Função Gaussiana - Gaussian function

Em matemática , uma função gaussiana , muitas vezes referida simplesmente como gaussiana , é uma função da forma

${\ displaystyle f (x) = a \ cdot \ exp \ left (- {\ frac {(xb) ^ {2}} {2c ^ {2}}} \ right)}$

para constantes reais arbitrárias a , be diferentes de zero c . Recebeu o nome do matemático Carl Friedrich Gauss . O gráfico de um Gaussiano é uma forma simétrica de " curva de sino " característica. O parâmetro a é a altura do pico da curva, b é a posição do centro do pico ec (o desvio padrão , às vezes chamado de largura RMS gaussiana ) controla a largura do "sino".

Funções gaussianas são muitas vezes utilizados para representar a função de densidade de probabilidade de um normalmente distribuído variável aleatória com valor esperado μ = b e variância σ ² = c ² . Neste caso, o Gaussiano é da forma

${\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} {\ frac {(x - \ mu) ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} \ right).}$

As funções gaussianas são amplamente utilizadas em estatística para descrever as distribuições normais , no processamento de sinais para definir filtros gaussianos , no processamento de imagens onde gaussianas bidimensionais são usadas para desfocagens gaussianas e na matemática para resolver equações de calor e equações de difusão e para definir o Weierstrass transformar .

Propriedades

As funções gaussianas surgem pela composição da função exponencial com uma função quadrática côncava :

${\ displaystyle f (x) = \ exp (\ alpha x ^ {2} + \ beta x + \ gamma),}$

Onde

${\ displaystyle \ alpha = -0,5 / c ^ {2},}$

${\ displaystyle \ beta = b / c ^ {2},}$

${\ displaystyle \ gamma = 0,5 (\ ln ab ^ {2}) / c ^ {2}.}$

As funções gaussianas são, portanto, aquelas funções cujo logaritmo é uma função quadrática côncava.

O parâmetro c está relacionado à largura total na metade do máximo (FWHM) do pico de acordo com

${\ displaystyle {\ text {FWHM}} = 2 {\ sqrt {2 \ ln 2}} \, c \ approx 2.35482 \, c.}$

A função pode então ser expressa em termos de FWHM, representado por w :

${\ displaystyle f (x) = ae ^ {- 4 (\ ln 2) (xb) ^ {2} / w ^ {2}}.}$

Alternativamente, o parâmetro c pode ser interpretado dizendo que os dois pontos de inflexão da função ocorrem em x = b ± c .

A largura total no décimo do máximo (FWTM) para um Gaussiano pode ser de interesse e é

${\ displaystyle {\ text {FWTM}} = 2 {\ sqrt {2 \ ln 10}} \, c \ approx 4.29193 \, c.}$

As funções gaussianas são analíticas e seu limite como x → ∞ é 0 (para o caso acima de b = 0 ).

As funções gaussianas estão entre aquelas funções elementares, mas sem antiderivadas elementares ; a integral da função gaussiana é a função de erro . No entanto, suas integrais impróprias ao longo de toda a linha real podem ser avaliadas exatamente, usando a integral de Gauss

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}},}$

e um obtém

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} ae ^ {- (xb) ^ {2} / (2c ^ {2})} \, dx = ac \ cdot {\ sqrt {2 \ pi }}.}$

Curvas gaussianas normalizadas com valor esperado μ e variância σ ² . Os parâmetros correspondentes são , b = μ e c = σ .${\ displaystyle a = {\ tfrac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}}}$

Este é um integrante se e somente se (a constante de normalização ), e neste caso o Gaussiana é a função de densidade de probabilidade de um normalmente distribuído variável aleatória com valor esperado μ = b e variância σ ² = c ² : ${\ displaystyle a = {\ tfrac {1} {c {\ sqrt {2 \ pi}}}}}$

${\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ exp \ left ({\ frac {- (x- \ mu) ^ {2}} { 2 \ sigma ^ {2}}} \ right).}$

Esses gaussianos estão representados na figura a seguir.

As funções gaussianas centradas em zero minimizam o princípio da incerteza de Fourier .

O produto de duas funções de Gauss é uma Gaussiana, e a convolução de duas funções gaussianas é também uma Gaussiana, com variância sendo a soma dos desvios originais: . O produto de duas funções de densidade de probabilidade gaussiana (PDFs), no entanto, não é, em geral, uma PDF gaussiana. ${\ displaystyle c ^ {2} = c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2}}$

Tomando a transformada de Fourier (unitário, convenção angular-frequência) de uma função de Gauss com parâmetros de um = 1 , b = 0 e c produz uma outra função de Gauss, com parâmetros , b = 0 e . Assim, em particular, as funções gaussianas com b = 0 e são mantidas fixas pela transformada de Fourier (são autofunções da transformada de Fourier com autovalor 1). Uma realização física é a do padrão de difração : por exemplo, um slide fotográfico cuja transmitância tem uma variação gaussiana também é uma função gaussiana. ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle 1 / c}$${\ displaystyle c = 1}$

O fato de que a função Gaussiana é uma autofunção da transformada contínua de Fourier nos permite derivar a seguinte identidade interessante da fórmula de soma de Poisson :

${\ displaystyle \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} \ exp \ left (- \ pi \ cdot \ left ({\ frac {k} {c}} \ right) ^ {2} \ right) = c \ cdot \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} \ exp \ left (- \ pi \ cdot (kc) ^ {2} \ right).}$

Integral de uma função gaussiana

A integral de uma função Gaussiana arbitrária é

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} a \, e ^ {- (xb) ^ {2} / 2c ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {2}} a \ , | c | \, {\ sqrt {\ pi}}.}$

Uma forma alternativa é

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} k \, e ^ {- fx ^ {2} + gx + h} \, dx = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} k \, e ^ {- f {\ big (} xg / (2f) {\ big)} ^ {2} + g ^ {2} / (4f) + h} \, dx = k \, {\ sqrt {\ frac {\ pi} {f}}} \, \ exp \ left ({\ frac {g ^ {2}} {4f}} + h \ right),}$

onde f deve ser estritamente positivo para a integral convergir.

Relação com integral gaussiana padrão

O integral

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} ae ^ {- (xb) ^ {2} / 2c ^ {2}} \, dx}$

para algumas constantes reais , a , b , c > 0 pode ser calculado colocando-o na forma de uma integral gaussiana . Primeiro, a constante a pode simplesmente ser fatorada fora da integral. Em seguida, a variável de integração é alterada de x para y = x - b :

${\ displaystyle a \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {2} / 2c ^ {2}} \, dy,}$

e então para : ${\ displaystyle z = y / {\ sqrt {2c ^ {2}}}}$

${\ displaystyle a {\ sqrt {2c ^ {2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- z ^ {2}} \, dz.}$

Então, usando a identidade integral gaussiana

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- z ^ {2}} \, dz = {\ sqrt {\ pi}},}$

temos

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} ae ^ {- (xb) ^ {2} / 2c ^ {2}} \, dx = a {\ sqrt {2 \ pi c ^ {2 }}}.}$

Função Gaussiana bidimensional

Gráfico 3D de uma função gaussiana com um domínio bidimensional

Em duas dimensões, a potência à qual e é elevado na função gaussiana é qualquer forma quadrática definida negativa. Conseqüentemente, os conjuntos de níveis do Gaussiano sempre serão elipses.

Um exemplo particular de uma função gaussiana bidimensional é

${\ displaystyle f (x, y) = A \ exp \ left (- \ left ({\ frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {2 \ sigma _ {X} ^ {2}} } + {\ frac {(y-y_ {0}) ^ {2}} {2 \ sigma _ {Y} ^ {2}}} \ right) \ right).}$

Aqui, o coeficiente A é a amplitude, x ₀ ,  y ₀ é o centro, e σ _x ,  σ _y são a x e y para barrar da bolha. A figura à direita foi criada usando A = 1, x ₀ = 0, y ₀ = 0, σ _x = σ _y = 1.

O volume sob a função gaussiana é dado por

${\ displaystyle V = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) \, dx \, dy = 2 \ pi A \ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}.}$

Em geral, uma função elíptica gaussiana bidimensional é expressa como

${\ displaystyle f (x, y) = A \ exp {\ Big (} - {\ big (} a (x-x_ {0}) ^ {2} + 2b (x-x_ {0}) (y- y_ {0}) + c (y-y_ {0}) ^ {2} {\ big)} {\ Big)},}$

onde a matriz

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ b & c \ end {bmatrix}}}$

é definido como positivo .

Usando esta formulação, a figura à direita pode ser criada usando A = 1, ( x ₀ ,  y ₀ ) = (0, 0), a = c = 1/2, b = 0.

Significado dos parâmetros para a equação geral

Para a forma geral da equação, o coeficiente A é a altura do pico e ( x ₀ ,  y ₀ ) é o centro da bolha.

