Teorema de Gauss-Bonnet - Gauss–Bonnet theorem

Um exemplo de uma região complexa onde o teorema de Gauss-Bonnet pode ser aplicado. Mostra o sinal da curvatura geodésica.

O teorema de Gauss-Bonnet , ou fórmula de Gauss-Bonnet , é uma relação entre superfícies em geometria diferencial . Ele conecta a curvatura de uma superfície (da geometria ) à sua característica de Euler (da topologia ).

Na aplicação mais simples, o caso de um triângulo em um plano , a soma de seus ângulos é 180 graus. O teorema de Gauss-Bonnet estende isso para formas mais complicadas e superfícies curvas, conectando as geometrias local e global.

O teorema tem o nome de Carl Friedrich Gauss , que desenvolveu uma versão, mas nunca a publicou, e Pierre Ossian Bonnet , que publicou um caso especial em 1848.

Demonstração

Suponhamos que é um compacto bidimensional Riemaniano multiplicado com limite . Seja a curvatura gaussiana de e seja a curvatura geodésica de . Então

onde dA é o elemento de área da superfície, e DS é o elemento de linha ao longo do limite de M . Aqui está a característica de Euler .

Se a fronteira for lisa por partes , interpretamos a integral como a soma das integrais correspondentes ao longo das porções suaves da fronteira, mais a soma dos ângulos pelos quais as porções suaves giram nos cantos da fronteira.

Muitas provas padrão usam o teorema das tangentes de giro, que afirma aproximadamente que o número de enrolamento de uma curva de Jordan é exatamente ± 1.

Interpretação e significado

O teorema se aplica em particular a superfícies compactas sem limite, caso em que o integral

pode ser omitida. Afirma que a curvatura gaussiana total de tal superfície fechada é igual a 2π vezes a característica de Euler da superfície. Observe que para superfícies compactas orientáveis sem limite, a característica de Euler é igual , onde é o gênero da superfície: Qualquer superfície compacta orientável sem limite é topologicamente equivalente a uma esfera com algumas alças anexadas e conta o número de alças.

Se alguém dobra e deforma a superfície , sua característica de Euler, sendo uma invariante topológica, não vai mudar, enquanto as curvaturas em alguns pontos vão. O teorema afirma, de forma algo surpreendente, que a integral total de todas as curvaturas permanecerá a mesma, não importa como a deformação é feita. Então, por exemplo, se você tem uma esfera com um "dente", então sua curvatura total é 4π (a característica de Euler de uma esfera sendo 2), não importa quão grande ou profundo seja o dente.

A compactação da superfície é de importância crucial. Considere, por exemplo, o disco unitário aberto , uma superfície de Riemann não compacta sem limite, com curvatura 0 e com característica de Euler 1: a fórmula de Gauss-Bonnet não funciona. No entanto, isso é verdadeiro para o disco compacto fechado, que também tem a característica de Euler 1, por causa da integral de contorno adicionada com valor 2π.

Como aplicação, um toro tem característica de Euler 0, então sua curvatura total também deve ser zero. Se o toro carrega a métrica Riemanniana comum de sua incorporação em R 3 , então o interior tem curvatura Gaussiana negativa, o exterior tem curvatura Gaussiana positiva e a curvatura total é de fato 0. Também é possível construir um toro identificando lados opostos de um quadrado, caso em que a métrica Riemanniana no toro é plana e tem curvatura constante 0, novamente resultando na curvatura total 0. Não é possível especificar uma métrica Riemanniana no toro com curvatura Gaussiana em todos os lugares positiva ou negativa em todos os lugares.

Para triângulos

Às vezes, a fórmula GB é declarada como

onde T é um triângulo geodésico . Aqui, definimos um "triângulo" em M como uma região simplesmente conectada cujo limite consiste em três geodésicas . Podemos então aplicar GB à superfície T formada pelo interior desse triângulo e a fronteira por partes do triângulo.

A curvatura geodésica das geodésicas limítrofes é 0, e a característica de Euler de T é 1.

