n trapézios , 2 n -gons
Arestas	3 n
Vértices	2 n
Grupo de simetria	C n v , [1, n ], (* nn )
Propriedades	convexo

Na geometria , um tronco de cone (plural: frusta ou troncos de cone ) é a porção de um sólido (normalmente um cone ou pirâmide ) que se situa entre um ou dois planos paralelos cortá-lo. Um tronco direito é um truncamento paralelo de uma pirâmide direita ou cone direito.

Na computação gráfica , o tronco de visualização é a região tridimensional visível na tela. É formada por uma pirâmide recortada ; em particular, o abate de frustum é um método de determinação de superfície oculta .

Na indústria aeroespacial , um tronco é a carenagem entre dois estágios de um foguete de vários estágios (como o Saturn V ), que tem a forma de um cone truncado .

Se todas as arestas forem forçadas a serem idênticas , um tronco se torna um prisma uniforme .

Elementos, casos especiais e conceitos relacionados

Frustum quadrado

Um octaedro regular pode ser aumentado em 3 faces para criar um tronco triangular

O eixo de um tronco é o do cone ou pirâmide original. Um tronco é circular se tiver bases circulares; é correto se o eixo é perpendicular a ambas as bases, e oblíquo caso contrário.

A altura de um tronco é a distância perpendicular entre os planos das duas bases.

Cones e pirâmides podem ser vistos como casos degenerados de frusta, onde um dos planos de corte passa pelo ápice (de forma que a base correspondente se reduz a um ponto). O frusta piramidal é uma subclasse dos prismatoides .

Duas frusta unidas em suas bases formam um bifrustum .

Fórmula

Volume

A fórmula do volume de um tronco de uma pirâmide quadrada foi introduzida pela matemática egípcia antiga no que é chamado de Papiro Matemático de Moscou , escrito na 13ª dinastia ( c.  1850 aC ):

${\ displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} h \ left (a ^ {2} + ab + b ^ {2} \ right).}$

onde um e b são a base e comprimentos lado superior da pirâmide truncada, e h é a altura. Os egípcios sabiam a fórmula correta para obter o volume de uma pirâmide quadrada truncada, mas nenhuma prova dessa equação é fornecida no papiro de Moscou.

O volume de um tronco cônico ou piramidal é o volume do sólido antes de cortar o ápice, menos o volume do ápice:

${\ displaystyle V = {\ frac {h_ {1} B_ {1} -h_ {2} B_ {2}} {3}}}$

onde B ₁ é a área de uma base, B ₂ é a área da outra base e h ₁ , h ₂ são as alturas perpendiculares do ápice aos planos das duas bases.

Considerando que

${\ displaystyle {\ frac {B_ {1}} {h_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {B_ {2}} {h_ {2} ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {B_ {1} B_ {2}}} {h_ {1} h_ {2}}} = \ alpha}$,

a fórmula do volume pode ser expressa como um produto desta proporcionalidade α / 3 e uma diferença de cubos de alturas h ₁ e h ₂ apenas.

${\ displaystyle V = {\ frac {h_ {1} \ alpha h_ {1} ^ {2} -h_ {2} \ alpha h_ {2} ^ {2}} {3}} = {\ frac {\ alpha } {3}} (h_ {1} ^ {3} -h_ {2} ^ {3})}$

Ao fatorar a diferença de dois cubos, a ³ - b ³ = (a - b) (a ² + ab + b ² ) , obtém-se h ₁ - h ₂ = h , a altura do tronco e α * ( h ₁ ² + h ₁ h ₂ + h ₂ ²/3) .

Distribuindo α e substituindo de sua definição, obtém-se a média Heroniana das áreas B ₁ e B ₂ . A fórmula alternativa é, portanto,

${\ displaystyle V = {\ frac {h} {3}} \ left (B_ {1} + {\ sqrt {B_ {1} B_ {2}}} + B_ {2} \ right)}$.