Se nós definirmos

${\ displaystyle {\ begin {align} a & = {\ frac {\ cos ^ {2} \ theta} {2 \ sigma _ {X} ^ {2}}} + {\ frac {\ sin ^ {2} \ teta} {2 \ sigma _ {Y} ^ {2}}}, \\ b & = - {\ frac {\ sin 2 \ theta} {4 \ sigma _ {X} ^ {2}}} + {\ frac {\ sin 2 \ theta} {4 \ sigma _ {Y} ^ {2}}}, \\ c & = {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {2 \ sigma _ {X} ^ {2 }}} + {\ frac {\ cos ^ {2} \ theta} {2 \ sigma _ {Y} ^ {2}}}, \ end {alinhado}}}$

em seguida, giramos a bolha em um ângulo no sentido horário (para rotação no sentido anti-horário, inverta os sinais no coeficiente b ). Isso pode ser visto nos seguintes exemplos: ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ theta = 0}$

${\ displaystyle \ theta = \ pi / 6}$

${\ displaystyle \ theta = \ pi / 3}$

Usando o seguinte código Octave , pode-se ver facilmente o efeito da alteração dos parâmetros:

A = 1;
x0 = 0; y0 = 0;

sigma_X = 1;
sigma_Y = 2;

[X, Y] = meshgrid(-5:.1:5, -5:.1:5);

for theta = 0:pi/100:pi
    a = cos(theta)^2 / (2 * sigma_X^2) + sin(theta)^2 / (2 * sigma_Y^2);
    b = -sin(2 * theta) / (4 * sigma_X^2) + sin(2 * theta) / (4 * sigma_Y^2);
    c = sin(theta)^2 / (2 * sigma_X^2) + cos(theta)^2 / (2 * sigma_Y^2);

    Z = A * exp(-(a * (X - x0).^2 + 2 * b * (X - x0) .* (Y - y0) + c * (Y - y0).^2));

surf(X, Y, Z);
shading interp;
view(-36, 36)
waitforbuttonpress
end

Essas funções são frequentemente usadas no processamento de imagens e em modelos computacionais de função do sistema visual - consulte os artigos sobre escala espacial e adaptação de forma afim .

Veja também a distribuição normal multivariada .

Função gaussiana de ordem superior ou função super-gaussiana

Uma formulação mais geral de uma função gaussiana com um topo plano e uma queda gaussiana pode ser tomada elevando o conteúdo do expoente a uma potência : ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle f (x) = A \ exp \ left (- \ left ({\ frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {2 \ sigma _ {X} ^ {2}}} \ direita) ^ {P} \ direita).}$

Esta função é conhecida como função super-gaussiana e é freqüentemente usada para formulação de feixe gaussiano. Em uma formulação bidimensional, uma função gaussiana ao longo e pode ser combinado com potencialmente diferente e para formar uma distribuição de Gauss elíptica: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle P_ {X}}$${\ displaystyle P_ {Y}}$

${\ displaystyle f (x, y) = A \ exp \ left (- \ left ({\ frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {2 \ sigma _ {X} ^ {2}} } + {\ frac {(y-y_ {0}) ^ {2}} {2 \ sigma _ {Y} ^ {2}}} \ right) ^ {P} \ right)}$

ou uma distribuição retangular de Gauss:

${\ displaystyle f (x, y) = A \ exp \ left (- \ left ({\ frac {(x-x_ {0}) ^ {2}} {2 \ sigma _ {X} ^ {2}} } \ right) ^ {P_ {X}} - \ left ({\ frac {(y-y_ {0}) ^ {2}} {2 \ sigma _ {Y} ^ {2}}} \ right) ^ {P_ {Y}} \ right).}$

Função Gaussiana multidimensional

Em um espaço dimensional, uma função gaussiana pode ser definida como ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle f (x) = \ exp (-x ^ {T} Cx),}$

onde é uma coluna de coordenadas, é uma matriz definida positiva e denota a transposição da matriz . ${\ displaystyle x = \ {x_ {1}, \ dots, x_ {n} \}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle {} ^ {T}}$

A integral desta função Gaussiana sobre todo o espaço dimensional é dada como ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ exp (-x ^ {T} Cx) \, dx = {\ sqrt {\ frac {\ pi ^ {n}} {\ det C }}}.}$

Ele pode ser facilmente calculado diagonalizando a matriz e alterando as variáveis ​​de integração para os vetores próprios de . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