Portanto, a soma dos ângulos de giro do triângulo geodésico é igual a 2π menos a curvatura total dentro do triângulo. Como o ângulo de giro em um canto é igual a π menos o ângulo interno, podemos reformular isso da seguinte maneira:

A soma dos ângulos internos de um triângulo geodésico é igual a π mais a curvatura total envolvida pelo triângulo.

No caso do plano (onde a curvatura gaussiana é 0 e as geodésicas são linhas retas), recuperamos a fórmula familiar para a soma dos ângulos em um triângulo comum. Na esfera padrão, onde a curvatura está em todo lugar 1, vemos que a soma dos ângulos dos triângulos geodésicos é sempre maior do que π.

Casos especiais

Uma série de resultados anteriores em geometria esférica e geometria hiperbólica, descobertos ao longo dos séculos anteriores, foram incluídos como casos especiais de Gauss-Bonnet.

Triângulos

Na trigonometria esférica e na trigonometria hiperbólica , a área de um triângulo é proporcional ao valor pelo qual seus ângulos internos falham em somar 180 °, ou equivalentemente pelo valor (inverso) pelo qual seus ângulos externos falham em somar 360 ° .

A área de um triângulo esférico é proporcional ao seu excesso, pelo teorema de Girard - o valor pelo qual seus ângulos internos somam mais de 180 °, que é igual ao valor pelo qual seus ângulos externos somam menos de 360 ​​°.

A área de um triângulo hiperbólico , inversamente, é proporcional ao seu defeito, conforme estabelecido por Johann Heinrich Lambert .

Poliedro

O teorema de Descartes sobre o defeito angular total de um poliedro é o análogo poliédrico: ele afirma que a soma do defeito em todos os vértices de um poliedro que é homeomórfico à esfera é 4π. De forma mais geral, se o poliedro tem característica de Euler (onde g é o gênero, significando "número de orifícios"), então a soma do defeito é. Este é o caso especial de Gauss-Bonnet, onde a curvatura está concentrada em pontos discretos ( os vértices).

Pensando na curvatura como uma medida , ao invés de uma função, o teorema de Descartes é Gauss-Bonnet onde a curvatura é uma medida discreta , e Gauss-Bonnet para medidas generaliza Gauss-Bonnet para variedades suaves e o teorema de Descartes.

Analógico combinatório

Existem vários análogos combinatórios do teorema de Gauss-Bonnet. Nós declaramos o seguinte. Let Ser uma pseudo-variedade bidimensional finita . Deixe denotar o número de triângulos contendo o vértice . Então

onde a primeira soma varia sobre os vértices no interior de , a segunda soma está sobre os vértices de limite e é a característica de Euler de .

Fórmulas semelhantes podem ser obtidas para pseudo-variedade bidimensional quando substituímos triângulos por polígonos superiores. Para polígonos de n vértices, devemos substituir 3 e 6 na fórmula acima por n / ( n - 2) e 2 n / ( n - 2) , respectivamente. Por exemplo, para quadriláteros , devemos substituir 3 e 6 na fórmula acima por 2 e 4, respectivamente. Mais especificamente, se é uma variedade digital bidimensional fechada , o gênero acaba

onde indica o número de pontos de superfície, cada um dos quais tem pontos adjacentes na superfície. Esta é a fórmula mais simples do teorema de Gauss-Bonnet no espaço digital 3D.

Generalizações

O teorema de Chern (após Shiing-Shen Chern 1945) é a generalização bidimensional do GB (ver também homomorfismo de Chern-Weil ).

O teorema de Riemann-Roch também pode ser visto como uma generalização de GB para variedades complexas .

Uma generalização de longo alcance que inclui todos os teoremas mencionados acima é o teorema do índice de Atiyah-Singer .

Uma generalização para 2-variedades que não precisam ser compactas é a desigualdade de Cohn-Vossen .

Na cultura popular

No romance Diáspora de Greg Egan , dois personagens discutem a derivação desse teorema.

O teorema pode ser usado diretamente como um sistema para controlar a escultura. Por exemplo, no trabalho de Edmund Harriss na coleção do University of Arkansas Honors College .

Escultura feita de materiais planos usando o Teorema de Gauss-Bonnet

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos