Gang Tian - Tian Gang

Nesse nome chinês , o sobrenome é Tian .
Tian Gang
Gang Tian.jpeg
Tian em Oberwolfach em 2005
Nascer ( 1958-11-24 ) 24 de novembro de 1958 (62 anos)
Nanjing , Jiangsu , China
Nacionalidade China
Alma mater Harvard University
Peking University
Nanjing University
Conhecido por Yau-Tian-Donaldson conjectura
estabilidade-K
Prêmios Prêmio Veblen (1996) Prêmio
Alan T. Waterman (1994)
Carreira científica
Campos Matemática
Instituições Princeton University
Peking University
Orientador de doutorado Shing-Tung Yau
Alunos de doutorado Nataša Šešum
nome chinês
Chinês tradicional 田 剛
Chinês simplificado 田 刚

Tian Gang ( chinês : 田 刚 ; nascido em 24 de novembro de 1958) é um matemático chinês . Ele é professor de matemática na Peking University e Higgins Professor Emeritus na Princeton University . Ele é conhecido por suas contribuições aos campos matemáticos da geometria de Kähler , da teoria de Gromov-Witten e da análise geométrica .

Em 2020, ele é o vice-presidente da Liga Democrática da China e o presidente da Sociedade Matemática Chinesa . De 2017 a 2019, ele atuou como vice-presidente da Universidade de Pequim .

Biografia

Tian nasceu em Nanjing , Jiangsu , China. Ele se qualificou no segundo vestibular após a Revolução Cultural em 1978. Ele se formou na Universidade de Nanjing em 1982 e recebeu um título de mestre pela Universidade de Pequim em 1984. Em 1988, ele recebeu o doutorado. em matemática pela Harvard University , sob a supervisão de Shing-Tung Yau .

Em 1998, foi nomeado professor Cheung Kong Scholar na Universidade de Pequim. Posteriormente, sua nomeação foi alterada para a cátedra Cheung Kong Scholar. Ele foi professor de matemática no Massachusetts Institute of Technology de 1995 a 2006 (ocupando a cadeira de Simons Professor of Mathematics de 1996). Seu emprego em Princeton começou em 2003, e mais tarde foi nomeado Professor Higgins de Matemática. A partir de 2005, ele foi o diretor do Centro Internacional de Pesquisa Matemática de Pequim (BICMR); de 2013 a 2017 foi Reitor da Escola de Ciências Matemáticas da Universidade de Pequim. Ele e John Milnor são bolsistas seniores do Clay Mathematics Institute (CMI). Em 2011, Tian tornou-se diretor do Programa Sino-Francês de Pesquisa em Matemática no Centre national de la recherche scientifique (CNRS) em Paris . Em 2010, ele se tornou consultor científico para o Centro Internacional de Física Teórica em Trieste , Itália.

Tian serviu em muitos comitês, incluindo o Prêmio Abel e o Prêmio Leroy P. Steele . Ele é membro do conselho editorial de muitas revistas, incluindo Advances in Mathematics e Journal of Geometric Analysis. No passado, ele fez parte do conselho editorial do Annals of Mathematics e do Journal of the American Mathematical Society .

Entre seus prêmios e homenagens:

Desde pelo menos 2013, ele tem estado fortemente envolvido na política chinesa, servindo como vice-presidente da Liga Democrática da China , o segundo partido político mais populoso da China .

Contribuições matemáticas

O problema Kähler-Einstein

Tian é bem conhecido por suas contribuições à geometria Kähler e, em particular, ao estudo das métricas Kähler-Einstein . Shing-Tung Yau , em sua famosa resolução da conjectura de Calabi , havia resolvido o caso de variedades Kähler fechadas com primeira classe Chern não positiva. Seu trabalho na aplicação do método de continuidade mostrou que o controle C 0 dos potenciais Kähler seria suficiente para provar a existência de métricas Kähler-Einstein em variedades Kähler fechadas com primeira classe Chern positiva, também conhecidas como "variedades Fano".

Tian, ​​em 1987, introduziu a " α -invariante", que é essencialmente a constante ótima na desigualdade de Moser-Trudinger quando aplicada aos potenciais de Kähler com um valor supremal de 0. Ele mostrou que se a α -invariante for suficientemente grande (ou seja, se uma desigualdade de Moser-Trudinger suficientemente forte for mantida), então o controle C 0 no método de continuidade de Yau poderia ser alcançado. Isso foi aplicado para demonstrar novos exemplos de superfícies Kähler-Einstein.