Mais geralmente, uma função gaussiana deslocada é definida como

${\ displaystyle f (x) = \ exp (-x ^ {T} Cx + s ^ {T} x),}$

onde é o vetor de deslocamento e a matriz pode ser considerada simétrica , e definida como positiva. Os seguintes integrais com esta função podem ser calculados com a mesma técnica: ${\ displaystyle s = \ {s_ {1}, \ dots, s_ {n} \}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C ^ {T} = C}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} Cx + v ^ {T} x} \, dx = {\ sqrt {\ frac {\ pi ^ { n}} {\ det {C}}}} \ exp \ left ({\ frac {1} {4}} v ^ {T} C ^ {- 1} v \ right) \ equiv {\ mathcal {M} }.}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} Cx + v ^ {T} x} (a ^ {T} x) \, dx = (a ^ {T} u) \ cdot {\ mathcal {M}}, {\ text {onde}} u = {\ frac {1} {2}} C ^ {- 1} v.}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} Cx + v ^ {T} x} (x ^ {T} Dx) \, dx = \ left ( u ^ {T} Du + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {tr} (DC ^ {- 1}) \ right) \ cdot {\ mathcal {M}}.}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- x ^ {T} C'x + s '^ {T} x} \ left (- {\ frac {\ partial} { \ parcial x}} \ Lambda {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ direita) e ^ {- x ^ {T} Cx + s ^ {T} x} \, dx = {}}$

${\ displaystyle \ qquad = \ left (2 \ operatorname {tr} (C '\ Lambda CB ^ {- 1}) + 4u ^ {T} C' \ Lambda Cu-2u ^ {T} (C '\ Lambda s + C \ Lambda s ') + s' ^ {T} \ Lambda s \ right) \ cdot {\ mathcal {M}},}$

Onde ${\ displaystyle u = {\ frac {1} {2}} B ^ {- 1} v, \ v = s + s ', \ B = C + C'.}$

Estimativa de parâmetros

Vários campos, como fotometria estelar , caracterização de feixe gaussiano e espectroscopia de linha de emissão / absorção funcionam com funções gaussianas amostradas e precisam estimar com precisão os parâmetros de altura, posição e largura da função. Existem três parâmetros desconhecidos para uma função gaussiana 1D ( a , b , c ) e cinco para uma função gaussiana 2D . ${\ displaystyle (A; x_ {0}, y_ {0}; \ sigma _ {X}, \ sigma _ {Y})}$

O método mais comum para estimar os parâmetros gaussianos é pegar o logaritmo dos dados e ajustar uma parábola ao conjunto de dados resultante. Embora isso forneça um procedimento de ajuste de curva simples , o algoritmo resultante pode ser enviesado pela ponderação excessiva de pequenos valores de dados, o que pode produzir grandes erros na estimativa do perfil. Pode-se compensar parcialmente esse problema por meio da estimativa de mínimos quadrados ponderados , reduzindo o peso de pequenos valores de dados, mas isso também pode ser tendencioso, permitindo que a cauda do Gaussiano domine o ajuste. Para remover o viés, pode-se usar um procedimento de mínimos quadrados reponderados iterativamente , no qual os pesos são atualizados a cada iteração. Também é possível realizar regressões não lineares diretamente sobre os dados, sem envolver a transformação logarítmica dos dados ; para mais opções, consulte ajuste de distribuição de probabilidade .

Precisão do parâmetro

Uma vez que se tenha um algoritmo para estimar os parâmetros da função gaussiana, também é importante saber o quão precisas são essas estimativas. Qualquer algoritmo de estimativa de mínimos quadrados pode fornecer estimativas numéricas para a variância de cada parâmetro (ou seja, a variância da altura, posição e largura estimadas da função). Também se pode usar a teoria do limite de Cramér-Rao para obter uma expressão analítica para o limite inferior nas variâncias dos parâmetros, dadas certas suposições sobre os dados.

1. O ruído no perfil medido é iid Gaussiano ou o ruído é distribuído por Poisson .
2. O espaçamento entre cada amostragem (ou seja, a distância entre os pixels que medem os dados) é uniforme.
3. O pico é "bem amostrado", de modo que menos de 10% da área ou volume sob o pico (área se for um gaussiano 1D, volume se for um gaussiano 2D) está fora da região de medição.
4. A largura do pico é muito maior do que a distância entre os locais da amostra (ou seja, os pixels do detector devem ser pelo menos 5 vezes menores do que o FWHM gaussiano).

Quando essas suposições são satisfeitas, o seguinte covariância matriz K aplica-se para os parâmetros do perfil 1D , e no ruído Gaussian iid e sob Poisson ruído: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ mathbf {K} _ {\ text {Gauss}} = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {{\ sqrt {\ pi}} \ delta _ {X} Q ^ {2}}} {\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {2c}} & 0 & {\ frac {-1} {a}} \\ 0 & {\ frac {2c} {a ^ {2}}} & 0 \\ {\ frac {-1} {a}} & 0 & {\ frac {2c} {a ^ {2}}} \ end {pmatrix}} \, \ qquad \ mathbf {K} _ {\ text {Poiss}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} {\ begin {pmatrix} {\ frac {3a} {2c}} & 0 & - {\ frac {1} {2}} \\ 0 & {\ frac {c } {a}} & 0 \\ - {\ frac {1} {2}} & 0 & {\ frac {c} {2a}} \ end {pmatrix}} \,}$

onde é a largura dos pixels usados ​​para amostrar a função, é a eficiência quântica do detector e indica o desvio padrão do ruído de medição. Assim, as variâncias individuais para os parâmetros são, no caso do ruído gaussiano, ${\ displaystyle \ delta _ {X}}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {var} (a) & = {\ frac {3 \ sigma ^ {2}} {2 {\ sqrt {\ pi}} \, \ delta _ {X} Q ^ {2} c}} \\\ operatorname {var} (b) & = {\ frac {2 \ sigma ^ {2} c} {\ delta _ {X} {\ sqrt {\ pi}} \, Q ^ {2} a ^ {2}}} \\\ operatorname {var} (c) & = {\ frac {2 \ sigma ^ {2} c} {\ delta _ {X} {\ sqrt {\ pi} } \, Q ^ {2} a ^ {2}}} \ end {alinhado}}}$

e no caso do ruído de Poisson,

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {var} (a) & = {\ frac {3a} {2 {\ sqrt {2 \ pi}} \, c}} \\\ operatorname {var} (b ) & = {\ frac {c} {{\ sqrt {2 \ pi}} \, a}} \\\ operatorname {var} (c) & = {\ frac {c} {2 {\ sqrt {2 \ pi}} \, a}}. \ end {alinhado}}}$

Para os parâmetros de perfil 2D que fornecem a amplitude , posição e largura do perfil, as seguintes matrizes de covariância se aplicam: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle (\ sigma _ {X}, \ sigma _ {Y})}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {K} _ {\ text {Gauss}} = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {\ pi \ delta _ {X} \ delta _ {Y} Q ^ {2}}} & {\ begin {pmatrix} {\ frac {2} {\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & {\ frac {-1} {A \ sigma _ {Y} }} & {\ frac {-1} {A \ sigma _ {X}}} \\ 0 & {\ frac {2 \ sigma _ {X}} {A ^ {2} \ sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {2 \ sigma _ {Y}} {A ^ {2} \ sigma _ {X}}} & 0 & 0 \\ {\ frac {-1} {A \ sigma _ {y}}} & 0 & 0 & {\ frac {2 \ sigma _ {X}} {A ^ {2} \ sigma _ {y}}} & 0 \\ {\ frac {-1} {A \ sigma _ {X}}} & 0 & 0 & 0 & {\ frac {2 \ sigma _ {Y}} {A ^ {2} \ sigma _ {X}}} \ end {pmatriz}} \\ [6pt] \ mathbf {K} _ {\ operatorname {Poisson}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} & {\ begin {pmatrix} {\ frac {3A} {\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & {\ frac {-1} {\ sigma _ {Y}}} & {\ frac {-1} {\ sigma _ {X}}} \\ 0 & {\ frac {\ sigma _ {X}} {A \ sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {\ sigma _ {Y}} {A \ sigma _ {X}}} & 0 & 0 \\ {\ frac {-1} {\ sigma _ {Y}}} & 0 & 0 & {\ frac {2 \ sigma _ { X}} {3A \ sigma _ {Y}}} & {\ frac {1} {3A}} \\ {\ frac {-1} {\ sigma _ {X}}} & 0 & 0 & {\ frac {1} { 3A}} & {\ frac {2 \ sigma _ {Y}} {3A \ sigma _ {X}}} \ end {pmatriz}}. \ End {alinhado}}}$

onde as variâncias dos parâmetros individuais são dadas pelos elementos diagonais da matriz de covariância.

