Teoria de Galois - Galois theory

Malha de subgrupos e subcampos mostrando seus grupos de Galois correspondentes.
O diagrama de rede de Q une as raízes quadradas positivas de 2 e 3, seus subcampos e grupos de Galois.

Na matemática , a teoria de Galois , originalmente introduzida por Évariste Galois , fornece uma conexão entre a teoria de campo e a teoria de grupo . Essa conexão, teorema fundamental da teoria de Galois , permite reduzir certos problemas da teoria de campos à teoria de grupos, o que os torna mais simples e fáceis de entender.

Galois introduziu o assunto para estudar raízes de polinômios . Isso permitiu a ele caracterizar as equações polinomiais que são solucionáveis ​​por radicais em termos de propriedades do grupo de permutação de suas raízes - uma equação é solucionável por radicais se suas raízes puderem ser expressas por uma fórmula envolvendo apenas inteiros , n- raízes e o quatro operações aritméticas básicas . Isso generaliza amplamente o teorema de Abel-Ruffini , que afirma que um polinômio geral de grau pelo menos cinco não pode ser resolvido por radicais.

A teoria de Galois tem sido usada para resolver problemas clássicos, incluindo mostrar que dois problemas da antiguidade não podem ser resolvidos como foram declarados ( dobrar o cubo e trissecar o ângulo ) e caracterizar os polígonos regulares que são construtíveis (esta caracterização foi dada anteriormente por Gauss , mas todas as provas conhecidas de que esta caracterização é completa requerem a teoria de Galois).

O trabalho de Galois foi publicado quatorze anos após sua morte por Joseph Liouville . A teoria demorou mais para se tornar popular entre os matemáticos e ser bem compreendida.

A teoria de Galois foi generalizada para as conexões de Galois e a teoria de Galois de Grothendieck .

Aplicação a problemas clássicos

O nascimento e o desenvolvimento da teoria de Galois foram causados ​​pela seguinte questão, que foi uma das principais questões matemáticas em aberto até o início do século 19:

Existe uma fórmula para as raízes de uma equação polinomial de quinto (ou superior) grau em termos dos coeficientes do polinômio, usando apenas as operações algébricas usuais (adição, subtração, multiplicação, divisão) e aplicação de radicais (raízes quadradas, raízes cúbicas, etc)?

O teorema de Abel-Ruffini fornece um contra-exemplo provando que existem equações polinomiais para as quais tal fórmula não pode existir. A teoria de Galois fornece uma resposta muito mais completa a esta questão, explicando por que é possível resolver algumas equações, incluindo todas as de grau quatro ou inferior, da maneira acima, e por que não é possível para a maioria das equações de grau cinco ou mais alto. Além disso, fornece um meio de determinar se uma equação particular pode ser resolvida que seja conceitualmente claro e facilmente expresso como um algoritmo .

A teoria de Galois também dá uma visão clara das questões relativas aos problemas na construção de compasso e régua . Fornece uma caracterização elegante das relações de comprimentos que podem ser construídas com este método. Usando isso, torna-se relativamente fácil responder a problemas clássicos de geometria como

  1. Quais polígonos regulares são construtíveis ?
  2. Por que não é possível trissecionar todos os ângulos usando uma bússola e uma régua ?
  3. Por que não é possível dobrar o cubo com o mesmo método?

História

Pré-história

A teoria de Galois teve origem no estudo de funções simétricas - os coeficientes de um polinômio mônico são (até o sinal) os polinômios simétricos elementares nas raízes. Por exemplo, ( x - um ) ( x - b ) = x 2 - ( a + b ) x + ab , em que 1, um + b e ab são os polinómios elementares de grau 0, 1 e 2 em duas variáveis.

Isso foi formalizado pela primeira vez pelo matemático francês do século 16, François Viète , nas fórmulas de Viète , para o caso de raízes reais positivas. Na opinião do matemático britânico do século XVIII Charles Hutton , a expressão dos coeficientes de um polinômio em termos de raízes (não apenas para raízes positivas) foi entendida pela primeira vez pelo matemático francês do século XVII Albert Girard ; Hutton escreve:

... [Girard foi] a primeira pessoa a compreender a doutrina geral da formação dos coeficientes dos poderes a partir da soma das raízes e seus produtos. Ele foi o primeiro a descobrir as regras para somar os poderes das raízes de qualquer equação.