O caso das superfícies de Kähler foi revisitado por Tian em 1990, dando uma resolução completa do problema de Kähler-Einstein naquele contexto. A técnica principal foi estudar as possíveis degenerações geométricas de uma sequência de métricas de Kähler-Einstein, detectáveis ​​pela convergência de Gromov-Hausdorff . Tian adaptou muitas das inovações técnicas de Karen Uhlenbeck , conforme desenvolvido para conexões Yang-Mills, para a configuração das métricas Kähler. Alguns trabalhos semelhantes e influentes no cenário Riemanniano foram feitos em 1989 e 1990 por Michael Anderson , Shigetoshi Bando, Atsushi Kasue e Hiraku Nakajima .

A contribuição mais conhecida de Tian para o problema Kähler-Einstein veio em 1997. Yau conjecturou na década de 1980, com base em parte na analogia com o teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau , que a existência de uma métrica Kähler-Einstein deveria corresponder à estabilidade do Kähler subjacente múltiplo em um certo sentido da teoria dos invariantes geométricos . Foi geralmente entendido, especialmente após o trabalho de Akito Futaki, que a existência de campos vetoriais holomórficos deveria atuar como uma obstrução à existência de métricas de Kähler-Einstein. Tian, ​​em seu artigo de 1997, deu exemplos concretos de variedades Kähler que não tinham campos de vetores holomórficos e também nenhuma métrica Kähler-Einstein, mostrando que o critério ideal é mais profundo. Yau havia proposto que, ao invés de campos de vetores holomórficos na variedade em si, deveria ser relevante estudar as deformações de embeddings projetivos de variedades de Kähler sob campos de vetores holomórficos no espaço projetivo. Essa ideia foi modificada por Tian, ​​introduzindo a noção de K-estabilidade e mostrando que qualquer variedade Kähler-Einstein deve ser K-estável.

Simon Donaldson , em 2002, modificou e ampliou a definição de estabilidade K de Tian. A conjectura de que a estabilidade K seria suficiente para garantir a existência de uma métrica Kähler-Einstein ficou conhecida como conjectura de Yau-Tian-Donaldson . Em 2015, Xiuxiong Chen , Donaldson e Song Sun publicaram uma prova da conjectura, recebendo o Prêmio Oswald Veblen de Geometria por seu trabalho. Tian publicou uma prova da conjectura no mesmo ano, embora Chen, Donaldson e Sun tenham acusado Tian de má conduta acadêmica e matemática em seu artigo.

Geometria Kähler

Em um artigo de 1987, Tian estudou o espaço das métricas de Calabi-Yau em um coletor Kähler. Ele mostrou que qualquer deformação infinitesimal da estrutura Calabi-Yau pode ser 'integrada' a uma família de um parâmetro de métricas Calabi-Yau; isso prova que o "espaço de módulos" das métricas de Calabi-Yau na variedade fornecida tem a estrutura de uma variedade lisa. Isso também foi estudado anteriormente por Andrey Todorov, e o resultado é conhecido como teorema de Tian-Todorov. Como aplicação, Tian encontrou uma fórmula para a métrica Weil-Petersson no espaço dos módulos das métricas Calabi-Yau em termos de mapeamento de período .

Motivado pelo problema de Kähler-Einstein e uma conjectura de Yau relacionada às métricas de Bergman , Tian estudou o seguinte problema. Deixe L ser um feixe de linha durante um variedade de kähler M , e fixar um feixe de métrica hermitiana curvatura cuja forma é uma forma Kähler em H . Suponha-se que suficientemente grande para m , um conjunto ortonormal de secções holomorfos da linha feixe L ⊗ m define uma incorporação projectiva de M . Pode-se retirar a métrica Fubini-Study para definir uma sequência de métricas em M conforme m aumenta. Tian mostrou que um certo reescalonamento dessa sequência necessariamente convergirá na topologia C 2 para a métrica original de Kähler. Os refinados assintóticos dessa seqüência foram retomados em uma série de influentes artigos subsequentes de outros autores, e são particularmente importantes no programa de Simon Donaldson sobre métricas extremas. A aproximação de uma métrica Kähler por métricas Kähler induzidas de embeddings projetivos também é relevante para a imagem de Yau da conjectura de Yau-Tian-Donaldson, conforme indicado acima.

Em um artigo altamente técnico de 2008, Xiuxiong Chen e Tian estudaram a teoria da regularidade de certas equações complexas de Monge-Ampère , com aplicações para o estudo da geometria de métricas Kähler extremas. Embora seu artigo tenha sido amplamente citado, Julius Ross e David Witt Nyström encontraram contra-exemplos para os resultados de regularidade de Chen e Tian em 2015. Não está claro quais resultados do artigo de Chen e Tian permanecem válidos.