Heron de Alexandria é conhecida por derivar esta fórmula e com ela encontrar a unidade imaginária , a raiz quadrada de um negativo.

Em particular, o volume de um tronco de cone circular é

${\ displaystyle V = {\ frac {\ pi h} {3}} \ left (r_ {1} ^ {2} + r_ {1} r_ {2} + r_ {2} ^ {2} \ right)}$

onde r ₁ , r ₂ são os raios das duas bases.

O volume de um tronco piramidal cujas bases são polígonos regulares de n lados é

${\ displaystyle V = {\ frac {nh} {12}} \ left (a_ {1} ^ {2} + a_ {1} a_ {2} + a_ {2} ^ {2} \ right) \ cot { \ frac {\ pi} {n}}}$

onde um ₁ e um ₂ são os lados das duas bases.

Superfície

Tronco cônico

Modelo 3D de um tronco cônico.

Para um tronco cônico circular direito

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Lateral surface area}} & = \ pi \ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) s \\ & = \ pi \ left (r_ {1 } + r_ {2} \ right) {\ sqrt {\ left (r_ {1} -r_ {2} \ right) ^ {2} + h ^ {2}}} \ end {alinhado}}}$

e

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ text {Área total da superfície}} & = \ pi \ left (\ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) s + r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} \ right) \\ & = \ pi \ left (\ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) {\ sqrt {\ left (r_ {1} -r_ { 2} \ direita) ^ {2} + h ^ {2}}} + r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} \ direita) \ end {alinhado}}}$

onde r ₁ e r ₂ são os raios da base e do topo, respectivamente, e s é a altura inclinada do tronco.

A área de superfície de um tronco direito cujas bases são polígonos regulares de n lados semelhantes é

${\ displaystyle A = {\ frac {n} {4}} \ left [\ left (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} \ right) \ cot {\ frac {\ pi} {n}} + {\ sqrt {\ left (a_ {1} ^ {2} -a_ {2} ^ {2} \ right) ^ {2} \ sec ^ {2} {\ frac {\ pi} { n}} + 4h ^ {2} \ esquerda (a_ {1} + a_ {2} \ direita) ^ {2}}} \ direita]}$

onde um ₁ e um ₂ são os lados das duas bases.

Exemplos

Os chocolates da marca Rolo se aproximam de um tronco cônico circular direito, embora não plano no topo.

• No verso (reverso) de uma nota de um dólar dos Estados Unidos , um tronco piramidal aparece no verso do Grande Selo dos Estados Unidos , encimado pelo Olho da Providência .
• Zigurates , pirâmides de degraus e certos montes nativos americanos antigos também formam o tronco de uma ou mais pirâmides, com recursos adicionais, como escadas.
• Pirâmides chinesas .
• O John Hancock Center em Chicago , Illinois , é um tronco cujas bases são retângulos.
• O Monumento a Washington é um tronco piramidal estreito e quadrado, encimado por uma pequena pirâmide.
• O tronco de visualização em computação gráfica 3D é um campo de visão utilizável de uma câmera fotográfica ou de vídeo virtual modelado como um tronco piramidal.
• Na tradução para o inglês da coleção de contos de Stanislaw Lem , The Cyberiad , o poema Love and tensor algebra afirma que "todo frustum deseja ser um cone".
• Baldes e abajures típicos são exemplos cotidianos de troncos cônicos.
• Copos e algumas cápsulas espaciais também são alguns exemplos.

Veja também

• Tronco esférico

Notas

Referências

links externos

• Derivação da fórmula para o volume dos troncos da pirâmide e do cone (Mathalino.com)
• Weisstein, Eric W. "Pyramidal frustum" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Conical frustum" . MathWorld .
• Modelos de papel de frustums (pirâmides truncadas)
• Modelo de papel do tronco (cone truncado)
• Projetar modelos de papel de tronco cônico (cones truncados)