Nesse sentido, o discriminante é uma função simétrica nas raízes que reflete as propriedades das raízes - é zero se e somente se o polinômio tiver uma raiz múltipla, e para polinômios quadráticos e cúbicos é positivo se e somente se todas as raízes forem real e distinto, e negativo se e somente se houver um par de raízes conjugadas complexas distintas. Consulte Discriminante: Natureza das raízes para obter detalhes.

A cúbica foi parcialmente resolvida pela primeira vez pelo matemático italiano Scipione del Ferro do século 15–16 , que, entretanto, não publicou seus resultados; este método, porém, resolveu apenas um tipo de equação cúbica. Essa solução foi então redescoberta de forma independente em 1535 por Niccolò Fontana Tartaglia , que a compartilhou com Gerolamo Cardano , pedindo-lhe que não a publicasse. Cardano então estendeu isso a vários outros casos, usando argumentos semelhantes; veja mais detalhes no método de Cardano . Após a descoberta da obra de del Ferro, ele sentiu que o método de Tartaglia não era mais segredo e, assim, publicou sua solução em seu Ars Magna de 1545 . Seu aluno Lodovico Ferrari resolveu o polinômio quártico; sua solução também foi incluída no Ars Magna. Neste livro, porém, Cardano não forneceu uma "fórmula geral" para a solução de uma equação cúbica, pois não tinha nem números complexos à sua disposição, nem a notação algébrica para descrever uma equação cúbica geral. Com o benefício da notação moderna e dos números complexos, as fórmulas neste livro funcionam no caso geral, mas Cardano não sabia disso. Foi Rafael Bombelli quem conseguiu entender como trabalhar com números complexos para resolver todas as formas de equação cúbica.

Um passo posterior foi o artigo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations , do matemático franco-italiano Joseph Louis Lagrange , em seu método de resolventes de Lagrange , onde analisou a solução de Cardano e Ferrari de cúbicas e quárticas considerando-as em termos de permutações de as raízes, que produziram um polinômio auxiliar de grau inferior, proporcionando uma compreensão unificada das soluções e lançando as bases para a teoria dos grupos e a teoria de Galois. Crucialmente, no entanto, ele não considerou a composição das permutações. O método de Lagrange não se estendeu às equações quínticas ou superiores, porque o resolvente tinha grau superior.

Quase se provou que a quíntica não tinha soluções gerais por radicais por Paolo Ruffini em 1799, cujo principal insight foi usar grupos de permutação , não apenas uma única permutação. Sua solução continha uma lacuna, que Cauchy considerou menor, embora não tenha sido corrigida até o trabalho do matemático norueguês Niels Henrik Abel , que publicou uma prova em 1824, estabelecendo assim o teorema de Abel-Ruffini .

Enquanto Ruffini e Abel estabeleceram que a quíntia geral não poderia ser resolvida, algumas quínticas em particular podem ser resolvidas, como x 5 - 1 = 0 , e o critério preciso pelo qual um dado quíntico ou polinômio superior poderia ser determinado como solucionável ou não foi dada por Évariste Galois , que mostrou que se um polinômio era solucionável ou não era equivalente a se o grupo de permutação de suas raízes - em termos modernos, seu grupo de Galois - tinha uma certa estrutura - em termos modernos, fosse ou não era um grupo solucionável . Este grupo sempre foi solucionável para polinômios de grau quatro ou menos, mas nem sempre para polinômios de grau cinco e maior, o que explica por que não há solução geral em graus superiores.

Os escritos de Galois

Évariste Galois
Um retrato de Évariste Galois com cerca de 15 anos

Em 1830, Galois (aos 18 anos) apresentou à Academia de Ciências de Paris um livro de memórias sobre sua teoria da solubilidade dos radicais; O artigo de Galois acabou sendo rejeitado em 1831 por ser muito superficial e por fornecer uma condição em termos das raízes da equação em vez de seus coeficientes. Galois então morreu em um duelo em 1832, e seu artigo, " Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux ", permaneceu inédito até 1846, quando foi publicado por Joseph Liouville acompanhado de algumas de suas próprias explicações. Antes desta publicação, Liouville anunciou o resultado de Galois para a Academia em um discurso que fez em 4 de julho de 1843. De acordo com Allan Clark, a caracterização de Galois "substitui dramaticamente o trabalho de Abel e Ruffini".

Rescaldo

A teoria de Galois era notoriamente difícil para seus contemporâneos entenderem, especialmente no nível em que eles poderiam expandi-la. Por exemplo, em seu comentário de 1846, Liouville perdeu completamente o núcleo da teoria do grupo do método de Galois. Joseph Alfred Serret, que participou de algumas das palestras de Liouville, incluiu a teoria de Galois em sua edição de 1866 (terceira edição) de seu livro Cours d'algèbre supérieure . O aluno de Serret, Camille Jordan , teve uma compreensão ainda melhor refletida em seu livro de 1870, Traité des substituutions et des équations algébriques . Fora da França, a teoria de Galois permaneceu mais obscura por um longo período. Na Grã-Bretanha, Cayley não conseguiu compreender sua profundidade e os populares livros de álgebra britânicos nem mesmo mencionaram a teoria de Galois até bem depois da virada do século. Na Alemanha, os escritos de Kronecker se concentraram mais no resultado de Abel. Dedekind escreveu pouco sobre a teoria de Galois, mas deu uma palestra sobre ela em Göttingen em 1858, mostrando um bom entendimento. Os livros de Eugen Netto da década de 1880, baseados no Traité de Jordan , tornaram a teoria de Galois acessível a um público mais amplo de alemão e americano, assim como o livro de álgebra de 1895 de Heinrich Martin Weber .

Abordagem de grupo de permutação

Dado um polinômio, pode ser que algumas das raízes estejam conectadas por várias equações algébricas . Por exemplo, pode ser que para duas das raízes, digamos A e B , A 2 + 5 B 3 = 7 . A ideia central da teoria de Galois é considerar permutações (ou rearranjos) das raízes de modo que qualquer equação algébrica satisfeita pelas raízes ainda seja satisfeita após as raízes terem sido permutadas. Originalmente, a teoria foi desenvolvida para equações algébricas cujos coeficientes são números racionais . Ele se estende naturalmente a equações com coeficientes em qualquer campo , mas isso não será considerado nos exemplos simples abaixo.

Essas permutações juntas formam um grupo de permutação , também chamado de grupo de Galois do polinômio, que é explicitamente descrito nos exemplos a seguir.

Equação quadrática

Considere a equação quadrática

Usando a fórmula quadrática , descobrimos que as duas raízes são

Exemplos de equações algébricas satisfeitas por A e B incluem

e

Se trocarmos A e B em qualquer uma das duas últimas equações, obteremos outra afirmação verdadeira. Por exemplo, a equação A + B = 4 torna-se B + A = 4 . É mais geralmente verdade que isso se aplica a todas as relações algébricas possíveis entre A e B, de modo que todos os coeficientes são racionais ; isto é, em qualquer relação, trocar A e B produz outra relação verdadeira. Isso resulta da teoria dos polinômios simétricos , que, neste caso, podem ser substituídos por manipulações de fórmulas envolvendo o teorema binomial .

Pode-se objetar que A e B estão relacionados pela equação algébrica A - B - 2 3 = 0 , que não permanece verdadeira quando A e B são trocados. Porém, esta relação não é considerada aqui, pois possui o coeficiente −2 3 que não é racional .

Conclui-se que o grupo de Galois do polinómio x 2 - 4 x + 1 consiste de duas permutações: a identidade de permutação que deixa um e B intacto, e a transposição de permutação que as trocas A e B . É um grupo cíclico de ordem dois, e, por conseguinte, isomorfo para Z / 2 Z .

Uma discussão semelhante aplica-se a qualquer polinomial quadrática ax 2 + bx + c , onde um , b e c são números racionais.

  • Se o polinômio tem raízes racionais, por exemplo x 2 - 4 x + 4 = ( x - 2) 2 , ou x 2 - 3 x + 2 = ( x - 2) ( x - 1) , então o grupo de Galois é trivial ; ou seja, ele contém apenas a permutação de identidade. Neste exemplo, se A = 2 e B = 1, então A - B = 1 não é mais verdadeiro quando A são B são trocados.
  • Se ele tiver duas raízes irracionais , por exemplo x 2 - 2 , então o grupo de Galois contém duas permutações, assim como no exemplo acima.