Teoria de Gromov-Witten

As curvas pseudo-holomórficas foram mostradas por Mikhail Gromov em 1985 como ferramentas poderosas na geometria simplética . Em 1991, Edward Witten conjecturou o uso da teoria de Gromov para definir invariantes enumerativos . Tian e Yongbin Ruan encontraram os detalhes de tal construção, provando que as várias interseções das imagens de curvas pseudo-holomórficas são independentes de muitas escolhas e, em particular, fornece um mapeamento multilinear associativo na homologia de certas variedades simpléticas. Essa estrutura é conhecida como cohomologia quântica ; uma abordagem contemporânea e igualmente influente deve-se a Dusa McDuff e Dietmar Salamon . Os resultados de Ruan e Tian são em um cenário um pouco mais geral.

Com Jun Li , Tian deu uma adaptação puramente algébrica desses resultados ao cenário de variedades algébricas . Isso foi feito ao mesmo tempo que Kai Behrend e Barbara Fantechi , usando uma abordagem diferente.

Li e Tian adaptaram seu trabalho algebro-geométrico de volta ao cenário analítico em variedades simpléticas, estendendo o trabalho anterior de Ruan e Tian. Tian e Gang Liu fizeram uso deste trabalho para provar a conhecida conjectura de Arnold sobre o número de pontos fixos dos difeomorfismos hamiltonianos. No entanto, os artigos de Li-Tian e Liu-Tian sobre a teoria simplética de Gromov-Witten foram criticados por Dusa McDuff e Katrin Wehrheim como sendo incompletos ou incorretos, dizendo que o artigo de Li e Tian "carece de quase todos os detalhes" em certos pontos e que O artigo de Liu e Tian contém "erros analíticos graves".

Análise geométrica

Em 1995, Tian e Weiyue Ding estudado o fluxo de calor mapa harmónica de um bidimensional fechada Riemaniano multiplicado num colector Riemannianos fechado N . Em um trabalho seminal em 1985, após a descoberta de Jonathan Sacks e Karen Uhlenbeck em 1982 , Michael Struwe estudou esse problema e mostrou que existe uma solução fraca que existe para todos os tempos positivos. Além disso, Struwe mostrou que a solução u é suavemente afastada de muitos pontos do espaço-tempo finitos; dada qualquer sequência de pontos do espaço-tempo em que a solução é suave e que convergem para um determinado ponto singular ( p , T ) , pode-se realizar alguns reescalonamentos para (subsequencialmente) definir um número finito de mapas harmônicos da esfera bidimensional redonda para N , chamado de "bolhas". Ding e Tian provaram uma certa "quantização de energia", o que significa que o defeito entre a energia de Dirichlet de u ( T ) e o limite da energia de Dirichlet de u ( t ) conforme t se aproxima de T é medido exatamente pela soma das energias de Dirichlet das bolhas. Esses resultados são significativos na análise geométrica, seguindo o resultado da quantização de energia original de Yum-Tong Siu e Shing-Tung Yau em sua prova da conjectura de Frankel. O problema análogo para mapas harmônicos , em oposição à consideração de Ding e Tian sobre o fluxo do mapa harmônico, foi considerado por Changyou Wang na mesma época.

Um importante artigo de Tian de 2000 lidou com as equações de Yang-Mills . Além de estender grande parte da análise de Karen Uhlenbeck para dimensões superiores, ele estudou a interação da teoria de Yang-Mills com a geometria calibrada . Uhlenbeck havia mostrado na década de 1980 que, quando dada uma sequência de conexões de Yang-Mills de energia uniformemente limitada, elas convergiriam suavemente no complemento de um subconjunto de codimensão de pelo menos quatro, conhecido como o complemento do "conjunto singular". Tian mostrou que o conjunto singular é um conjunto retificável . No caso em que o coletor está equipado com uma calibração, pode-se restringir o interesse às conexões Yang-Mills que são autoduais em relação à calibração. Nesse caso, Tian mostrou que o conjunto singular está calibrado. Por exemplo, o conjunto singular de uma sequência de conexões hermitianas de Yang-Mills de energia uniformemente limitada será um ciclo holomórfico. Esta é uma característica geométrica significativa da análise das conexões de Yang-Mills.

Em 2006, Tian e Zhou Zhang estudaram o fluxo de Ricci no cenário especial de coletores Kähler fechados . Sua principal conquista foi mostrar que o tempo máximo de existência pode ser caracterizado em termos puramente cohomológicos. Isso representa um sentido em que o fluxo Kähler-Ricci é significativamente mais simples do que o fluxo Ricci usual, onde não há cálculo (conhecido) do tempo máximo de existência a partir de um determinado contexto geométrico. A prova de Tian e Zhang consiste no uso do princípio do máximo escalar aplicado a várias equações de evolução geométrica, em termos de um potencial Kähler parametrizado por uma deformação linear de formas que é cohomóloga ao próprio fluxo Kähler-Ricci.