Gaussiana Discreta

O kernel Gaussiano discreto (sólido), em comparação com o kernel Gaussiano amostrado (tracejada) para escalas${\ displaystyle t = 0,5,1,2,4.}$

Pode-se pedir um análogo discreto ao gaussiano; isso é necessário em aplicações discretas, particularmente no processamento digital de sinais . Uma resposta simples é amostrar o Gaussiano contínuo, produzindo o kernel Gaussiano amostrado . No entanto, essa função discreta não tem os análogos discretos das propriedades da função contínua e pode levar a efeitos indesejáveis, conforme descrito na implementação do espaço de escala do artigo .

Uma abordagem alternativa é usar o kernel gaussiano discreto :

${\ displaystyle T (n, t) = e ^ {- t} I_ {n} (t)}$

onde denota as funções de Bessel modificadas de ordem inteira. ${\ displaystyle I_ {n} (t)}$

Este é o análogo discreto do Gaussiano contínuo no sentido de que é a solução para a equação de difusão discreta (espaço discreto, tempo contínuo), assim como o Gaussiano contínuo é a solução para a equação de difusão contínua.

Formulários

As funções gaussianas aparecem em muitos contextos nas ciências naturais , ciências sociais , matemática e engenharia . Alguns exemplos incluem:

• Na estatística e na teoria da probabilidade , as funções gaussianas aparecem como a função densidade da distribuição normal , que é uma distribuição de probabilidade limitante de somas complicadas, de acordo com o teorema do limite central .
• As funções gaussianas são as funções de Green para a equação de difusão (homogênea e isotrópica) (e para a equação do calor , que é a mesma coisa), uma equação diferencial parcial que descreve a evolução temporal de uma densidade de massa sob difusão . Especificamente, se a densidade de massa no tempo t = 0 é dada por um delta de Dirac , o que essencialmente significa que a massa é inicialmente concentrada em um único ponto, então a distribuição de massa no tempo t será dada por uma função gaussiana, com o parâmetro a sendo linearmente relacionado a 1 / √ t e c linearmente relacionado a √ t ; este gaussiano variável no tempo é descrito pelo kernel de calor . Mais geralmente, se a densidade de massa inicial é φ ( x ), então a densidade de massa em tempos posteriores é obtida tomando a convolução de φ com uma função gaussiana. A convolução de uma função com uma Gaussiana também é conhecida como transformada de Weierstrass .
• Uma função gaussiana é a função de onda do estado fundamental do oscilador harmônico quântico .
• Os orbitais moleculares usados ​​em química computacional podem ser combinações lineares de funções gaussianas chamadas orbitais gaussianos (veja também conjunto de bases (química) ).
• Matematicamente, as derivadas da função gaussiana podem ser representadas usando funções de Hermite . Para a variância unitária, a n- ésima derivada do gaussiano é a própria função gaussiana multiplicada pelo n- ésimo polinômio de Hermite , até a escala.
• Consequentemente, as funções gaussianas também estão associadas ao estado de vácuo na teoria quântica de campos .
• Os feixes gaussianos são usados ​​em sistemas ópticos, sistemas de micro-ondas e lasers.
• Na representação do espaço em escala , as funções gaussianas são usadas como núcleos de suavização para gerar representações multi-escala em visão computacional e processamento de imagem . Especificamente, os derivados de Gaussianos ( funções de Hermite ) são usados ​​como base para definir um grande número de tipos de operações visuais.
• Funções gaussianas são usadas para definir alguns tipos de redes neurais artificiais .
• Na microscopia de fluorescência, uma função gaussiana 2D é usada para aproximar o disco de Airy , descrevendo a distribuição de intensidade produzida por uma fonte pontual .
• No processamento de sinais, eles servem para definir filtros gaussianos , como no processamento de imagens, onde gaussianas 2D são usadas para desfocagens gaussianas . No processamento digital de sinais , usa-se um kernel gaussiano discreto , que pode ser definido por amostragem de um gaussiano, ou de outra forma.
• Em geoestatística, eles têm sido usados ​​para entender a variabilidade entre os padrões de uma imagem de treinamento complexa . Eles são usados ​​com métodos de kernel para agrupar os padrões no espaço de recursos.

Veja também

• Distribuição normal
• Função Lorentziana
• Núcleo de função de base radial

Referências

links externos

• Mathworld, inclui uma prova para as relações entre c e FWHM
• "Integrando a curva do sino" . MathPages.com .
• Implementação de Haskell, Erlang e Perl da distribuição Gaussiana
• Bensimhoun Michael, Função Cumulativa N- Dimensional e Outros Fatos Úteis Sobre Gaussianas e Densidades Normais (2009)
• Código para ajustar Gaussianos em ImageJ e Fiji.