Equação quártica

Considere o polinômio

que também pode ser escrito como

Desejamos descrever o grupo de Galois deste polinômio, novamente sobre o campo dos números racionais . O polinômio tem quatro raízes:

Existem 24 maneiras possíveis de permutar essas quatro raízes, mas nem todas essas permutações são membros do grupo de Galois. Os membros do grupo de Galois deve preservar qualquer equação algébrica com coeficientes racionais envolvendo Um , B , C e D .

Entre essas equações, temos:

Conclui-se que, se φ é uma permutação que pertence ao grupo de Galois, devemos ter:

Isso implica que a permutação está bem definida pela imagem de A , e que o grupo de Galois possui 4 elementos, que são:

( A , B , C , D ) → ( A , B , C , D )
( A , B , C , D ) → ( B , A , D , C )
( A , B , C , D ) → ( C , D , A , B )
( A , B , C , D ) → ( D , C , B , A )

Isso implica que o grupo de Galois é isomórfico aos quatro grupos de Klein .

Abordagem moderna pela teoria de campo

Na abordagem moderna, um começa com uma extensão de corpo L / K (leia-se " L sobre K "), e examina o grupo de automorfismos de L que correção K . Consulte o artigo sobre os grupos de Galois para obter mais explicações e exemplos.

A conexão entre as duas abordagens é a seguinte. Os coeficientes do polinômio em questão deve ser escolhido a partir do campo de base K . O campo L superior deve ser o campo obtido juntando as raízes do polinômio em questão ao campo base. Qualquer permutação das raízes que respeite as equações algébricas, conforme descrito acima, dá origem a um automorfismo de L / K e vice-versa.

No primeiro exemplo acima, estávamos estudando a extensão Q ( 3 ) / Q , onde Q é o campo dos números racionais , e Q ( 3 ) é o campo obtido de Q pelo adjacente 3 . No segundo exemplo, que estavam a estudar a extensão Q ( A , B , C , D ) / Q .

Existem várias vantagens na abordagem moderna sobre a abordagem de grupo de permutação.

  • Ele permite uma declaração muito mais simples do teorema fundamental da teoria de Galois .
  • O uso de campos de base diferentes de Q é crucial em muitas áreas da matemática. Por exemplo, na teoria algébrica dos números , muitas vezes se faz a teoria de Galois usando campos numéricos , campos finitos ou campos locais como o campo base.
  • Permite estudar mais facilmente extensões infinitas. Novamente, isto é importante em teoria número algébrico, onde por exemplo um frequentemente discute o grupo de Galois absoluta de Q , definido como sendo o grupo de Galois de K / Q , onde K é um fecho algébrico de Q .
  • Ele permite a consideração de extensões inseparáveis . Essa questão não surge na estrutura clássica, uma vez que sempre foi implicitamente assumido que a aritmética ocorria na característica zero, mas a característica diferente de zero surge freqüentemente na teoria dos números e na geometria algébrica .
  • Ele remove a dependência um tanto artificial de perseguir raízes de polinômios. Ou seja, polinômios diferentes podem produzir os mesmos campos de extensão, e a abordagem moderna reconhece a conexão entre esses polinômios.

Grupos solucionáveis ​​e solução por radicais

A noção de um grupo solucionável na teoria dos grupos permite determinar se um polinômio é solucionável em radicais, dependendo se seu grupo de Galois tem a propriedade de solubilidade. Em essência, cada extensão de campo L / K corresponde a um grupo de fatores em uma série de composição do grupo de Galois. Se um grupo de fatores na série de composição é cíclico de ordem n , e se na extensão de campo correspondente L / K o campo K já contém uma raiz n- ésima primitiva de unidade , então é uma extensão radical e os elementos de L podem então ser expressa usando o n th raiz de algum elemento de K .

Se todos os grupos de fatores em sua série de composição são cíclicos, o grupo de Galois é chamado de solucionável , e todos os elementos do campo correspondente podem ser encontrados tomando raízes, produtos e somas de elementos repetidamente do campo base (geralmente Q ) .

Um dos grandes triunfos da Teoria de Galois foi a prova de que para cada n > 4 , existem polinômios de grau n que não são solucionáveis ​​por radicais (isso foi provado independentemente, usando um método semelhante, por Niels Henrik Abel alguns anos antes, e é o teorema de Abel-Ruffini ), e uma forma sistemática de testar se um polinômio específico é solucionável por radicais. O teorema de Abel-Ruffini resulta do fato de que para n > 4 o grupo simétrico S n contém um subgrupo normal não cíclico simples , ou seja, o grupo alternado A n .

Um exemplo quíntico não solucionável

Para o polinômio f ( x ) = x 5 - x - 1 , a única raiz real x = 1,1673 ... é algébrica, mas não pode ser expressa em termos de radicais. As outras quatro raízes são números complexos .

Van der Waerden cita o polinômio f ( x ) = x 5 - x - 1 . Pelo teorema da raiz racional, isso não tem zeros racionais. Nem tem fatores lineares módulo 2 ou 3.

O grupo de Galois de f ( x ) módulo 2 é cíclico de ordem 6, porque f ( x ) módulo 2 fatora em polinômios de ordens 2 e 3, ( x 2 + x + 1) ( x 3 + x 2 + 1) .

f ( x ) módulo 3 não tem fator linear ou quadrático e, portanto, é irredutível. Assim, seu grupo de módulo 3 de Galois contém um elemento de ordem 5.

Sabe-se que um grupo de Galois módulo um primo é isomorfo a um subgrupo do grupo de Galois sobre os racionais. Um grupo de permutação em 5 objetos com elementos de ordens 6 e 5 deve ser o grupo simétrico S 5 , que é, portanto, o grupo de Galois de f ( x ) . Este é um dos exemplos mais simples de um polinômio quíntico não solucionável. De acordo com Serge Lang , Emil Artin gostava desse exemplo.

Problema inverso de Galois

O problema inverso de Galois é encontrar uma extensão de campo com um determinado grupo de Galois.

Contanto que não se especifique também o campo terreno , o problema não é muito difícil, e todos os grupos finitos ocorrem como grupos de Galois. Para mostrar isso, pode-se proceder da seguinte maneira. Escolha um campo K e um grupo finito G . O teorema de cayley diz que G é (até isomorfismo) um subgrupo do grupo simétrico S sobre os elementos de L . Escolha indeterminados { x α } , um para cada elemento α de G , e junte-os a K para obter o campo F = K ({ x α }) . Contido em F está o campo L de funções racionais simétricas em { x α } . O grupo Galois da F / L é S , por resultado básico de Emil Artin. G actua sobre F por restrição da acção de S . Se o campo fixo desta acção é H , então, pelo teorema fundamental da teoria de Galois , o grupo de Galois de F / M é L .

Por outro lado, é um problema aberto se todo grupo finito é o grupo de Galois de uma extensão de campo do campo Q dos números racionais. Igor Shafarevich provou que todos os grupos finitos solúvel é o grupo de Galois de alguma extensão Q . Várias pessoas resolveram o problema inverso de Galois para grupos simples não-Abelianos selecionados . A existência de soluções foi demonstrada para todos, exceto possivelmente um ( grupo de Mathieu M 23 ) dos 26 grupos simples esporádicos. Existe até um polinômio com coeficientes integrais cujo grupo de Galois é o grupo Monster .

Extensões inseparáveis

Na forma mencionada acima, incluindo em particular o teorema fundamental da teoria de Galois , a teoria considera apenas extensões de Galois, que são em particular separáveis. Extensões de campo gerais podem ser divididas em separáveis, seguidas por uma extensão de campo puramente inseparável . Para uma extensão puramente inseparável F / K , existe uma teoria de Galois onde o grupo de Galois é substituído pelo espaço vectorial de derivações , , ou seja, K - endomorfismos lineares de F satisfazendo a regra Leibniz. Nesta correspondência, um campo intermediário E é atribuído . Por outro lado, um subespaço que satisfaça as condições adicionais apropriadas é mapeado . Partindo do pressuposto , Jacobson (1944) mostrou que isso estabelece uma correspondência um a um. A condição imposta por Jacobson foi removida por Brantner & Waldron (2020) , ao dar uma correspondência usando noções de geometria algébrica derivada .

Veja também

Notas

Referências

links externos