Em 2002 e 2003, Grigori Perelman postou três artigos no arXiv que pretendiam provar a conjectura de Poincaré e a conjectura de Geometrização no campo da topologia geométrica tridimensional . Os artigos de Perelman foram imediatamente aclamados por muitas de suas novas idéias e resultados, embora os detalhes técnicos de muitos de seus argumentos fossem considerados difíceis de verificar. Em colaboração com John Morgan , Tian publicou uma exposição dos artigos de Perelman em 2007, preenchendo muitos dos detalhes. Outras exposições, também amplamente citadas, foram escritas por Huai-Dong Cao e Xi-Ping Zhu , e por Bruce Kleiner e John Lott . Em colaboração com Nataša Šešum , Tian também publicou uma exposição do trabalho de Perelman sobre o fluxo de Ricci das variedades Kähler, que Perelman não publicou de nenhuma forma. Oito anos após a publicação do livro de Morgan e Tian, Abbas Bahri , em seu artigo "Cinco lacunas na matemática", apontou alguns de seus trabalhos como errados. Isso foi alterado por Morgan e Tian.

Publicações selecionadas

  • Tian, ​​gangue. Suavidade do espaço de deformação universal de coletores compactos Calabi-Yau e sua métrica Petersson-Weil. Aspectos matemáticos da teoria das cordas (San Diego, Califórnia, 1986), 629-646, Adv. Ser. Matemática. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapura, 1987.
  • Tian, ​​gangue. Nas métricas Kähler-Einstein em certas variedades Kähler com c 1 ( M )> 0 . Inventar. Matemática. 89 (1987), no. 2, 225–246.
  • Tian, ​​gangue. Em um conjunto de métricas Kähler polarizadas em variedades algébricas. J. Differential Geom. 32 (1990), no. 1, 99-130.
  • Tian, ​​conjectura de G. On Calabi para superfícies complexas com primeira classe de Chern positiva. Inventar. Matemática. 101 (1990), no. 1, 101–172.
  • Ding, Weiyue; Tian, ​​gangue. Identidade de energia para uma classe de mapas harmônicos aproximados de superfícies. Com. Anal. Geom. 3 (1995), no. 3-4, 543–554.
  • Ruan, Yongbin ; Tian, ​​gangue. Uma teoria matemática de cohomologia quântica. J. Differential Geom. 42 (1995), no. 2, 259–367.
  • Tian, ​​gangue. Métricas Kähler-Einstein com curvatura escalar positiva. Inventar. Matemática. 130 (1997), no. 1, 1-37.
  • Li, junho ; Tian, ​​gangue. Ciclos de módulos virtuais e invariantes de Gromov-Witten de variedades simpléticas gerais. Tópicos em variedades simpléticas de 4 (Irvine, CA, 1996), 47-83, First Int. Pressione Lect. Ser., I, Int. Press, Cambridge, MA, 1998.
  • Li, junho ; Tian, ​​gangue. Ciclos de módulos virtuais e invariantes de Gromov-Witten de variedades algébricas. J. Amer. Matemática. Soc. 11 (1998), no. 1, 119–174.
  • Liu, Gang; Tian, ​​gangue. Homologia de Floer e conjectura de Arnold. J. Differential Geom. 49 (1998), no. 1, 1-74.
  • Tian, ​​gangue. Teoria de calibre e geometria calibrada. I. Ann. da matemática. (2) 151 (2000), no. 1, 193–268.
  • Tian, ​​Gang; Zhang, Zhou. No fluxo Kähler-Ricci em variedades projetivas de tipo geral. Chinese Ann. Matemática. Ser. B 27 (2006), no. 2, 179–192.
  • Chen, XX ; Tian, ​​G. Geometria de métricas de Kähler e folheações por discos holomórficos. Publ. Matemática. Inst. Hautes Études Sci. 107 (2008), 1–107.
  • Tian, ​​gangue. Estabilidade K e métricas Kähler-Einstein. Com. Pure Appl. Matemática. 68 (2015), no. 7, 1085-1156.

Livros

  • Tian, ​​gangue. Métricas canônicas na geometria Kähler. Notas tiradas por Meike Akveld . Aulas de Matemática ETH Zürich. Birkhäuser Verlag, Basel, 2000. vi + 101 pp. ISBN   3-7643-6194-8
  • Morgan, John ; Tian, ​​gangue. Fluxo de Ricci e a conjectura de Poincaré. Clay Mathematics Monographs, 3. American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2007. xlii + 521 pp. ISBN   978-0-8218-4328-4
  • Morgan, John ; Tian, ​​gangue. A conjectura da geometrização. Clay Mathematics Monographs, 5. American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2014. x + 291 pp. ISBN   978-0-8218-5201-9

Referências

links externos